Материалы для проведения школьного этапа олимпиады по математике

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС

1. В таблице 3 × 3 записаны числа, как показано на рисунке. За ход разрешается выбрать три клетки в форме трёхклеточного уголка и уменьшить число в каждой из них на 1. Покажите, как такими операциями сделать таблицу, в которой во всех клетках стоят нули.

2. Найдите четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

3.  Корни α и β уравнения х²−2рх−7р²=0 таковы, что 𝛼²+𝛽²=18. Найдите р.

4. В треугольнике ABC   AC = 18 см, BC  = 21 см. Точка K является серединой стороны BC, а точка   M серединой стороны AB, точка  N  лежит на стороне AC  и AN = 6 см. При этом MN = KN. Найдите длину стороны  AB.

5. В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду,

либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и

спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец.

Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько

правдивых ответов мог получить директор?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС

1.  Определите, является ли число рациональным.

2. Решите систему уравнений

3. Дедушка с внуком пошли вместе кататься на лыжах. Отец знает, что по ровному месту оба едут со скоростью 7 км/час; под гору: дедушка – 8 км/час, внук – 20 км/час; в гору: дедушка – 6 км/час, внук – 4 км/час. Оба проехали по одному и тому же маршруту. Может ли отец определить, что больше – протяженность спусков или подъемов на их пути, если первым вернулся дедушка?

4. Диагональ AC₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. Докажите, что этот параллелепипед является кубом.

5. В турнире по шашкам участвовали ученики 10 и 11 классов. Каждый сыграл с каждым один раз. За победу участник получал 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Одиннадцатиклассников было в 10 раз больше, чем десятиклассников, и они вместе набрали в 4,5 раза больше очков, нежели все десятиклассники. Сколько очков набрал самый успешный десятиклассник?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС

1. Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и

все семь цифр были различными: *** – ** = 23.

2. Петя в три раза старше Ани, а Аня на 8 лет младше Пети.

Определите, сколько лет каждому. Ответ обоснуйте.

3. На картинке мы видим четырёх детей: Колю, Васю, Сеню и Яна. Известно,

что мы видим Сеню правее Коли, а Коля дал Васе левую руку. Найдите, как

кого зовут, и объясните, почему Вы так считаете.

4. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 500 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватает 700 рублей. Сколько денег было у школьника?

5. Как разрезать прямоугольник, длина которого  16 см, а ширина 9 см на две равные части, из которых можно составить квадрат?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС

1.  Найдите сумму: 1+2+3+…+ 111.

2. Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня – 50 кг, Маня и Ваня – 90 кг, Ваня и Даня – 100 кг, Даня и Аня – 60 кг. Сколько весит Аня?

3. C понедельника по среду гном ест на завтрак манную кашу,

с четверга по субботу — рисовую кашу, а в воскресенье делает себе яичницу.

По чётным числам месяца гном говорит правду, а по нечётным — неправду.

В какие из первых десяти дней августа 2016 года он мог сказать: «Завтра я буду есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ваш ответ.

4. Кот Матроскин продает молоко через магазин и хочет получить за литр 15 рублей. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

5. Ширина прямоугольного параллелепипеда больше единицы, длина больше высоты, а высота больше ширины. При этом длина ширина и высота – натуральные числа, а объём нескольких таких параллелепипедов равен 315. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС

1. Какие две цифры надо поставить вместо *, чтобы пятизначное число 510** делилось на 6, 7, 9?

2. Требуется разрезать фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки,

нарисованные справа от неё. При этом должно получиться ровно два

трёхклеточных уголка, а остальные — четырёхклеточные. Покажите, как это

сделать.

3. Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось проехать 3 км до середины пути. Мотоциклист же через 20 минут после начала движения уже отъехал на 2 км от середины пути. Через какое время после начала движения произошла их встреча?

4.  Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь.  Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов.  Сколько было гномов и сколько пони?

5. На доске написано число 49. За один ход разрешается либо удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 50?

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС

1. Найдите значение выражения  a³+b³+12ab, если известно, что a+b=4.

2. Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем  отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелили 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

3. Припишите к числу 30310124 слева и справа одну и ту же цифру так, чтобы полученное десятизначное число делилось на 12.

4.  В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков, на которые она разделила противоположную сторону. Докажите, что она вдвое длиннее второго из этих отрезков.

5. В выражении

замените каждую из букв Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы — на одинаковые цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС

1. В равенстве 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 поставьте несколько знаков

модуля так, чтобы оно стало верным.

2. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100   101   102  .....  998   999. 
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

3. Дима начертил графики четырёх линейных функций на координатной плоскости, но забыл отметить единичные отрезки. Когда он переписывал задание в тетрадь, то отвлекся и не дописал уравнения, задающие функции под номерами 3 и 4. Найдите эти уравнения. Ответ обоснуйте.

 4. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция  - равнобедренная.

5.  При каких значениях параметра  р отношение корней уравнения

равно 9?

Критерии оценивания:

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 10 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. В таблице 3 × 3 записаны числа, как показано на рисунке. За ход разрешается выбрать три клетки в форме трёхклеточного уголка и уменьшить число в каждой из них на 1. Покажите, как такими операциями сделать таблицу, в которой во всех клетках стоят нули.

Решение. Один из способов таков.

Сначала обнуляем угловые ячейки с числами «3» вместе с их соседями. Затем

уменьшаем ячейки с числами 4, 11 и 5. Потом уменьшаем ячейки с числами 6, 7, 7. Из результата легко получается таблица с нулями.

Примечание. Заметим, что сумма чисел на большой диагонали равна 17,

а сумма остальных чисел равна 34. Поэтому если выбирать только уголки,

в которых одна клетка лежит на диагонали, а две другие нет, то при каждом

шаге сумма чисел на диагонали будет уменьшаться на 1, а сумма остальных

чисел на 2. Остаётся показать правильную последовательность выбора таких

уголков.

2. Найдите четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

 Ответ: 4567.

Решение: разность прогрессии может быть равной лишь 1,-1,2,-2.так как четной цифрой число заканчиваться не может, то начинаться оно должно с четной цифры (при разности 1 или -1) или нечетной цифры ( при разности 2 или -2). Рассматривая возможные варианты: 2345, 4567, 6789, 8765, 6543, 4321, 1357, 3579, 9753, 7531 – находим единственное простое число: 4567.

3. Корни α и β уравнения х²−2рх−7р²=0 таковы, что 𝛼²+𝛽²=18. Найдите р.

Ответ: р = 1, р = -1.

Решение: По формулам Виета α+β=2р и αβ=−7р².

, тогда получим (2р)²−2×(−7р²)=18, откуда р = 1 или р = -1.

4. В треугольнике ABC   AC = 18 см, BC  = 21 см. Точка K является серединой стороны BC, а точка   M серединой стороны AB, точка  N  лежит на стороне AC  и AN = 6 см. При этом MN = KN. Найдите длину стороны  AB.

Ответ: 15 см.

Решение: Так как M и K являются серединами сторон, то продолжим отрезки NM и NK за указанные точки на такое же расстояние и соединим точки L, B, A, N;  а также F, B, N, C.  Тогда четырехугольники ALBN, NBFC являются параллелограммами. Так как в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон, то имеем:

 (для параллелограмма NBFC) и

(для параллелограмма ALBN).

Выразим из первого равенства  и, учитывая, что MN=KN, получим: , откуда AB = 15 см.

5. В некоторой школе каждый десятиклассник либо всегда говорит правду,

либо всегда лжёт. Директор вызвал к себе нескольких десятиклассников и

спросил каждого из них про каждого из остальных, правдивец тот или лжец.

Всего было получено 44 ответа «правдивец» и 28 ответов «лжец». Сколько

правдивых ответов мог получить директор?

Ответ. 16 или 56.

Решение. Если вызвано n десятиклассников, то дано n(n – 1) = 44 + 28 = 72

ответа, откуда n = 9. Пусть из этих 9 школьников t правдивцев и (9 – t) лжецов.

Ответ «лжец» может дать только лжец про правдивца и правдивец про лжеца,

таких фраз было 2t(9 – t) = 28, откуда t = 2 или t = 7. Если правдивцев двое, то

они дали 2 × 8 = 16 правдивых ответов. Если правдивцев семеро, то они дали

7 × 8 = 56 правдивых ответов.

Комментарий. Обратите внимание на то, что из условия следует, что правдивыми являются половина из ответов «лжец». Но сразу не ясно, какова доля правдивых ответов «правдивец».

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 11 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. Определите, является ли число рациональным.

Ответ: является рациональным.

Решение: 

2. Решите систему уравнений

Ответ:

Решение:

3. Дедушка с внуком пошли вместе кататься на лыжах. Отец знает, что по ровному месту оба едут со скоростью 7 км/час; под гору: дедушка – 8 км/час, внук – 20 км/час; в гору: дедушка – 6 км/час, внук – 4 км/час. Оба проехали по одному и тому же маршруту. Может ли отец определить, что больше – протяженность спусков или подъемов на их пути, если первым вернулся дедушка?

Ответ: не может.

Решение. Обозначим протяженность подъемов через , а протяженность спусков – через . Ровное место можно не учитывать, так как на нем скорости деда и внука одинаковы. Тогда время деда равно , а время внука равно . Если первым вернулся дедушка, то . Преобразуя, получаем . При этом может быть что угодно: и  (например, ), и  (например, ), и  (например, ). Поэтому отец не может наверняка определить протяженность чего больше – спусков или подъемов.

4. Диагональ AC₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. Докажите, что этот параллелепипед является кубом.

Решение. Положим AB = a, AD = b и AA₁ = c. Введем систему координат как указано на рисунке. Тогда  {a, b, c} и уравнение плоскости A₁BD имеет вид . Вектор  {} перпендикулярен  плоскости A₁BD и по условию коллинеарен вектору . Откуда с учетом пропорциональности координат векторов  получаем  то есть a² = b² = c² и a = b = c.

5. В турнире по шашкам участвовали ученики 10 и 11 классов. Каждый сыграл с каждым один раз. За победу участник получал 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Одиннадцатиклассников было в 10 раз больше, чем десятиклассников, и они вместе набрали в 4,5 раза больше очков, нежели все десятиклассники. Сколько очков набрал самый успешный десятиклассник?

Ответ. 20.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 5 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и

все семь цифр были различными: *** – ** = 23.

Возможные ответы.

107 – 84 = 23

109 – 86 = 23

Дополнительных объяснений не требуется.

2. Петя в три раза старше Ани, а Аня на 8 лет младше Пети.

Определите, сколько лет каждому. Ответ обоснуйте.

Ответ. Пете 12 лет, Ане 4 года.

Решение. Возраст Пети в три раза больше возраста Ани. Это значит, что разница возрастов Пети и Ани составляет два возраста Ани, а по условию эта разница равна восьми годам. Значит, возраст Ани в два раза меньше: 8 : 2 = 4 года. Петя в три раза старше, то есть ему 4 × 3 = 12 лет.

Возможно также решение с помощью уравнения.

3. На картинке мы видим четырёх детей: Колю, Васю, Сеню и Яна. Известно,

что мы видим Сеню правее Коли, а Коля дал Васе левую руку. Найдите, как

кого зовут, и объясните, почему Вы так считаете.

Ответ.

Решение.

Коля не может быть на картинке самым правым, так как мы видим Сеню правее его. Но Коля не может быть и самым левым, так как самый левый мальчик никого не держит левой рукой. Если Коля второй справа, то он дал левую руку Сене, что противоречит условию. Значит, Коля на картинке второй слева, его держит за левую руку Вася, а ещё правее на картинке мы видим Сеню. Отсюда получается, что Ян крайний слева.

4. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 500 рублей. А на 15 тетрадей у него не хватает 700 рублей. Сколько денег было у школьника?

Ответ. 3800 рублей.

Так как после покупки 11 тетрадей у ученика остается  500 рублей, а для покупки 15 тетрадей у него не хватает 700 рублей, то 4 тетради стоят 500 +

+ 700 = 1200 (рублей). Тогда одна тетрадь стоит 300 рублей. Следовательно, у школьника было 11 ∙ 300 + 500 = 3800 рублей.

5. Как разрезать прямоугольник, длина которого  16 см, а ширина 9 см на две равные части, из которых можно составить квадрат?

На рисунке показан вариант разрезания указанного прямоугольника на две части, из которых можно составить квадрат.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 6 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. Найдите сумму: 1+2+3+…+ 111.

Ответ. 6216.

Решение:

 1 + 111 = 2 + 110 = 3 + 109 = … = 112;

110 : 2 = 55;

56 + 112*55 = 6216.

2. Аня и Таня вместе весят 40 кг, Таня и Маня – 50 кг, Маня и Ваня – 90 кг, Ваня и Даня – 100 кг, Даня и Аня – 60 кг. Сколько весит Аня?

Ответ. 20 кг.

Решение:

1) ( 40 + 50 + 90 + 100 + 60 ) : 2 = 170 (кг) – масса всех детей;

2) 50 + 100 = 150 (кг) – масса Тани, Мани, Вани, Дани;

3) 170 – 150 = 20 (кг).

3. C понедельника по среду гном ест на завтрак манную кашу,

с четверга по субботу — рисовую кашу, а в воскресенье делает себе яичницу.

По чётным числам месяца гном говорит правду, а по нечётным — неправду.

В какие из первых десяти дней августа 2016 года он мог сказать: «Завтра я буду есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ваш ответ.

Ответ. Во вторник 2 августа, в среду 3 августа, в пятницу 5 августа,

в понедельник 8 августа.

Решение. Если сегодня воскресенье, понедельник или вторник, то завтра гном   ест манную кашу и фраза оказывается правдивой. Значит, в эти дни гном мог сказать указанную фразу только тогда, когда такой день приходится на чётное число. Таких дней два: вторник 2 августа и понедельник 8 августа. В остальные дни недели (со среды по субботу) фраза становится неверна, и гном мог её сказать, только если число было нечётным: в среду 3 августа и в пятницу 5 августа.

Возможно полное переборное решение, когда про каждый из 10 дней указано, мог ли гном в этот день сказать указанную фразу, и объяснено, почему мог или не мог.

4. Кот Матроскин продает молоко через магазин и хочет получить за литр 15 рублей. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

Ответ. Молоко будет продаваться в магазине по 18 рублей 75 копеек.

Решение:

Пусть цена молока, продаваемого в магазине, равна х рублей. Так как магазин удерживает 20%, то есть 0,2 х, то Матроскин получит 0,8 х. А так как он хочет получить 15 рублей с литра, то 0,8х = 15 и х = 18,75.

5. Ширина прямоугольного параллелепипеда больше единицы, длина больше высоты, а высота больше ширины. При этом длина ширина и высота – натуральные числа, а объём нескольких таких параллелепипедов равен 315. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

Ответ. 142.

Решение:

Обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда соответственно через х, у , h. Объём n параллелепипедов равен n ∙ х ∙ у ∙ h и равен 315= 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7. При этом у > 1, x > h, h > y. Число 315 – произведение четырех простых множителей, значит n, х, у, h могут быть только этими множителями. Так как y < h < x, а всего различных множителей три, то y = 3, h = 5, x = 7. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами х, у, h, равна 2ху + 2хh + 2уh. В итоге получаем 42 + 70 + 30 = 142.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 7 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. Какие две цифры надо поставить вместо *, чтобы пятизначное число 510** делилось на 6, 7, 9?

Ответ:3 и 0.

Решение:

Если число делится на 6, 7, 9, то оно делится и на наименьшее общее кратное чисел 6, 7, 9, то есть 126. Если разделим 51000 на 126 с остатком, то получим в частном 404 и остаток 96. Чтобы число 510** делилось без остатка, оно должно быть больше 51000 на 126 – 96 = 30, то есть должно быть числом 51030. Если же прибавим еще 126, получим число большее, чем 510**. Таким образом, надо поставить цифры 3 и 0.

2. Требуется разрезать фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки,

нарисованные справа от неё. При этом должно получиться ровно два

трёхклеточных уголка, а остальные — четырёхклеточные. Покажите, как это

сделать.

3. Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу велосипедист и мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось проехать 3 км до середины пути. Мотоциклист же через 20 минут после начала движения уже отъехал на 2 км от середины пути. Через какое время после начала движения произошла их встреча?

Ответ. Встреча произойдет через 24 мин.

Решение: Пусть скорости велосипедиста и мотоциклиста x км/ч и y км/ч соответственно. Так как за полчаса велосипедист проехал менее половины пути на 3 км, а мотоциклист за ⅓ часа проехал более  половины пути на 2 км, то получим уравнение:

.

Выразим из данного уравнения

.

Пусть время движения до встречи t ч. Тогда расстояние между пунктами А и В равно

.

Найдем расстояние АВ иначе: так как 0,5х + 3 составляет половину АВ, то АВ равно х + 6 (км). Из уравнения

находим искомое время:

4. Несколько гномов, навьючив свою поклажу на пони, отправились в дальний путь.  Их заметили тролли, которые насчитали в караване 36 ног и 15 голов.  Сколько было гномов и сколько пони?

Ответ: было 3 пони и 12 гномов.

Решение:

 Можно решать эту задачу перебором. (Пусть гномов 15, тогда ног получалось 30 – не подходит. Пусть гномов 14, тогда...) Можно составить уравнение…

Более красивый способ рассуждения такой: если бы все были гномами, то ног бы было 30, т.е. у нас есть 6 «лишних» ног. Замена гнома на пони добавляет две ноги. Значит, было 3 пони и 12 гномов.

5. На доске написано число 49. За один ход разрешается либо

удваивать число, либо стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить число 50?

Ответ. Можно.

Решение. Число 50 можно получить, удвоив 25, а 25 можно получить, стерев

последнюю цифру числа 256, которое является степенью двойки. Таким

образом, необходимая цепочка преобразований может выглядеть так:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Существуют и другие решения.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 8 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. Найдите значение выражения  a³+b³+12ab, если известно, что a+b=4.

Ответ: 64

Решение:

a³+b³+12ab=(a+b)(a²-ab+b²)+12ab=4(a²-ab+b²)+12ab=4a²+4b²+8ab=4(a+b)²==64

2. Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек. В дальнейшем  отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку, а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку. Сын выстрелили 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

Ответ: 50

Решение: каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним (одну использовал и одну получал от отца). Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2 (одну использовал и одну отбирал отец). Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10 : 2 = 5 раз, стало быть, попал  55 - 5 = 50 раз.

3.  Припишите к числу 30310124 слева и справа одну и ту же цифру так, чтобы полученное десятизначное число делилось на 12.

Решение. Для того, чтобы число делилось на 12, надо, чтобы оно делилось на 4 и на 3. Число делится на 4, если на 4 делится число, записанное двумя последними цифрами исходного числа. Среди чисел вида 4* только три числа делятся на 4: 40, 44, 48. Первое из них не подходит, так как в этом случае в старшем разряде будет 0. Таким образом, получим два числа 4303101244 и 8303101248. Проверим их делимость на 3: 4 + 3 + 0 + 3 + 1 + 0 + 1 + 2 + 4 + 4 = 22 не делится на 3,

8 + 3 + 0 + 3 + 1 + 0 + 1 + 2 + 4 + 8 = 30⋮3.

Ответ. 8303101248.

4.  В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков, на которые она разделила противоположную сторону. Докажите, что она вдвое длиннее второго из этих отрезков.

Доказательство. Биссектриса образует равнобедренный треугольник (первый отрезок, гипотенуза и биссектриса), значит, три угла в сумме составляют 90°, то есть 3х=90°, х = 30°. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет (второй отрезок), равный половине гипотенузы(биссектрисы). Итак, биссектриса вдвое длиннее второго из этих отрезков.

5. В выражении  замените каждую из букв Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы — на одинаковые цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДАШКОЛЬНИКОВ

ПО МАТЕМАТИКЕ. 2017–2018 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 9 КЛАСС

ОТВЕТЫ

1. В равенстве 1 – 2 – 4 – 8 – 16 = 19 поставьте несколько знаков

модуля так, чтобы оно стало верным.

Существуют и другие примеры.

Комментарий. Достаточно привести один пример. Пояснять, как он получен,

не требуется.

2. Все трехзначные числа записаны в ряд: 100   101   102  .....  998   999. 
Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Ответ: 19 раз

Решение: Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда.
Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа.
Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20. Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920.
Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20.
Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209.
Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз. 

3. Дима начертил графики четырёх линейных функций на координатной плоскости, но забыл отметить единичные отрезки. Когда он переписывал задание в тетрадь, то отвлекся и не дописал уравнения, задающие функции под номерами 3 и 4. Найдите эти уравнения. Ответ обоснуйте.

Ответ. 3) y = –3x + 12; 4) y = – x – 12.

Решение. Из четырёх прямых только прямая а имеет положительный угловой коэффициент, следовательно, она задаётся уравнением 2 и пересекает оси координат в точках (0; 12) и (–12; 0).

Так как уравнение 1 Дима записал полностью, его графиком является прямая,

проходящая через начало координат, то есть прямая с.

У прямой b модуль углового коэффициента больше, чем у прямой с, значит,

начало уравнения прямой b Дима записал под номером 3. Так как эта прямая

проходит через точку (0;12), она задаётся уравнением y = –3x + 12.

Прямая  d проходит через точку (–12;0) и через точку (12; –24) – точку

пересечения прямых b и с, координаты  которой легко находятся как решение

системы линейных уравнений: y = –3x + 12 и y = –2x.

Найдём уравнение прямой d. Для этого рассмотрим систему двух уравнений:

0 = –12k4 + b4; –24 = 12k4 + b4. Сложив эти уравнения, получим b4 = –12.

Подставив в первое уравнение, получим k4 = –1.

4. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция  - равнобедренная.

Решение:

5.  При каких значениях параметра  р отношение корней уравнения

равно 9?

Ответ:

Краткое описание документа:

Материалы для проведения школьного этапа ВОШ по математике в 5- 11 классах. Материалы содержат задания для учащихся (5 задач), решения к ним, критерии оценивания выполненных работ. Материалы могут быть использованы как для проведения олимпиады в 5-11 классах, так и для подготовки к олимпиаде, для занятий кружка или факультатива по математике, для дополнительный занятий с учащимися.