Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка по подготовке к экзамену по математике.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка по подготовке к экзамену по математике.

библиотека
материалов

hello_html_7aaf3788.gif



hello_html_m1b1d138a.gif

1. Чтобы найти 1% от числа, нужно число разделить на 100 или перенести запятую на два знака влево.


371,8 р => 1% - 3,781 р 3000, р => 1% - 30 р

hello_html_5daa6e72.gifhello_html_5daa6e72.gif

2. Чтобы найти 10% от числа, нужно число разделить на 10 или перенести запятую на один знак влево.


3270 => 10% - 327 175,8р => 10% - 17,58 р

hello_html_5daa6e72.gif

Если известно, сколько стоит 1кг, то стоимость 100 грамм можно найти делением исходной цены на 10.


1кг - 90 р 1кг - 385 р

100 г => 9 р 100 г => 38,5 р


hello_html_m5747dad3.gif


  1. Внимательно рассматриваем данные по осям (определяем цену деления).

  2. Выясняем, что спрашивается в вопросе.

  3. Если «на сколько», то «вычитаем»;

Если «во сколько», то «делим».


hello_html_m6e87e060.gif


hello_html_54ec5fcf.png hello_html_m1515290f.png




1 способ:

-разбиваем фигуру на части:

hello_html_m6b4a6762.png


-площадь фигуры равна сумме площадей её частей: Sф = S1 + S2 + S3 +…+ Sn.


2 способ:

-достраиваем фигуру до прямоугольника или прямоугольного треугольника;

-достроенную часть разбиваем как в первом способе;

hello_html_m3c3a407a.png


-площадь фигуры равна разности площади прямоугольника (треугольника) и суммы площадей получившихся частей: Sф = Sпрям-ка – ( S1 + S2 +…+ Sn)



hello_html_69675bf0.gif



  1. Выбери наиболее выгодное условие.

  2. Пhello_html_m53a5d0eb.gifравильно ответь на вопрос. («сколько» «сумма»)


hello_html_c502691.gif

Алгоритмы решений уравнений:


Алгоритм решения иррациональных уравнений

Алгоритм решения показательных уравнений

Алгоритм решения логарифмических уравнений

hello_html_m50dc1fa4.gif

hello_html_1be4d504.png


П

с

рямоугольный треугольник: .
  1. Перенеси данные на чертёж

  2. Выясни, каким соотношением они связаны.

  3. Н

    b

    айди записанную величину из п№2,

вычислением по данным из условия задачи.

4

a

. Приравняй результат п.№2 и п.№3

и вычисли искомое в получившейся пропорции.


sin α hello_html_m31963839.gifhello_html_m8ce240c.gif=hello_html_m2bd14ffb.gif sin hello_html_m154a5599.gif = hello_html_m2bf04946.gif

cos α=hello_html_m2bf04946.gif cos hello_html_m154a5599.gif= hello_html_6ad8f039.gif

tg α =hello_html_eb1efe.gif = hello_html_m190165b5.gif tg hello_html_m154a5599.gif =hello_html_3de040a5.gif= hello_html_2254c037.gif

sin2 α+ cos2 α=1


c22+b2 (теорема Пифагора);


hello_html_1b64fc7e.gif

hello_html_2b56dc21.gif*hello_html_2b56dc21.gif=а

hello_html_7d7eb719.gif



Знать свойства логарифмов:

1. logab=c, если ac =b, b>0

2. alogab =b

3. logaa=1

4. loga (bc)= logab+logac

5. loga hello_html_m2434a1d.gif= loga b- loga c

6. loga bp =p loga b

7. logaq b=hello_html_396cf118.gif loga b

8. loga b= hello_html_52ce0a32.gif

Основные выводы

  1. loga ав=в

  2. logaв а =hello_html_70d4453a.gif

  3. loga hello_html_m39ac1730.gifв=-в

  4. logaв hello_html_m2da23918.gif =-hello_html_7bd01d00.gif

  5. loghello_html_2e7bd3e9.gifа = -hello_html_70d4453a.gif

  6. loghello_html_m14bb2af1.gif ав = - в



















hello_html_c0f37ff.gif

Алгоритм решения В8 (исследование графиков)


Выясняем, что на графике:


  • График функции-y=f(x)

  1. Проводим пунктирные прямые, параллельные оси у (вертикальные линии) через вершины и впадины графика, а также через крайние точки графика.


hello_html_m4906954e.png

  1. Если график «ползёт» вверх, то от одной до другой пунктирной линии проводим стрелку вверх.

