Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическая разработка " Основы тригонометрии"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка " Основы тригонометрии"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ metodichka.docx

библиотека
материалов


hello_html_4b856d65.gifhello_html_4b856d65.gifhello_html_4b856d65.gifhello_html_4b856d65.gif


Титульный лист

Всероссийский фестиваль педагогического творчества

(2015-2016 учебного года)







Номинация: педагогические идеи и технологии: профессиональное образование

Название работы: Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы курсантов «Основы тригонометрии»

Автор: Зеленская Ольга Юрьевна

Место выполнения: Институт водного транспорта имени Г.Я.Седова - филиал

ФГБОУ «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф.Ушакова» города Ростова-на-Дону.



Основы тригонометрии. Сборник задач и упражнений.


Рассмотрено цикловой комиссией физико-математических и естественнонаучных дисциплин.




Настоящие учебное пособие содержит задачи и упражнения по основным разделам тригонометрии. Даются краткие теоретические сведения, решение типовых примеров, а так же задания для самостоятельной работы курсантов. Разработано для специальностей 26.02.03 «судовождение» и 26.02.05 «эксплуатация транспортных энергетических установок (по видам транспорта)».


Составитель: Зеленская О.Ю.

Рецензент: Препод. первой категории Моисеева Т.В.

Ассистент кафедры алгебры и мат. анализа ЮФУ Давиденко Л.В.















Содержание:









§1. Радианная мера угла.

В радианной системе измерения1 дуг (и соответствующих им центральных углов) в качестве единицы измерения берется дуга, длина которой равна радиусу этой окружности. Так как длина окружности равна 2πR, то дуга, принятая за единицу измерения составляет hello_html_m2b70f1a6.gif часть данной окружности. Введенную единицу измерения дуг называют радиан. Сокращенно обозначают «рад». За единицу измерения углов в радианной системе принимают центральный угол, соответствующий дуге в один радиан. hello_html_m5f1a521c.png

Так как окружность содержит hello_html_717c9cdf.gif и в то же время 2 π радиан, то один радиан соответствует hello_html_2172825f.gif:

hello_html_ma771aea.gif, hello_html_3679981f.gif.

Формула преобразования углов из градусной меры в радианную: hello_html_m22c14abb.gif

Формула преобразования углов из радианной меры в градусную:

hello_html_m6c9f7ec4.gif

Пример 1. Найти радианную меру угла, равного150.

Решение: hello_html_7f4b8ba2.gif.

Пример 2. Найти градусную меру угла, равного hello_html_m450031f5.gif рад.

Решение: hello_html_28617ce.gif.

Задание1. Выразите в радианной мере величины углов:

а) 30˚, 36˚, 180˚; б) 120˚, 310˚, 360˚;

Задание2. Выразите в градусной мере величины углов:
а) hello_html_9fe59e8.gif; б) hello_html_m5834e012.gif

§2. Единичная числовая окружность. Поворот точки.


Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной окружностью. Как известно из курса планиметрии уравнение единичной окружности имеет вид hello_html_6abde384.gif.

Примем точку А(1;0) единичной окружности за начало отсчета дуг.y

x

0

α

А(1,0)

М(x,y)

Пусть дан произвольный угол α, его можно изобразить как угол поворота радиус-вектора hello_html_m3fd87709.gif в заданном направлении, где точка О(0;0) – начало координат. При этом повороте точка А(1,0) перейдет в некоторую точку окружности М(x,y), такую, что hello_html_m20bb0ceb.gif= α. В зависимости от того, в какой четверти находиться точка М(x,y), угол АОМ называют углом этой четверти.

Нужно отметить, что движение точки М(x,y) вдоль окружности против движения часовой стрелки называют положительным обходом, по часовой –отрицательным.

Существует бесконечное множество дуг, имеющих данное начало А и данный конец М. Множество этих дуг (углов), как положительных, так и отрицательных, выражается формулой hello_html_62503a78.gif

Пример 3. Углом какой четверти является углы hello_html_m51a503c5.gifhello_html_m55a4eeb5.gifhello_html_m55a4eeb5.gif hello_html_1979328e.gif

Решение:

Угол hello_html_m7f119db6.gif является углом I четверти(hello_html_m19645107.gifhello_html_m19645107.gif) и угол hello_html_76cfbaff.gif также является углом I четверти, так как hello_html_m15776585.gif и радиус-вектор hello_html_m7f304382.gif, повернувшись в положительном направлении на угол hello_html_3b6c46fd.gif, затем совершит еще два полных оборота и вновь совпадет с радиус-вектором hello_html_m241fffd8.gif.

Для определения четверти угла hello_html_m1b32ca16.gif, переведем его для удобства в градусную меру: hello_html_255e65ae.gif Таким образом, радиус-вектор hello_html_m7f304382.gif, повернувшись в положительном направлении на указанный угол окажется во I I четверти.

Задание 3. Углом какой четверти является угол α, если:

а)α = 283˚; б)α = 100˚; в) α =–110˚;

г) hello_html_15039f3b.gifhello_html_15039f3b.gif; д) hello_html_1a0ac7ba.gifhello_html_1a0ac7ba.gif; е) hello_html_74fbff5f.gifhello_html_74fbff5f.gif.


§3 Тригонометрические функции числового аргумента.


Абсцисса Х точки hello_html_m55492c0f.gif числовой единичной окружности называется косинусом числа hello_html_695bfd0f.gif: Х=coshello_html_695bfd0f.gif.

Ордината Х точки hello_html_m55492c0f.gif числовой единичной окружности называется синусом числа hello_html_695bfd0f.gif: Y=sinhello_html_695bfd0f.gif.

Областью определения синуса и косинуса служит множество всех действительных чисел.

Отношение синуса числа hello_html_695bfd0f.gif к его косинусу называется тангенсом числаhello_html_695bfd0f.gif: hello_html_4f070ba9.gif.

Область определения тангенса - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида hello_html_m21136962.gif

Отношение косинуса числа hello_html_695bfd0f.gif к его синусу называется котангенсом числаhello_html_695bfd0f.gif: hello_html_4a058b98.gif.

Область определения котангенса - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида hello_html_m6693b00e.gif

Величина, обратная косинусу числа hello_html_7d5ac172.gif называется секансом числа hello_html_m25a0a123.gif

hello_html_m286af9b3.gif

Область определения секанса - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида hello_html_m21136962.gif

Величина, обратная синусу числа hello_html_7d5ac172.gif называется косекансом числа hello_html_m25a0a123.gif

hello_html_24293db5.gif

Область определения секанса - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида hello_html_m6693b00e.gif

Функции hello_html_71a57f44.gif ограничены, так как hello_html_680dab5d.gif

hello_html_6c3d7bd2.gif.

Функции tghello_html_695bfd0f.gif и ctghello_html_695bfd0f.gif не ограничены, так как каждая из них может принимать любое действительное значение, т.е. Е(tghello_html_695bfd0f.gif)=R и Е(сtghello_html_695bfd0f.gif)=R.

Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функций hello_html_m34f9a9da.gif и hello_html_m3bb33efc.gif

Решение: Поскольку hello_html_m1faf3a1f.gif, то прибавив к левой и правой части 1: hello_html_78066863.gif, преобразуем hello_html_408a7c11.gif

Таким образом, наибольшее значение функции hello_html_m34f9a9da.gifравно 2, а наименьшее – 0.

Аналогично первой функции начнем с того, что функция косинуса так же ограничена, т.е. hello_html_m74fc3ed4.gif. Умножив на -1 исходное двойное неравенство, получим hello_html_m102f2b65.gif, теперь прибавим к левой и правой части 2: hello_html_6395071b.gif, преобразуем hello_html_m4ce47de7.gif

Таким образом, наибольшее значение функции hello_html_m5acf3cf0.gif равно 3, а наименьшее равно 1.

