Методическая разработка " Основы тригонометрии"

Титульный лист

Всероссийский фестиваль педагогического творчества

(2015-2016 учебного года)

Номинация:  педагогические идеи и технологии: профессиональное образование

Название работы: Учебно-методическое пособие для самостоятельной работы курсантов «Основы тригонометрии»

Автор: Зеленская Ольга Юрьевна

Место выполнения: Институт водного транспорта  имени Г.Я.Седова - филиал

ФГБОУ «Государственный морской университет имени адмирала Ф.Ф.Ушакова» города Ростова-на-Дону.

Основы тригонометрии. Сборник задач и упражнений.

Рассмотрено цикловой комиссией физико-математических и естественнонаучных дисциплин.

Настоящие учебное пособие содержит задачи и упражнения по основным разделам тригонометрии. Даются краткие теоретические сведения, решение типовых примеров, а так же задания для самостоятельной работы курсантов. Разработано для специальностей 26.02.03  «судовождение» и 26.02.05  «эксплуатация транспортных энергетических установок (по видам транспорта)».

  Составитель: Зеленская О.Ю.

  Рецензент: Препод.  первой категории Моисеева Т.В.

                      Ассистент кафедры алгебры и мат. анализа ЮФУ Давиденко Л.В.

Содержание:

§1. Радианная мера угла. 4

§2. Единичная числовая окружность. Поворот точки. 5

§3 Тригонометрические функции числового аргумента. 6

§4.  Основные свойства тригонометрических функций. 7

§4.1. Знаки и значения тригонометрических функций. 7

§4.2.Четность и нечетность тригонометрических функций. 9

§4.3. Периодичность тригонометрических функций. 11

§5. Основные  тригонометрические   формулы. 12

§5.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного  и того же аргумента. 12

§5.2. Формулы приведения. 14

§6.Формулы сложения и следствия из них. 17

§6.1. Формулы сложения. 17

§6.2.Формулы кратных аргументов. 20

§6.3. Формулы половинного аргумента. 21

§6.4.  Формулы преобразования сумм или разностей в произведения: 22

§6.5. Преобразование произведений в суммы или разности. 24

Приложение 1. 25

Дополнительные задачи. 26

Список литературы. 28

§1. Радианная мера угла.

В радианной системе измерения[1]  дуг (и соответствующих им центральных углов) в качестве единицы измерения  берется дуга, длина которой равна радиусу этой окружности. Так как длина окружности равна 2πR, то дуга, принятая за единицу измерения составляет  часть данной окружности. Введенную единицу измерения дуг называют радиан. Сокращенно обозначают «рад». За единицу измерения углов в радианной системе принимают центральный угол, соответствующий дуге в один радиан.

Так как окружность содержит  и в то же время 2 π радиан, то один радиан соответствует :

, .

Формула преобразования углов из градусной меры в радианную:

Формула преобразования углов из радианной меры в градусную:

Пример 1. Найти радианную меру угла, равного15⁰.

Решение:   .

Пример 2. Найти градусную меру угла, равного   рад.

Решение:     .

Задание1. Выразите в радианной мере величины углов:

а) 30˚, 36˚, 180˚;         б) 120˚, 310˚, 360˚;

Задание2. Выразите в градусной мере величины углов:
          а)  ;                         б)

§2. Единичная числовая окружность. Поворот точки.

Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1, называется единичной окружностью. Как известно из курса планиметрии уравнение единичной окружности имеет вид .

Примем точку А(1;0) единичной окружности за начало отсчета дуг. Пусть дан произвольный угол α, его можно изобразить как угол поворота радиус-вектора  в заданном направлении, где точка О(0;0) – начало координат. При этом повороте точка А(1,0)  перейдет  в некоторую точку окружности М(x,y), такую, что = α. В зависимости от того, в какой четверти находиться точка М(x,y), угол АОМ называют углом этой четверти.

Нужно отметить, что движение точки М(x,y) вдоль окружности против движения часовой стрелки называют положительным обходом, по часовой –отрицательным.

Существует бесконечное множество дуг, имеющих данное начало А и данный конец М. Множество этих дуг (углов), как положительных, так и отрицательных, выражается формулой

Пример 3. Углом какой четверти является углы  

Решение: 

Угол  является углом I четверти() и угол  также является углом I четверти, так как  и радиус-вектор , повернувшись в положительном направлении на угол , затем совершит еще два полных оборота и вновь совпадет с радиус-вектором .

Для определения четверти угла , переведем его для удобства в градусную меру:  Таким образом, радиус-вектор , повернувшись в положительном направлении на указанный угол окажется во I I четверти.

Задание 3.  Углом какой четверти является угол α, если:

а)α = 283˚;           б)α = 100˚;      в) α =–110˚;

г) ;              д) ;           е) .

§3 Тригонометрические функции числового аргумента.

Абсцисса Х точки  числовой единичной окружности называется косинусом числа :                                Х=cos.

Ордината Х точки  числовой единичной окружности называется синусом числа :                                   Y=sin.

Областью определения синуса и косинуса служит множество всех действительных чисел.

Отношение синуса числа  к его косинусу называется тангенсом числа:                                             .

Область определения тангенса -  множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

Отношение косинуса числа  к его синусу называется котангенсом числа:                                                .

Область определения котангенса -  множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

Величина, обратная косинусу числа  называется секансом числа

Область определения секанса -  множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

Величина, обратная синусу числа  называется косекансом числа

Область определения секанса -  множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида

Функции  ограничены, так как

.

Функции tg и ctg не ограничены, так как каждая из них может  принимать любое  действительное значение, т.е. Е(tg)=R и Е(сtg)=R.

    Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функций  и

Решение:  Поскольку , то прибавив к левой и правой части 1: , преобразуем

Таким образом, наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее – 0.

Аналогично первой функции начнем с того, что функция косинуса так же ограничена, т.е. . Умножив на -1 исходное двойное неравенство, получим , теперь прибавим к левой и правой части 2: , преобразуем

Таким образом, наибольшее значение функции  равно 3, а наименьшее равно 1.

            Задание 4.  Найти наибольшее и наименьшее значение функций:

а)

б)

§4.  Основные свойства тригонометрических функций.

§4.1. Знаки и значения тригонометрических функций.

Выясним, какие знаки  принимают тригонометрические функции в каждой из координатной четвертей.

 Пусть при повороте радиус-вектора  точка А перешла в точку В, с координатами x,y.Т.к. y=sin, то знак синуса зависит от знака y: в I и II четвертях y0, значит, если угол поворота  является углом I или II, то sin0.

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что в III и IV четвертях y, а значит и sin.

Пусть при повороте радиус-вектора  точка А перешла в точку В, с координатами x,y. Т.к. x=cos, то знак косинуса зависит от знака x: в I и IV четвертях x0, значит, если угол поворота  является углом I или IV, то cos0.

Аналогичные рассуждения приводят к тому, что во II и III четвертях x, а значит и cos.

Для определения знаков tg и  ctg достаточно вспомнить, что  и , ведь зная знаки синуса и косинуса по четвертям можно определить знаки тангенса и котангенса (сделать самостоятельно).

Таким образом, определение знаков тригонометрических функций по четвертям отображено ниже :

Значения тригонометрических функций основных углов

Пример 5.  Определить какой знак имеет выражение: .

Решение: 

 , т.к. угол, равный , а синус в III четверти отрицательный.

Задание 5. Определить знаки выражений:

а);          б);             в);

г);             д);       е);

Пример 6.  Определить какой знак имеет выражение .

Решение:  

;

, значит

.

Задание 6. Определите знак выражений:

а) ;	б);	в);
г) ;	д)	е);

Пример 7.  Найти значение выражения, используя таблицу значений:

а)

б)

в)

Решение:  

а)

 

в)

Задание 7. Найти значение выражения, используя таблицу значений:

а)

б)

в)

 

§4.2.Четность и нечетность тригонометрических функций.

Рассмотрим  свойства четности и нечетности тригонометрических функций.

 Напомним, что функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. что означает, что для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Таким образом, функции синуса, тангенса и котангенса  являются нечетными, а функция косинуса – четная. Эти свойства четности и нечетности тригонометрических функций можно выразить следующими формулами:

; ; ; .

 

Пример 8.Найти значение выражения, используя свойства четности и нечетности функций: а)

Решение:

Задание 8.  Найти значение выражения, используя свойства четности и нечетности функций:

;

в).

 

§4.3. Периодичность тригонометрических функций.

Функция у=f (х)называется периодической, если существует некоторое число Т 0 (называемое периодом функции у=f (х) ), такое что при любом значении х, принадлежащем области определения функции, числа х+Т и х-Т также принадлежат области определения функции и выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x-T).

Следует понимать, что если Т - период функции, то число kT, где k любое целое число отличное от нуля, также будет являться периодом функции. Исходя из вышесказанного, получаем, что любая периодическая функции имеет бесконечно много периодов. Чаще всего разговор ведется о наименьшем периоде функции.

Тригонометрические функции sinx и cosx являются периодическими, с наименьшим положительным периодом равным 2π.

Тригонометрические функции tgx и ctgx являются периодическими, с наименьшим  положительным периодом равным π.

