Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка на тему "Иррациональные уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка на тему "Иррациональные уравнения"

библиотека
материалов

Шибанова Татьяна Павловна

hello_html_m6a72963.gifhello_html_m70c47739.gifhello_html_m70c47739.gifhello_html_m6a72963.gifhello_html_1764f762.gifhello_html_1764f762.gifМетоды решения иррациональных уравнений.

Цели:

  • Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.

  • Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.

  • Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.



Задачи урока:

  1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

  2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;

  3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

  4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

  5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.


  • Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

  • Информационно- иллюстративный;

  • репродуктивный;

  • проблемный диалог;

  • частично-поисковый;

  • системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

  • Фронтальная,

  • групповая,

  • самопроверка,

  • взаимопроверка,

  • коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.











План урока:

  1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

  2. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

  3. Изучение нового материала.

  4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

  5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

  6. Задание на дом.

Конспект урока.

  1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

  2. Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

  • Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

hello_html_mab804c9.gif

  • Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

  • Основные методы решения иррациональных уравнений.

  1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

  1. использование равносильных преобразований

для уравнения вида hello_html_171e01a0.gif

hello_html_m4dd064bb.gif

для уравнения вида hello_html_407c42ff.gif

hello_html_m30c58997.gif

  1. после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1: hello_html_m32c89005.gif

hello_html_2793c108.gif

Ответ: x=1

Пример 2: hello_html_m619f421c.gif

hello_html_481545e.gif

Ответ: x=1

Пример 3: hello_html_m2107c469.gif

hello_html_m4e823726.gif Проверка: x=2 hello_html_5d45b5dd.gif x=5 hello_html_1bc53e78.gif

hello_html_15b368b3.gif- посторонний корень

Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.



Пример 4: hello_html_25e561e7.gif

hello_html_m60cf112d.gif

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ: hello_html_m2f945f99.gif

  1. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5: hello_html_4d94cf99.gif

hello_html_3465c586.gif

Сделаем замену hello_html_m5ae34169.gif причём hello_html_m4a9f3ff5.gif тогда hello_html_62073a7b.gif

hello_html_m28b07f2.gifне удовлетворяет условию hello_html_m4a9f3ff5.gif

Возвращаемся к замене:

hello_html_m715c98bf.gif Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: hello_html_6e12a2e6.gif.

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

hello_html_m7a1a18c4.gif , hello_html_b1b16c5.gif.

Тогда, hello_html_m1a65e82b.gif

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения hello_html_9aeea18.gif.

Имеем систему уравнений hello_html_4e838a53.gifhello_html_2e715370.gifhello_html_m4ddad056.gif

Т.к. а + в = 4, то hello_html_m2197c9e.gifhello_html_7f71c397.gif

hello_html_m4dc8d5cd.gifhello_html_m51fa32ec.gifhello_html_m2d6ffae.gif


Значит: hello_html_1d85524.gifhello_html_2a63c7c1.gif 9 – x = 8 , х = 1.

Ответ : х = 1


          1. Метод разложения на множители или расщепления.

  • Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7: hello_html_2b97da69.gif

hello_html_m4a214d05.gif

Ответ: -4;3

  1. Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

  1. Умножение на сопряжённое выражение.

  2. Переход к модулю.

  3. Использование свойств функции:

      • Область определения функции (ОДЗ)

      • Область значения функции

      • Свойство ограниченности функции (метод оценок)

      • Свойство монотонности

      • Использование суперпозиций функций



  • Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой hello_html_3e79b531.gif

Пример 8: hello_html_66902480.gif

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение: hello_html_m2457b719.gif

hello_html_143e7704.gif

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ: hello_html_16bd48de.gif

  • Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством: hello_html_m4af20026.gif

Пример 9: hello_html_m35af6eff.gif

hello_html_m6f43a048.gif

Рассмотрим случаи:

      • Если hello_html_m2be05637.gif, то hello_html_m42117d4d.gif, тогда hello_html_41022872.gif

hello_html_4679b303.gifтогда hello_html_1862f1a8.gif

hello_html_19d8e59a.gif

      • Если hello_html_m2e2b8f07.gif, тогда hello_html_edf0de0.gif hello_html_1862f1a8.gif

hello_html_609354aa.gif

2=6( ложно)

      • Если hello_html_m3b6ed8ce.gif, тогда hello_html_edf0de0.gif, а hello_html_421a5bec.gif

hello_html_m16694247.gif

Ответ: -3;3

  • Использование свойств функции:

      • Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10: hello_html_m7c482415.gif

ОДЗ: hello_html_m75deafc1.gif hello_html_m76d6cc1d.gifОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ: hello_html_16bd48de.gif

Пример 11: hello_html_m5534332e.gif

hello_html_364d23d3.gif, тогда hello_html_2bfc4e58.gifhello_html_48c8e0e1.gif

Тогда hello_html_m5534332e.gif невозможно.

Ответ: корней нет.

        • Область значений функции

Пример 12: hello_html_49e415cd.gif

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция hello_html_6c7e9d9d.gif может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13: hello_html_m46a433c5.gif

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция hello_html_685b5cbf.gif может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство: hello_html_4790eb6d.gif

hello_html_45b9e04a.gif неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

      • Свойство ограниченности функции (метод оценок)

  • Если hello_html_567823bc.gif и hello_html_547a8d0d.gif, то hello_html_m17e020bd.gif

Пример 14: hello_html_76914946.gif

Заметим, что hello_html_b775b13.gif, т.е. hello_html_m3146047b.gif, а hello_html_mb3d06c6.gif

hello_html_m33c2cf69.gif

hello_html_m17c5c7ec.gifПроверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ: hello_html_6683fada.gif

      • Свойство монотонности

  • Пусть hello_html_m7a6bdbc9.gif - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение hello_html_6b05e594.gifимеет на промежутке I не более одного корня.

  • Пусть hello_html_m7a6bdbc9.gif - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция hello_html_21c56b4d.gif - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение hello_html_m17a06792.gif имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .hello_html_m750e9ac4.gif

Рассмотрим функции hello_html_eda30e1.gif и hello_html_mdefc8e2.gif .

hello_html_eda30e1.gif монотонно возрастает, а hello_html_mdefc8e2.gif - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором: hello_html_16bd48de.gif

Ответ: hello_html_16bd48de.gif

Пример 16: hello_html_3252f9b4.gif

Функция hello_html_m2886b474.gif возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение hello_html_41dce560.gif имеет не более одного корня. Так как hello_html_m5b6e53b0.gif, то hello_html_16bd48de.gif - единственный корень .

Ответ: hello_html_16bd48de.gif

      • Использование суперпозиций функций

  • Если hello_html_603143a6.gif - монотонно возрастающая функция, то уравнения hello_html_m5358056d.gif и hello_html_m6e079535.gif равносильны.

Пример 17: hello_html_154cb3f5.gif

Запишем уравнение в виде hello_html_m5dbbefca.gif

Рассмотрим функцию hello_html_261768b4.gif - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид hello_html_m76d6cc1d.gifhello_html_m6e079535.gif. Оно равносильно уравнению hello_html_d451573.gif

Сделаем замену hello_html_m1a0e710b.gif

hello_html_m6446470b.gif не удовлетворяет условию hello_html_m3304e206.gif

hello_html_m7bf0d32a.gif

Ответ: hello_html_m7d40992e.gif

  1. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

1 6 5

2 3 4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

  1. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

  2. Задание на дом:

Решить уравнения:

  1. hello_html_241b4574.gif

  2. hello_html_20482e5e.gif

  3. hello_html_70bfb005.gif

  4. hello_html_m69d50cff.gif

  5. hello_html_m1b807333.gif

  6. hello_html_6508da7f.gif

  7. hello_html_708cca08.gif

  8. * hello_html_71279fb2.gif



Используемая литература.

  1. Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

  2. Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2

  3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

  4. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.

  5. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.












Задания для работы в группах:



Вариант 1(1,3,5 группы).

Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_m4c76a57c.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_m74d70fa5.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_5028ab1d.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_m7d2bed97.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_m3737fd61.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_m7ebb3048.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_m57e07496.gif

















Вариант 2( 2,4,6 группы)

Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_d08948c.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_9ac344c.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_7345cca2.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_1d0619c5.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_2afafcb7.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_m490a2a21.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_35e633e7.gif











Проверочная работа по теме: «Методы



Вариант 1



Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_m57b4a652.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_1d71f1a3.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_m3389c9a8.gif

  1. Разложи на множители:

hello_html_b077ae1.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_371fb94b.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_m640f6112.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_2126bf5b.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_55fa9bc7.gif





решения иррациональных уравнений»



Вариант 2



Решите уравнения,

используя подсказку:

  1. Возведи обе части в квадрат:

hello_html_m6819abae.gif

  1. Выполни замену:

hello_html_mcaf2c31.gif

  1. Найди ОДЗ:

hello_html_36731868.gif

  1. Разложи на множители:

hello_html_m89b2acf.gif

  1. Умножай на сопряжённое выражение:

hello_html_560f7d01.gif

  1. Переходи к модулю:

hello_html_533c6434.gif

  1. Используй свойства функций:

hello_html_6f5ba71.gif

  1. Реши любым способом:

hello_html_611f568f.gif




11


Автор
Дата добавления 04.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров300
Номер материала ДВ-226563
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх