« СОФИЗМЫ»
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. И. Л.Павлов говорил, что правильно понятая ошибка это путь к открытию.
Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую можно провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении 2000 лет пытались доказать, т. е. вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математики разных времён и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные доказательства, какие были найдены, оказались ошибочными.
«Строгого доказательства сей истины,- писал великий русский математик Н.И.Лобачевский в 1823 г. в своём учебнике геометрии,- до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут называться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами». И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными теоремами геометрии. Можно сказать, что эти «доказательства» подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики- создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н.И.Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н.И.Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. В 1826 г. пришёл к заключению, что утверждение, выражаемое аксиомой о параллельных, при помощи остальных аксиом геометрии доказать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, и привёл его к созданию новой геометрии. И этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку. Примеров подобного рода можно было бы привести несколько.
Чем же полезны софизмы для изучающих математику?
Что они могут дать?
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления.
Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Когда ребёнок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так, изучающий математику, впоследствии проявит больше осторожности.
Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законченностью выполняемых операций. Всё это нужно и важно.
Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в её правах. И чем труднее софизм, тем больше удовлетворение доставляет его анализ.
Имеется большое количество книг, в которых собраны различные софизмы. В конце 19 века - начале 20 века особенно большой известностью среди учащихся пользовалась книга Обреимова «Математические софизмы». Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы её. Василию Ивановичу Обреимову, передовому революционно настроенному деятелю народного образования последних десятилетий 19в.- начала 20в. удалось собрать и обработать интересные софизмы. Наблюдательный и вдумчивый ученик, конечно, заметит, что во многих софизмах допущены одинаковые ошибки. Отчётливое понимание сути таких ошибок значительно облегчит решение последующих аналогичных задач.
Математический парадокс можно определить как истину, настолько противоречащую нашему опыту, интуиции, здравому смыслу, что в неё трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим всё доказательство.
Математическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в доказательствах которых, в отличие от доказательства парадоксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики – от простой арифметики- до теоретико-множественной топологии - есть псевдодоказательства, свои софизмы. В лучших из них, рассуждения, с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остаётся лишь гадать о том, какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика.
1) 5 = 6
35+10-45=42+12-54
5 (7+2-9)=6 (7+2-9) /: (7+2-9)
5=6 Где ошибка?
Решение: нельзя делить на нуль.
2) Все числа равны межу собой.
Пусть а=в, возьмём тождество:
а - 2 ав + в = в - 2ав + а
(а-в) = (в-а)
а-в = в-а
2а=2в
а=в
Решение: (а-в) = (в-а) 
/а-в/ =/в-а/
3) 2∙2=5
4:4 = 5:5
4 (1:1)=5 (1:1)
4 = 5 или 2∙2 = 5
Решение: нельзя выносить общий множитель за скобки.
4) 4 = 5
16-36 = 25-45
16-36 +20
= 25-45 + 20
= 
4- 
= 5- 
4=5
Решение: = 
4- │ = │5- │
5) 2=3
4-10=9-15
4-10+6 = 9-15 +6
(2-
)2 = (3-
)2
2-
3- 2=3
Решение: (2-)2 = (3-)2 │2-
6) 5=1
5-3 1-3
2 -2
22 (-2)2
4=4 5=1
Решение: глотается знак при возведении в квадрат.
7) 4 руб = 40 000 коп
2 р = 200 коп
(2 р)2 = (200 коп)2
4 р = 40 000 коп
Решение: не имеет смысла возведение в квадрат денег. В квадрат возводятся числа, а не величины (…р2 = …к2)
8) 4 = 8
2х + y = 8
Решаем способом подстановки:
x -2 = - 
 |
x
= - +
2
2
(- +
2) + y =8
x= - +
2
-y +4 + y =8 
4=8
Решение: уравнения данной системы несовместны.
9) Расстояние от Земли до Солнца = толщине волоска.
Пусть a(м)-
расстояние от Земли до Солнца, в(м) – толщина волоска. Их среднее
арифметическое обозначим v. 
a
+ b = 2v
a = 2v – b
a – 2v= - b
перемножим по частям два последних равенства и прибавим к каждой v2, получим:
a2 - 2av +v2 = b2 - 2bv +v2
(a-v)2= (b-v)2
a-v= b-v
a = b
Решение:
(a-v)2 = (b-v)2 
│a-v│ = │b - v│
10) Любое число, отличное от нуля, равно противоположному ему числу.
Пусть любое a ≠ 0 и
x = a │∙ (- 4a)
-4ax = - 4 a2
-4ax - 4 a2 = 0
x2 -4ax + 4a2 = x2
(x-2a)2 = x2
x-2a = x но х=а
a – 2a = a или -а=а
Решение: нельзя (х
– 2а)2 = х2 
│х – 2а│ = │х│
11) Любое число равно его половине.
