Математика. Задачи по теме «Проценты»

Задачи по теме «Проценты»

Задачи на проценты и логическое мышление

Разберем задачу на проценты, требующую логического мышления, и игривого характера.

Задача1 . Буратино и его два друга собирали орехи. Ночью Буратино встал,. съел 33-⅓ % всех орехов и уснул.  Второй друг тоже проснулся и съел 33- ⅓% оставшихся орехов, потом заснул.

Утром друзья встали, сосчитали орехи, их осталось 16. Сколько всего они собрали орехов?

Решение

1.               Пусть было собрано  орехов Х орехов.

Тогда Буратино съелХ (орехов).

После этого осталось Х-Х=Х (орехов)

1 друг съел  Х • = Х (орехов), после него

осталось   Х -  Х=Х (орехов).

2 друг съел х • = (орехов), и после него

осталось - = х (орехов), а это по условию задачи 16 орехов.

Дополнительные подсчеты:

1)      Превратим 33% = =   (часть)

2)      Часть от числа от Х; Х орехов

3)      от х   =

4)      х - х = 

5)      33% от: =

6)      -  = Х

2. Решаем уравнение х=16

8Х=27 •16

Х=27 •2

Х=54

2.   Итак, друзья собрали всего 54 ореха.

Ответ: 54 ореха

Замечание: К задаче можно сделать проверку. Цель – проверить правильность и повторение вычислительных действий.

В практической деятельности часто встречаются задачи, в которых надо цену товара увеличить на р%, а потом новую цену уменьшить на  р% (или наоборот). Чтобы облегчить решение этих задач выведем формулу.

P%         P% или  P%         P%     у = а (10000 – Р ²)

                                                                 10000

Задача. Число А увеличим на р%, а затем получившие число уменьшим на р%

Выведем формулу.

Решение.

1. Дано число а                            

Увеличим на р%, р% от а  это

2. Новое число а + = =
3. Уменьшим на р%, от =

Получим число -

Формула. Новая цена товара

У = а (10000 – Р²)                 0≤Р ≤100

         10000

Задача 2. Число а уменьшим на потом увеличим на р%,. Как изменилась цена товара?

 P%         P%.  

Решение.

1)     Дано число а.

2) Уменьшение будет:   P% от а,  

3) Новое число а- =

4) Увеличим на р% от . Получим

5)Конечное число , 0≤ Р≤100

Вывод: при изменении на Р%      или          цена товара уменьшается. Покажем это при решении задач.

Задача3. Цену товара уменьшить на 10%, потом новую цену увеличим на 10%.

Сколько стоит товар, если его первоначальная цена 1200 рублей. На сколько процентов изменилась цена.

Решение.

1 способ (без формулы)

1)      10% от 1200 руб., 1200*0,1=120 (руб.) – уменьшим цену.

2)      1200 – 120 = 1080 (руб.) – новая цена после уменьшения.

3)      10% от 1080, 1080 *0,1 = 108 (руб.) – увеличили новую цену.

4)      1080 + 108 = 1188 (руб.) – конечная цена.

5)      100% - * 100% = 100% - 99% = 1%. Товар стал стоить меньше.

2 способ (по формуле). Y=  - новая цена.

1) Y= = = 1188 (рублей)

2) 1200 *0,99 – это значит, что на 1% изменилась цена товара.

Задача 4. Цену товара повысили на 20%, потом понизили на 20%. Сколько стал стоить товар?

Решение. Р = 20%

Y= = = а *0,96 – стал стоить товар

Цена изменилась на 4%

Задача 5. Цену товара понизили на 30%, потом повысим на 30%. Сколько стал стоить товар? Р=30%

Y= = = а * 0,91 стоит стол

Цена изменилась на 9%.

Задача 6. Цену товара повысили на 40%, потом понизили на 40%. Сколько стал стоить товар и на сколько изменилась цена?

Решение. Р = 40%

Y= = а * 0,84 новая цена.

Цена понизилась на 16%

Делаем общий вывод. При Р%          Р% или Р%         Р% цена товара уменьшается, причем на 

(Р : 10)²

Рассмотрим задачи, когда изменение цены товара увеличивается и уменьшается на  разное количество %.

Задача 1. Как изменится цена товара, если сначала снизить цену на 10%, а затем повысить на 20%.    10%             20%

Решение.

1)      А – цена товара.

2)      После снижения цены товара А – 0,1А=0,9А

3)      После повышения 0,9А +0,2 * 0,9 = 1,08А

Ответ: Цена товара увеличилась на 8%

Задача  2.  Как изменится цена товара, если сначала  повысить цену на 20%, а потом понизить на 10%.    20%         10%  

Решение.

1)      А – цена товара.

2)      После повышения А + 0,2А =1,2А

3)      После понижения 1,2А – 1,2А * 0,1 = 1,2А – 0,12А = 1,08А

Ответ.  Цена товара увеличилась на 8%

Задача  3 Как изменится цена товара, если ее сначала понизить на 40%, а потом повысить на 50%.

 40%             50%

Решение.

1)      А – цена товара.

2)      После понижения А – 0,4А = 0,6А стоит.

3)      После повышения 0,6А + 0,6А * 0,5 = 0,6А + 0,3А = 0,9А

Ответ. Цена товара уменьшилась на 10%.

Задача  4. Как изменится цена товара, если  повысить цену на 50%, а потом понизить на 40%.

Решение.

1)      А – цена товара.

2)      А + 0,5А = 1,5А после повышения.

3)      1,5А – 1,5А * 0,4 = 1,5А – 0,6А = 0,9А после понижения.

Ответ. Цена товара уменьшилась на 10%.

Уважаемые ученики! Сделайте вывод из этих четырех задач.

Решите самостоятельно задачи.

Задача  1. Когда цена товара будет выше? Если цену товара сначала повысить на 30%, а затем понизить на 20% или если цену товара сначала повысить на 40%, а затем понизить на 30%.

Решение.

В 1 случае.

1) А + 0,3А = 1,3А – промежуточная цена.

2) 1,3А – 1,3А * 0,2 = 1,3А – 0,26А = 1,04А – новая цена.

Во 2 случае.

1)      А + 0,4А = 1,4А – промежуточная цена.

2)      1,4А – 1,4А * 0,3 = 1,4А – 0,42А = 0,98А – новая цена.

Ответ. Цена товара выше в 1 случае, причем в 1 случае новая цена повысилась, а во 2 случае уменьшилась.

Задача  2. Цену товара повысили на 50%, потом понизили на 50%. На сколько % изменилась цена?

Решение.

1)      Y =  =0,75а

Ответ. Цена товара понизилась на 25%.

Задача  3. Цену товара повысили на 80%, потом понизили на 50%. Кому лучше: продавцу или покупателю?

Решение.

1)      (А+0,8А) – 1,8 А* 0,5 = 1,8А – 0,9А = 0,9А.

Ответ. Цена товара понизилась на 10%. Выгодно для покупателя.

Часто встречаются задачи на проценты, когда при изменении цены товара на несколько процентов, необходимо вернуться к первоначальной цене. Как это сделать?

Рассмотрим решение таких задач.

Задача  1. Число 120 увеличилось на 25%. На сколько % надо уменьшить новое число, чтобы получить 120?

Решение.

Пусть надо уменьшить на Р%.

1)      Увеличенное число будет 120 + 0,25 * 120 = 150.

2)      Р% от 150.

3)      150 – 1,5р = 120, 1,5р=150 – 120,  1,5р=30,  р=20

Ответ. Надо уменьшить на 20%.

Задача  2. Число 120 уменьшить на 25%. На сколько % надо увеличить новое число, чтобы получить первоначальное число 120?

Решение.

Пусть надо увеличить на Р%.

1)      120 – 0,25 * 120 = 120 – 30 = 90 промежуточное число.

2)      Р% от 90 это 0,9 р.

3)      90 +0,9 = 120, 0,9р = 30, р=33 %.

Ответ. Надо увеличить на 33 %.

Попробуем такого вида задачи на проценты привести в систему и вывести формулы для упрощения решения.

Решим задачи в общем виде.

Задача. Число а увеличим на р%. На сколько % надо уменьшить полученное число, чтобы получить первоначальное число а.

Доказательство.

1)         Пусть y% - процент уменьшения, чтобы получить а.

2)         После увеличения на Р%  а+ а= а(1+ )

3)         Уменьшим новое число на у%

а(1+ ) – а(1+ ) • - это по условию «а»

4)         Решим уравнение.

а(1+ ) - а(1+ ) • = а

1+  - а(1+ ) •= 1

у=   Формула у=

Вывод. Это формула не зависит от данного числа «а» поэтому ее можно применять для любой задачи при увеличении данного числа.

Задача  1. (решим по формуле)

Число 120 увеличить на 25%. На сколько % уменьшить, чтобы снова получить 120?

У=   - т.к.       25% ,       Y%

У= = 20%

Ответ. Уменьшить на 20%

Рассмотрим задачу в общем виде, чтобы вывести формулу % увеличения до первоначальной цены.

Условие задачи. Число а уменьшили на р%. На сколько % надо увеличить полученное число, чтобы снова получить первоначальное число а.

Вывод формулы.

1)      Пусть на х% надо увеличить число, чтобы получить «а»

2)      Тогда уменьшенное число «а» будет а - а= а

3)      Теперь увеличим полученное число на х% и получим число а

а(1 - ) + а(1 - ) • = а по условию

Решаем уравнение.

(1 - ) (1+ )= 1       Х=               Х =

Задача 2. 1200 рублей цена товара. Цену товара уменьшили на 40%, на сколько % надо увеличить новую цену, чтобы получилась цена товара 1200 руб.?

Решение.

1)      на х% - надо повысить, тогда х% =

Ответ. Повысить надо на 66.

Практическая часть. Решить задачу на проценты

возможными способами

Задача 1. Производительность труда на фабрике снизилась на 20%. На сколько процентов надо теперь ее повысить, чтобы достигнуть первоначальной

Решение.

1 способ. Пусть первоначальная производительность была N.

                 Снизили на 20%, стала N – 0,2N=0,8N.

                 Пусть на х% надо повысить, чтобы стала N – первоначальной,

                тогда 0,8N + 0,8N =N; тогда х=25%.

                Ответ. Повысить надо на 25%.

2 способ (по формуле). На у% надо повысить, тогда

 Р%=20%   у%                у=  

Ответ. На 25% повысить.

3 способ. Пусть х – старая производительность труда, у – новая (сниженная), тогда    х это 100%

у - это 100-20=80%  

х : у=100 : 80; у=0,8х, тогда 0,8х это 100%

                                                         х это а%?

                                                           А= 125%.

125% это первоначальная производительность труда от сниженной производительности  труда. Следовательно 125% - 100% = 25% надо повысить.

4 способ. Производительность труда 100%

                 20% от 100 это 100 * 0,2 = 20, а сниженная производительность 100 – 20 = 80

                 Для получения первоначальной производительности (100) надо число 80 увеличить на 20. Остается найти процентное отношение 20 к 80.