Задание 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функций:

а)hello_html_1ed8aa9e.gif

б)hello_html_m54460cf0.gif


§4. Основные свойства тригонометрических функций.

§4.1. Знаки и значения тригонометрических функций.

Выясним, какие знаки принимают тригонометрические функции в каждой из координатной четвертей.

Пусть при повороте радиус-вектора hello_html_m3fd87709.gif точка А перешла в точку В, с координатами x,y.Т.к. y=sinhello_html_695bfd0f.gif, то знак синуса зависит от знака y: в I и II четвертях yhello_html_m7c48e444.gif0, значит, если угол поворота hello_html_695bfd0f.gif является углом I или II, то sinhello_html_m4be0a68.gif0.

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что в III и IV четвертях yhello_html_m360d6129.gif, а значит и sinhello_html_5bafb217.gif.

Пусть при повороте радиус-вектора hello_html_m3fd87709.gif точка А перешла в точку В, с координатами x,y. Т.к. x=coshello_html_695bfd0f.gif, то знак косинуса зависит от знака x: в I и IV четвертях xhello_html_m7c48e444.gif0, значит, если угол поворота hello_html_695bfd0f.gif является углом I или IV, то coshello_html_m4be0a68.gif0.

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что во II и III четвертях xhello_html_m360d6129.gif, а значит и coshello_html_5bafb217.gif.

Для определения знаков tghello_html_695bfd0f.gif и ctghello_html_695bfd0f.gif достаточно вспомнить, что hello_html_4f070ba9.gif и hello_html_4a058b98.gif, ведь зная знаки синуса и косинуса по четвертям можно определить знаки тангенса и котангенса (сделать самостоятельно).

Таким образом, определение знаков тригонометрических функций по четвертям отображено ниже :

hello_html_33bb1f6.jpg

Значения тригонометрических функций основных углов

таблица тригонометрических функций 360 градусов


Пример 5. Определить какой знак имеет выражение: hello_html_m6d63dfb1.gif.

Решение:

hello_html_m64fc7ead.gif, т.к. угол, равный hello_html_m3d54d31c.gif, а синус в III четверти отрицательный.hello_html_m64fc7ead.gif

Задание 5. Определить знаки выражений:

а)hello_html_18d48d86.gif; б)hello_html_309ea82.gif; в)hello_html_b7bb4b.gif;

г)hello_html_m5ce85196.gif; д)hello_html_m336a73e0.gif; е)hello_html_46ea8647.gif;

Пример 6. Определить какой знак имеет выражение hello_html_31e5071e.gif.

Решение:

hello_html_m4a1852a9.gif;

hello_html_30755cf6.gif, значит

hello_html_m7c153c00.gif.

Задание 6. Определите знак выражений:

а) hello_html_m16c24185.gif;

б)hello_html_m27964959.gif;

в)hello_html_689a2f81.gif;

г) hello_html_m5fd55d36.gif;

д)hello_html_m1d94ae87.gif

е)hello_html_7dc7631e.gif;

Пример 7. Найти значение выражения, используя таблицу значений:

а)hello_html_46f35047.gif

б)hello_html_46cd420e.gif

в)hello_html_566dc615.gif

Решение:

а)hello_html_7e51fd37.gif

hello_html_m330fb2fe.gif

в)hello_html_m1a125536.gif

Задание 7. Найти значение выражения, используя таблицу значений:

а)hello_html_m6dd9300a.gif

б)hello_html_m6fb02abe.gif

в)hello_html_m1392917.gif

§4.2.Четность и нечетность тригонометрических функций.


Рассмотрим свойства четности и нечетности тригонометрических функций.

Напомним, что функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. что означает, что для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Таким образом, функции синуса, тангенса и котангенса являются нечетными, а функция косинуса – четная. Эти свойства четности и нечетности тригонометрических функций можно выразить следующими формулами:

hello_html_71a6c461.gif;

hello_html_m6953cd0.gif;

hello_html_25bc1e3c.gif;

hello_html_77d247c0.gif.


