Методическая разработка по подготовке к экзамену по математике.

 1. Чтобы найти 1% от числа, нужно число разделить на 100 или перенести запятую на два знака влево.

371,8 р => 1% - 3,781 р        3000, р => 1% - 30 р

 

2. Чтобы найти 10% от числа, нужно число разделить на 10 или перенести запятую на один знак влево.

3270  => 10% - 327          175,8р => 10% - 17,58 р

 

Если известно, сколько стоит 1кг, то стоимость 100 грамм можно найти делением исходной цены на 10.

1кг   -   90 р                          1кг  - 385  р

100 г =>  9 р                     100 г =>  38,5  р

1.     Внимательно рассматриваем данные по осям (определяем цену деления).

2.     Выясняем, что спрашивается в вопросе.

3.     Если «на сколько», то «вычитаем»;

Если «во сколько», то «делим».

  

1 способ:

-разбиваем фигуру на части:

-площадь фигуры равна сумме площадей её частей: S_ф = S₁ + S₂ + S₃ +…+ S_n.

2 способ:

-достраиваем фигуру до прямоугольника или прямоугольного треугольника;

-достроенную часть разбиваем как в первом способе;

-площадь фигуры равна разности площади прямоугольника (треугольника) и суммы площадей получившихся частей:  S_ф = S_{прям-ка} – ( S₁ + S₂ +…+ S_n )

1.     Выбери наиболее выгодное условие.

2.     Правильно ответь на вопрос. («сколько»                 «сумма»)

Алгоритмы решений уравнений:

Алгоритм решения иррациональных уравнений

Алгоритм решения показательных уравнений

Алгоритм решения логарифмических уравнений

 

с

Прямоугольный треугольник: .

1.     Перенеси данные на чертёж

2.     Выясни, каким соотношением они связаны.

3.    

b

Найди записанную величину из п№2,

 вычислением по данным из условия задачи.

a

4. Приравняй результат п.№2 и п.№3

 и вычисли искомое в получившейся пропорции.

sin α =          sin  =

cos α=          cos =

tg α = =            tg  ==

sin² α+ cos² α=1

c²=а²+b² (теорема Пифагора);

	*=а

 

Знать свойства логарифмов:

1. log_a b=c, если a^c =b, b>0

2. a^logab =b

3. log_a a=1

4. log_a (bc)= log_ab+log_ac

5. log_a = log_a b- log_a c

6. log_a b^p =p log_a b

7. log_a^q b= log_a b

8. log_a b=    

Основные выводы

1.   log_a а^в=в

2.   log_a^в а =

3.   log_a ^в=-в

4.   log_a^в  =-

5.   logа = -

6.   log а^в = - в

Алгоритм решения В8 (исследование графиков)

Выясняем, что на графике:

·       График функции-y=f(x)

1. Проводим пунктирные прямые, параллельные оси у (вертикальные линии) через вершины и впадины графика, а также через крайние точки графика.

2. Если график «ползёт» вверх, то от одной до другой пунктирной линии проводим стрелку вверх.

Если график «ползёт» вниз, то от одной до другой пунктирной линии проводим стрелку вниз.

min

max

Таким образом, чётко видны промежутки: возрастания (   ) функции, убывания(   ) функции, точки max и min.   

При нахождении наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке аналогичным способом исследуем поведение функции только на данном отрезке и по расположению точек (начала стрелки и её конца) определяем:

• точке лежащей выше, соответствует большее значение, а ниже – меньшее.

Таким образом, ответ записываем соответствующее значение конца отрезка.

·         Если же график пересекает ось х  на этом отрезке, то в этой точке функция принимает либо наибольшее, либо наименьшее значение.

· График производной функции-y=f ^’(x)

1.            Проводим пунктирные прямые, параллельные оси у (вертикальные линии) через точки пересечения графика с осью х, а также через крайние точки графика, расставляем знаки «плюс» и «минус».