Свойство периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами:

; ; ; .

Пример 9.  Вычислить а)  и б) .

Решение:  На основании свойства периодичности косинуса и синуса получим:

Задание 9. Вычислить:

а);                 б);             в);

г);        д);  е);

Пример 10. Найти период функции

Решение:  Обозначив искомый период через Т, получим:  или  Отсюда заключаем, что

Задание 10. Найти периоды функций:

а)

б)

в)

§5. Основные  тригонометрические   формулы.

§5.1. Соотношения между тригонометрическими функциями одного  и того же аргумента.

Рассмотрим как связаны между собой синус и косинус одного угла.

Пусть при повороте радиус-вектора  вокруг точки О на угол , получили точку В, с координатами x,y, где x=cos и y=sin, по определению.

 Так как точка В принадлежит окружности  с центром в начале координат и радиусом, равным 1,то ее координаты удовлетворяют уравнению , подставив в это уравнение вместо x и y x=cos и y=sin, получим
. Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством, оно верно при любых значениях

Теперь выясним, как связаны между собой тангенс, синус и косинус одного и того же угла.

По определению . Так как x=cos и y=sin,то .

Аналогично , а значит легко получить еще одну формулу 1.

 Выведем теперь формулы, которые выражают соотношения между тангенсом и косинусом, а так же между синусом и тангенсом одного и того же угла.

Разделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим . Если разделить основное тригонометрическое тождество на , то будем иметь: .

Приведенные равенства являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествами.

Пример 11. По заданному значению функции найдите значения осталь­ных тригонометрических функций:.

Решение:  

При решении данного примера необходимо использовать следующие формулы:

;

;

; ;

     ,

Задание 11. По заданному значению функции найдите значения осталь­ных тригонометрических функций:

а) б) в) г) д) е)

 Пример 12. Упростить выражения:

а)

б)

Решение:  

а)

б)

Задание 12. Упростить выражения:

а)	б)
в)(	г)

 

§5.2. Формулы приведения.

Формулами приведения называются формулы для преобразования выражений вида:

Для запоминания этих формул удобно пользоваться  мнемоническим правилом:

1.                  Если угол α откладывается от горизонтальной оси, то название функции не меняется.

2.                  Если угол α откладывается от вертикальной оси, то название функции  меняется     на кофункцию. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котан­генса называются соответственно косинус, си­нус, котангенс и тангенс).

3.                  Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если считать, что  .

            

Пример 13. Замените тригонометрической функцией угла α выражение

 .

Решение: Так как угол α откладывается от вертикальной оси, то название функции измениться на кофункцию. Считая α углом I четверти, находим, что  является углом третьей четверти, в которой  исходная функция косинус имеет отрицательный знак.

Окончательно получаем:

Задание 13. Замените тригонометрической функцией угла α:

а)		б)			в)
г)		д)		е)

Пример 14. Найти значение выражения а) ; б)

Решение:  

Воспользуемся формулами приведения:

Можно воспользоваться другой формулой:

  б) .

 Задание 14. Найдите значение выражения:

а)			б)				в)
г)			д)				е)
ж)					з)

Пример 15. Упростить выражения, используя формулы приведения:

Решение:  

1.        

2.         .

Задание 15. Упростите  выражения, используя формулы приведения:

а)		б)		в)
г)		д)		е)
ж)
з)

 

§6.Формулы сложения и следствия из них.

§6.1. Формулы сложения.

Для нахождения тригонометрических функций суммы и разности двух аргументов применяются следующие формулы:       

Пример 16. Вычислить, используя формулы сложения ,, .

Решение:  
     Представим угол в виде разности . Используя формулы разности получим:

Задание 16.

 а) Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислить sin 105°, cos 105° и .

б)  Представив 75° как сумму 30°+45°, вычислить sin 75° , cos 75° и .

Пример 17. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

 .

Решение:  

Задание 17. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

а)		б)		в)
г)		д)		е)

Пример 18.Упростить выражение:  .

Решение:  

Применяя формулу синуса суммы и табличные значения ,  получим:

Задание 18. Упростите выражение:

а)		б)		в)
г)		д)		е)

Пример 19.Найти значение выражения:

.

Решение:  

 Используя формулу синуса разности, преобразуем выражение и найдем ответ:

 .

Задание 19. Найдите значение выражения:

а)		б)
в)		г)
д)		д)

Пример 20. Упростить выражение

.

Решение:  

Задание 20. Упростите выражение:

		б)
		г)

Пример 21. Известно, что α и β – углы I четверти и .

Найти .

 Решение:

 Воспользуемся формулой синуса суммы: . Нам уже известны значения .

Необходимо найти значения  и . Поскольку α и β – углы I четверти, то косинус и синус соответствующих углов будут принимать  положительные значения.

Тогда подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Таким образом,

Задание 21.

1) Известно, что   — углы II четверти и .

Найдите:

а);                                б); 

в);                               г).

2) Известно, что . Найдите:

а)

б)

§6.2.Формулы кратных аргументов

Формулы сложения позволяют выразить  через тригонометрические функции угла , положив, что  получаем тождества:

Эти тождества называются формулами двойного угла.

Пример 22. Упростить выражение  .

Решение: В числители дроби раскроем формулу косинуса удвоенного угла

Задание 22. Упростите выражение:

а)		б)		в)
г)		д)		е)

Задание 23. Пусть  и α - угол II четверти.

 Найдите:   а);  б);   в).

Решение проводится аналогично решенному ранее примеру номер 21.

Задание 24. Пусть  и α -  угол III четверти.

Найдите:   а);  б);   в).

Задание 25. Упростите выражение:

а)		б)		в)
г)		д)		е)
ж)		з)		и)

 

§6.3. Формулы половинного аргумента.

Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выразить функции аргумента  через функции аргумента

В этих формулах знак «+» или « —» выбирается в зависи­мости от того, в какой четверти находится угол .

Пример 23. Найти .

Решение: Для нахождения косинуса половинного угла необходимо найти значение .

Поскольку угол α принадлежит первой четверти, то  тогда 

Задание 26.   Найти функцию половинного аргумента:

а)
б)
в)
г)

  Задание 27. Упростите выражение:

а)		б)
в)		г)
д)		е)

§6.4.  Формулы преобразования сумм или разностей в произведения:

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Если в  формулах сложения положить  следующие формулы:

Пример 24. Преобразовать в произведение

Решение:

Задание 28. Представьте в виде произведения:

а)		б)		в)
г)		д)		е)

Задание 29.  С помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение разложите на множители выражение:

а)        б)

в)     г)

Пример 25. Преобразовать выражение:  .

 Решение:

Задание 30. Представьте в виде произведения

а)		б)		в)
г)		д)		е)

Задание 31.  Найдите значение выражения:

а)

б)

§6.5. Преобразование произведений в суммы или разности.

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму применяются формулы:

Пример 26. Преобразуйте произведение в сумму:

Решение:

Задание 32. Преобразовать произведение в сумму:

а)		б)		в)
г)		д)		е)
ж)		з)		и)

Задание 33. Вычислить:

а)		б)
в)		г)

Приложение 1

Линии тригонометрического круга

Дополнительные задачи

Список литературы

1.        Алгебра для 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под ред. Виленкина Н.Я., М., Просвещение, 1996. -383с.

2.        Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович   А.Г. 7-е изд. - М.: 2006. -  375с.

3.        Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. изд. - : Просвещение,  2007.- 384с.

4.        Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Профильный уровень. Пратусевич М.Я. и др.  изд. - : Просвещение, 2010. -  463 с.

5.        Математика: учеб. пособие/ В.С.Михеев и др.; Под ред.В.М. Демина. – Ростов н/Д: Феникс, 2009. – 896 с. – (среднее проф. Образование)

6.        Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних проф. Учебных заведений / Н.В. Богомолов. -8-е изд. – М.: Высшая шк.,2006. – 495с.

7.        Репетитор по математике для поступающих в вузы/ Э.Н. Балаян - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2010. – 774.

8.        Задачи по алгебре и началам анализа/Саакян С.М., Гольдман А.М и др. - М.: Просвещение, 1990. – 336 с.

9.        Сборник задач по математике для поступающих во втузы/В.К. Егоров, В.В. Зайцев и др.; Под ред. М.И. Сканави. – 6-е изд. – М.:ООО «Издательство Оникс», 2011.- 608с.

10.   Тригонометрия: Учеб. Для 10 кл. общеобразоват.уч./Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Мендюк; Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 1999. – 64 с.

11.   Устные упражнения по математике для 5-11 классов/Э.Н. Балаян – Ростов-на-Дону: «Феникс», 2008. – 247.

---

[1] Радианная система измерения дуг и углов используется наряду с градусной системой измерения, которая основана на делении окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд.

Краткое описание документа:

Настоящие учебное пособие содержит задачи и упражнения по основным разделам тригонометрии. Даются краткие теоретические сведения, решение типовых примеров, а так же задания для самостоятельной работы курсантов. Разработано для специальностей 26.02.03 «судовождение» и 26.02.05 «эксплуатация транспортных энергетических установок (по видам транспорта)».

Однако, данное пособие будет полезно и для учащихся 10 классов.