БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ    

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ                   

_{«ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. ЖУКОВСКОГО»}

Самостоятельные работы по математике

для студентов 2 курса

специальности 140448

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составители  

Швырева Н.А., преподаватель БОУ ОО СПО «Омавиат»

Даниелян Ц. М., преподаватель БОУ ОО СПО «Омавиат»

 

Пособие является частью учебно-методического комплекта. Самостоятельные работы планируется и организуется с целью углубления и расширения теоретических знаний, формирования самостоятельного логического мышления, создавая тем самым предпосылки для формирования базовых (ключевых) компетенций.

Пособие полностью соответствует программе по математике и будет полезно при  организации различного рода самостоятельных и индивидуальных работ студентов 2 курса  специальности 140448.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

       Матрицы и определители……………………………………………………        3

             Решение системы линейных алгебраических уравнений ... .……………... 5

             Комплексные числа………………………………………………………….. 6

       Вычисление предела функции………………………………………………        8

            Производная и ее приложения……………………………………………… 11

       Неопределенный интеграл……………………………………......................      12

       Определенный интеграл……………………………………………………..      14

       Решение дифференциальных уравнений…………………………………...      16

           Ряды…………………………………………………………………………… 18

           Основы теории вероятностей……………………………………………….. 19

            Основы математической статистики ………………………………………. 21

 

             

Тема 1: Матрицы и определители.

 

Вариант 1 

 

2.  Найти определитель 2 порядка.

 

3.  Найти определитель 3 порядка.

 

 

Вариант 2

 

2.  Найти определитель 2 порядка.

 

3.  Найти определитель 3 порядка.

 

 

Вариант 3

 

2.  Найти определитель 2 порядка.

 

 

3.  Найти определитель 3 порядка.

 

 

Вариант 4

 

2.  Найти определитель 2 порядка.

 

3.  Найти определитель 3 порядка.

 

 

 

Вариант 5

 

2.    Найти определитель 2 порядка.

 

3.    Найти определитель 3 порядка.

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 6

 

3. Найти определитель 3 порядка.

 

 

 

 

 

Тема 2:  Системы  линейных алгебраических уравнений.

 

Вариант 1

 

1. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса

 

                а)    3х₁ - 5х₂ = 13,               б)   х₁ + х₂ + х₃ = 22,                                              2х₁ + 7х₂ =  81.                   3х₁ + 2х₂ + х₃ = 47,                                                                                           х₁ + 3х₂ - х₃ = 18.                              

 

Вариант 2

 

1. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса

 

                а)    3х₁ - 4х₂ = -6,               б)   х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 2,                       

                      3х₁ + 4х₂ = 18.                   2х₁ + 3х₂ - 4х₃ = -5,                                                                                           3х₁ + х₂ + х₃ = 3.                              

 

Вариант 3

 

1. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса

 

                а)    3х₁ + 2х₂ = 10,               б)   6х₁ + х₂ + 3х₃ = -1,                                              х₁ - 2х₂ = 6.                          -2х₁ -5х₂ + 2х₃ = 6,                                                                                              3х₁         + 2х₃ = 1.                             

Вариант 4

 

1. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса

 

                а)    3х₁ + 2х₂ = 17,               б)   7х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 15,                       

                      5х₁ + 4х₂ = 31.                    5х₁ - 3х₂ + 2х₃ = 15,                        

                                                                  10х₁ - 11х₂ + 5х₃ = 36.                             

      

Вариант 5

 

1. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса

 

                а)    3х₁ + 2х₂ = 13,               б)   5х₁ + 8х₂ + х₃ = 2,                                               х₁ - 2х₂ = -1.                       3х₁ - 2х₂ + 6х₃ = -7,                                                                                           2х₁ + х₂ - х₃ = -5.                              

          

 

Вариант 6

 

1. Решить систему линейных уравнений  методом Гаусса

 

                а)    2х₁ - х₂ = 2,               б)        2х₁ - 3х₂ + х₃ = -7,                                              2х₁ - 4х₂ = -4.                        х₁ + 4х₂ + 2х₃ = -1,                                                                                             х₁ -   4х₂           = -5.                              

          

Тема 3:  Комплексные числа.

 

Вариант 1

 

1.     Даны числа  ,  .

Найдите:

a)                                 ;

b)                                ;

c)                                 ;

d)                                .

2.     Представьте  в тригонометрической форме комплексные числа z₁ = -1 – i и  z₂

= -5 - 5i. Найдите: z₁ * z₂, ^Z1 .

Z₂

Вариант 2

 

1.     Даны числа  ,  .

Найдите:

a)    ;

b)   ;

c)    ;

d)   .

2.     Представьте в тригонометрической форме комплексные числа Z₁ = 1 + 3 i и 

z₂ = i – 1 . Найдите: z₁ * z₂, ^Z1 .

Z₂

Вариант 3

 

1.     Даны числа  ,  .

Найдите:

;

;

; .

2.     Представьте в тригонометрической форме комплексные числа Z₁ = 1 - i и  z₂

= -i . Найдите: z₁ * z₂, ^Z1 .

Z₂

Вариант 4

 

1.     Даны числа  ,  .

Найдите:

a)    ;

b)   ;

c)    ;

d)   .

2.     Представьте в тригонометрической форме комплексные числа Z₁ = 3 - i и 

z₂ = 1 + i . Найдите: z₁ * z₂, ^Z1 .

Z₂

Вариант 5

 

1.     Даны числа  ,  .

Найдите:

a)    ;

b)   ;

c)    ;

d)   .

2.     Представьте в тригонометрической форме комплексные числа Z₁ = 3 + i и 

z₂ = -1 + i . Найдите: z₁ * z₂, ^Z1 .

Z₂

Вариант 6

 

1.     Даны числа  ,  .

Найдите:

e)    ;

f)     ;

g)   ;

h)   .

2.     Представьте в тригонометрической форме комплексные числа Z₁ = -1 + 3 i

и  z₂ = 1 - i . Найдите: z₁ * z₂, ^Z1 .

Z₂

 

Тема: Вычисление пределов функции.

 

Вариант 1

 

Вычислить предел функции:

1.    ;

2.    ;

3.    ;

4.     

5.    ;

6.    .

 

Вариант 2

 

Вычислить предел функции:

 

1.    ;

2.    ;

3.    ;

4.    ;

5.    ;

6.    .

 

Вариант 3

 

Вычислить предел функции:

1.    ;

2.    ;

3.    ;

4.    ;

5.    ;

6.     

 

Вариант 4

 

Вычислить предел функции:

1.    ;

2.    ;

3.    ;

4.    ;

5.    ;

6.    .

 

Вариант 5

 

Вычислить предел функции:

1.     ;

2.     ;

3.     ;

4.     ; 5.;

6..

Вариант 6

 

Вычислить предел функции:

1.     ;

2.     ;

3.     ;

4.     ; 5.;

6.

 

 

Тема: Производная и ее приложения.

 

Вариант 1

 

1.     Найти производную функции у=х² + 2^х + е^х - 3сos x + 2lnx  + arccosx.

2.     Найти производную сложной функции у = 5cos e ^-3x.

3.     Найти ускорение тела, движущегося по закону S = 2t³ + t² - 55, при t = 1.

4.     Материальная точка движется по закону . Найти

скорость и ускорение в момент времени  t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах).  

 

Вариант 2

 

1.     Найти производную функции  у = х⁵ + 5^х  + е^х + lnx + arctgx.

2.     Найти производную сложной функции у = сos³ (1 – x²).

3.     Найти ускорение тела, движущегося по закону S = t³ – t² + 6при t = 4.

4.     Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени  t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах).  

 

Вариант 3

 

1.     Найти производную функции  у = х³ + 7^х + е^х +  2 lnx + 2 arccosx.

2.     Найти производную сложной функции у = sin(1 – х⁵).

3.     Найти ускорение тела, движущегося по закону S = 3t³ – 2t² + 6, при t = 3.

4.     Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени  t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах).  

 

 

Вариант 4

 

1.     Найти производную функции  у = 4 + х⁴ + 5^х + е^х -3tgx + 8 lnx + arccosx.

2.     Найти производную сложной функции у = 56 sin 1х² .

3.     Найти ускорение тела, движущегося по закону S = 4t  -  8t² + 7t³, при t = 2 .

4.     Материальная точка движется по закону . Найти скорость и

ускорение в момент времени  t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах).  

 

 

Вариант 5

 

1.     Найти производную функции  у = 3^х - 4е^х – х⁹ +  3sinx + arcsinx.

2.     Найти производную сложной функции у = ln (x +56).

3.     Найти ускорение тела, движущегося по закону S =  2t  -  4t² + 2t³, при t = 3 .

4.     Материальная точка движется по закону . Найти скорость и

ускорение в момент времени  t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах).  

 

Вариант 6

 

1.     Найти производную функции  у = х⁶ - 17^х + 6е^х +  2сos x + arcsinx.

2.     Найти производную сложной функции у = cos (1 – 2х⁵).

3.     Найти ускорение тела, движущегося по закону S = 5t ³ -  4t² + 7t, при t = 5 .

4.     Материальная точка движется по закону . Найти скорость и

ускорение в момент времени  t = 5 с. (Перемещение измеряется в метрах).  

 

             

Тема 6:  Неопределенный интеграл

 

Вариант 1

 

     Найти неопределенные интегралы

1..

2.

3.

4.

5.

 

Вариант 2

       

     Найти неопределенные интегралы

1..

2.

3.

4..

5.

 

Вариант 3

       

     Найти неопределенные интегралы

1..

2.

3.

4.

5.

 

Вариант 4

       

     Найти неопределенные интегралы

1..

2.

3.

4.

5.

Вариант 5

       

     Найти неопределенные интегралы 1.

2.

3.

4..

5.

 

Вариант 6

       

     Найти неопределенные интегралы

1..

2.

3.

4.

5.

 

 

 

Тема 7: Определенный интеграл.

 

Вариант 1

 

1.     Вычислить определенный интеграл .

2.     Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

3.     Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:   

4.     Скорость движения точки изменяется по закону м/с.

Найти S путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

 

Вариант 2

 

1.     Вычислить определенный интеграл .

2.     Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

3.     Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:   

4.     Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти S путь, пройденный точкой за четвертую секунду.

 

Вариант 3

 

1.     Вычислить определенный интеграл .

2.     Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

3.     Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:   

4.     Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти S путь, пройденный точкой за пять секунд.

 

Вариант 4

 

1.     Вычислить определенный интеграл .

2.     Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

3.     Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:   

4.     Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти S путь, пройденный точкой за пять секунд.

 

Вариант 5

 

1.     Вычислить определенный интеграл .

2.     Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

3.     Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:   

4.     Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти S путь, пройденный точкой за пять секунд.

 

Вариант 6

 

1.     Вычислить определенный интеграл .

2.     Вычислить определенный интеграл методом подстановки .

3.     Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями:   

4.     Скорость движения точки изменяется по закону м/с. Найти S путь, пройденный точкой за десять секунд.

 

 

Тема 8: Решение дифференциальных уравнений.

 

Вариант 1

 

1.     Найдите общее решение уравнений:

a)    ;

b)   .

2.     Найдите частные решения уравнений:

a)    , если  при .

b)   , если  при .

 

Вариант 2

 

1.     Найдите общее решение уравнений:

a)    ;

b)   .

2.     Найдите частные решения уравнений:

a)    , если  при .

b)   , если  при .

Вариант 3

 

1.     Найдите общее решение уравнений:

;

.

2.     Найдите частные решения уравнений:

, если  при .

, если  при .

 

Вариант 4

 

1.     Найдите общее решение уравнений:

;

.

2.     Найдите частные решения уравнений:

, если  при .

, если  при .

 

Вариант 5

 

1.     Найдите общее решение уравнений:

;

.

2.     Найдите частные решения уравнений:

, если  при .

, если  при .

 

Вариант 6

 

1.     Найдите общее решение уравнений:

;

.

2.     Найдите частные решения уравнений:

, если  при . , если  при .

 

Тема 9: Ряды.

 

Вариант 1

 

1.     Найдите первые четыре ряда по заданному общему члену    

2.     Вычислите сумму членов ряда .

3.     Используя признак сравнения, исследуйте сходимость ряда

.

4.     Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда .

5.     Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда .

6.     Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд  

 

 

Вариант 2

 

1.     Найдите первые четыре ряда по заданному общему члену    

2.     Вычислите сумму членов ряда .

3.     Используя признак сравнения, исследуйте сходимость ряда

.

4.     Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда .

5.     Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда .

6.     Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд

.

 

 

Тема 10: Основы теории вероятностей

 

Вариант 1

 

1. Из букв составлено слово «ТОК». Это слово рассыпали и произвольно собрали заново. Найти вероятность того, что снова получится слово «ТОК». 2. В магазин поступили телевизоры, 60% которых поставило первое предприятие, 25% - второе и 15% - третье. Найти вероятность того, что купленный телевизор изготовлен на первом или третьем предприятии.

3. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных жетона, в другой – 3 белых и  4 черных. Из каждой урны вынули по жетону. Найти вероятность того, что оба жетона окажутся белыми.   

 

Вариант 2

 

1.   Из 800 поступивших в продажу аккумуляторных батарей в среднем 780 батарей уже заряжены. Какова вероятность, что взятая наугад батарея будет не заряжена?

2.   В ящике находятся пуговицы различных цветов: белых – 30%; красных – 30%; зеленых – 20%; синих – 20%. Какова вероятность того, что взятая наугад пуговица окажется красного или синего цвета.

3.   Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность  выхода второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что оба элемента выйдут из строя.  

 

Вариант 3

 

1.   В каждой партии из 300 лампочек в среднем 15 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправна.

2.   Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20 руб., на 10 – по 15 руб., на 15 – по 10 руб., на 25 – по 2 руб. и на остальные – ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет получен выигрыш не меньше 10 руб.

3.   Электрическая схема состоит из трех параллельно соединенных блоков.

Вероятность безотказной работы каждого блока составляют 0,3;  0,7;  0,85.

Считая выходы из строя различных блоков независимыми событиями, найти надежность всей схемы в целом.

 

Вариант 4

1.   В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

 

2.   Электронный прибор состоит из двух последовательно включенных блоков. Вероятность выхода из строя за 1 месяц работы первого блока равна  ,   второго   , а обоих -. Найдите вероятность безаварийной работы прибора в течение месяца.

3.   Инкассатор обслуживает два банкомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый банкомат не потребует внимания инкассатора, равна 0,8, а для второго банкомата эта вероятность равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один из банкоматов не потребует внимание инкассатора. 

 

Вариант 5

 

1.   В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос  подтекает.

2.   При записи фамилий клиентов банка, общее число которых 420,  оказалось, что начальной буквой фамилий у 10 из них была «А», у 6 – «Е», у 9 – «И», у 12 – «О», у 5 – «У», у 3 – «Ю», у всех остальных фамилия начинается с согласной. Определить вероятность того, что фамилия начинается с гласной.

3.   Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность  выхода второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что оба элемента будут работать.

 

Вариант 6

 

1.   В каждой  партии из 23 деталей находятся 5 бракованных. Найдите    вероятность того, что наугад взятая деталь  из партии будет исправна.

2.   Инкассатор обслуживает три банкомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течении дня банкомат не потребует внимание инкассатора, равна 12%, а для второго банкомата эта вероятность равна 9%, а для третьего – 30%. Найдите вероятность того, что по крайне мере один из банкоматов потребует внимание инкассатора.

3.   Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 32%; вероятность  выхода второго элемента равна 15%. Найти вероятность того, что оба элемента выйдут из строя.

 

Тема  11: Основы математической статистики

 

Вариант 1

 

1.   Случайная величина  Х задана  законом распределения: 

 

Х	-3	5	6
Р	0,2	0,4	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник и функцию распределения.

2.   M(X) = 2,3; D(X) = 5,6. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 5x - 2.

 

Вариант 2

 

1. Случайная величина  Х задана  законом распределения: 

Х	-5	3	5
Р	0,1	0,4	0,5

Найти    математическое   ожидание,   дисперсию и        среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник и функцию распределения. 2. M(X) = 5,3; D(X) = 2,6. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 5x + 2.

 

Вариант 3

 

1. Случайная величина  Х задана  законом распределения: 

Х	2	3	5
Р	0,1	0,6	0,3

Найти    математическое   ожидание,   дисперсию и        среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник и функцию распределения. 2. M(X) = 6,1; D(X) = 2,1. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 10x + 24.

 

 

Вариант 4

 

1.   Случайная величина  Х задана  законом распределения: 

Х	3	5	2
Р	0,1	0,4	0,5

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник и функцию распределения.

2.   M(X) = 7,1; D(X) = 2. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 8x + 2.

 

Вариант 5

 

1. Случайная величина  Х задана  законом распределения: 

Х	-3	1	3
Р	0,1	0,4	0,5

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник и функцию распределения. 2. M(X) = 4,2; D(X) = 2,6. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 3x - 5.

 

Вариант 6

 

1. Случайная величина  Х задана  законом распределения: 

Х	-1	2	4
Р	0,3	0,3	0,4

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Построить многоугольник и функцию распределения. 2. M(X) = 2,1; D(X) = 2,1. Вычислить M(Y) и D(Y), если Y = 7x + 7.