Если график «ползёт» вниз, то от одной до другой пунктирной линии проводим стрелку вниз.

hello_html_m189193dd.pnghello_html_ma967f30.gifhello_html_42bc5c4f.gifhello_html_1b8f861a.gif

max

min

Тhello_html_m10091cfa.gifhello_html_3057fa04.gifаким образом, чётко видны промежутки: возрастания ( ) функции, убывания( ) функции, точки max и min.


При нахождении наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке аналогичным способом исследуем поведение функции только на данном отрезке и по расположению точек (начала стрелки и её конца) определяем:

  • точке лежащей выше, соответствует большее значение, а ниже меньшее.


Таким образом, ответ записываем соответствующее значение конца отрезка.


  • Если же график пересекает ось х на этом отрезке, то в этой точке функция принимает либо наибольшее, либо наименьшее значение.






  • График производной функции-y=f (x)

    1. Проводим пунктирные прямые, параллельные оси у (вертикальные линии) через точки пересечения графика с осью х, а также через крайние точки графика, расставляем знаки «плюс» и «минус».


hello_html_m2b9846ba.pnghello_html_m174b5234.gifhello_html_22bf660d.gifhello_html_79babb96.gifhello_html_m6a7fa107.gif

  1. В соответствии со знаком от одной до другой пунктирной линии проводим стрелки:

«минус» проводим стрелку вниз;

«плюс» проводим стрелку вверх.


hello_html_m1540eac0.pnghello_html_22bf660d.gifhello_html_m6a7fa107.gif

max

hello_html_11eaa4ed.gif

min

min

hello_html_7fba9ced.gif

Таким образом, становится ясно:

  • где функция возрастает, а где – убывает;

  • какие точки являются максимумами, а какие – минимумами.




Промежутки (интервалы, т.е их границы) определяются по оси ОХ.








1-ый тип заданий.


Найти min и max функции (экстремумы функции)


а) Приравнять производную к нулю f(x)=0 и решить уравнение.

б) На графике производной f(x) -это точки пересечения с осью ОХ.

hello_html_3c87d8fb.png

2-ой тип заданий.


Найти промежутки возрастания функции


а) Составить неравенство f(x)>0 и решить.

б) На графике производной f(x) - кривая f(x) лежит выше оси ОХ:

hello_html_m2b640633.pnghello_html_m72a4af3.gifhello_html_2a30b6da.gif

Длина промежутка возрастания

Длина промежутка возрастания


Найти промежутки убывания функции


а) Составить неравенство f(x)<0 и решить.

б) На графике производной f(x) - кривая f(x) лежит ниже оси ОХ:

hello_html_fcf9541.pnghello_html_m442dfa56.gif

Длина промежутка убывания

hello_html_3956d917.gif

Длина промежутка убывания




Промежутки (интервалы, т.е их границы) определяются по оси ОХ.




3-ий тип заданий


Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= -1x+15 ( y= kx+b) или совпадает с ней.


На графике производной f(x) через точку на оси OY соответствующую в данном случае -1 (в общем случае k) проводим прямую параллельную оси OX и определяем количество точек пересечения с кривой f(x)


hello_html_56d4e4b1.png


В данном случае ответ -- 3 (три)

4-ый тип заданий



Определите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= 5 ( y= b) или совпадает с ней.


На графике функции считаем «бугорки» и «ямки»


hello_html_m15847d1f.png

Ответ – 5 (пять)



Запомни:

Если функция возрастает, то её производная –положительная (f(x) >0)

Если функция убывает, то её производная –отрицательная (f(x) <0)

Если функция достигает max или min, то её производная – равна нулю (f(x) =0), т.е в точках, являющимися экстремумами функции


Механический смысл производной функции


Если представлен график движения материальной точки и требуется ответить на вопросы связанные с её скоростью, то подпонятием скорость подразумеваем производная.



hello_html_36eece5f.png



Скорость точки – положительная (так кат функция возрастает)

Скорость точки – отрицательная (так кат функция убывает)

Скорость точки – равна нолю (так кат функция достигает max и min)





Геометрический смысл производной



Графический способ решения.

1.Выбираем такой треугольник, у которого длины сторон целое число клеток. (Проводим через одну из точек вертикальную прямую, через другую - горизонтальную)

2.Делим число клеток по вертикали (по У) на число клеток по горизонтали (по Х).

Если на касательной написать своё имя и оно «поползёт» вверх, то ответом будет положительное число.

3.Записываем получившееся число в ответ.