Пример 8.Найти значение выражения, используя свойства четности и нечетности функций: а)hello_html_m53504d7f.gif

Решение:

hello_html_2ca9c7d8.gif

hello_html_m60bb4865.gif

hello_html_3a46255.gif

Задание 8. Найти значение выражения, используя свойства четности и нечетности функций:

hello_html_m764c6132.gif

hello_html_m225fc17d.gif;

в)hello_html_m75c15efe.gif.

§4.3. Периодичность тригонометрических функций.


Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т hello_html_m2bc03806.gif0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т - период функции, то число khello_html_79c0f69b.gifT, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sinx и cosx являются периодическими, с наименьшим положительным периодом равным 2π.

Тригонометрические функции tgx и ctgx являются периодическими, с наименьшим положительным периодом равным π.

Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами:

hello_html_ff9d43a.gif;

hello_html_m5dda0fa.gif;

hello_html_m42439b18.gif;

hello_html_m2a51ff1.gif.


Пример 9. Вычислить а) hello_html_6738c8e6.gif и б) hello_html_m1a699cf3.gif.

Решение: На основании свойства периодичности косинуса и синуса получим:

hello_html_m3b3aa369.gif

hello_html_1c8355af.gif

hello_html_67c05c61.gif

Задание 9. Вычислить:

а)hello_html_70d273f5.gif; б)hello_html_m2704a9d3.gif; в)hello_html_7bc1a011.gif;

г)hello_html_4d8bd96c.gif; д)hello_html_m4d603a64.gif; е)hello_html_7980156a.gif;

Пример 10. Найти период функции hello_html_m70ddf14a.gif

Решение: Обозначив искомый период через Т, получим: hello_html_m7cc5b67.gif или hello_html_76f36cd8.gif Отсюда заключаем, что hello_html_m56e69474.gif

Задание 10. Найти периоды функций:

а)hello_html_1dd89691.gif

б)hello_html_5b83c054.gif

в)hello_html_12fcfd6.gif


§5. Основные тригонометрические формулы.


§5.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Рассмотрим как связаны между собой синус и косинус одного угла.

Пусть при повороте радиус-вектора hello_html_m3fd87709.gif вокруг точки О на угол hello_html_695bfd0f.gif, получили точку В, с координатами x,y, где x=coshello_html_695bfd0f.gif и y=sinhello_html_695bfd0f.gif, по определению.

Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1,то ее координаты удовлетворяют уравнению hello_html_6abde384.gif, подставив в это уравнение вместо x и y x=coshello_html_695bfd0f.gif и y=sinhello_html_695bfd0f.gif, получим
hello_html_m191de4fe.gif. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством, оно верно при любых значениях hello_html_467db471.gif

Теперь выясним, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению hello_html_m9e05797.gif. Так как x=coshello_html_695bfd0f.gif и y=sinhello_html_695bfd0f.gif,то hello_html_m5215515f.gif.

Аналогично hello_html_m27d50e54.gif, а значит легко получить еще одну формулу hello_html_m250eb860.gif1.

Выведем теперь формулы, которые выражают соотношения между тангенсом и косинусом, а так же между синусом и тангенсом одного и того же угла.

Разделив обе части основного тригонометрического тождества на hello_html_m1f0461e2.gif, получим hello_html_6d4ed277.gif. Если разделить основное тригонометрическое тождество на hello_html_m4362a370.gif, то будем иметь: hello_html_m602c075a.gif.

Приведенные равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами.


hello_html_m191de4fe.gif


hello_html_4f070ba9.gif


hello_html_m77ba81ed.gif

hello_html_563c774e.gif


hello_html_6d4ed277.gif


hello_html_m602c075a.gif


Пример 11. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:hello_html_4094b7de.gif.

Решение:

При решении данного примера необходимо использовать следующие формулы:

hello_html_m191de4fe.gif;

hello_html_befb32a.gif;

hello_html_4f070ba9.gif; hello_html_12a3bae5.gif;

hello_html_m242b2b8b.gif

hello_html_1d27d570.gif,

hello_html_7b576756.gif

Задание 11. По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

а)hello_html_m42af50de.gif

б)hello_html_m289dada4.gif

в)hello_html_m4c3abd06.gif

г)hello_html_m7b510785.gif

д)hello_html_7e5d6668.gif

е)hello_html_m175de737.gif


Пример 12. Упростить выражения:

а) hello_html_602c844a.gif

б)hello_html_m4560132b.gif

Решение:

а) hello_html_1b873832.gif

б)hello_html_751c6b9a.gif

Задание 12. Упростить выражения:

а)hello_html_3d58967d.gif

б)hello_html_77d6606a.gif

в)(hello_html_4a0ccb9a.gif

г)hello_html_2c5e7889.gif

§5.2. Формулы приведения.


Формулами приведения называются формулы для преобразования выражений вида:

hello_html_670f3a9a.gif

hello_html_m80d33e8.gif

Для запоминания этих формул удобно пользоваться мнемоническим правилом:

  1. Если угол α откладывается от горизонтальной оси, то название функции не меняется.

  2. Если угол α откладывается от вертикальной оси, то название функции меняется на кофункцию. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс).

  3. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если считать, что hello_html_m70e1752c.gif.

hello_html_5e2f1d52.pnghello_html_m66db6da4.png

hello_html_3d329586.pnghello_html_m6629483a.png

Пример 13. Замените тригонометрической функцией угла α выражение

hello_html_m73d70b19.gif.

Решение: Так как угол α откладывается от вертикальной оси, то название функции измениться на кофункцию. Считая α углом I четверти, находим, что hello_html_m78fdfd82.gif является углом третьей четверти, в которой исходная функция косинус имеет отрицательный знак.

Окончательно получаем: hello_html_m754a485.gif

Задание 13. Замените тригонометрической функцией угла α:

а)

hello_html_m42a4e27b.gif

б)

hello_html_2f292dd.gif

в)

hello_html_688d500a.gif

г)

hello_html_m75a58c39.gif

д)

hello_html_4f02e2bc.gif

е)

hello_html_m522c3b91.gif

Пример 14. Найти значение выражения а) hello_html_m566a968d.gif; б)hello_html_3075c558.gif

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

hello_html_1b7bd38f.gif

Можно воспользоваться другой формулой:

hello_html_26e5cb22.gif

б) hello_html_m775fafa3.gif.

Задание 14. Найдите значение выражения:

а)

hello_html_m576cc074.gif

б)

hello_html_39f8b19b.gif

в)

hello_html_42c22f95.gif

г)

hello_html_67c002ce.gif

д)

hello_html_36a81e9a.gif

е)

hello_html_m79796728.gif

ж)

hello_html_6f3270e5.gif

з)

hello_html_m4f7e0412.gif

Пример 15. Упростить выражения, используя формулы приведения:

hello_html_ee44222.gif

hello_html_m71c08991.gif

Решение:

  1. hello_html_ma7545d7.gif

  2. hello_html_m399f2fba.gif.

Задание 15. Упростите выражения, используя формулы приведения:

а)

hello_html_5a9e9500.gif

б)

hello_html_m7a1c922f.gif

в)

hello_html_73a5437d.gif

г)

hello_html_52a99a17.gif

д)

hello_html_m2791e06b.gif

е)

hello_html_md8b65c.gif

ж)

hello_html_m731a1851.gif

з)

hello_html_2c562899.gif

§6.Формулы сложения и следствия из них.

§6.1. Формулы сложения.


Для нахождения тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов применяются следующие формулы:

hello_html_7e84df3b.gif

hello_html_m2948149f.gif

hello_html_m77be6c66.gif

hello_html_m54ff70d9.gif

hello_html_738d8500.gif

hello_html_334f0e6c.gif


Пример 16. Вычислить, используя формулы сложения hello_html_m5b4b0e61.gif,hello_html_548560e4.gif, hello_html_m42d87dc3.gif.

Решение:
Представим угол hello_html_m55784c4b.gifв виде разности hello_html_me8be715.gif.hello_html_11852162.gif Используя формулы разности получим:

hello_html_m7aabd5f1.gifhello_html_6443f891.gif

hello_html_6143feee.gif

hello_html_m535be2f7.gif

hello_html_m5aa99016.gif

Задание 16.

а) Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислить sin 105°, cos 105° и hello_html_3ab8a488.gif.

б) Представив 75° как сумму 30°+45°, вычислить sin 75° , cos 75° и hello_html_5eeafb1e.gif.


Пример 17. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

hello_html_1cd92af8.gif.

Решение:

hello_html_724b17d3.gif

hello_html_m79586d20.gif

Задание 17. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

а)

hello_html_m8670e0e.gif

б)

hello_html_m2ac899f5.gif

в)

hello_html_m2e8ca75e.gif

г)

hello_html_m7742d05f.gif

д)

hello_html_m3511517d.gif

е)

hello_html_m59ad074f.gif

Пример 18.Упростить выражение: hello_html_43da971f.gif.

Решение:

Применяя формулу синуса суммы и табличные значения hello_html_678606c1.gif, получим:

hello_html_m7ae532db.gif

hello_html_m2f338d84.gif

Задание 18. Упростите выражение:

а)

hello_html_m8367bc8.gif


б)

hello_html_m2ec3f2a4.gif

в)

hello_html_m1fef50ea.gif

г)

hello_html_582fb24c.gif

д)

hello_html_m78d8f249.gif

е)

hello_html_m45be8f9b.gif


Пример 19.Найти значение выражения:

hello_html_mdd7df26.gif.

Решение:

Используя формулу синуса разности, преобразуем выражение и найдем ответ:

hello_html_m7950940c.gif.

Задание 19. Найдите значение выражения:

а)

hello_html_38c33775.gif

б)

hello_html_m7f062fda.gif

в)

hello_html_3a26e61f.gif

г)

hello_html_m69d6a82c.gif

д)

hello_html_m37c14062.gif

д)

hello_html_m4d1b6ff7.gif

Пример 20. Упростить выражение

hello_html_m6e7458ec.gif.

Решение:

hello_html_m54ea72a2.gif

hello_html_m18aacc22.gif

Задание 20. Упростите выражение:

hello_html_3f2c6abb.gif

hello_html_ae1cf16.gif

б)

hello_html_m4777d0f7.gif

hello_html_m7401041.gif

hello_html_3598d64d.gif

г)

hello_html_241a1163.gif


Пример 21. Известно, что α и β – углы I четверти и hello_html_5387a557.gif.

Найти hello_html_m65c6d0ce.gif.

Решение:

Воспользуемся формулой синуса суммы: hello_html_1c196b7c.gif. Нам уже известны значения hello_html_5387a557.gif.

Необходимо найти значения hello_html_m448b349f.gif и hello_html_m4df7f5c8.gif. Поскольку α и β – углы I четверти, то косинус и синус соответствующих углов будут принимать положительные значения.

hello_html_5c3932e7.gif

hello_html_3626e069.gif

Тогда подставив найденные значения в формулу, получим:

hello_html_50851750.gif

hello_html_m16d05984.gif.

Таким образом, hello_html_4475f4c2.gif

Задание 21.

1) Известно, что hello_html_m2607a7a9.gif — углы II четверти и hello_html_6184e976.gif.

Найдите:

а)hello_html_1d48280a.gif; б)hello_html_653a1778.gif;

в)hello_html_m3e73ea4c.gif; г)hello_html_m6753f82.gif.