Пусть а = в │∙ а
а2 = ав │ -в2
(а – в)(а+в) = в (а-в) а+в = в или
а+ а = а 2а = а
или а= 
Решение: нельзя делить на (а-в) =0
12) Спичка вдвое длиннее телеграфного столба
Пусть а – длина спички (дм)
в – длина столба (дм)
Обозначим в-а = с, в = а + с
Перемножим равенство по частям в2 – ав = са + с2
в2 – ав - вс = са + с2 -вс
в(в-а-с) = -с (в-а-с)
в = - с
в = - (в-а)
в = а –в
а=2в
Решение: нельзя делить на (в-а-с) = 0
13) 1 = -1
16 – 24 +9 = 4 – 12 +9
(4-3)2 = (2-3)2
4-3 = 2-3
1 = -1
Решение: (4-3)2 = (2 – 3)2 │4 - 3│= │2 - 3│
14) Отрицательное число больше положительного
Возьмём два положительных числа а и в. Сравним два отношения:
и 
. Они равны, т.к. каждое из них равно -
.
Можем составить пропорцию = 
. Но, если в пропорции предыдущий член первого
отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения так же
больше своего последующего. В нашем случае а
-в; 
-а в, т.е. отрицательное число больше
положительного.
Решение:
Свойство пропорции: если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то и предыдущий член второго отношения больше своего последующего – может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны.
15) Из двух неравных чисел первое всегда больше второго
Пусть а, в любые числа, а≠в, тогда (а-в)2
т.е. а2 – 2ав + в2
0
или а2 + в2 2ав
к обеим частям получившегося неравенства прибавим -2в2.
Получим: а2 – в2
2ав -2в2 или
(а+в)(а-в) 2в(а-в) │:(а-в)
а+в 2в
а 2в –в
ав
Решение: при делении обеих частей неравенства на (а-в) знак неравенства может измениться на
противоположный (если а-в
0)
16) Любое число равно числу, в 2 раза большему его.
Пусть а – любое число. Тогда а2 – а2 = а2 – а2
а(а-а) = (а-а)(а+а) , упростив, получим:
а= а+а
а = 2а
Решение: нельзя делить на (а-в)=0
17) Любое число = 0
Для любого а верно: (+а)2 = а2
(-а)2 = а2 
(+а)2=(-а)2
а = - а
2а =0
а = 0
Решение: если (+а)2=(-а)2, то │а│ =│-а│
18) 1=2
1-3=4-6
1-3+
= 4- 6 + 
(1 - 
)2 = (2 - )2
= 
= 2 -
Решение: (1 -
)2 = (2 - )2 следует не из = 2 -
а из -1 +
= 2 - . Всегда 
= │а│.
Список:
1. 4 руб = 40 000 коп.
2. 5=6
3. 2∙2 =5
4. 2=3
5. 5=1
6. 4=8
7. Все числа равны между собой.
8. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска.
9.
Любое 
число равно противоположному ему числу.
10. Любое число = его половине.
11. Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.
12. 1= -1
13. Отрицательное число больше положительного.
14. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго.
15. Любое число равно числу, в 2 раза большему его.
16. Любое число = 0.
17. 1 = 2
18. Из точки на прямую можно опустить 2 перпендикуляра.
19. Из точки, взятой на прямой, можно провести к этой прямой 2 перпендикуляра.
20. Через точку, лежащую вне прямой, можно провести 2 прямые, параллельные данной прямой.
21. Прямой угол = тупому углу.
22. Всякий треугольник – равнобедренный.
23. Всякая окружность имеет 2 центра.
24. Внешний угол треугольника = внутреннему, с ним не смежному.
25. Хорда окружности, не проходящая через центр = диаметру.
26. Катет равен гипотенузе.
27. Доказательство теоремы о семе внутренних углов треугольника не опирается на аксиому о параллельных прямых.
28. 64 =65
29. Длины всех окружностей равны.
30. Любые 2 отрезка параллельных прямых, заключённые между сторонами угла, равны.
31. Длина средней линии трапеции = 0.
32. «Новое» доказательство теоремы Пифагора.
33. Квадрат любого числа = 1.
34. 2 = 4.
35. Где ошибка? ( Математическая шкатулка стр. 78)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгостиматематических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. И. Л.Павлов говорил, что правильно понятая ошибка это путь к открытию.
6 669 401 материал в базе
«Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
§ 7. Равносильные уравнения. Рациональные уравнения
Больше материалов по этой теме
Настоящий материал опубликован пользователем Уруймагова Залина Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.