«Метод замены переменной в решении уравнений»

Метод замены переменной в решении уравнений

1.Замена переменной и сведение к квадратному уравнению

Умение решать уравнения является одним из основных критериев уровня математической подготовки. Наиболее распространённым методом решения уравнений является метод введения новой переменной, относительно которой уравнение принимает более простой вид. Этот метод не требует специальной подготовки и основан на применении знаний и фактов программного материала. Сделать замену переменной иногда удобно сразу, а иногда её можно выявить в результате каких-то преобразований.  

            Замена переменной и сведение к квадратному уравнению - это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях: степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

      Метод сведения к квадратному состоит в том, что, пользуясь изученными формулами, надо преобразовать уравнение к такому виду, чтобы какую-то функцию (например, sinx или cosx) или комбинацию функций обозначить через y, получив при этом квадратное уравнение относительно y.

Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:

1. Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.

2. Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

 Степенная замена

Допустим, у нас есть выражение: 4х⁴  + 11х² -45 = 0

Это биквадратное уравнение.

Данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.

Введем новую переменную: х² = t

Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной  x не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – t.

Метод замены используют не только при решении биквадратных уравнений.

Рассмотрим подробно на примерах метод замены переменных для решения рациональных уравнений.

Пример 1.

Решить уравнение (2x² – 3x + 1)² = 22x² – 33x + 1.

Решение.

Перепишем уравнение в виде

(2x² – 3x + 1)² = 11(2x² – 3x) + 1. Сделаем замену. Пусть 2x² – 3x = t, тогда уравнение примет вид:

(t + 1)² = 11t + 1.

Теперь раскроем скобки и приведем подобные, получим:

t² + 2t + 1 = 11t + 1;

t² – 9t = 0.

В получившемся неполном квадратном уравнении вынесем общий множитель за скобки, будем иметь:

t(t – 9) = 0;

t = 0 или t = 9.

Теперь необходимо сделать обратную замену и решить каждое из полученных уравнений:

2x² – 3x = 0       или        2x² – 3x = 9

x(2x – 3) = 0                    2x² – 3x – 9 = 0 

x = 0 или x = 3/2              x = 3 или x = -3/2

Ответ: -1,5; 0; 1,5; 3.

Пример 2.

Решить уравнение (x² – 6x)² – 2(x – 3)² = 81.

Решение.

Применим формулу квадрата разности (a – b)² = a² – 2ab + b². Запишем исходное уравнение в виде

(x² – 6x)² – 2(x² – 6x + 9) = 81. Теперь можно сделать замену.

Пусть x² – 6x = t, тогда уравнение будет иметь вид:

t² – 2(t + 9) = 81.

Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые:

t² – 2t – 18 – 81 = 0;

t² – 2t – 99 = 0.

Корнями полученного уравнения будут числа -9 и 11.

Сделаем обратную замену:

x² – 6x = -9        или      x² – 6x = 11

x² – 6x + 9 = 0               x² – 6x – 11 = 0

(x – 3)² = 0                     D = 80 

x = 3                              x₁ = 3 + 2√5; x₂ = 3 – 2√5.

Ответ: 3 – 2√5; 3; 3 + 2√5.

Пример 3.

Решить уравнение (x²–1)(x²+1)–4(x²–11)=0.

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения и решим полученное биквадратное уравнение:

x⁴–1–4x²+44=0;
x⁴–4x²+43=0.

Введем замену x²=t (t>0);

t²–4t+43=0.

D= (-4)2-4·43=16-172=-156

Дискриминант этого уравнения отрицательный, т. е. корней нет.

Ответ: Корней нет.

2. Решение методом замены переменой  заданий №13

 (математика, профильный уровень)

Основная трудность решения задач методом подстановки заключается в том, что иногда трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений, где подстановку можно использовать.

Метод замены переменной, требует хорошего навыка и опыта работы с уравнениями. После решения большого количества уравнений общий вид этих уравнений хорошо запоминается и придумать замену, приводящую к уже известным уравнениям, становится гораздо проще. Стоит также проверять все корни, полученные при замене уравнений и только после этого возвращаться к исходной переменной.

Итак,  наш новый  алгоритм решения уравнений методом замены переменной:

Ø     Ввести новую переменную g(x)=t.

