Методическая разработка по геометрии в 11 классе "Решение задач на нахождения угла между прямыми"

Урок геометрии в 11 классе

«Решение задач на нахождения угла между прямыми»

(урок одной задачи)

Цели:

- рассмотреть решение стереометрической задачи разными способами;

- подготовить учащихся к успешной сдачи ЕГЭ;

- активировать познавательный интерес к математике;

- развивать внимание, память, воображение, логическое и алгоритмическое мышление.

План урока:

1.     Организационный момент урока.

2.     Проверка домашнего задания на интерактивной доске с объяснениями учащихся.

3.     Повторение материала:

- определение скрещивающихся прямых;

- признак скрещивающихся прямых;

- теорема о скрещивающихся прямых;

- угол между скрещивающимися прямыми.

- прямоугольная система координат;

- координаты вектора;

- скалярное произведение векторов;

- сумма векторов;

           - угол между векторами.

4.  Учитель разделил класс на три равные группы, учитывая индивидуальные способности каждого ученика и дал задание решить одну и ту же задачу каждой группе, только разными способами.

Задача.

 Дан куб АВСDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми ВЕ и DP,   если Е – середина В₁С₁, а Р – середина D₁C₁.

1 группа – найти угол между скрещивающимися прямыми;

2 группа – координатным способом;

3 группа- векторным способом.

Затем представитель каждой группы на доске показывал решение задачи своим способом.

- решение задачи( 1 способ):

                                                           Решение:

                                                   Прямую DР заменим прямой АР₁, АР₁ ║DР;

                                                   Прямую ВЕ заменим прямой АЕ₁, АЕ₁║ВЕ.

                                                  Рассмотрим ∆АВ₁Е₁: (по теореме косинусов)

                                            Р₁Е₁² = АР₁² +АЕ₁² – 2 АР₁ АЕ₁ cosА

                                            Из ∆АА₁Е:  АЕ₁ = √1 + ¼ = √⁵/₄ = ^√5/₂

АР1 =^√5/₂;     Р1Е1 = ^√2/₂  ( из ∆А₁Р₁Е₁)

 cosA =       =  

угол А = arkcos     

- решение этой же задачи координатным методом.

                                                  Решение:

                                    Найти угол между ВЕ и DР.

                                             В(0;0;0), Е(0;¹/₂;1),  D(1;1;0);  Р(¹/₂;1;1)

                                     DР = {-¹/₂;0;1},  BE{0;¹/₂;1}

                                   cos α =  =  =  

                                       α= arkcos  

- решение этой же задачи векторным  методом.

                                             Решение

                                      ВС = с + ½ а

                                     DР = с +  ½ b

                                    cos α =  =  =

=  =  

α= arkcos  

4.     Подведение итогов урока.

5.     Домашнее задание из сборника ЕГЭ(решить несколькими способами).

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁   АВ =2, АD = 4, АА₁ =3. Точка Е – середина АВ. Найдите угол между прямыми А₁С₁ и В₁Е.