2.      В соответствии со знаком от одной до другой пунктирной линии проводим стрелки:

 «минус»  проводим стрелку вниз;

 «плюс»  проводим стрелку вверх.

min

min

max

Таким образом, становится ясно:

• где функция возрастает, а где – убывает;
• какие точки являются  максимумами, а какие – минимумами.

Промежутки (интервалы, т.е их границы) определяются по оси ОХ.

1-ый тип заданий.

Найти min и max функции (экстремумы функции)

а) Приравнять производную к нулю  f^’(x)=0 и решить уравнение.

б) На графике производной  f^’(x) -это точки пересечения с осью ОХ.

2-ой тип заданий.

Найти промежутки возрастания функции

а) Составить неравенство  f^’(x)>0 и решить.

б) На графике производной  f^’(x) - кривая f^’(x) лежит выше оси ОХ:

Длина промежутка возрастания

Длина промежутка возрастания

Найти промежутки убывания функции

а) Составить неравенство  f^’(x)<0 и решить.

б) На графике производной  f^’(x) - кривая f^’(x) лежит ниже оси ОХ:

Длина промежутка убывания

Длина промежутка убывания

Промежутки (интервалы, т.е их границы)  определяются по оси ОХ.

3-ий тип заданий

Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= -1x+15 ( y= kx+b) или совпадает с ней.

На графике производной  f^’(x) через точку на оси OY соответствующую в данном случае -1 (в общем случае k) проводим прямую параллельную оси OX и определяем количество точек пересечения с кривой f^’(x)

В данном случае ответ  --  3 (три)

4-ый тип заданий

Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= 5 ( y= b) или совпадает с ней.

На графике функции считаем «бугорки» и «ямки»

Ответ – 5 (пять)

Запомни:

Если функция возрастает, то её производная –положительная (f’(x) >0)

Если функция убывает, то её производная –отрицательная (f’(x) <0)

Если функция достигает max или min, то её производная – равна нулю (f’(x) =0), т.е в точках, являющимися  экстремумами функции

Механический смысл производной функции

Если представлен график движения материальной точки и требуется ответить на вопросы связанные с её скоростью, то подпонятием скорость подразумеваем производная.

Скорость точки – положительная (так кат функция возрастает)

Скорость точки – отрицательная (так кат функция убывает)

Скорость точки – равна нолю (так кат функция достигает max и  min)

Геометрический смысл производной

Графический способ решения.

	1.Выбираем такой треугольник, у которого длины сторон – целое число клеток. (Проводим через одну из точек вертикальную прямую, через другую - горизонтальную) 2.Делим число клеток по вертикали (по У) на число клеток по горизонтали (по Х). Если на касательной написать своё имя и оно «поползёт» вверх, то ответом будет положительное число. 3.Записываем получившееся число в ответ.		1.Выбираем такой треугольник, у которого длины сторон – целое число клеток. (Проводим через одну из точек вертикальную прямую, через другую - горизонтальную) 2.Делим число клеток по вертикали (по У) на число клеток по горизонтали (по Х). Если на касательной написать своё имя и оно «поползёт» вниз, то ответом будет отрицательное число. 3.Записываем получившееся число со знаком минус в ответ.

 

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов

1.     Определи количество благоприятных исходов (нужных нам по условию)

2.     Определи количество всех исходов

3.     Раздели кол-во благоприятных исходов на кол-во всех исходов

Использовать формулы приложения «Объемы и площади поверхностей тел»

1.     Выпиши формулу и данные величины.

2.     Подставь выписанные величины в исходную формулу.

3.     Реши уравнение относительно величины, которую нужно найти.

1.     Составить таблицу

	Скорость (производительность труда)	Время	Пройденный путь (выполненная работа)
1-ый
2-ой

2.     Обозначить за Х   искомую величину (то ,что нужно найти ), выразить другую величину через неё. Заполнив две колонки таблицы исходя из условия задачи.

3.     Через формулы :s=vt,   v=s/t,    t=s/v, заполнить третью колонку данной таблицы.