1.Выбираем такой треугольник, у которого длины сторон целое число клеток. (Проводим через одну из точек вертикальную прямую, через другую - горизонтальную)

2.Делим число клеток по вертикали (по У) на число клеток по горизонтали (по Х).

Если на касательной написать своё имя и оно «поползёт» вниз, то ответом будет отрицательное число.

3.Записываем получившееся число со знаком минус в ответ.


hello_html_m760a69d6.png

hello_html_m2c4ae8e0.png













hello_html_m610eceab.gif

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов

  1. Определи количество благоприятных исходов (нужных нам по условию)

  2. Определи количество всех исходов

  3. Раздели кол-во благоприятных исходов на кол-во всех исходов

hello_html_m45eaddb9.gif

Использовать формулы приложения «Объемы и площади поверхностей тел»


hello_html_66fa792c.gif


  1. Выпиши формулу и данные величины.

  2. Подставь выписанные величины в исходную формулу.

  3. Реши уравнение относительно величины, которую нужно найти.


hello_html_628dc9e.gif


  1. Составить таблицу




  1. Скорость

    (производительность труда)

    Время

    Пройденный путь

    (выполненная работа)

    1-ый




    2-ой




    Обозначить за Х искомую величину (то ,что нужно найти ), выразить другую величину через неё. Заполнив две колонки таблицы исходя из условия задачи.
  2. Через формулы :s=vt, v=s/t, t=s/v, заполнить третью колонку данной таблицы.

  3. Составить неравенство, согласно условию задачи. (сравнить величины третьей колонки)

  4. Перейти от неравенства к равенству, используя правило: от большей величины отнимаем меньшую величину, получаем число, на которое они отличаются.

  5. Решаем получившееся уравнение.

  6. Выбираем ответ

hello_html_221c951a.gif


  1. Вычисли производную данной функции

  2. Приравняй её к нулю и реши получившееся уравнение. (найденные корни (числа) будут являться экстремумами функции)

  3. Отметь корни на числовой прямой, выдели промежутки и определи знак производной на этих промежутках.

  4. Расставь стрелки, показывающие, возрастает или убывает функция.

(по расположению точек (начала стрелки и её конца) определяем:

точке лежащей выше, соответствует большее значение, а ниже меньшее.)

  1. Выписываем соответствующее значение Х и поставляя его в уравнение, задающее функцию (см. условие задачи) вычисляем значение.

  2. Записываем ответ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ


УРАВНЕНИЕ




hello_html_maea38df.gif

hello_html_6fbda024.gif


Возводим обе части уравнения в квадрат







hello_html_m6577ff3c.gif

выбрать корень, соответствующий условию

найти корни

перенос слагаемых

Линейное

уравнение

найти дискриминант

Квадратное

уравнение

упрощение

деление части без Х на коэффициент

ответ

ответ

hello_html_447a8b2e.gifhello_html_447a8b2e.gifhello_html_7a7c3ed0.gifhello_html_7a7c3ed0.gifhello_html_m19c3fe06.gifhello_html_m19c3fe06.gifhello_html_m560f918f.gifhello_html_m560f918f.gifhello_html_m560f918f.gifhello_html_m560f918f.gifhello_html_m560f918f.gifhello_html_m560f918f.gif

ДА НЕТ
































назад

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ



81х-2 = 9

1-ый шаг: представь числа в виде степени с одинаковым основанием

81=34 , 9=32


2-ой шаг: преобразуй уравнение, используя свойства степени

hello_html_m55614371.gif

Если основания степени взаимно обратные числа (а и hello_html_50295c27.gif) не забудь поставить знак «-» в правой части в записи уравнения ШАГ №3


3hello_html_2eaade42.gif-ий шаг: приравняй показатели степеней

4(Х 2)

hello_html_1cbd7991.gif

hello_html_1cbd7991.gif



Реши уравнение 4(х-2)=2


5-ый шаг

Запиши ответ.

Запомни:

Свойства степени:

  • an * am = an+m

  • an: am=an-m

  • (an)m = an*m

  • a-n = hello_html_m22750d88.gif

назад

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

log7 (8-х) =2

1-ый шаг

т.к loga b=c, если ac =b, b>0

(8-х) = 72

2-ой шаг

Решаем уравнение 8-х=49

3-ий шаг

Выполняем проверку 8-х >0

Записываем ответ


Свойства логарифмов:

О

Знать свойства логарифмов:

