Методические материалы по теме: "Эстетика природы и математика"

                                      ГБОУ Центр образования №80
Центрального района
Санкт-Петербурга.

 Плехова Л.М.

 учитель математики

ЭСТЕТИКА ПРИРОДЫ И МАТЕМАТИКА.

     В отличии от музыки, живописи, архитектуры, скульптуры, совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создает­ся, как в технике или в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Возможность такого выражения обусловлена тем, что составляющие основу красоты природы явления симметрии и пе­риодичности хорошо изучены и описаны математически.

1. СИММЕТРИЯ

Среди бесконечного разнообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание и ласкает наш  взгляд. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну их красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шляпке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения.

Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды — от простейших до самых сложных.

Симметрия (соразмерность, греческое слово) в строении животных — почти общее явление, хотя почти всегда встречаются исключения из общего правила, выражающиеся в асимметричном положении той или другой части или того или другого органа.

Наиболее резким примером асимметричной конфигурации могут служить камбалы и особенно смещение их глаз.

Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота оси. Этот угол для различных цветов неодинаков. Для ириса он равен 120°, для колокольчика — 72°, для нарцисса — 60°.

Поворотную ось можно характеризовать и с помощью другой величины, называемой порядком оси и показывающей, сколько раз произойдет совмещение при повороте на 360°. Те же цветы ириса, колокольчика и нарцисса обладают осями третьего, пятого и шестого порядков соответственно. Особенно часто среди цветов встречается симметрия пятого порядка.

   В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол  вокруг оси, дополненного

сдвигом вдоль той же оси. Если  рациональное число, то поворотная ось оказывается также осью переноса.

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса (буквально «устроение листа»).

Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ря­ды, идущие в различных, направлениях.

Еще более ярко и систематически симметричность структуры материи обнаруживается в неживой природе, именно в кристаллах.

«Кристаллы блещут симметрией», — писал Е. С. Федоров в своем «Курсе кристаллографии». При слове «кристалл» в воображении рисуется первый среди драгоценных камней — алмаз: «кристальная» чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света, идеальная, правильная форма. Но теперь алмазы уже не только красивый предмет роскоши. Сегодня они служат для обработки наиболее твердых металлов и сплавов. Без них не мыслится современная металлообрабатывающая про­мышленность.

Оказывается, кристаллы не только алмазы. Обычный сахар и поваренная соль, лед и песок состоят из множества кристалликов. Больше того, основная масса горных пород, образующих земную кору, состоит из кристаллов. Даже обыкновенная глина представляет собой нагромождение мельчайших кристалликов.

Словом, большинство строительных материалов — металлы, камень, песок, глина — кристаллические вещества. Можно сказать, что мы живем в домах, построенных из кристаллов. Не удивительно, что кристаллы являются предметом тщательного изучения.

Кристаллы — это твердые тела, имеющие естественную форму многогранника.

Характерная особенность того или иного вещества состоит в постоянстве углов между соответственными гранями и ребрами для всех образцов кристаллов одного и того же вещества. Что же касается формы граней, числа граней и ребер и величины кристалла, то для одного и того же вещества они могут значительно отличаться друг от друга.

Для каждого данного вещества существует своя, присущая только ему одному, идеальная форма его кристалла. Эта форма обладает свойством симметрии, т. е. свойством кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путем поворотов, отражений, параллельных переносов. Среди элементов симметрии различаются: оси симметрии, плоскости симметрии, центр симметрии, зеркальные оси.

Кристалл каждого вещества характеризуется определенным комплексом элементов симметрии — видом классом) симметрии.

Внутреннее устройство кристалла представляется в виде так называемой пространственной решетки, в одинаковых ячейках которой, имеющих форму параллелепипедов, размещены по законам симметрии одинаковые мельчайшие материальные частицы — молекулы, атомы, ионы или их группы. Опираясь на эти представления, А. В. Гадолин в 1867 г. доказал, что всего существует 32 вида симметрии идеальных форм кристалла. Любое кристаллическое вещество, каждый кристалл должны принадлежать к одному из этих видов симметрии. Это утверждение представляет собой закон симметрии, один из основных законов кристаллографии. Следующий фундаментальный результат был получен в 1890 г. русским кристаллографом Е. С. Федоровым и, одновременно, немецким математиком А. Шенфлисом, доказавшими чисто геометрически, что существует 230 типов пространственных решеток. В 1912 г. исследованиями кристаллов при помощи рентгеновских лучей была установлена реальность кристаллической решетки.

Многие, если не все, кристаллы более или менее легко рас­калываются по некоторым строго определенным плоскостям. Это явление, называемое спайностью, свидетельствует о том, что механические свойства кристаллов анизотропны, т. е. не оди­наковы по разным направлениям. Но кристаллы анизотропны и в отношении многих других физических свойств. Свет, напри­мер, в определенных кристаллах распространяется по различ­ным направлениям с различной скоростью. При нагревании кристалл расширяется по различным направлениям различно. Это же можно сказать о теплопроводности, электропроводности И т. д.

Анизотропность физических свойств так же, как и сама пра­вильность формы кристаллов, тесно связана с их решетчатым строением, т. е. в конечном счете определяется - симметрией их структуры. Следует признать, что значение симметрии в кристаллах, где она играет роль своеобразного закона формообразования, шире, чем в живой природе, в которой она выступает как некая очевидная, но недостаточно последовательно выраженная тенденция.

По справедливому замечанию Г. Вейля, у истоков симметрии лежит математика. Вместе с тем симметрия воспринимается на­ми как элемент красоты вообще и красоты природы в частности.

Заметим здесь, что симметрия широко используется в искусстве, особенно в европейском.

Но в некоторых восточных культурах, например в японской, также широко используется асимметрия. Такая подчеркнуто асимметричная структура свойственна, в частности, канону дзэнского сада камней. Аналогичный принцип вносится у японцев и к построению изображения на картине, которое должно быть сдвинуто к краю и занимать сравнительно небольшую площадь, уравновешиваясь более значительным свободным полем, симво­лизирующим беспредельность мира.

                                                              ПЕРИОДИЧНОСТЬ

Чувство ритма внушено человеку самой природой, ибо вся природа пронизана  ритмами и колебаниями. Явления, ими сопровождаемые, несут в себе и трагическое (сеющие разрушение и смерть землетрясения, цунами, смерчи), и величественное (первая весенняя гроза, волнение океана, вид звездного неба), и прекрасное (восход солнца, цветение подснежника, трель со­ловья). Одни из этих явлений способны приводить в ужас, другие предстают как воплощенное величие природы, третьи доставляют наслаждение.

Периодические колебания бесконечно разнообразны. Однако все периодические процессы математически описываются периодическими функциями, простейшими из которых являются тригонометрические функции sin t и cos t с периодом Т=2.

   «Можно привести коня к водопою, но заставить его пить нельзя».

                                                                                                   Вольтер

«Не изменяются только дураки»

                                         Неизвестный автор.

Используемые источники информации:

1.     Электронная библиотека цифровых ресурсов.

2.     Энциклопедический словарь.

3.     Математическая  энциклопедия.

4.      Математический энциклопедический словарь.