4.     Составить неравенство, согласно условию задачи. (сравнить величины третьей колонки)

5.     Перейти от неравенства к равенству, используя правило: от большей величины отнимаем меньшую величину, получаем число, на которое они отличаются.

6.     Решаем получившееся уравнение.

7.     Выбираем ответ

 

1.     Вычисли производную данной функции

2.     Приравняй её к нулю и реши получившееся уравнение. (найденные корни (числа) будут являться экстремумами функции)

3.     Отметь корни на числовой прямой, выдели промежутки и определи знак производной на этих промежутках.

4.     Расставь стрелки, показывающие, возрастает или убывает функция.

(по расположению точек (начала стрелки и её конца) определяем:

точке лежащей выше, соответствует большее значение, а ниже – меньшее.)

5.     Выписываем соответствующее значение Х и поставляя его в уравнение, задающее функцию (см. условие задачи) вычисляем значение.

6.     Записываем ответ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

 

ответ

деление части без Х на коэффициент

упрощение

ответ

Квадратное уравнение

Линейное уравнение

найти дискриминант

перенос слагаемых

найти корни

выбрать корень, соответствующий условию

 

                   ДА                                                                  НЕТ

назад

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

81^х-2  =  9

1-ый шаг:  представь числа в виде степени с одинаковым основанием

81=3⁴  ,   9=3²       

2-ой шаг: преобразуй уравнение, используя свойства степени

Если основания степени взаимно обратные числа  (а и ) не забудь поставить знак «-» в правой части в записи уравнения ШАГ №3

3-ий шаг: приравняй показатели степеней

	4(Х – 2)

 

Реши уравнение  4(х-2)=2

5-ый шаг

Запиши ответ.

Запомни:

Свойства степени:

·     aⁿ * a^m  ₌ a^n+m

·     aⁿ : a^m  ₌ a^n-m

·     (aⁿ)^m  ₌ aⁿ*^m

·     a^-n ₌

назад

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

                                                     log₇ (8-х) =2 

1-ый шаг

т.к    log_a b=c, если a^c =b, b>0

                                                         (8-х) = 7² 

2-ой шаг

Решаем уравнение                              8-х=49

3-ий шаг

Выполняем проверку            8-х >0

Записываем ответ

Свойства логарифмов:

Знать свойства логарифмов: 1. loga b=c, если ac =b, b>0 2. alogab =b 3. loga a=1 4. loga (bc)= logab+logac 5. loga = loga b- loga c 6. loga bp =p loga b 7. logaq b= loga b 8. loga b=

Основные выводы

log_a а^в=в

log_a^в а =

log_a ^в=-в

log_a^в  =-

logа = -

log а^в = -

Действия с корнями

  1.Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:

  2.Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

  3.Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

  Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

  4.Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

  Обратно:

  5.Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

  Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

Формулы сокращенного умножения

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)²=a²+2ab+b²

  2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)²=a²-2ab+b²

  3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a²-b²

  4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

  5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

  6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³

  7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

Действия со степенями

  1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

(abc...)ⁿ=aⁿbⁿcⁿ...

  Практически более важно обратное преобразование:

aⁿbⁿcⁿ...=(abc...)ⁿ,

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

  2.Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

  3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

a^maⁿ=a^m+n

  4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:

a^m/aⁿ=a^m-n

  5.При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

(a^m)ⁿ=a^mn.

Квадратные уравнения

  Уравнение вида

ax2+bx+c=0

(1)

где, a, b, c - действительные числа, причем a ¹ 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ¹ 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
  Корни уравнения ax²+bx+c=0 находят по формуле

(2)

  Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
  В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
  Используя обозначение D = b²- 4ac, можно переписать формулу (2) в виде

  Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax²+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

  Пример 1: решить уравнение 2x² - 5x = 0.

  Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5

  Пример 2: решить уравнение 3x² - 27 = 0

  Имеем 3x² = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

  Теорема Виета.   Если приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

x₁ + x₂ = -p ,
x₁ x₂ = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Биквадратные уравнения

  Биквадратным называется уравнение вида ax⁴+bx²+c=0, где a ¹ 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x² = y, прийдем к квадратному уравнению ay²+by+c=0.
  Пример: Решить уравнение x⁴+4x²-21=0.
  Положив x² = y, получим квадратное уравнение y²+4y -21=0, откуда находим y₁= -7, y₂=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x²= -7, x²=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

1.	sin2a +cos2a =1	2.	tga *ctga =1
3.		4.
5.	sina *csc a =1	6.	cosa *sc a =1
7.	sc2a =1+tg2a	8.	csc2a =1+ctg2a
9.		10.

Выражения одних тригонометрических функций через другие

	sin	cos	tg	ctg
sin x
cos x
tg x
ctg x

Формулы сложения и вычитания углов

sin(a +b )=sina cosb + cosa sinb

sin(a -b )=sina cosb - cosa sinb

cos(a +b )=cosa cosb - sina sinb

cos(a -b )=cosa cosb + sina sinb

Формулы двойных, тройных и половинных углов.

sin 2a =2sina cosa

cos 2a =cos2a -sin2a =1-2sin2a =2cos2a -1

sin3a =3sina -4sin3a cos3a =4cos3a -3cosa

Формулы преобразования тригонометрических выражений.

---

---

---

---

---

---

       

---

       

---

tga  + ctga  =2csc2a     tga  - ctga  = -2ctg2a

---

       

---

---

---

---

       

---

       

---

---

---

tg²a  - sin²a  =tg²a  sin²a     ctg²a  - cos²a  =ctg²a  cos²a

Объемы и площади поверхностей тел

---

Наклонная призма

   Объем наклонной призмы

V=S_псa,

где S_пс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности наклонной призмы

S_б=P_псa,

где P_пс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности наклонной призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, S_осн - площадь её основания.

---

Прямая призма

   Объем прямой призмы

V=S_оснa,

где S_осн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности прямой призмы

S_б=P_оснa,

где P_осн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности прямой призмы

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б, - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_осн - площадь основания.

---

Прямоугольный параллелепипед

   Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь боковой поверхности параллелепипеда

S_б=2c(a+b),где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

S_п=2(ab+bc+ac),где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

---

Куб

V=a³, S_б=4a², S_п=6a²,где a - ребро куба.

---

Пирамида

   Объем пирамиды

где S_осн - площадь основания, H - высота.

   Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

    Площадь полной поверхности пирамиды

S_п=S_б+2S_осн,

где S_б - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, S_осн - площадь основания

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

где P_осн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

---

Усеченная пирамида

   Объем усеченной пирамиды

где S₁ , S₂ - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
   Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
   Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

S_п=S_б+S₁+S₂ ,

где S_б - площадь боковой поверхности пирамиды, S₁ , S₂ - площади оснований.
   Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

где P₁ , P₂ - периметры оснований, а l - ее апофема.

---

Цилиндр

   Объем цилиндра

V=p R ²H ,где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

   Площадь боковой поверхности цилиндра

S_б=2p R H ,где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота

   Площадь полной поверхности цилиндра

S_п=2p R H + 2p R²,где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

---

Конус

   Объем конусагде R - радиус основания конуса, а H - его высота.

   Площадь боковой поверхности конуса.

S_б=2p R L ,где R - радиус основания конуса, а L - его образующая

   Площадь полной поверхности конуса

S_п=2p R (R+L),где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

---

Усеченный конус

   Объем усеченного конусагде R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.

   Площадь боковой поверхности усеченного конуса

S_б=p L (R+r),где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

   Площадь полной поверхности усеченного конуса

S_п=p L (R+r)+p R²+p r²,где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

---

Сфера и шар

   Объем шарагде R - радиус шара

   Площадь сферы (площадь поверхности шара) S=4p R²,где R - радиус сферы

   Объем шарового сегментагде H - высота шарового сегмента, R - радиус шара

   Объем шарового секторагде H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара