Методы решения текстовых задач.

Имеются разнообразные методы решения текстовых задач:

·        арифметический,

·        алгебраический,

·        геометрический,

·        логический,

·        практический и др.

В основе каждого метода находятся разнообразные виды математических моделей. Например:

·        при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства,

·        при геометрическом методе строятся диаграммы или графики.

·        при логическом методе решение задач начинается с составления алгоритма.

Должны понимать, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускаются решения с помощью различных моделей. Например, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно различные уравнения, применяя логический метод, построив всевозможные алгоритмы. Безусловно, и в этих случаях мы также имеем дело со всяческими методами решения конкретной задачи, которые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом — следовательно, нужно найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача будет считаться решенной разнообразными спо­собами, если ее решения различаются связями между данными и искомыми, которые лежат в основе решения, или последовательностью применения этих связей.

Пример1:

В двух коробках 18 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 2 кг больше, чем в другой.

1 способ

1)18 – 2 = 16 (кг) – печенья останется в двух коробках, если из первой коробки достать 2 кг печенья.

2)16 : 2 = 8 (кг) – печенья было во второй коробке.

3)8 + 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй коробке масса печенья  8 кг.

2 способ

1)18 + 2 = 20 (кг) – печенья станет в двух коробках, если во вторую коробку добавить 2 кг печенья.

2)20 : 2 = 10 (кг) – печенья было в первой коробке.

3)10 - 2 = 8 (кг) – печенья было во второй коробке.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй коробке  масса печенья 8 кг.

Пример2:

С трех участков земли собрали 200 ц. моркови. С первого и второго участков моркови собрали поровну, а с третьего – на 20 ц. больше, чем с каждого из двух первых. Сколько моркови собрали с каждого участка.

Решение

1)200 - 20 = 180 (ц) – моркови собрали бы с трех участков, если бы урожайность всех участков была бы одинаковой.

180 : 3 =60  (ц) – моркови собрали с первого и собрали со второго участков.

60 + 20 =80 (ц) – моркови собрали с третьего участка.

Ответ: с первого и второго участков собрали по 60 ц. моркови, а с третьего участка собрали 80 ц. моркови.

Алгебраический метод. Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить всевозможными алгебраическими способами. Задача считается решенной всяческими способами, если для ее решения разобраны различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат разнообразные взаимосвязи между данными и искомыми.

Пример1:

В двух коробках 18 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 2 кг больше, чем в другой.

1способ

Пусть масса печенья во второй коробке  х кг., тогда масса печенья в первой коробке будет равна (х +2) кг, а масса печенья в двух коробках – (( х +2)+ х ) кг.

Так как мы знаем, что по условию задачи, в двух коробках было 18 кг печенья, составим и решим уравнение:

( х +2)+ х =18

х +2+ х =18

2 х +2=18

2 х =18-2

2 х =16

х =16:2

х =8-печенья было во второй коробке.

2)8+2=10 (кг) – печенья было в первой коробке.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй коробке  масса печенья 8 кг.

2 способ

Обозначим массу печенья в первой коробке буквой х кг. Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (х -2) кг, а масса печенья в двух коробках – (х +(х -2)) кг.

Мы знаем, что по условию задачи, в двух коробках было 18 кг печенья. Составим и решим уравнение:

х +(х -2)=18

х + х -2=18

2 х -2=18

2 х =18+2

2 х =20

х =20:2

х =10кг.-печенья в первой коробке.

2)10-4=6 (кг) – печенья было во второй коробке.

Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй коробке  масса печенья 8 кг.

Пример2:

С трех участков земли собрали 200 ц. моркови. С первого и второго участков моркови собрали поровну, а с третьего – на 20 ц. больше, чем с каждого из двух первых. Сколько моркови собрали с каждого участка.

Решение

Пусть с первого участка собрали х ц моркови. Тогда со второго участка собрали тоже х ц моркови, а с третьего участка собрали (х +20) ц моркови. Мы знаем, что по условию задачи со всех трех участков собрали 200ц. моркови, составим и решим уравнение:

х + х + (х +20) =200

х + х + х +20 = 200

3 х +20 = 200

3 х = 200-20

3 х = 180

х = 180:3

х = 60(ц.)-собрали моркови с первого и второго участка.

2)60+20 = 80 (ц) – моркови собрали с третьего участка.

Ответ: с первого и второго участков собрали по 60 ц моркови, а с третьего участка собрали 80 ц моркови.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом это значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить разными геометрическими способами. Задача будет считаться решенной различными способами, если для ее решения используются разнообразные построения или свойства фигур.

Логический метод. Решить задачу логическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, для этого не нужно выполнять вычисления, а необходимо только применить логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на взвешивание».

Пример1:

Три друга – Костя, Дима и Андрей – сели на скамейку в один ряд. Сколькими способами они могли это сделать?

Ответ. Друзья могли сесть 6 способами:

1) Костя, Дима, Андрей

2) Дима, Андрей, Костя;

3) Андрей, Костя, Дима;

4)Андрей, Дима, Костя;

5)Костя, Андрей, Дима;

6) Дима, Костя, Андрей.

Пример2:

Можно ли шестью двойками выразить число 30?

Ответ. Можно: 22+ 2 + 2 + 2*2= 30.

Практический метод. Для того чтобы решить задачу практическим методом значит найти ответ на требование задачи, и необходимо выполнить практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

Иногда в при решении задачи используются несколько различных методов, например, алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и так далее. В таком случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом. Методы решения могут быть разнообразными, но способ решения, который лежит в их основе, может быть  один.

Табличный метод. Этот метод разрешает видеть задачу полностью, при этом заносят все известные данные в таблицу.

Пример:

Мастер изготавливает 540 деталей за 6 дней, а его ученик изготавливает столько же деталей за 12 дней. За сколько дней изготовят 600 деталей, если будут работать вместе?

Составим таблицу:

	Время	Производительность	Объём
Мастер	6 дней	?	540деталей
Ученик	12 дней	?	540деталей
Вместе	?	?	540деталей

Решение

1)540:6=90 деталей делает мастер за 1 день

2)540:12=45 деталей делает ученик за 1 день

3)90+45=135 деталей делает мастер и ученик вместе за 1 день

4)540:135=4 дня мастер и ученик сделают 540 деталей.

Ответ: за 4 дня мастер и ученик сделают 540 деталей.

Комбинированный метод. Позволяет получить ответ на заданный вопрос в задаче более простым путем.

Метод проб и ошибок. Для того чтобы дать ответ на заданный вопрос нужно просто угадать. Для угадывания ответа нужна интуиция, без которого невозможно решение.