Ø     Решить полученное уравнение с новой переменной. При этом:

·         если уравнение не имеет корней, то сделать вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,

·         если уравнение имеет корни, то перейти к следующим шагам алгоритма.

Ø     Возвратиться к старой переменной.

Ø     И решить составленное на предыдущем шаге уравнение или совокупность.

2.1. Иррациональные уравнения

Решим методом замены переменной иррациональное уравнение

Решение

Сразу видно, что можно ввести новую переменную . Это упростит вид исходного уравнения, ведь корня под корнем не будет, и сделает более понятной структуру уравнения. Понятно, что переменную можно ввести и иначе, например, . При этом второе подкоренное выражение  выражается через новую переменную t как t−1. Или можно принять , откуда  заменится на t+1. Можно придумать и другие варианты замен, но остановимся на первом.

Итак, проведем решение иррационального уравнения методом введения новой переменной, приняв . Расположим перед глазами алгоритм выбранного метода:

Вводим новую переменную . Уравнение приобретает вид . Так от исходного довольно сложного с виду иррационального уравнения мы перешли опять же к иррациональному уравнению, но более простому.

Теперь нам нужно решить уравнение с новой переменной. Это уравнение, как мы уже сказали, иррациональное, в его записи два корня, причем радикал уже уединен. Для решения такого иррационального уравнения подходит метод возведения обеих частей уравнения в квадрат:

2.2. Показательные уравнения

Рассмотрим решение показательных урвнений методом замены переменной:

Пример1

Решение:

 Преобразуем исходное уравнение: 

Пусть  тогда уравнение запишется в виде  откуда  или 

При  получим:  откуда 

При  получим:  откуда 

Ответ:  

Пример 2

Решение:

 Преобразуем уравнение:

У второго уравнения решений нет.

Преобразуем первое уравнение:  откуда 

Ответ:   

Пример 3

Решение:

 Разложим левую часть на множители:

Ответ: 

Примечание.

Можно было ввести замену  получить уравнение и решить его разложением на множители:

Возвращаясь к исходной переменной получаем решение.

Пример 4

Решение:

Преобразуем исходное уравнение:

Пусть  тогда уравнение запишется в виде  откуда  или 

При  получим:  откуда 

При  получи:  откуда 

Ответ:   

 

 

2.3. Тригонометрические уравнения

 

Рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений методом замены переменной.

Пример 1

 

Решение:

 Сделаем замену , получим квадратное уравнение  корнями которого являются числа  и  Уравнение  не имеет решений, а из уравнения  находим корни  или 

Ответ:  

Пример 2

а) Решите уравнение

 

Решение:

 Пусть  тогда  откуда  или 

Имеем два уравнения:

Ответ:  

 

2.5. Дробно – рациональные уравнения

Рассмотрим решение дробно – рациональных уравнений с помощью метода замены переменной.

Пример 1

 .

Решение:

аСделаем замену  тогда . Имеем:

Вернемся к исходной переменной. Если , то

Если , то

Ответ:  

Пример 2

 .

Решение:

Пусть  тогда  Имеем:

Вернемся к исходной переменной. Если , то

Если , то

Ответ:   

 

 

 

 

 

2.5. Логарифмические уравнения

 

Замена переменной в логарифмических уравнениях в ряде случаев позволяет упростить решение. Самый распространённый пример введения вспомогательной переменной — логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным

Замена переменной в уравнении, содержащем логарифмы в знаменателе, даёт возможность  от логарифмического уравнения перейти к дробному- рациональному.

Пример 1.

  

ОДЗ:

  

Пусть lgx=t, t≠5, t≠-1. Тогда имеем дробное рациональное уравнение

  

  

  

  

  

  

Возвращаемся к исходной переменной

  

и решаем простейшие логарифмические уравнения:

  

  

Ответ: 100; 1000.

Пример 2

  

ОДЗ:

  

(достаточно довести нахождение ОДЗ до этого момента).

После вынесения показателя степени за знак логарифма

  

удобно ввести новую переменную: пусть lgx=t, t>2/3. Имеем:

  

Сумма логарифмов равна логарифму произведения

  

Отсюда, по определению логарифма,

  

  

  

  

  

Второй корень не удовлетворяет условию t>2/3.

Выполняем обратную замену:

  

  

Ответ: 10.