Методическая разработка на тему "Иррациональные уравнения"

                     Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

• Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
• Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Задачи урока:

1.      Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

2.      Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать  умение выбирать рациональные пути решения;

3.      Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

4.      Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

5.      Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

• Тип урока: комбинированный

Методы обучения:

• Информационно- иллюстративный;
• репродуктивный;
• проблемный диалог;
• частично-поисковый;
• системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

• Фронтальная,
• групповая,
• самопроверка,
• взаимопроверка,
• коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия:   2 урока по 45 минут.

                                          План урока:

     I.        Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

    II.        Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

  III.        Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом.

                                          Конспект урока.

I      Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II    Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

·        Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

                 Назовите иррациональные уравнения:

           

·        Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит  найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

·         Основные методы решения иррациональных уравнений. 

1.    Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1)    использование равносильных преобразований

для уравнения вида

                         

для уравнения вида

             

2)    после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b)  При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:   

                    

Ответ: x=1

Пример 2:    

                   

Ответ: x=1

Пример 3:   

                     Проверка:   x=2           x=5          

          - посторонний корень                                                                                     

 Ответ: x=2

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4: 

                   

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:  

2.    Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:    

                       

Сделаем замену      причём   тогда

                          не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

                            Проверка показывает, что оба корня подходят. 

Ответ:1;2

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6:     .

Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение

                                              ,      .

      Тогда,       

 Выполним почленное сложение обеих частей уравнения    .

Имеем систему уравнений                  

Т.к. а + в = 4,  то  

                                   

          Значит:                       9 – x = 8 ,   х = 1. 

Ответ : х = 1

3.    Метод разложения на множители или расщепления.

• Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:        

                        

Ответ: -4;3  

III     Изучение нового материала.    

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.   

4.     Умножение на сопряжённое выражение.

5.    Переход к модулю.

6.    Использование свойств функции:

§  Область определения функции (ОДЗ)

§  Область значения функции

§  Свойство ограниченности функции (метод оценок)

§  Свойство монотонности

§  Использование суперпозиций функций                                                                  

·         Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой  

Пример 8:          

Умножим обе части уравнения  на  сопряжённое выражение:

               

Проверка показывает, что  число является корнем.

Ответ:  

·         Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством: 

Пример 9: 

  

Рассмотрим случаи:

§  Если  , то , тогда

                                  тогда

     

§  Если , тогда  ,а

                          2=6( ложно)

§  Если , тогда , а

Ответ:   -3;3

·         Использование свойств функции:

§  Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения  функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:   

                       ОДЗ:            ОДЗ: x=0  и  x=1

Проверка показывает, что только    x=1 является корнем.

Ответ:   

Пример 11:   

                    , тогда

              Тогда     невозможно.

Ответ: корней нет.

§  Область  значений функции

Пример 12:  

     Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция  может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:   

  Учитывая то, что левая часть уравнения – функция     может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

  неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

§  Свойство ограниченности функции (метод оценок)

·         Если  и , то

Пример 14:   

            Заметим, что , т.е. , а

                     

                         Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ: 

§  Свойство монотонности

·         Пусть  - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I  не более одного корня.

·         Пусть  - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция   - убывающая на этом промежутке.  Тогда уравнение  имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15:    .

                    Рассмотрим функции  и  .

 монотонно возрастает, а   - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:  

Пример 16:   

          Функция   возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение  имеет не более одного корня. Так как , то  - единственный корень .

Ответ:  

§  Использование суперпозиций функций                                                                  

·         Если  - монотонно возрастающая функция, то уравнения   и  равносильны.

Пример 17:   

              Запишем уравнение в виде 

       Рассмотрим функцию  - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет  вид  . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

     не удовлетворяет условию  

                                       

Ответ:

4. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

     После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

                        1                             6                             5

                         2                             3                            4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно,  свои коррективы.

5. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
6. Задание на дом:

Решить уравнения:

1)  

2)  

3)  

4)  

5)  

6)  

7)  

8)   * 

Используемая литература.

1.   Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

2.   Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2

3.   Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

4.   Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.

5.   Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

Вариант 1(1,3,5 группы).

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.    Возведи обе части в квадрат:

2.    Выполни замену:

3.    Найди ОДЗ:

4.    Умножай на сопряжённое выражение:

5.    Переходи к модулю:

6.    Используй свойства функций:

7.    Реши любым способом:

Вариант 2( 2,4,6 группы)

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.    Возведи обе части в квадрат:

2.    Выполни замену:

3.    Найди ОДЗ:

4.    Умножай на сопряжённое выражение:

5.    Переходи к модулю:

6.    Используй свойства функций:

7.    Реши любым способом:

            

Проверочная работа по теме: «Методы

Вариант 1

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.    Возведи обе части в квадрат:

   

2.    Выполни замену:

   

3.    Найди ОДЗ:

     

4.    Разложи на множители:

5.    Умножай на сопряжённое выражение:

6.    Переходи к модулю:

7.    Используй свойства функций:

8.    Реши любым способом:

    

решения иррациональных уравнений»

Вариант 2

Решите уравнения,

используя подсказку:

1.    Возведи обе части в квадрат:

    

2.    Выполни замену:

  

3.    Найди ОДЗ:

    

4.    Разложи на множители:

5.    Умножай на сопряжённое выражение:

    

6.    Переходи к модулю:

7.    Используй свойства функций:

8.    Реши любым способом: