Методическая разработка «Характеристика контрольно-измерительного материала»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Чернухинская средняя школа»

.

«Характеристика контрольно-измерительного материала»

Работу выполнила:

Пахутина Г.М., учитель математики

Чернуха  2012.

Характеристика контрольно-измерительного материала

Задание В1

Тип задания. Задание на вычисление.

Характеристика задания. Задание, модели­рующее реальную или близкую к реальной си­туацию. Для решения задачи достаточно уметь выполнять арифметические действия, делать прикидку и оценку, знать, что процент это одна сотая часть числа

Задание В2

Тип задания. Задание на чтение графика функции.

Характеристика задания. Задание, моде­лирующее реальную или близкую к реальной ситуацию. График характеризует изменение в зависимости от времени некоторой величины (температуры, количества осадков и т.д.) Как пра­вило, в задании требуется найти наибольшее (наименьшее) значение этой величины, разность между наибольшим и наименьшим значениями (возможно, за определенный период времени).

Задание ВЗ

Тип задания. Уравнение.

Характеристика задания. Несложное пока­зательное или иррациональное уравнение.

Комментарий. Уравнение сводится в одно дей­ствие к линейному. Неправильные ответы связаны в основ­ном с арифметическими ошибками.

Задание В4

Тип задания. Задание на вычисление элемен­тов прямоугольного треугольника.

Характеристика задания. Задача на вычис­ление элементов прямоугольного треугольника, связана с определением тригонометрических функций острых углов прямоугольного треуголь­ника, в том числе по готовому чертежу.

Комментарий. Для решения задачи доста­точно знать определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треуголь­ника, основное тригонометрическое тождество и теорему Пифагора.

Задание В5

Тип задания. Задание на анализ практической ситуации.

Характеристика задания. Несложная тексто­вая задача (в одном из вариантов с табличными данными) на оптимальное решение, моделирующая реальную или близкую к реальной ситуацию.

Комментарий. Чтобы решить задачу, доста­точно вычислить стоимость поездок для семьи в от­вете указать наименьшую из них или рассчитать и выбрать наиболее дешёвый тарифный план. При решении задачи важно учесть все данные. Следует обратить внимание учащихся на необходимость аккуратной записи ответа, поскольку числа могут оказаться довольно большими, неправильная запись одной разрядной единицы приведет к не­правильному ответу.

Задание В6

Тип задания. Вычисление площади плоской фигуры.

Характеристика задания. Задание на вычис­ление площади треугольника, четырехугольника, круга и его частей, в том числе по данным рисунка, представляющего собой изображение на клетчатой бумаге (сетке) со стороной клетки, равной 1 см, фигуры, площадь которой требуется найти.

Комментарий. Площадь искомой фигуры может быть найдена по известной формуле. На­пример, для треугольника или параллелограмма во многих случаях достаточно провести мысленно высоту к одной из сторон. Выбирать в качестве сто­роны и высоты нужно те, длины которых выража­ются целым числом делений сетки. В некоторых случаях для вычисления недостающих элементов можно использовать теорему Пифагора. Ряд задач можно решить, разбив фигуру на части, вычисле­ние площадей которых не представляет труда, или заметив, что фигура сама является частью другой фигуры, а площадь последней можно найти почти сразу.

Задание В7.

Тип задания. Задание на вычисление.

Характеристика задания. Задание на вычисле­ние значения степенного выражения.

Комментарий. Для решения задачи доста­точно знать определения и простейшие свойства степеней.

Задание В8

Тип задания. Задание на вычисление произ­водной.

Характеристика задания. Задача на вы­числение производной по данным приводимого в условии рисунка, представляющего собой изо­браженные на клетчатой бумаге графика функции и касательную к нему. Метод решения основывается на геометрическом смысле производной.

Комментарий. Решение задачи состоит в вы­числении углового коэффициента касательной, то есть тангенса угла, который она образует с поло­жительным направлением оси абсцисс. Для этого достаточно найти отрезок касательной с концами в вершинах клеток, и считая его гипотенузой прямоугольного треугольника, найти отношение катетов. Есть «подводный камень»: если угол тупой, то его тангенс отрицателен, поэтому в ответе нужно не забыть записать знак «минус» перед найденным отношением катетов.

Задание В9

Тип задания. Задание на вычисление площа­дей поверхностей или объемов многогранников и тел вращения.

Характеристика задания. Несложное задание по стереометрии на применение основных формул, связанных с вычислением площадей поверхностей или объемов многогранников (пирамид и призм) или тел вращения (цилиндров, конусов, шаров), в том числе вписанных или описанных около других многогранников или тел вращения. В данной задаче потребовалось вычисление объёма многогранника, изображённого на рисунке.

Комментарий. Для решения данной задачи доста­точно знать формулу объёма параллелепипеда.

Задание В10

Тип задания. Задание на анализ практической ситуации, сводится к решению уравнения или системы уравнений.

Характеристика задания. Текстовое задание, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию (например, физические, химические и др. процессы).

Комментарий. По условию задачи требуется составить и решить линейное уравнение или систему уравнений, после чего в ответе записать искомую величину.

Задание В11

Тип задания. Задание на исследование функ­ции с помощью производной.

Характеристика задания. Задание на вычис­ление с помощью производной наибольшего (наименьшего) значения данной функции на данном отрезке.

Комментарий. Решение задания связано с нахождением при помощи производной ее наименьшего (наибольшего) значения на отрезке. Функция была зада­на формулой. При нахождении наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке мож­но использовать стандартный алгоритм.

Задание В12

Тип задания. Задача на составление уравне­ния.

Характеристика задания. Традиционная «текстовая» задача (на движение), то есть задача на составление уравнения.

Комментарий. В качестве неизвестной, как правило, лучше выбирать искомую величину. Составленное уравнение сводилось к квадратному.

Анализ  результатов  выполнения  экзаменационной  работы  всеми  участниками  начнем  с рассмотрения заданий части 1.

Таблица 1.5. Средние результаты выполнения заданий В1–В12

Следует подчеркнуть, что по сравнению с 2010 г. заметно улучшилось выполнение заданий на работу с графической информацией (В2), умение решить практическую задачу с выбором наилучшего варианта (В5), текстовую алгебраическую задачу В12. Это свидетельствует об успешности реализации практико-ориентированного подхода в преподавании математики.

Однако низкий уровень (20% не справившихся) выполнения базовой практической арифметической задачи показывает существенные пробелы в математическом образовании в основной и начальной школе у значительной части выпускников. Действительно, задания в примерах 1–3, соответствующие программам не только V–VI классов, но даже начальной школы (!), не могут верно решить примерно пятая часть всех участников ЕГЭ. 

 Пример 1.

В  доме,  в  котором живёт Петя,  один  подъезд. На  каждом  этаже  по шесть  квартир. Петя живёт в квартире 45. На каком этаже живёт Петя?

Пример 2.

Шоколадка  стоит 31  рубль.  В  воскресенье  в  супермаркете  действует  специальное предложение:  заплатив  за  две шоколадки,  покупатель  получает три (одну  в  подарок). Сколько шоколадок можно получить на 170 рублей в воскресенье?

Пример 3.

В пачке бумаги 200 листов. На одну неделю работы в офисе необходимо 900 листов бумаги. Какое наименьшее количество пачек следует приобрести на 6 недель работы?» 

Отметим, что экзаменуемые, не справившиеся с этой задачей, заведомо имеют затруднения в понимании условия любой другой задачи с текстовой формулировкой (например, В12).

В  геометрии  при  сохранении  в  целом  на  прошлогоднем  уровне  результатов  выполнения планиметрических  заданий (В4,  В6)  заметно  улучшилось  выполнение  задания  по  стереометрии (В9), что, видимо, связано с возвратом к реальному преподавания стереометрии в X–XI классах.

Тем не менее, как показывает экзамен, все еще низок процент выполнения практических заданий по стереометрии: треть учащихся слабо и формально осваивают материал данного раздела. 

Пример 4. (2011 г.) 

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.

 Улучшение  выполнения  задания  В3 (простейшее  уравнение)  показывает  небольшой  рост алгебраических навыков выпускников. Снижение в 2011 г. процента выполнения задания В7 (алгебраическое преобразование), скорее всего, связано с изменением его тематики в 2011 г. (тригонометрия,  традиционно  вызывающая  больше  сложностей  у  учащихся,  заменен  логарифмами (см. примеры 4–6).

Пример 5 (2010 г.). Найдите значение выражения

Пример 6 (2011 г.). Найдите  cosα , если

Наконец, с заданием В8 по началам математического анализа (геометрический смысл производной), которое в 2010 г. оказалось «провальным» в выполнении части 1, в 2011 г. справились практически две трети всех участников экзамена. Процент выполнения указанной задачи в 2011 г. превысил, в отличие от 2010 г., процент выполнения более сложного, но зато формального задания В11 (процент выполнения которого практически не изменился – незначительное уменьшение связано  с  изменением  вида  исследуемой функции). Вероятно,  этот  результат  показывает  начавшийся переход от абстрактного преподавания начал анализа в массовой школе к реальному освоению базовых идей этой области математики.

Перейдем к анализу результатов выполнения части 2 (табл. 1.6).

Таблица 1.6. Средние результаты выполнения заданий С1–С6

В сравнении с 2010 г., для каждого из заданий С1–С6 увеличилось число участников ЕГЭ, получивших  положительные  результаты  за  выполнение  этих  заданий. Для С1 –  рост  с 32,3%  в 2010 г. до 41,8% в 2011 г., для С2 – с 11,6 до 13,9%, для С3 – с 11,8 до 19,5%, для С4 – с 1,3 до 4,4%, для С5 – с 2,71 до 6,02 %, для С6 – с 2,34 до 4,36%. Вероятно, данные факты связаны с повышением  в  целом  качества  подготовки  выпускников,  планирующих  продолжить  образование  в технических вузах. Также существенным фактором, по-видимому, является повышение мотивации старшеклассников на освоение математики в целях поступления на соответствующие специальности технических и экономических вузов. 

Показательно в этом смысле задание С6, которое, являясь достаточно сложным, тем не менее не требует глубокой подготовки по всем разделам курса математики (формально доступно даже учащимся основной школы), а требует здравого смысла, желания разобраться в условии, провести  логический  анализ. При  сохранении  на  прежнем  уровне  числа  экзаменуемых (около 2000 человек) полностью выполнивших это задание, почти 13% участников приступили к выполнению этого задания, а 32 000 участников (4,3%) в итоге получили положительные баллы за выполнение задания С6 в 2011 г. (в 2010 г. – 2,3%). Также следует отметить, что задание С6, верное решение которого было очень коротким, выполнили полностью незначительное число участников экзамена. Это косвенно свидетельствует о том, что размещение в Интернете во время экзамена решений отдельных заданий вариантов КИМ не оказало статистически заметного влияния на результаты в верхней части шкалы. 

Отдельно следует отметить, что при определенном росте все еще остается на низком уровне процент выполнения заданий по стереометрии. Так задание С2 попробовали решить треть участников экзамена, а полностью выполнили лишь 8,8% экзаменуемых.

Примеры задания В6 из ЕГЭ 2010-2011 гг.

Пример 1. В треугольнике ABC угол С равен 90⁰, а cosA=  , CH - высота. АС=4. Найдите АH.

Решение: Треугольник АВС - прямоугольный, в нем проведена высота СН, а значит внутри треугольника АВС образуется еще один прямоугольный треугольник АСН. Вот его то мы и будем рассматривать. Т.к. сosА это отношение прилежащего катета к гипотенузе, где прилежащим катетом к углу А является сторона АН , а гипотенузой АС, то АН=4х, а АС=5х. В то же время по условию задачи АС=4:

Следовательно 5х=4, а х=4/5 или х=0,8. Значит сторона АН=4*0,8=3,2.

В этой задаче внутри одного прямоугольного треугольника находился другой прямоугольный треугольник.

А теперь разберем задание, где прямоугольный треугольник образуется в равнобедренном:

Пример 2. В треугольнике ABC АС=ВС, АВ=10, АН – высота, ВН=9. Найдите cosА.

Решение: Треугольник АВС - равнобедренный, т.к. АС=ВС, а значит равны и углы при основании АВ, т.е. угол А равен углу В. Следовательно сosA=cosB. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВН. Косинус - это прилежащий катет к гипотенузе. а значит cosB=9/10=0,9, а значит и сosA=0,9:

Для решения следующей задачи необходимо знать формулы приведения. На самом деле этих формул 32 штуки. В данном задании может понадобиться всего две:

Задания на вычисления площадей многоугольников «по клеткам».

Лучше всего рассказать учащимся, что существуют три основных приема нахождения площадей многоугольных фигур:

- разбиение на простые части;

- дополнение до прямоугольника;

- наложение.

Пример.

1 способ: шестиугольник ABCDEF можно разбить на: DAKF, DBNC, DNCD, DEFP и прямоугольник KBDP. Несложно сосчитать, что площадь каждого треугольника равна 2 клеткам, а площадь прямоугольника KBDP = 4 отсюда площадь искомого шестиугольника

 (кв. ед.)

2 способ: Выбираем минимальный прямоугольник, внутри которого содержится данный шестиугольник. В нашем случае это прямоугольник ARSE и, значит,

(кв. ед.)

3 способ: DBCD совмещаем с DEAF (параллельный перенос на 3 клетки влево. Шестиугольник превратился в равновеликий прямоугольник, площадь которого равна 3∙4=12 (кв. ед.).

Часто полезно пользоваться формулами площадей треугольника и параллелограмма. Пример.

Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

.

Типичные ошибки при выполнении заданий В6 и способы их устранения.

Характеристика задания В6: Основы геометрии. Чаще всего встречаются задания на решение треугольников, но знать надо все фигуры планиметрии. Необходимые знания: виды треугольников; понятия биссектрисы, медианы, высоты; тригонометрические функции и их значения; основное тригонометрическое тождество; формулы приведения; теорема Пифагора. И помнить - при правильном решении ответ точно без корня.

Задание найди ошибку в решении:

Пример 1: Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если стороны квадратных клеток равны 1.

Дано:

BC = 3

Решение: АС = 4

Ответ: 4 (правильный ответ – 5)

Комментарий. В решении допущена ошибка из-за незнания элементов прямоугольного треугольника: катета и гипотенузы.

Пример 2: Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Площадь трапеции ABCD: S_ABCD = h(BC +AD) = 4⋅(3+6) = 4⋅9 = 36

Ответ: 36 (правильный ответ - 18)

Комментарий. Ошибка допущена в записи формулы для вычисления площади трапеции, причиной может быть незнание данной формулы.

Пример 3: Найдите диагональ прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Решение: Диагональ АС является гипотенузой прямоугольного треугольника АВС или АСD (по сути все-равно, они ведь одинаковые).

Пусть, это будет треугольник АВС. Сторона АВ=3, ВС=4. По теореме Пифагора найдем гипотенузу АС:

АС²= ВС²- АВ²

АС²=4²-3²=16-9=7

АС=

Ответ:  (правильный ответ - 5)

Комментарий. Ошибка допущена в записи теоремы Пифагора. Причиной может являться отсутствие твердого знания теории, т.к. в основу каждой задачи положено то или иное частное проявление одного или нескольких законов и их следствий.

Пример 4: В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите .

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для нахождения косинуса угла:

sinA + cosA=1

cosA=1 – sinA

cosA= 1 – 7/25

cosA=18/25=0.72

Ответ: 0,72 (правильный ответ 0,96).

Комментарий. Ошибка допущена в записи основного тригонометрического тождества.

Пример 5: В треугольнике АВС угол C равен 74°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Если угол С равен 74 градуса, то сумма углов ABC и BAC равна 180 - 74 = 116 градусов. Так как AD и BE являются биссектрисами, то сумма углов ABE и BAD равна 116 : 2 = 58 градусов. Следовательно, из треугольника ABO угол AOB равен 180 - 58 = 122 градуса.

Ответ: 122⁰ (правильный ответ - 127⁰)

Комментарий. В данной задаче допущена вычислительная ошибка, причиной которой может являться невнимательность.

Рекомендации: прорешайте нижеперечисленные задачи, если возникли сложности:

а) с решением задач на теорему Пифагора и соотношением сторон прямоугольного треугольника

в) с решением задач на прямоугольный треугольник

с) с решением задач на многоугольники

d) с решением задач на вписанные и описанные окружности

е) с решением задач на тему: медианы, биссектрисы, высоты в треугольнике

Используемая литература:

1.            Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ : 2011 : Математика / авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. — М.: ACT: Астрель, 2011. — 95, [1] с.

2.            ЕГЭ 2012. Математика. Базовый уровень ЕГЭ-2012 (В1-В6). Пособие для "чайников". Коннова Е.Г. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.; 2-е изд., испр. и доп. - Ростов н/Д: Легион-М, 2011 - 176 с.

3.            Крец Светлана Владимировна, учитель математики: Система работы учителя математики по подготовке к ЕГЭ. Проект "ЕГЭ – без проблем!"/ Статья отнесена к разделу: Преподавание математики.

4.            Личный сайт учителя математики Гориной Ларисы Владимировны/ Ученикам  и  ученицам: "Раз - ошибка, два - ошибка, будет ... двоечка!"  

5.            http://www3.ege.edu.ru/

6.            http://www.fipi.ru/

7.            http://www.ctege.info

8.            http://schoolmathematics.ru

9.            www.mioo.ru,,

Краткое описание документа:

Задание В1

Тип задания. Задание на вычисление.

Характеристика задания. Задание, модели­рующее реальную или близкую к реальной си­туацию. Для решения задачи достаточно уметь выполнять арифметические действия, делать прикидку и оценку, знать, что процент это одна сотая часть числа

Задание В2

Тип задания. Задание на чтение графика функции.

Характеристика задания. Задание, моде­лирующее реальную или близкую к реальной ситуацию. График характеризует изменение в зависимости от времени некоторой величины (температуры, количества осадков и т.д.) Как пра­вило, в задании требуется найти наибольшее (наименьшее) значение этой величины, разность между наибольшим и наименьшим значениями (возможно, за определенный период времени).

Однако низкий уровень (20% не справившихся) выполнения базовой практической арифметической задачи показывает существенные пробелы в математическом образовании в основной и начальной школе у значительной части выпускников. Действительно, задания в примерах 1–3, соответствующие программам не только V–VI классов, но даже начальной школы (!), не могут верно решить примерно пятая часть всех участников ЕГЭ.