1. logab=c, если ac =b, b>0

2. alogab =b

3. logaa=1

4. loga (bc)= logab+logac

5. loga hello_html_m2434a1d.gif= loga b- loga c

6. loga bp =p loga b

7. logaq b=hello_html_396cf118.gif loga b

8. loga b= hello_html_52ce0a32.gif

сновные выводы

loga ав=в

logaв а =hello_html_70d4453a.gif

loga hello_html_m39ac1730.gifв=-в

logaв hello_html_m2da23918.gif =-hello_html_7bd01d00.gif

loghello_html_2e7bd3e9.gifа = -hello_html_70d4453a.gif

loghello_html_m14bb2af1.gif ав = -hello_html_70d4453a.gif









Действия с корнями

  1.Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:

hello_html_48b497e9.png

  2.Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:

hello_html_7c8debfd.png


  3.Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей:

hello_html_m24505250.png

  Обратно, произведение корней одной и той же степени равно корню той же степени из произведения подкоренных значений:

hello_html_m71bbd130.png


  4.Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

hello_html_m6b9d9f3.png

  Обратно:

hello_html_7b069cfc.png


  5.Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

hello_html_408ac133.png

  Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

hello_html_m10ca173c.png

Формулы сокращенного умножения

  1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b)2=a2+2ab+b2

  2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b)2=a2-2ab+b2

  3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a2-b2

  4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

  5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

  6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3

  7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

Действия со степенями

  1.Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей с тем же показателем:

(abc...)n=anbncn...

  Практически более важно обратное преобразование:

anbncn...=(abc...)n,

т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

  2.Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

hello_html_mf4374fb.png


  3.При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

aman=am+n


  4.При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого:

am/an=am-n


  5.При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

(am)n=amn.

Квадратные уравнения

  Уравнение вида

ax2+bx+c=0

(1)

где, a, b, c - действительные числа, причем a 0, называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a 1, - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.
  Корни уравнения ax2+bx+c=0 находят по формуле

hello_html_692e2063.png

(2)

  Выражение D = b2- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
  В случае, когда
D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
  Используя обозначение
D = b2- 4ac, можно переписать формулу (2) в виде

hello_html_m585b9634.png

  Неполные квадратные уравнения. Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

  Пример 1: решить уравнение 2x2 - 5x = 0.

  Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5

  Пример 2: решить уравнение 3x2 - 27 = 0

  Имеем 3x2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

  Теорема Виета.   Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть

x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Биквадратные уравнения

  Биквадратным называется уравнение вида ax4+bx2+c=0, где a 0. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x2 = y, прийдем к квадратному уравнению ay2+by+c=0.
  Пример: Решить уравнение x4+4x2-21=0.
  Положив x2 = y, получим квадратное уравнение y2+4y -21=0, откуда находим y1= -7, y2=3. Теперь задача сводится к решению уравнений x2= -7, x2=3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим

hello_html_m3bf82674.png

которые являются корнями заданного биквадратного уравнения




Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла.

 1.

 sin2a +cos2a =1

 2.

 tga *ctga =1

 3.

 hello_html_22caaa3d.png

 4.

 hello_html_3f4c5802.png

 5.

 sina *csc a =1

 6.

 cosa *sc a =1

 7.

 sc2a =1+tg2a

 8.

 csc2a =1+ctg2a

 9.

 hello_html_196a6ea4.png 

 10.

 hello_html_m3c8e7bdc.png


Выражения одних тригонометрических функций через другие

 

sin

cos

tg

ctg

sin x

 

hello_html_m227441aa.png

hello_html_2dc0163b.png

hello_html_26f8c54f.png

cos x

hello_html_7b4b229.png

 

hello_html_45a07d1b.png

hello_html_5bf5e466.png

tg x

hello_html_m280b6aa9.png

hello_html_70427f78.png

 

hello_html_188cce02.png

ctg x

hello_html_m373c1799.png

hello_html_m4b89b289.png

hello_html_443bbfb.png

 








Формулы сложения и вычитания углов

sin( + )=sin cos + cos sin

sin( - )=sin cos - cos sin

cos( + )=cos cos - sin sin

cos( - )=cos cos + sin sin

hello_html_14b7fd66.png

hello_html_m54c054d2.png


Формулы двойных, тройных и половинных углов.

sin 2 =2sin cos

cos 2 =cos2 -sin2 =1-2sin2 =2cos2 -1

hello_html_4184b5ed.png

hello_html_m7b225368.png


sin3 =3sin -4sin3

cos3 =4cos3 -3cos


hello_html_m46a33134.png

hello_html_m710a976a.png


hello_html_2e22781.png

hello_html_m5b70aafb.png


hello_html_36d06e63.png

hello_html_m4f5a4861.png


Формулы преобразования тригонометрических выражений.