2) Известно, что hello_html_m6c1f7cff.gif. Найдите:

а)

hello_html_m1cfc9ce0.gif

б)

hello_html_402990ca.gif

§6.2.Формулы кратных аргументов

Формулы сложения позволяют выразить hello_html_4fcfbd2f.gif через тригонометрические функции угла hello_html_695bfd0f.gif, положив, что hello_html_7c086cbc.gif получаем тождества:

hello_html_43c89e15.gif

hello_html_m63a7a326.gif

hello_html_m3b96feaf.gif


Эти тождества называются формулами двойного угла.

Пример 22. Упростить выражение hello_html_m73ad9681.gifhello_html_m73ad9681.gif.

Решение: В числители дроби раскроем формулу косинуса удвоенного угла

hello_html_m617a59c3.gif

hello_html_96703e5.gif

Задание 22. Упростите выражение:

а)

hello_html_m68c801db.gif

б)

hello_html_m7ae0914e.gif

в)

hello_html_26107c89.gif

г)

hello_html_m2bf7e22e.gif

д)

hello_html_m1365c289.gif

е)

hello_html_191a56f.gif


Задание 23. Пусть hello_html_1cfc1635.gif и α - угол II четверти.

Найдите: а)hello_html_m5af24907.gif; б)hello_html_7de37840.gif; в)hello_html_1d2258d1.gif.

Решение проводится аналогично решенному ранее примеру номер 21.

Задание 24. Пусть hello_html_m591159a1.gif и α - угол III четверти.

Найдите: а)hello_html_m5af24907.gif; б)hello_html_7de37840.gif; в)hello_html_1d2258d1.gif.

Задание 25. Упростите выражение:

а)

hello_html_m6c098b9c.gif

б)

hello_html_m4684f81c.gif

в)

hello_html_m2d305e89.gif

г)

hello_html_m54d279f8.gif

д)

hello_html_m25ba68e0.gif

е)

hello_html_m37d2781d.gif

ж)

hello_html_m3685b39d.gif

з)

hello_html_m2a228b52.gif

и)

hello_html_m655db4cd.gif

§6.3. Формулы половинного аргумента.

Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выразить функции аргумента hello_html_m52ce6d3e.gif через функции аргумента hello_html_m25a0a123.gif


hello_html_m6dedd937.png


В этих формулах знак «+» или « —» выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол hello_html_m52ce6d3e.gif.

Пример 23. Найти hello_html_m2c5ccdb0.gif.

Решение: Для нахождения косинуса половинного угла необходимо найти значение hello_html_2b5da20e.gif.

hello_html_m1e08ddbb.gif

Поскольку угол α принадлежит первой четверти, то hello_html_7d3d25dd.gif тогда hello_html_m7f02b218.gifhello_html_meca8c26.gifhello_html_meca8c26.gif

Задание 26. Найти функцию половинного аргумента:

а)

hello_html_m44b37907.gif

б)

hello_html_m394e0756.gif

в)

hello_html_m21cec1d2.gif

г)

hello_html_43a85310.gif


Задание 27. Упростите выражение:

а)

hello_html_m1281364d.gif

б)

hello_html_m74e91ca4.gif

в)

hello_html_fac0400.gif

г)

hello_html_m6e2a925b.gif

д)

hello_html_m593fd615.gif

е)

hello_html_7cff8430.gif


§6.4. Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Если в формулах сложения положить hello_html_m16ece72a.gif следующие формулы:

hello_html_m6ebf5320.png


Пример 24. Преобразовать в произведение hello_html_m24981136.gif

Решение:

hello_html_4c44dc14.gif

hello_html_5b52ae93.gif

Задание 28. Представьте в виде произведения:

а)

hello_html_26310825.gif

б)

hello_html_674a26ca.gif

в)

hello_html_m2a1ce8ec.gif

г)

hello_html_m159bc8a6.gif

д)

hello_html_m45b3fae5.gif

е)

hello_html_706fbf78.gif

Задание 29. С помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение разложите на множители выражение:

а)hello_html_451af430.gif б)hello_html_m211e9882.gif

в)hello_html_m3a5e065f.gif г)hello_html_79391476.gif

Пример 25. Преобразовать выражение: hello_html_m49cacd2.gifhello_html_6e7a16fd.gif.

Решение:

hello_html_m33432cd8.gif

Задание 30. Представьте в виде произведения

а)

hello_html_59817f4b.gif

б)

hello_html_2858931d.gif

в)

hello_html_23404dda.gif

г)

hello_html_m43f30c18.gif

д)

hello_html_m49cacd2.gif

е)

hello_html_m72bf7ac5.gif


Задание 31. Найдите значение выражения:

а)

hello_html_c58662a.gif

б)

hello_html_m2f445521.gif


§6.5. Преобразование произведений в суммы или разности.

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы:


hello_html_m49311e44.png


Пример 26. Преобразуйте произведение в сумму:

Решение:

hello_html_m38318bd0.gif

hello_html_m31aa8213.gif

Задание 32. Преобразовать произведение в сумму:

а)

hello_html_10eb3988.gif

б)

hello_html_m32ef0b01.gif

в)

hello_html_m60899a75.gif

г)

hello_html_1fcf8d3b.gif

д)

hello_html_m5caa83cd.gif

е)

hello_html_6a673d2d.gif

ж)

hello_html_61cffd16.gif

з)

hello_html_m11695a14.gif

и)

hello_html_m333a6dc7.gif

Задание 33. Вычислить:

а)

hello_html_2d88bdbd.gif

б)

hello_html_m6a073e12.gif

в)

hello_html_m15d813e6.gif

г)

hello_html_m6af3a907.gif


Приложение 1


Линии тригонометрического круга

hello_html_m160332a2.png

hello_html_m72e6f92b.png

hello_html_5b40e5ad.png

hello_html_m6615ffd.png

hello_html_4cfd1474.png

Дополнительные задачи

hello_html_420cf691.png

hello_html_2c8cd17a.png


hello_html_2c8cd17a.png

hello_html_593828b0.png
















Список литературы

  1. Алгебра для 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Виленкина Н.Я., М., Просвещение, 1996. -383с.

  2. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович   А.Г. 7-е изд. - М.: 2006. - 375с.

  3. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. изд. - : Просвещение, 2007.- 384с.

  4. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Профильный уровень. Пратусевич М.Я. и др. изд. - : Просвещение, 2010. - 463 с.

  5. Математика: учеб. пособие/ В.С.Михеев и др.; Под ред.В.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (среднее проф. Образование)

  6. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних проф. Учебных заведений / Н.В. Богомолов. -8-е изд. – М.: Высшая шк.,2006. – 495с.

  7. Репетитор по математике для поступающих в вузы/ Э.Н. Балаян - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2010. – 774.

  8. Задачи по алгебре и началам анализа/Саакян С.М., Гольдман А.М и др. - М.: Просвещение, 1990. – 336 с.

  9. Сборник задач по математике для поступающих во втузы/В.К. Егоров, В.В. Зайцев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд. – М.:ООО «Издательство Оникс», 2011.- 608с.

  10. Тригонометрия: Учеб. Для 10 кл. общеобразоват.уч./Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Мендюк; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1999. – 64 с.

  11. Устные упражнения по математике для 5-11 классов/Э.Н. Балаян – Ростов-на-Дону: «Феникс», 2008. – 247.
























1 Радианная система измерения дуг и углов используется наряду с градусной системой измерения, которая основана на делении окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд.

30


Краткое описание документа:

Настоящие учебное пособие содержит задачи и упражнения по основным разделам тригонометрии. Даются краткие теоретические сведения, решение типовых примеров, а так же задания для самостоятельной работы курсантов. Разработано для специальностей 26.02.03 «судовождение» и 26.02.05 «эксплуатация транспортных энергетических установок (по видам транспорта)».

Однако, данное пособие будет полезно и для учащихся 10 классов.
Автор
Дата добавления 02.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1074
Номер материала ДВ-221258
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх