Методическая разработка практического занятия на тему "Решение задач на вероятность событий"

Практическое занятие

Раздел программы:              Комбинаторика. Статистика и Теория вероятностей.

Тема программы:                Элементы теории вероятностей  и математической статистики

Тема практического занятия: Решение задач на вероятность событий

Цель занятия - овладение умениями решения задач с использованием основных понятий: событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей

Дидактическое оснащение практического занятия - методические указания по выполнению практического занятия

Время выполнения - 45 мин.

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами.

P_n = n·(n−1)·(n−2)...3·2·1 = n! – формула числа перестановок

Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из n по m обозначается A_n^m 
A_n^m = n·(n − 1)·(n − 2)·...·(n − m + 1) =  - формула числа размещений

Сочетаниями из n элементов по  m называются неупорядоченные выборки

 =  - формула числа сочетаний

Общая методика для решения задач, в которых встречается фраза "хотя бы один"

1. Выписать исходное событие A = (Вероятность того, что ... хотя бы ...).
2. Сформулировать противоположное событие A¯.
3. Найти вероятность события P(A¯)
4. Найти искомую вероятность по формуле P(A)=1−P(A¯)

Пример

№ 1 На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й том рядом?

Решение

1.                  Определим вероятность события А, состоящего в том, что ребенок поставил 1-й и 2-й тома рядом. P(A) = N- вероятность всех возможных исходов испытания,         N(A)- вероятность тех исходов испытания, в которых происходит событие А. Оно равно числу перестановок, в которых 1-й и 2-й тома стоят рядом.

2.                  N = P₃₀ = 30!, N(A) = 2*29!

3.                  Р(А) =  =  =

4.                  Событие В – ребенок не поставил 1-й и 2-й том рядом противоположно событию А, значит его вероятность Р(В) = 1 - Р(А) = 1 -  =  = 0,9333

Ответ: 0,9333

Варианты заданий

Вариант 1	Вариант 2
№ 1. Решить задачу В ящике находится 25 стандартных и 6 бракованных однотипных деталей. Какова вероятность того, что среди трёх наудачу выбранных деталей окажется хотя бы одна бракованная?	№ 1. Решить задачу Из колоды в 36 карт случайным образом выбирают 5 карт. Какова вероятность того, что среди выбранных карт будет хотя бы одна бубна?
№ 2. Решить задачу Случайным образом выбирают одно из решений неравенства 1≤| х -3|≤ 5. Какова вероятность того, что оно окажется решением неравенства |х | ≤ 2?	№ 2. Решить задачу Случайным образом выбирают одно из решений неравенства | х -5|≤ 5. Какова вероятность того, что оно окажется решением неравенства |х - 1| ≤ 1?
№ 3 . Решить задачу В компании 10 акционеров, из них трое имеют привилегированные акции. На собрание явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют

Критерии оценивания

«5» (отлично)  – выполнены верно все задания

«4» (хорошо ) - выполнены верно  задания № 1, № 2 или № 1, № 3

 «3»( удовлетворительно) - выполнено верно одно любое задание

« 2» неудовлетворительно - не удовлетворяет критериям оценки «3»

Литература:

1.                  Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы.  —  М.: Просвещение,  2015.

2.                  Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М.,  2014.

3.                  Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

4.                 Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

5.                  Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.