 

Ответ. На 25%

Задачи на проценты

Задача 1. Первое число составляет 80% от второго. Сколько % составляет второе число от первого?

Решение.

1)Пусть второе число 1, тогда первое число – 0,8, так как оно составляет от второго 80%.

Найдем сколько % составляет второе число от первого числа:

Для этого 1: 0,8 *100% =

Ответ. На 125%

Задача 2. Сторона квадрата увеличилась на 20%. На сколько % увеличилась площадь квадрата?

Решение.

Пусть сторона квадрата а, после увеличения стороны на 20%, ее длина стала а+0,2а =1,2а, тогда площадь квадрата со стороной а будет а², со стороной 1,2а, площадь квадрата (1,2а)² = 1,44а². Таким образом, площадь квадрата увеличилась на 1,44а2 – а2= 0,44а2.  Переведем в проценты 0,44 = 0,44 * 100% = 44%

Ответ. Площадь увеличилась на 44%

Задача 3. На сколько % надо уменьшить число 150, чтобы получить число 120.

Решение.

Пусть надо уменьшить на р%. Тогда 150 – 150 = 120. Отсюда, решая уравнение, находим р% = 20%.

Ответ. На 20%

Задача 4. На сколько % надо увеличить число 120, чтобы получить 150?

Решение.

Пусть надо увеличить на р%, тогда 120 + 120 =150

1,2р = 150 – 120; 1,2р=30. Р=

Ответ. На 25%

Задача 5. Длина дистанции трехдневной велогонки было 480км. В 1 день проехали 25% всего пути, во 2 день 55% оставшегося пути. Сколько км проехали в 3 день.

Решение.

1) 480 км – 100%        х =

        х км –   25%

2) 480 – 120 = 360 (км) осталось проехать.

3) 360 км это 100%

        у км          55%      у=      

4)360 – 198 =162 (км) проехали в 3 день

Ответ. 162 км.

Задача 6. В одном городе Канады 70% жителей знают французский язык, а 80% английский язык. Сколько % жителей знают два языка?

Решение.

Пусть «х» жителей знают только английский язык, а «у» жителей знают только французский язык, «z» жителей знают 2 языка.

Тогда (x + z) жителей знают английский язык.

(y +z) жителей знают французский язык.

(x+y+z) жителей знают только английский, только французский и знают английский и французский язык одновременно.

Составим уравнение     

Сложим обе части. ; ;                                            ;

Ответ. Два языка знают 50% жителей.

Геометрический смысл задачи    

                                                              80% англ.

А___20%____С________x%____________Д______________В

                     70% франц.                                            30%

АС = 20%

ВД = 30%

СД = X% знают 2 языка

СД + АС + ВД = 100%; Х + 20 + 30 = 100; Х = 50%

1)                          АС = 20% = 100% - 80% = 20%

2)                          ВД = 100% - 70% = 30%

3)                          СД = х% знают 2 языка.

СД +АС+ВД = 100%

Х% + 20% + 30% = 100%

Х% = 50% - знают два языка английский и французский.

Ответ. 50%

Вычисление количества по процентам.

Задача  1. В городе N состоялись выборы в Государственную Думу, в которых приняли участие 75% избирателей.

Только 10% от числа принявших участие в выборах отдали голоса партии «зеленых».

Сколько жителей проголосовали за эту партию, если в городе всего 1 млн. избирателей.

Решение.

1)          1000000 избирателей ---------100%

                     х                       --------- 75%

х = = 750 000 (избирателей) приняли в голосовании.

2) 750000 избирателей ----------100%

                  у                   ------------10%

у=  (избирателей) проголосовали за партию «зеленых».

Ответ. 75000 человек.

Задача 2. Из 750 учащихся школы 80% занимаются в разных кружках, из них 5% в радио – кружке. Сколько учащихся занимаются в радио – кружке?

Решение.

Пусть х учащихся занимаются в радио – кружке.

Тогда Х =  (

Ответ. 30 учащихся.

Задача  3. При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы надо смолоть, чтобы получить 480 кг муки.

Решение.

Пусть   х кг пшеницы это 100%     Х =    Ответ. 600 кг.

              480 кг                       80%

Блок 2.

Задача 1. (на математической заочной олимпиаде).

За весну Обломов похудел на 25%,

За лето прибавил в весе 20%,

За осень похудел на 10%,

За зиму поправился на 20%

Похудел или поправился он за год?

Решение.

1)Пусть первоначальный вес Обломова m кг, тогда m -0,25m= 0,75m (кг) стал весить в конце весны.

2) 0,75m+0,75m*0,2=0,9m (кг) его вес в конце лета.

3)  0,9m – 0,9m*0,1 = 0,81m (кг) его вес в конце осени.

4) 0,81m + 0,81m*0,2 = 0,972m (кг) стал весить в конце зимы.

Вывод. 0,972m < m на m-0,972m= 0,028m (кг)

Ответ. Обломов за год похудел.

Задача 2. Числитель увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Решение.

 Дана дробь -  , х – на столько процентов надо уменьшить знаменатель 

Увеличим числитель на 20%, тогда числитель будет: а+ 0,2а = 1,2а.

Новый знаменатель b-bx=b(1-x).

Составим уравнение                   (:

             1-х =0,6            х=0,4

Вывод. Знаменатель надо уменьшить на 40%

Задачи на % с предыдущим логическим рассуждением.

Задача. В  магазин привезли 100 кг клюквы, состоящей на 99% из воды. После длительного хранения и усушки содержание воды в клюкве уменьшилось до 98%. Каким стал новый вес клюквы?

Решение.

Необходимо знать. При различных усушках – утрусках неизменным остается только количество сухого вещества, поэтому при решении таких задач надо ориентироваться на его количество.

1)      Какое количество сухого вещества содержится в 100кг клюквы, приходящегося на 1%?

100% это 100кг клюквы

1% это х кг                         Х =  

После некоторой усушки этот килограмм сухого вещества составляет 2% (т. к. 98% воды).

Найдем новый вес клюквы.

1 кг это 2%

у кг это 100%         Y =

Ответ. Новый вес 50 кг.

Логическое рассуждение по этой задаче.

Испаряется только вода, а сухое вещество остается неизменным. В таком случае, увеличение сухого вещества в 2 раза по сравнению с первоначальным означает уменьшение в 2 раза общего веса клюквы. Вес сухого вещества 1% от 100 кг, что означает 1 кг сухого вещества. Затем после усушки 1 кг сухого вещества  уже 2% от общего веса (массы), что в 2 раза больше первоначального.

Если 3% сухое вещество, то 100:3=33  клюквы (т.е. 97% воды).

Если 96% воды, то 4% сухого вещества, т. е. 100 : 4 = 25 кг новая масса клюквы.

Задача 1. Две шкурки стоят 225 рублей и были проданы на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой получили 50% прибыли, а от второй 25% прибыли.

Решение.

1.      Пусть стоимость первой шкурки х рублей.

Тогда стоимость второй (225 – х) рублей.

Прибыль от первой будет 0,5х (рублей),

а от второй 0,25 (225 – х) рублей.

Прибыль от двух шкурок будет

0,5х + 0,25 (225 – х) рублей, а это по условию задачи 0,4 *225 = 90 (рублей)

2. Составление и решение уравнения.

0,5х + 0,25 (225 – х) = 90,

0,5х + 56,25 – 0,25х = 90,

0,25х = 90 – 56,25,

0,25х = 33,75,

х = 135.

3. Вывод. Первая шкурка стоит 135 рублей.

    Вторая шкурка 225 – 135 = 90 (рублей).

4. Проверка. Прибыль первой 135 *0,5 = 67,5 (руб.)

                        Прибыль второй 90 * 0,25 = 22,5 (руб.)

Прибыль от двух шкурок 67,5 + 22,5 = 90 (руб.)

Т. е. 40% от 225 руб.        225 * 0,4 = 90 (руб.) верно.

Ответ. Первую шкурку продали за 135 рублей, вторую за 90 рублей.

Задачи на составление уравнения (ТвГУ, факультет психологии) 2000год.

Условие. На вступительных экзаменах по математике 1/5 часть абитуриентов, не получивших зачета, не справились ни с одной задачей. Число получивших зачет относится к числу решивших недостаточное для зачета количество задач как 1,25 : 3.  Абитуриентов, не получивших зачет на 120 человек больше, чем получивших зачет. Какой процент абитуриентов сдал экзамен по математике?

Решение.

1 способ. Пусть х человек получили зачет, тогда (х + 120) человек не получили зачет.

                 Тогда – от (х + 120) – (х + 120)  – не справились ни с одной задачей.

                 Отсюда (х + 120) – (х + 120)  = х + 120 – 0,2х – 24 = 0,8 (х + 120) решили

                 недостаточное количество задач.

            По условию задачи   3х = х + 120              х = 60

                 Итак, 60 человек сдали зачет; 60+120= 180 (человек) не сдали зачет. Всего сдавало

                  60 + 180 =240 (человек).

                Отвечая на вопрос задачи – экзамен по математике сдали:

                60 чел. -----р%

                240 чел.----100%                  Р% =

2 способ. Пусть х (человек) сдали зачет, у (человек) не сдали зачет.

                 1/5у = 0,2у не справились ни с одной задачей.

                  У – 0,2у = 0,8у (человек) решили недостаточное количество заданий.

Составим систему.

                          

          у-х=120

 

         Х = 60

         Y = 180

Всего сдавало 60 + 180 = 240 (чел.)

Ответ. 25% сдали математику.

Задача. Два вкладчика одновременно вложили в сбербанк одинаковые суммы. 1 из них по истечении 8 месяцев взял из банка свои сбережения, получив 5200 рублей. 2 через 10 месяцев тоже закрыл свой счет, получив 5250 рублей. Какую сумму каждый из вкладчиков положил в сбербанк, и сколько процентов годовых выплачивал банк?

Решение.

Пусть Х рублей сумма, положенная в банк каждым, Р% - процент годовых. Составим систему уравнений.

Х + 8/12                                                  Х (1+

Х+ 10/12  х                                               Х (1+

Решая систему уравнений получаем Р=6, Х = 5000

Ответ. Первоначальный взнос 5000 рублей, 6% годовых выплачивал сбербанк.

Проценты  -  это жизнь

Задача 1. Мастеру в парикмахерской дали два раствора перекиси водорода: 30%-ный и 3%-ный. А для работы нужен 12-процентный раствор. Как это сделать?

Решение.

Пусть для 12-процентной смеси надо взять

Х граммов 3% раствора,

У граммов 30% -ного раствора.

Тогда в первой порции содержится 0,03х (г) чистой перекиси водорода, а во второй 0,3у (г), а всего 0,03х + 0,3у (граммов).

В результате получается (х + у) г раствора, в которой чистой перекиси водорода должно быть 0,12 (х + у) граммов.

Уравнение. 0,03х + 0,3у = 0,12 (х + у),

                     0,03х + 0,3у=0,12х +0,12у

                     0,03х – 0,12х = 0,12у – 0,3у

                      -0,09х = -0,18у

Выразим х через у. х=        х = 2у

Вывод. 3% раствора надо взять вдвое больше, чем 30% -ного раствора.

Разберем задачи на процентное содержание и концентрацию вещества.

Пусть V – объем смеси 

            V₀- объем вещества

            С₀ – концентрация раствора

Процентное содержание Ро = этого вещества в смеси связано простым соотношением с его концентрацией Р₀ = С₀ *100.

Отсюда. Сумма концентраций всех веществ смеси равна 1, а сумма процентных содержаний всех веществ смеси 100%.

Принятые обозначения: V – объем вещества

                                          m – масса вещества

                                          с – концентрация вещества

                                          Р - %-ное содержание вещества.

Задача 2. В сосуде 5л 20%-ного водного раствора кислоты. Сколько воды необходимо добавить в этот сосуд, чтобы получить 5%-ный раствор кислоты.

Решение.

1)      Объем кислоты будет 5л * 20/100 = 1л кислоты.

2)      Пусть в раствор добавили хл воды, тогда объем раствора составил (5 +х) литров.

3)      По условию задачи кислота равняется 5% этой величины и её объем равен 5% от (5 +х)л,

Так как кислоты в раствор не добавляли, в сосуде находится 1л кислоты.

Составляем уравнение.     х=15

Ответ. В раствор добавили 15л воды, чтобы получить 5% раствор кислоты.

Задачи на составление уравнений.

Задача 1. Куплено 2 образца товара на сумму 15200 руб. Первого сорта и второго сорта. Если бы цена образца первого сорта была выше, а цена образца второго ниже на одно и то же число процентов, то первый сорт стоил бы 15000 руб., а второй 2400 руб. Сколько стоил образец первого сорта в действительности?

Решение.

Пусть х тыс. руб. стоил образец первого сорта, тогда (15,2 – х) тыс. руб. стоил образец второго сорта.

Пусть образец первого сорта стоил на λ% дороже, тогда

                                           

   Х +Х                                                       

(15,2 – х) – (15,2 – х) *                              

   

-15 *15,2 + 15,2х + 15х - х² =х²  -12,8х

2х²-43х + 228 =0

х₁ = 12

х₂ = 9,5

Ответ. Образец первого сорта стоит 12000 руб.

             Образец второго сорта стоит 9500 руб.

Задача 2. Трое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 4 часа. Если бы сначала первый рабочий проработал 3 часа, а затем второй  6 часов, то они выполнили бы 80% всей работы, а оставшуюся часть работы первый и третий рабочие выполнили бы за один час, работая вместе. За сколько часов, каждый рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу. (Вступительный экзамен экономического факультета).

Задачи на составление систем неравенств.

Задача 1. На биржевые торги выставлено некоторое количество акций нефтяной и газовой компаний. Число проданных за два дня акций и нефтяной компании составило 115% числа проданных акций газовой компании. В первый день торгов продано 2/3 акций нефтяной компании и 1/7 акций газовой компании; во второй день продано 1/3 акций нефтяной и 6/7 акций газовой компании.

Сколько акций первой и второй компаний было продано на бирже, если известно, что первый день торгов было продано менее 1000 акций, а во второй день торгов было продано более 1000 акций.

Решение.

Пусть Х € N количество акций нефтяной компании,

           Y€ N количество акций газовой компании.

По условиям задачи х = 1,15y

Составим систему неравенств      <1000

                                                          >1000

так как продавалось целое число акций, то из неравенств следует, что х – кратно 3, а у- кратно 7.

Из уравнения следует, что y кратно 20 и 3, тогда у кратно 3*7*20 = 420, т.е. у=420n, n € N 

Подставим х в оба неравенства, получим

                                                                                                                  n ≤ 2                           у=840

                    ^{191у <21000                   191 * 420n < 210000                           n2        х=966}

 ^{> 1000                        521у > 42000                 521 * 420n > 420000               n ≥ 2}

Ответ. 840 акций газовой компании, 966 акций нефтяной компании.

Задача 2. На «отношения».

Условие. Имеются два сплава из золота и серебра. В первой массе металлы находятся в отношении 2 : 3, во второй в отношении 3 : 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11.

Решение.

Пусть от первого сплава взяли х кг, тогда от второго сплава взяли (8 – х) кг.

1)      5 + 11 = 16 (частей) приходится 8 кг.

2)      5/16 * 8 = 2,5 (кг) золота

3)      (кг) серебра

4)       (кг) золота в I сплаве.

5)       кг золота во II сплаве.

6)             Х=1

Х = 1  Ответ. От первого сплава взяли 1 кг, тогда от второго сплава взяли 8-1=7 (кг)

Задача 3. Из сосуда, наполненного 96%-ным  раствором кислоты, отлили 2,5 л и долили 2,5 л 80%-ного раствора той же кислоты, затем еще раз отлили 2,5 л кислоты и снова долили 2,5л 80%-ного раствора кислоты. После этого в сосуде получили 89%-ный раствор кислоты.

Найти емкость сосуда.

Решение.

Пусть емкость сосуда х л.

   чистой кислоты в сосуде содержалось,

^{2,5 *  -} взяли в первый раз чистой кислоты после переливания 2,5 л 96% раствора кислоты.

В сосуде осталось (литров) кислоты

После этого долили 2,5 л 80% - ного раствора кислоты, то есть 2,5 *  кислоты.

Тогда кислоты стало

После этого отлили 2,5 л смеси, то есть  л – чистой кислоты.

Тогда осталось -() -  литров кислоты

К ним было добавлено  (литров) кислоты и ее стало () - + 2л

С другой стороны, известно, что получится 89%-ный раствор кислоты, и так как емкость сосуда х л, то в нем содержится  кислоты.

Получится уравнение ()  - + 2 =

Упрощая 7х² – 80х + 100=0.

Корни х=10, х= . Так как х >2,5, то х = 10.

Ответ. Емкость сосуда 10л.

Задача на составление уравнений.

Задача 1. В сосуде было 10 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили, и сосуд дополнили таким же количеством воды. Затем снова отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в результате в сосуде оказался 64%-ный раствор соляной кислоты?

Решение.

1. Пусть х литров кислоты отлили в первый раз.

После первого отлива и добавления воды в смеси стало (10 – х) литров кислоты и х литров воды (по условию).

Тогда в каждом литре смеси будет  литра кислоты.

После отлива х л смеси в сосуде остается (10 – х) литров смеси, в которой содержится

(10-х)  литров соляной кислоты.

После доливания х л воды в сосуде оказывается 10 л смеси, из них  литров кислоты.

Процентное содержание соляной кислоты равно

С другой стороны, по условию задачи это содержание равно 64% = 0,64 =
Составляем уравнение =

1 способ. 100-20х+х²- 64=0                     II способ. (10 – х)² = 64

                        х²-20х + 36=0                                           (10-х)² = 8²

                        х=2                                                           

                        х = 18 (не подходит по условию задачи)   х = 2,            х = 18

                                                                                          х <10   (не походит)

Ответ. Каждый раз отливали 2 литра.

Задача на обратную пропорциональную зависимость.

№ 1 Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли составило 2%	Решение. Взяли пресной воды х кг. Стало воды (х+40) кг вместе  40кг содержится 5% соли (40 + х) кг содержится 2% соли    обратная пропорциональная зависимость 40*5=2(40+х)    х=60 Ответ. 60 кг пресной воды надо налить.
№ 2 Собрали 100 кг грибов. Влажность их 99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какой стала масса грибов?	Решение. Масса сухого вещества постоянна пусть х кг 100 кг 100-99=1% сухих грибов х кг это 100 – 98 = 2% сухих грибов      100 : х = 2 : 1 100 * 1= 2* х           х = 50 Ответ. После подсушивания масса грибов 50 кг.
Вывод Устная задача. № 3 Площадь прямоугольников одинаковая. Размеры одного 12 • 36 м. Размеры другого х • 18 м.	С увеличением одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Решение.        S1=S2  Ширина 12м ---------длина 36м  Ширина х м----------длина 18 м. 12 : х = 18 : 36 Ответ. Ширина 24 м у второго прямоугольника.

Задача на проценты.

№ 1. Сплав состоит из олова и свинца. Его масса - 400г. В сплаве 68% свинца. Определить массу олова и свинца отдельно.	Решение. 100% - 68%=32% олова 32%------хг 100%----400г      х= 128г. олова     3. 400 – 128 = 272 (г) свинца.
№ 2 В сплаве: 2 кг меди, 3 кг свинца, 5 кг железа. Сколько процентов каждого компонента?	Решение. 2+3+5=10 (кг) масс СА сплава 10кг – 100% 2 кг – х%             х = 20% меди 3. 10 кг – 100%       3 кг – у%             у = 30% свинца 4. 100% - (20 + 30) = 50% железа
№ 3. В стакан с водой (масса 230г) бросили 2 куска сахара (1 кусок 10г) Какова процентная концентрация сахара в полученном растворе?	1 способ. Решение. 1. 230 + 20 = 250 это 100%    250г -----100%      20г--------х%    х = 8% 2 способ. 1. Узнать общую массу раствора, 230г + 20г = 250г = m 2. Найти отношение mС : m 20 : 250 = 2 : 25 3. Превратить в %
Концентрация – это величина, равная отношению объема (массы) вещества к объему (массе) всего сплава. na – концентрация ma – масса вещества, входящего в сплав m – масса всего сплава	n0=

3 блок

ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

Формула вклада денежных средств через n – лет.

Условия задачи. А0 – денежный вклад. Р% - возрастает через год на Р% n – число лет. Аn = А0 (1 +  )n Формула вклада через n лет	Решение. 1)      А0– первый вклад. 2)      2) А1 = А0 + А0 3)      А2 = А0 (1 +  )2 через 2 года 4)      А3 = А0(1 +  )3 через 3 года Итак формула Аn =Аo (1 +  )n Размер вклада через n – лет.
Образец. А0 = 60 рублей р% = на 20% увеличение. Найти А3 (через три года)	Решение по формуле. А3 = А0 • (1 +  )3 А3 = 60 * (1 +  )3= 60 * = 60=103,68 (руб.) Ответ. Через три года вклад будет 103,68 рублей.
Решим без формулы эту задачу.	1)                 20% от 60 руб., 60 • 0,2 = 72 (руб.) через год. 2)                 20% от 72 руб.  72  0,2 = 14,4 72 + 72  0,2 = 72 + 14,4 = 86,4 (руб.) через 2 года. 3) 20% от 86,4, 86,4   0,2 = 17,28 86,4 + 86,4  0,2 = 86,4 + 17,28 = 103,68 (руб.) Ответ. Через 3 года вклад составит 103,68 рублей.

Знать формулы и их применение.

1.Если вклад уменьшается, то Аn =Аo (1 - ) ⁿ   при Аn <Аo.

2. Если вклад увеличивается, то  Аn = Аo (1 +  )ⁿ при Аn > Аo,

где Аo – первоначальный вклад, стоимость

       Аn – увеличенная стоимость или уменьшенная

       n – число лет

       р% - число процентов.

Задача на проценты для старших классов

№ 1. Ежегодный прирост жителей страны составляет  её населения. Через сколько лет число жителей удвоится? Ответ. Через 56 лет население увеличится в 2 раза.	Дано: Р% = 100% = 1,25% Аn = Аo   2
	Найти n. Решение. 1)        Аn = Аo * (1 +  )n 2)      2Аo = Аo ( 3)      2 = (1 +)n;   2 = ( lg2 = lg(,lg2 = n lg lg2 = n (lg81 – lg80), n = n ≈56
№ 2. После двух повышений зарплата достигла  относительно начальной. На сколько % повысили зарплату в первый раз, если во второе повышение было вдвое больше первого (в %-ном отношении)? Ответ. На 25% повысили зарплату.	Дано: Р% повышение Аo начальная зарплата  А1 после первого повышения А2 после 2 повышения А2 = Аo *
	Найти р% Решение. А1 = А0 (1 +  ) А2 = А1 ( А2 = Аo (1 + )* (= Аo (1 + )* (= Р = 25,  Р = -175 не удовлетворяет условию задачи.

Задача 1. При двух последовательных одинаковых повышениях зарплата в 100 руб. обратилась в 125,44 рублей. Определить на сколько % повышалась зарплата?

Решение. При повышении

Аn = 125,44 рублей. Аo = 100 руб., n = 2. 

Тогда (1 +  )ⁿ =    (1 +  )²=

Отсюда 1 +    Р²+ 200р – 2544 = 0

Р₁= 12, р₂ = -212 ( не подходит по условию задачи, т.к. число % не может быть отрицательным).

Ответ. Зарплату повысили на 12%.

Задача 2. Каков % изнашивания станка за год, если его стоимость по истечении двух лет уменьшилась с 50000 до 46080 рублей?

Решение. Аn = Аo (1 - ) ⁿ  ;    1 -  =

 = 1 - ;  Р = 100 * ( 1 - ), где по условию n = 2, Аn = 46080 руб., Аo = 50000 руб. (первоначальная стоимость) Р = 100 * (1 - = 100 * (1 – 0,96) = 4

Ответ. Процент изнашивания 4%.

Задача 3. После двух последовательных снижений объема производства выпуск продукции сократился в 2 раза. Определить % сокращения производства.

Решение. Аn = Аo * (1 - ) ⁿ   

По условию Аn: Аo = 1;2;   n = 1

Тогда ½ = (1 - ) ²       1 -         

Р² – 200Р + 5000 = 0,    Р_1,2   = 100 ±  = 100±  50 ,

Р₁ = 50 (2 + ) > 100 (сокращении продукции больше 100% быть не может).

Значит Р = 50 (2 + )< 30%.

Ответ. Производство сократилось на 30%

Задача 4. На сколько процентов следует увеличить длину радиуса круга, чтобы площадь круга стала больше на 96%.

Решение.

Пусть длину радиуса R надо увеличить на р%, тогда

Тогда   

(1 +  )²= 1,96;      Р² + 200р – 9600 = 0

Решая, получаем Р₁ = 40

                             Р₂ =  - 240 (не удовлетворяет условию задачи р> 0).

Ответ. На 40% надо увеличить длину радиуса.

Задачи на «сложные» проценты

Задача 1. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплаты сумма в 100 руб. обратилась в 125,44 рубля. На сколько процентов повысилась заработная плата.

Решение.

По формуле Аn = Аo * ⁿ   , где Аo = 100 руб., n = 2, Аn = 125,44.

Найти р% 125,44 = 100 (1 +  )², решая уравнение 1 +   

Р²+ 200р – 2544 = 0

Р₁ = 12, р2 = -212 < 0 не подходит по условию задачи, р>0.

Ответ. Зарплата повышалась дважды на 12%.

Задача 2. Какой процент изнашивания станка за год, если его стоимость по истечении двух лет уменьшилась с 50000 рублей до 46080 рублей?

По формуле Аn = Аo (1 - ) ⁿ , где Аo = 50000, Аn = 46080, n = 2.

Найти р%  46080 = 50000  (1 - )²;              (1 - )²=                 (1 - ) = 0,96

Отсюда р = 4.

Ответ. 4% в год процент изнашивания станка.

Задача на «сложные проценты»

Условие. Курс рубля по отношению к доллару падает на 28 % в квартал. Что выгоднее:

А) сделать  валютный вклад на год с начислением 60% годовых или

Б) конвертировать доллары в рубли и сделать рублевый вклад с начислением 510% годовых?

Решение.

1)      Пусть за 1 рубль дают х долларов.

Тогда к концу года за 1 рубль дадут: Аn =  (1 - ) ⁿ* Аo

(1 - 28: 100)⁴ * х = (1 - )⁴ х = ()⁴ х (долларов)

2) Если имеем А долларов то, сделав валютный вклад, через  год получим А + 0,6А = 1,6А долларов.

3) Один доллар стоит 1:х =  (рублей), тогда с учетом падения курса рубля через год валютный вклад будет эквивалентен 1,6А  рублям.

4) Если имеющиеся А долларов сразу перевести в рубли, то получим руб.

Тогда через год по рублевому вкладу будет иметь 6,1 * (рублей), т.е. А + 5,1= 6,1

5) Сравним теперь суммы в рублях, полученные за год по валютному и рублевому вкладам

1,6А  и 6,1 , видим, что

1,6А >6,1 , что значит – выгоднее сделать валютный вклад.

Ответ. Выгоднее сделать валютный вклад.

Задачи на концентрацию (растворы, сплавы)

Концентрацией называется величина, равная отношению массы (объема) вещества, входящего в смесь, к массе (объему) смеси.

Обозначение Nа =   Na =    Na =     Nв =

где     n_a – концентрация вещества А

         m _a – масса вещества А

         m – масса смеси

         V – объем смеси.

Замечание. Предполагается, что V смеси равен сумме объемов веществ, входящих в эту смесь.

Задачи 5-6 классов

Задача 1. Масса сплава, в который входит олово и свинец 400г. В сплаве 68% олова.

Найти процентное содержание и массу свинца.

Решение.      1) 100% - 68% = 32% свинца.

                      2) 32% от 400 г     400 * 0,32 = 128 (г) свинца

Задача 2. Сплав состоит из 2 кг меди, 3 кг свинца и 5 кг железа. Сколько % приходится на каждое вещество?

Решение.     1) 2 кг + 3 кг + 5 кг = 10 кг это 100%

                     2)  100% = 20% меди

                     3)  100% = 30% свинца

                     4)  100% = 50% железа.

Применяя формулы на концентрацию легко решаются задачи.

Задача 3. В сплаве 2 кг меди и 3 кг алюминия. Какова концентрация меди и алюминия в этом сплаве.

Решение.

Пусть концентрация n.

1) n _m = ;    n_n =

2) n_a =        n_a =

Задача 4. В стакан с водой (масса воды 230г) бросили 2 куска сахара (масса одного куска 10г) Какова концентрация сахара в полученном растворе?

Решение.

Пусть n – концентрация  n_с =   n_c =  cахара

Задача 5. Концентрация соли в водном растворе n = 0,12. Какова масса соли, если масса раствора 8 кг.

Решение.  n_с =    m_c = n_с * m_р = 0,12 * 8 = 0,96 (кг) соли

Задача 6. Концентрация сахара в водном растворе n = 0,05. Какова масса раствора, если в нем 30 г сахара?

Решение. n_с = ;    m_p =   раствора.

Задача 7. Найти концентрацию раствора серной кислоты объемом 4л, если кислоты в нем 0,8 л?

Решение. N =  - концентрация раствора серной кислоты.

Задачи 7 – 11 класса

1. Задачи на обратную пропорциональную зависимость

Из n =  при m_a = Соnst, mn =Соnst                                                 n

Графически указанную зависимость         n1

можно изобразить с помощью                                  n2

равновеликих прямоугольников.

m₁ : m₂ = n₂ : n₁                 

m₁ : n₁ = m₂ : n₂ или  (m₂ - m₁) * n₂ = m₁ * (n₁ - n₂)                                          

 

                                                                                                                          m₁               m₂          m   

Задача  1. Морская вода содержит 5% соли по            n%

массе. Сколько кг пресной воды нужно прибавить

к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли          5

в последней составило 2%?

Решение. (m _a = соnst.; m ∙ n = соnst )

1 способ. (40 + х) 2 = 5 ∙ 40,   х = 60                             2

2 способ 2 ∙ х = 3 ∙ 40;  х = 60

Ответ. 60 кг

                                                                                                                                                 40+х     m    

Задача  2.  Собрали 100 кг грибов. Их влажность

99%. Когда грибы подсушили, их влажность

снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после

подсушивания?                                                                        2

Решение. Знаем, что m _a = Соnst., масса сухого

вещества постоянна. Пусть масса сухого вещества

Х (кг).                                                                                        1

1 способ. 2 ∙ х = 1 ∙ 100; х = 50 (кг)

2 способ. (100 – х)  ∙ 1 = х ∙ 1; 100 – х = х; 2х = 100,

х = 50 Ответ. 50 кг                                                                                       х                100

Задача  3. Сколько кг воды надо выпаривать из 0,5т                             n%

целлюлозной массы, содержащих 85% воды, чтобы

получить массу с содержанием 75% воды?

0,5 т = 500 кг                                                                                        25

Решение. Масса целлюлозы постоянна. До выпаривания

было 100% - 85% = 15% целлюлозы, после выпаривания

100% - 75% = 25% целлюлозы. Пусть масса выпаренной              15

воды х кг,

1 способ. 25 ∙ (500 – х) = 15•500  х = 200 (кг) воды надо выпарить.

2 способ. 15 ∙ х = 10 ∙ (500 – х);    15х + 10х = 5000,   25х = 5000

х = 200(кг)                                                                                                             500 – х        500    m/кг

Задача 4. На 1 поле 65% площади засеяно овсом. На втором овсом занято 45% площади. Известно, что на 1 и 2 полях вместе под овсом занято 53% общей площади. Какую часть всей засеянной площади составляет 1 поле?

Решение.

1 способ. Пусть S₁ поля х, а S₂ поля у.

По условию 0,65х + 0,45у = 0,53 (х + у).

0,65х – 0,53х = 0,53у – 0,45у

0,12х = 0,08у;

12х = 8у

у =           

у =

Ответ. 2/5 часть всей засеянной площади составляет 1 поле.

2 способ (с помощью графика)  Видим, что S _OABC = S_ODKM = S _MNEC

Фигуры ADKP и NPBE равновелики, то есть S_ADKP = S_NPBE

AD = 0,65 – 0,53 = 0,12; AP = х

PN = 0,53 – 0,45 = 0,08; NE = у

Тогда 0,12х = 0,08у = >у =

              Y

   0,65   D                                     K

 

                                                       P                                                B                                  

 0,53     A               Х

0,45    _                                                                                             E

                                                       N                    Y

                                                       M                                               C

                                                                                                                           Х

                                                      Х                                          Х+Y