hello_html_4f501ed5.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_2f4ce89f.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_m40c46275.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_2112053a.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_39bd22a2.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_34a0d869.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_m2b675c62.png       hello_html_23ed5ee6.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_7800cfe1.png       hello_html_26e588a6.png

hello_html_m6b90685d.gif

tg  + ctg  =2csc2     tg  - ctg  = -2ctg2

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_m71f0d01c.png       hello_html_m42e2f6b.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_m378b30.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_7fb16303.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_m173b53bd.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_73422448.png       hello_html_m304a3f4a.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_5bb6df83.png       hello_html_355f5466.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_6586cc54.png

hello_html_m6b90685d.gif

hello_html_56549bf3.png

hello_html_m6b90685d.gif

tg2  - sin2  =tg2  sin2     ctg2  - cos2  =ctg2  cos2












Объемы и площади поверхностей тел

hello_html_m6b90685d.gif

Наклонная призма

   Объем наклонной призмы

V=Sпсa,

где Sпс - площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности наклонной призмы

Sб=Pпсa,

где Pпс - периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности наклонной призмы

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб, - площадь боковой поверхности наклонной призмы, Sосн - площадь её основания.

hello_html_m6b90685d.gif

Прямая призма

   Объем прямой призмы

V=Sоснa,

где Sосн - площадь основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь боковой поверхности прямой призмы

Sб=Pоснa,

где Pосн - периметр основания прямой призмы, a - боковое ребро.

   Площадь полной поверхности прямой призмы

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб, - площадь боковой поверхности прямой призмы, Sосн - площадь основания.

hello_html_m6b90685d.gif

Прямоугольный параллелепипед

   Объем прямоугольного параллелепипеда

V=abc,где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь боковой поверхности параллелепипеда

Sб=2c(a+b),где a, b - стороны основания, c - боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

   Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

Sп=2(ab+bc+ac),где a,b,c - измерения прямоугольного параллелепипеда.

hello_html_m6b90685d.gif

Куб

V=a3, Sб=4a2, Sп=6a2,где a - ребро куба.

hello_html_m6b90685d.gif

Пирамида

   Объем пирамиды

hello_html_m581d1a6b.png

где Sосн - площадь основания, H - высота.

   Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

    Площадь полной поверхности пирамиды

Sп=Sб+2Sосн,

где Sб - площадь боковой поверхности прямой пирамиды, Sосн - площадь основания

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

hello_html_me1e8b7b.pngгде Pосн - периметр основания правильной пирамиды, l - её апофема.

hello_html_m6b90685d.gif



Усеченная пирамида

   Объем усеченной пирамиды

hello_html_f73ae7d.png

где S1 , S2 - площади оснований усеченной пирамиды, H - её высота.
   Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.
   Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

Sп=Sб+S1+S2 ,

где Sб - площадь боковой поверхности пирамиды, S1 , S2 - площади оснований.
   Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

hello_html_m7d845a01.pngгде P1 , P2 - периметры оснований, а l - ее апофема.

hello_html_m6b90685d.gif

Цилиндр

   Объем цилиндра

V=p R 2H ,где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

   Площадь боковой поверхности цилиндра

Sб=2p R H ,где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота

   Площадь полной поверхности цилиндра

Sп=2p R H + 2p R2,где R - радиус основания цилиндра, а H - его высота.

hello_html_m6b90685d.gif

Конус

   Объем конусаhello_html_202ef122.pngгде R - радиус основания конуса, а H - его высота.

   Площадь боковой поверхности конуса.

Sб=2p R L ,где R - радиус основания конуса, а L - его образующая

   Площадь полной поверхности конуса

Sп=2p R (R+L),где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

hello_html_m6b90685d.gif

Усеченный конус

   Объем усеченного конусаhello_html_m5d29dfc.pngгде R, r - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его высота.

   Площадь боковой поверхности усеченного конуса

Sб=p L (R+r),где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

   Площадь полной поверхности усеченного конуса

Sп=p L (R+r)+p R2+p r2,где R, r - радиусы оснований усеченного конуса, L - его образующая.

hello_html_m6b90685d.gif

Сфера и шар

   Объем шараhello_html_m25e6de77.pngгде R - радиус шара

   Площадь сферы (площадь поверхности шара) S=4p R2,где R - радиус сферы

   Объем шарового сегментаhello_html_38abb223.pngгде H - высота шарового сегмента, R - радиус шара

   Объем шарового сектораhello_html_m154ff4c6.pngгде H - высота соответствующего шарового сектора, R - радиус шара


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 17.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров195
Номер материала ДВ-070838
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх