Управление образования и науки Тамбовской области
ТОГБПОУ «Жердевский колледж сахарной промышленности»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ОП.10«ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
Для специальности
09.02.07 «Информационные системы и программирование»
Жердевка
2019
предметной (цикловой) комиссией математических и общих
естественнонаучных дисциплин
Протокол № ___ от _________ 20____г
Председатель комиссии
__________ /Л.В. Бредищева/
в соответствии с утвержденной программой
Заместитель директора по УР
____________ /Л.В. Иноземцева/
Согласовано с заведующим
отделением ____________ /О. В. Байтицкая/
Методические рекомендации по проведению практических занятий составлены в соответствии с требованиями ФГОС СПО к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников СПО по специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование» и на основе рабочей программы дисциплины ОП.10«Численные методы». Методические рекомендации предназначеныдля преподавателей математических дисциплин, а также для студентов, обучающихся по очной форме.
Разработчик: Розман Б.Г.
СОДЕРЖАНИЕ
1 Пояснительная записка
4
2
Перечень практических занятий
5
3
Требования к оформлению практических работ
6
4
Практическое занятие 1
8
5
Практическое занятие 2
9
6
Практическое занятие 3
10
7
Практическое занятие 4
13
8
Практическое занятие 5
15
9
Практическое занятие 6
21
10
Практическое занятие 7
23
11
Практическое занятие 8
24
12
Практическое занятие 9
25
13
Практическое занятие 10
26
14
Практическое занятие 11
28
15
Практическое занятие 12
31
16
Практическое занятие 13
33
17
Практическое занятие 14
34
18
Практическое занятие 15
37
19
Практическое занятие 16
39
20
Практическое занятие 17
40
21
Практическое занятие 18
44
22
Практическое занятие 19
46
23
Практическое занятие 20
49
34
Список информационных источников
51
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические рекомендации по проведению практических занятий по дисциплине ОП.10«Численные методы» составлены в соответствии с требованиями ФГОС СПО к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников СПО по специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование» и на основе рабочей программы дисциплины. Данная дисциплина относится к блоку общепрофессиональныхдисциплин.
Практическое занятие - это форма организации учебного процесса, предполагающая выполнение обучающимися по заданию и под руководством преподавателя одной или нескольких практических работ. Дидактическая цель практических занятий - формирование у обучающихся профессиональных умений, практических умений, необходимых для изучения последующих учебных дисциплин, а также подготовка к применению этих умений в профессиональной деятельности.
Учебным планом по дисциплине «Численные методы» предусмотрены практические занятия в объеме 80 часов. Особенностью проведения практических занятий по данной дисциплине является то, что ввиду сложности изучаемого материала и продолжительности изучения обучающимися теоретической части практической работы каждое практическое занятие рассчитано на 4 учебных часа.
В ходе практических занятий обучающиеся овладевают умениями пользоваться информационными источниками, работать с нормативными документами и инструктивными материалами, справочниками, выполнять чертежи, схемы, таблицы, решать разного рода задачи, делать вычисления с помощью прикладных программ.
Задачи, которые решаются в ходе практических занятий по численным методам:
1) расширение и закрепление теоретических знаний по численным методам, полученных в ходе лекционных занятий;
2) формирование у обучающихся практических умений и навыков, необходимых для успешного решения задач профессиональной деятельности;
3) развитие у обучающихся потребности в самообразовании и совершенствовании знаний и умений в процессе изучения дисциплины;
4) формирование творческого отношения и исследовательского подхода в процессе изучения дисциплины;
5) формирование профессионально-значимых качеств будущего специалиста и навыков приложения полученных знаний в профессиональной сфере.
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Тема 1. Элементы теории погрешностей
Практическое занятие 1 "Вычисление абсолютной погрешности".
Практическое занятие 2 "Вычисление относительной погрешности".
Практическое занятие 3. "Вычисление погрешности суммы, разности, произведения"
Практическое занятие 4. "Округление чисел в процессе вычислений"
Практическое занятие 5. "Расчет погрешностей измерительных приборов"
Тема 2. Приближённые решения алгебраических и трансцендентных уравнений
Практическое занятие 6. " Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления "
Практическое занятие 7. " Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом итераций "
Практическое занятие 8. " Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных"
Практическое занятие 9. " Решение систем нелинейных уравнений "
Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Практическое занятие 10. " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса "
Практическое занятие 11. " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса "
Практическое занятие 12. " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы "
Практическое занятие 13." Решение систем линейных алгебраических уравнений приближенными методами "
Практическое занятие 14. " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя"
Тема 4. Интерполирование и экстраполирование функций
Практическое занятие 15." Составление интерполяционных формул Лагранжа"
Практическое занятие 16. " Составление интерполяционных формул Ньютона"
Тема 5. Численное интегрирование
Практическое занятие 17." Численное дифференцирование"
Практическое занятие 18." Численное интегрирование"
Тема 6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Практическое занятие 19. " Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов"
Практическое занятие 20." Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера»
Требования к оформлению практическихработ
Студент должен выполнить практическую работу в соответствии с полученным заданием. Каждый студент после выполнения работы должен представить отчет о проделанной работе с анализом полученных результатов и выводом по работе.
Отчет о проделанной работе следует выполнять на отдельных листах в клетку формата А4, которые хранятся в отдельных папках. Содержание отчета указано в описании практической работы. Таблицы и рисунки следует выполнять с помощью чертежных инструментов карандашом с соблюдением ЕСКД.
Если студент не выполнил практическую работу или часть работы, то он может выполнить работу или оставшуюся часть во внеурочное время, согласованное с преподавателем.
Оценку по практической работе студент получает, с учетом срока выполнения работы, если:
работа выполнена правильно и в полномобъеме;
сделан анализ проделанной работы и вывод по результатамработы;
студент может пояснить выполнение любого этапаработы;
отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнениюработы.
Зачет по практическим работам студент получает при условии выполнения всех предусмотренных программой работ, после сдачи отчетов по работам при получении удовлетворительных отметок.
Критерии оценки
Ответ оценивается отметкой «5», если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.
Практическое занятие №1
Тема:"Вычисление абсолютной погрешности".
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Элементы теории погрешностей».
Краткие теоретические сведения
При практических вычислениях обычно используют приближенные значения величин – приближенные числа.
Погрешность приближенного числа a, т.е. разность между ним и точным значением , как правило, неизвестна.
Под оценкой погрешности приближенного числа a понимают установление неравенства вида
(1.1)
Число называется абсолютной погрешностью (иногда употребляется термин «предельная абсолютная погрешность»). Это число определяется неоднозначно: его можно увеличить. Обычно указывают возможно меньшее число , удовлетворяющее неравенству (1.1).
Абсолютные погрешности записывают не более чем с двумя-тремя значащими цифрами (при подсчете числа значащих цифр не учитывают нулей, стоящих слева, например, в числе 0,010030 имеется 5 значащих цифр). В приближенном числе a не следует сохранять те разряды, которые подвергаются округлению в его абсолютной погрешности .
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий:
Укажите относительную погрешность, которая получится, если число 6,572 заменить числом 6,57.
Стороны параллелограмма равны 11 и 12 см, меньшая диагональ – 13 см. В результате измерения линейкой большей диагонали получили 18,9 см. Какова относительная погрешность этого приближения?
В равнобедренном треугольнике длина основания равна 24 см, а боковой стороны – 15 см. В результате измерения линейкой радиусов, вписанной и описанной окружностей, получили соответственно 4,1 и 12,3 см. Найдите относительные погрешности этих приближений.
Скорость света в вакууме (299792,5 0,4) км/с, а скорость звука в воздухе (331,63 0,004) м/с. Что измерено с большей точностью?
Какая из характеристик самолета «АН-24» дана точнее: размах крыла 29,2 м; взлетная масса 21 т; собственная масса 13,9 т; практический потолок высоты 8,9 км?
Округлите число 6,87 до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешность.
Найдите относительную погрешность приближенного значения a = 0,143 величины x = 1/7.
Докажите, что относительная погрешность приближенного числа не превосходит 10%, если в его записи две значащие цифры.
Докажите, что относительная погрешность приближенного числа не превосходит 1%, если в его записи три значащие цифры.
Найдите границы значений грузоподъемности автомобиля ГАЗ-51А, если она равна 2,5 (15%) т.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №2
Тема: "Вычисление относительной погрешности".
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Элементы теории погрешностей».
Краткие теоретические сведения.
Относительной погрешностью приближенного числа a называется отношение его абсолютной погрешности к абсолютной величине числа a, т.е. .
Относительная погрешность обычно выражается в процентах, и ее принято записывать не более чем с двумя-тремя значащими цифрами.
Во многих технических приложениях принято характеризовать точность приближенных чисел их относительной погрешностью.
Формулы точного подсчета погрешностей результатов действий над приближенными числами
;
;
, где – абсолютная погрешность приближенного числа, – относительная погрешность приближенного числа, – рациональное число.
Формулы погрешности вычисления значений функции от одной переменной
– абсолютная погрешность дифференцируемой функции , вычисленная в точке , .
– относительная погрешность дифференцируемой функции , вычисленная в точке .
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий.
Укажите относительную погрешность, которая получится, если число 6,572 заменить числом 6,57.
Стороны параллелограмма равны 11 и 12 см, меньшая диагональ – 13 см. В результате измерения линейкой большей диагонали получили 18,9 см. Какова относительная погрешность этого приближения?
В равнобедренном треугольнике длина основания равна 24 см, а боковой стороны – 15 см. В результате измерения линейкой радиусов, вписанной и описанной окружностей, получили соответственно 4,1 и 12,3 см. Найдите относительные погрешности этих приближений.
Скорость света в вакууме (299792,5 0,4) км/с, а скорость звука в воздухе (331,63 0,004) м/с. Что измерено с большей точностью?
Какая из характеристик самолета «АН-24» дана точнее: размах крыла 29,2 м; взлетная масса 21 т; собственная масса 13,9 т; практический потолок высоты 8,9 км?
Округлите число 6,87 до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешность.
Найдите относительную погрешность приближенного значения a = 0,143 величины x = 1/7.
Докажите, что относительная погрешность приближенного числа не превосходит 10%, если в его записи две значащие цифры.
Докажите, что относительная погрешность приближенного числа не превосходит 1%, если в его записи три значащие цифры.
Найдите границы значений грузоподъемности автомобиля ГАЗ-51А, если она равна 2,5 (15%) т.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №3
Тема: "Вычисление погрешности суммы, разности, произведения"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Элементы теории погрешностей».
Краткие теоретические сведения.
Рассмотрим правила вычисления без строгого учета погрешностей
Правило 1. Если число слагаемых невелико, то в алгебраической сумме приближенных значений чисел, в записи которых все цифры верны, следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их имеет слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Слагаемые с большим числом десятичных знаков следует предварительно округлить на один десятичный знак больше, чем у выделенного слагаемого.
Правило 2. Если число исходных знаков невелико, то в произведении (частном) приближенных значений чисел следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет число с наименьшим количеством значащих цифр. Исходные данные с большим числом значащих цифр следует предварительно округлить, оставив на одну значащую цифру больше, чем у выделенного исходного данного.
Правило 3. При возведении приближенного значения числа в квадрат или куб, а также при извлечении квадратного корня или кубического корня в результате следует оставлять столько значащих цифр, сколько их имеет соответственно основание степени или подкоренное выражение.
Правило 4. При выполнении последовательно ряда действий над приближенными значениями чисел следует в промежуточных результатах сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. При округлении окончательного результата запасная цифра отбрасывается.
Рассмотрим примеры вычисления и определения погрешности выражения.
Пример. Вычислить значение выражения и определить его погрешность:
, где , , .
Решение. Вычислим .
Далее, имеем , откуда
Ответ: .
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий.
1)Вычислить и определить погрешности результата.
2) Вычислить и определить погрешность результата.
3) Вычислить, пользуясь правилами подсчета цифр.
Вариант № 1
1) , , , .
2) ,
, , .
3) , , , .
Вариант № 2
1) , , , .
2) , ,
, .
3) , , , .
Вариант № 3
1) , , ,
2) , , ,
, .
3) , , ,
Вариант № 4
1) , , , .
2) , , , ,
,
3) .
Вариант № 5
1) , , , .
2) , , , ,
.
3) , .
Вариант № 6
1) , , , , .
2) , , , ,
, .
3) , .
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №4
Тема: "Округление чисел в процессе вычислений"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Элементы теории погрешностей».
Краткие теоретические сведения.
Приближенное число заменяет собой число точное, которое чаще всего остается неизвестным.
Верной цифрой называют такую, погрешность которой не превышает половины единицы следующего разряда.
Сомнительная цифра – это цифра, следующая за верной.
Значащими цифрами данного числа называют цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля, и кончая последней, за точность которой еще можно поручиться.
Погрешностью приближенного значения а числа х называется разность , а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью.
Если , то а взято с недостатком. Если , то а взято с избытком.
Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля погрешности: .
Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до , если , , .
Относительной погрешностью приближенного значения а числа хназывается отношение
.
Квадратный корень из приближенного числа вычисляется по формуле: , где .
Общая формула для вычисления корня n-ой степени: , где .
Пример 1.Округлить сомнительные цифры числа 72,353(±0,026) , оставив верные знаки в узком смысле.
Решение. Пусть 72, 353 (±0, 026)=a . Согласно условию, погрешность
a = 0, 026<0, 05;это означает,что в числе72,353верными в узком смысле являют-
ся цифры 7, 2, 3. По правилам округления найдем приближенное значение числа, сохранив десятые доли:
a1=72, 4;αa1=αa+ ∆окр=0, 026+0, 047=0, 073.
Полученная погрешность больше 0,05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближенном числе до двух:
a2=72;αa2=αa+ ∆окр=0, 026+0, 353=0, 379.
Так как αa2< 0, 5 , то обе оставшиеся цифры верны в узком смысле.
Пример 2.Округлить сомнительные цифры числа 2,3544;δ=0,2% , оставив верные знаки в широком смысле.
Решение. Пустьa=2, 3544;δa=0, 2%;тогдаαa=a⋅δa=0, 00471.В данном числе
верными в широком смысле являются три цифры, поэтому округляем его, сохра-няя эти три цифры:
a1=2, 35;αa1=0, 0044+0, 00471=0, 00911<0, 01.
Значит, в округленном числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий.
Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:
а) в узком смысле;
б) в широком смысле.
Определить абсолютную погрешность результата.
1.
19
5.
6
1)
44 = 6,63;
= 0,463.
1)
83 = 9,11;
= 0,545.
41
11
2)
а)
22,553(±0,016);
2)
а) 21,68563;
δ =0,3%;
б)
2,8546; δ= 0,3% .
б) 3,7834(±0,0041) .
3)
а) 0,2387;
б) 42,884.
3)
а)
41,72;б) 0,678.
2.
4
6.
21
1)
10,5 = 3,24;
= 0,235.
1)
44 = 6,63;
= 0,723.
29
17
2)
а) 34,834;
δ =0,1%;
2)
а) 0,3567;
δ =0,042%;
б) 0,5748(±0,0034) .
б) 13,6253(±0,0021) .
3)
а) 11,445;
б) 2,043.
3)
а) 18,357;
б) 2,16.
3.
6
7.
13
1)
4,8 = 2,19;
= 0,857.
1)
31 = 5,56;
= 0,764.
17
7
2)
а) 5,435(±0,0028) ;
2)
а) 3,6878(±0,0013) ;
б) 10,8441;δ=0,5% .
б) 15,873;δ=0,42% .
3)
а) 8,345; б) 0,288.
3)
а) 14,862;
б) 8,73.
4.
2
8.
7
1)
22 = 4,69;
= 0,095.
1)
30 = 5,48;
= 0,467.
15
21
2)
а) 2,4543(±0,0032) ;
2)
а) 17,2834;
δ =0,3%;
б)
24,5643; δ= 0,1% .
б) 6,4257(±0,0024) .
3)
а) 0,374; б) 4,348.
3)
а) 3,751; б) 0,537.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №5
Тема: "Расчет погрешностей измерительных приборов"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Элементы теории погрешностей».
Краткие теоретические сведения.
Погрешностьюназывается отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.
В электротехнических измерениях различают несколько видов погрешностей, которые можно объединить в две большие группы: основная и дополнительная.
Основная погрешностьопределяется при нормальных условиях работы: температуре, влажности окружающей среды, частоте, форме и значение питающего напряжения, рабочем положении (для электромеханических приборов),
Дополнительная погрешностьпоявляется при отклонении величин, влияющих на результат измерения, от нормальных.
Нормальными условиями работы для измерительных приборов являются следующие:
при питании от сети переменного тока значение напряжения может отличаться от нормального
(номинального) значения не более чем на ±10%, т.е. сетевое напряжение 220 В может колебаться
в диапазоне 198...242 В,а его частота —не более чем на + 1 Гц, т.е.в диапазоне 49...51 Гц.
Основная погрешность содержит две составляющие — систематическую и случайную.
Систематическая погрешностьпри повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же прибором остается постоянной или изменяется по определенному закону. В обоих случаях она легко обнаруживается и может быть исключена из результата измерений.
Основными способами уменьшения систематической погрешности являются предварительная установка показаний индикатора на нуль, предварительная калибровка прибора и введение поправки.
Предварительная (перед измерением) установка показаний индикатора на нуль в аналоговых электромеханических и электронных приборах осуществляется механическим корректором, выведеннымпод шлиц в нижней части стрелочного индикатора, при выключенном приборе; в цифровых и аналоговых электронных приборах — специальным регулировочным потенциометром, выведенным на лицевую панель прибора и обозначенным символом
(или «Уст. О»), при включенном приборе и закороченном входе.
Предварительная (перед измерением) калибровка прибора выполняется только для электронных приборов регулировочным потенциометром, чаще всего выведенным на лицевую панель и обозначенным символом «▼» (или «Калибр»), при включенном приборе.
О введении поправки речь будет идти ниже.
Случайная погрешность при повторных измерениях изменяется случайным образом. Она резко выделяется на фоне систематической погрешности и возникает часто в результате оплошности оператора (ошибочного отсчета и записи показаний, влияния природных или техногенных воздействий).
Основным способом уменьшения случайной погрешности является обработка результатов измерений методом статистики и теории вероятности.
Одним из признаков, по которым классифицируются измерения, является способ получения результата измерения. Измерения подразделяются на прямые и косвенные.
При прямых измерениях искомая величина определяется непосредственно. Например, ток — амперметром, напряжение — вольтметром.
При косвенных измерениях результат находится путем выполнения определенных математических действий над результатами измерений. Например, измерение частоты осциллографом.
Будущему специалисту со средним профессиональным образованием необходимо научиться быстро, уверенно и правильно оценивать наиболее часто встречающиеся погрешности измерения. Поэтому далее рассмотрим количественную оценку основной систематической погрешности при прямых и косвенных измерениях.
Для количественной оценки основной систематической погрешности при прямых измерениях пользуются формулами, выражающими абсолютную, действительную относительную и приведенную относительную погрешности измерения.
Абсолютная погрешность ∆ выражается как
(1.1)
где АИ— истинное значение измеряемой величины (с определенным допуском будем считать его показанием образцового прибора); А — измеренное значение величины (показание рабочего прибора) .абсолютная погрешность не дает представления о точности измерения, поэтому используют действительную относительную погрешность
Действительная относительная погрешность
выражается как
(1.2)
Приведенная относительная погрешность
выражается как
(1.3)
где
— максимальная абсолютная погрешность; — номинальное значение, которое рассчитывается по формуле
(1.4)
Проанализировав формулы (1.2) и (1.3), построим графики зависимости
от показания измерительного прибора (положения стрелки) на примере односторонней шкалы прибора (рис. 1). Поделив шкалу прибора на четыре равные части от нуля до
можно утверждать, что
максимальна в 1-й четверти шкалы и минимальна в 4-й четверти.
Рисунок 1 – График зависимости действительной и приведенной погрешности от измерительного прибора
На основании анализа зависимостей можно сделать следующие выводы.
Для получения наименьшей погрешности
необходимо использовать 4-ю или 3-ю четверть шкалы прибора и не измерять в других четвертях, так как в 1-й и 2-й четверти шкалы погрешность максимальна.
Из анализа графика зависимости
следует, что приведенная относительная погрешность не зависит от показания прибора. Поэтому упр положена в основу класса точности электромеханических
приборов.
В соответствии с ГОСТ 8.401—80 электромеханические приборы поделены на девять классов точности:
Самый высокий класс точности — 1-й. самый низкий — 9-й. Класс точности выражается в процентах, всегда указывается на лицевой панели прибора цифрами (без знака %) и является сравнительной характеристикой приборов.
Если в формулу (2.2) подставить абсолютную погрешность, выраженную формулой (2.3), то получим формулу, связывающую
(1.5)
Большинство электронных приборов на классы точности не делятся. Значения абсолютной или относительной погрешностей приводятся в техническом паспорте в виде конкретного числа или формулы. Например, в паспорте низкочастотного генератора ГЗ-107 приведена действительная относительная погрешность установки частоты F:
Погрешность косвенных измерений определяют по формуле
(1.6)
где
- показатели степени (могут быть положительными или отрицательными, целыми или дробными числами);
— действительныеотносительные погрешности прямых измерений.
Действительная и приведенная относительные погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными. На практике чаще всего формула (1.6) ограничивается двумя слагаемыми. В основу косвенных измерений положены известные зависимости, приведенные в табл. 2.1.
Точность и действительная относительная погрешность измерения связаны обратной зависимостью:
(1.7)
Примеры решения типовых задач
Задача № 2.1. Измерено два значения напряжения (50 и 400 В) вольтметром с номинальным значением 400 В с одной и той же абсолютной погрешность 0,5 В. Какое напряжение будет измерено с меньшей погрешностью?
Решение. При решении задач по определению погрешности измерений необходимо правильно обозначить в символах исходные данные. Так, напряжение измеряется рабочим вольтметром и обозначается U\ = 50 В, Ui — 400 В, с одинаковой абсолютной погрешностью Д( = Д2 = 0,5 В. О виде шкалы вольтметра ничего не говорится, значит используется вольтметр с односторонней шкалой, у которого Атт = 0 и ^4тах = 400 В, поэтому £/н = 400В.
Погрешность измерения определяем по формуле (2.2):
Один и тот же вольтметр измерит напряжения 50 и 400 В с погрешностями, одна из которых в 8 раз больше другой, Причину такого различия объясняет анализ графика (см. рис.1) при измерении £/, « 50 В стрелка индикатора вольтметра будет находиться в 1-й четверти шкалы (рис. 2.2, а), а при измерении И2 — 400 В — в 4-й четверти (рис. 2.2, б).
Ответ: с меньшей погрешностью будет измерено напряжение 400 В.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий.
Решить задачу №1. В результате калибровки вольтметра магнитоэлектрической системы со шкалой 0...50 В и шагом шкалы 10 В получены показания образцового вольтметра (табл. 2.2).
Определить относительную приведенную погрешность и назначить вольтметру класс точности.
Таблица 2.2. Исходные данные для задачи №1
-
Для определения
необходимо воспользоваться формулой (1.3):
Решите и запишите вывод.
Решить задачу №2.Необходимо измерить напряжение 20 В многопредельным вольтметром 5-го класса точности (0,5%) с пределами измерения 7,5 — 15 — 30 — 60 В, выбрать оптимальный предел измерения вольтметра и оценить погрешность в выбранном пределе измерения.
При выборе предела измерения целесообразно представить положение стрелки вольтметра в каждом из четырех пределов при измерении заданного параметра (рис. 2.3).
Решите и запишите выводы.
Решить задачу № 3. Определить абсолютную и действительную относительную погрешности установки частоты 90 Гц на генераторе ГЗ-107, если в паспорте прибора указано, что действительная относительная погрешность установки частоты определяется по формуле
По формуле (1.2) определим абсолютную погрешность установки заданной частоты.
Решите и запишите выводы.
Дайте ответы на контрольные вопросы.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №6
Тема: " Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом половинного деления "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Число называется корнем уравнения, если .
Если функция определена и непрерывна на и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на существует хотя бы один корень.
При определении приближенных значений корней уравнения необходимо решить две задачи:
Отделить корень уравнения — значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.
Уточнить корень с наперед заданным числом верных знаков.
Методы уточнения корней
Метод половинного деления
В основе метода лежит деление отрезка пополам, на котором определен корень уравнения. Итерационная формула имеет вид:
Где
x – искомый корень уравнения
k – индекс приближенного значения корня
a и b – отрезок [a ; b] на котором определен корень уравнения.
Отрезок [a ;b] делится затем на два отрезка: [a ; x(k)] и [x(k) ; b], из которых выбирается тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков.
Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина последнего отрезка не станет |a–b| 2ε , где ε – точность приближений.
Метод простой итерации.
Исходное уравнение f(x)=0 должно быть преобразовано к виду: x=φ(x)
Итерационная формула имеет вид:
Выполнение итераций повторяют пока не будет выполнено |x(k) – x(k-1)| ε
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий.
Задание 1. Отделить корни алгебраического уравнения графическим или аналитическим способом и уточнить корни методом половинного деления до 0,01.
- 2.Письменно ответить на вопросы.
Что такое интервал изоляции корней?
Для какого типа уравнений применим метод половинного деления?
Какому условию должна удовлетворять функция на интервале, если нам известно, что корень уравнения находится на этом интервале?
В чем схожесть методов хорд и касательных?
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №7
Тема: " Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методом итераций "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Число называется корнем уравнения, если .
Если функция определена и непрерывна на и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на существует хотя бы один корень.
При определении приближенных значений корней уравнения необходимо решить две задачи:
Отделить корень уравнения — значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.
Уточнить корень с наперед заданным числом верных знаков.
Методы уточнения корней
Метод половинного деления
В основе метода лежит деление отрезка пополам, на котором определен корень уравнения. Итерационная формула имеет вид:
Где
x – искомый корень уравнения
k – индекс приближенного значения корня
a и b – отрезок [a ; b] на котором определен корень уравнения.
Отрезок [a ;b] делится затем на два отрезка: [a ; x(k)] и [x(k) ; b], из которых выбирается тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков.
Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина последнего отрезка не станет |a–b| 2ε , где ε – точность приближений.
Метод простой итерации.
Исходное уравнение f(x)=0 должно быть преобразовано к виду: x=φ(x)
Итерационная формула имеет вид:
Выполнение итераций повторяют пока не будет выполнено |x(k) – x(k-1)| ε
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу
Перечень заданий.
Задание 1.Отделить корни трансцендентного уравнения графическим способом и уточнить их методом итераций до 0,001.
- 2.Письменно ответить на вопросы.
Что такое интервал изоляции корней?
Для какого типа уравнений применим метод половинного деления?
Какому условию должна удовлетворять функция на интервале, если нам известно, что корень уравнения находится на этом интервале?
В чем заключается метод итерации?
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №8
Тема: " Решение алгебраических и трансцендентных уравнений методами хорд и касательных"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Метод касательных (метод Ньютона)
Итерационная формула метода Ньютона имеет вид:
В качестве начального приближения выбирается та из границ отрезка [a ;b] на которой выполняется условие:
Выполнение итераций повторяют пока не будет выполнено |x(k) – x(k-1)| ε
Метод хорд
Итерационная формула имеет вид:
Отрезок [a ;b] делится затем на два отрезка: [a ; x(k)] и [x(k) ; b]. Выбирается новый отрезок, в зависимости от условия:
Выполнение итераций повторяют, пока не будет выполнено |x(k) – x(k-1)| ε
Комбинированный метод хорд и касательных
Метод основан на построении схематического графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим «сжатием» этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции.
Порядок проведения работы:
Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Задание 1.Отделить корни алгебраического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0 графическим или аналитическим способом и уточнить корни комбинированным методом хорд и касательных до 0,001.
-
2.Письменно ответить на вопросы.
Если итерационный процесс сходится, то какую точку можно брать в качестве нулевого приближения?
Можно ли графическим методом найти точку нулевого приближения?
В чем преимущество использования комбинированного метода хорд и касательных перед отдельным использованием этих методов?
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №9
Тема: " Решение нелинейных уравнений "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Порядок проведения работы:
Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Решить уравнение с точностью до ε< 0,0001.
Варианты
2 x3− 3 x2− 12 x− 5 = 0 . 8.
x 3+3 x2−3=0.
15.
x 3−3 x 2−24 x −3=0.
2.
x 3
− 3x2
+3=0.
9.
x 3−3 x 2−24 x −5=0.
16.
x 3
− 12x + 6 = 0.
3.
x 3
+ 3x2
− 24x − 10 = 0.
10.
2 x3− 3 x2− 12 x+ 12 = 0 .
17.
2 x3− 3 x2− 12 x+ 10 = 0 .
4.
2 x3+ 9 x2− 21 = 0 .
11.
x 3−3 x2+1.5=0.
18.
x 3
− 3x2 + 2.5 = 0.
5.
x 3
+ 3x2
−2=0.
12.
x 3+3 x 2−24 x −3=0.
19.
x 3
+ 3x2 − 24x − 8 = 0.
6.
x 3
+ 3x2
− 24x + 10 = 0.
13.
2 x3+ 9 x2− 4 = 0 .
20.
x 3
− 12x + 10 = 0.
7.
2 x3+ 9 x2− 10 = 0 .
14.
x 3+3 x2−1=0.
Ход решения
Отделение корней графическим способом.
Найти один корень методом деления отрезка пополам, другой корень – методом хорд, а третий – смешанным методом хорд и касательных и записать результаты вычислений в таблицы вида (для каждого корня создается отдельная таблица).
Для метода деления отрезка пополам:
- xn
an
bn
f (xn)
bn−an
0
1
2
...
Для метода хорд:
- xn
f (xn)
x − x
nn−1
0
1
2
...
Для комбинированного метода:
an bn
bn−an
f (an)
f (bn)
f '(bn)
f (bn)
f '(bn)
0
1
2
...
Записать значения всех трех корней после округления.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №10
Тема: " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений».
Краткие теоретические сведения.
Метод Гаусса
Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.
Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn= 0;
а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn= 0;
…………………………………
аn1х1 + аn2х2 + …+ аnnхn= 0.
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений имеет нулевое решение: х1= 0, х2 = 0, . . . , хп = 0. Таким образом, однородная система линейных уравнений всегда совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Задание 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
1 вариант
6 вариант
2 вариант
7 вариант
3 вариант
8 вариант
4 вариант
9 вариант
5 вариант
10 вариант
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №11
Тема: " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений».
Краткие теоретические сведения.
Метод Жордана-Гаусса — один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.
Этот метод является модификацией метода Гаусса — в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).
Первый этап метода Жордана-Гаусса аналогична методу Гаусса (прямой ход Гаусса), который подробно можно посмотреть на странице "Метод Гаусса онлайн". Второй этап (обратный ход) метода Жордана-Гаусса заключается в обнулении всех элементов матрицы коэффициентов системы линейных уравнений, выше ведущих элементов. Отметим, что мы здесь рассматриваем произвольную систему линейных уравнений, где число переменных может быть не равным числу ограничений.
Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
Запишем систему (1) в матричном виде: где A-называется матрица коэффициентов системы, b − правая часть ограничений, x− вектор переменных, которую нужно найти. Пусть rang(A)=p. Построим расширенную матрицу системы:
После прямого хода Гаусса получим следующую расширенную матрицу: Если 
,..., 
равны нулю, то система линейных уравнений имеет решение, если же хотя бы один из этих чисел отлично от нуля, то система несовместна. Иными словами, система (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A навен рангу расширенной матрицы (A|b). Пусть 
. Тогда в обратном порядке, начиная с ведущего элемента 
применяем обратный ход Гаусса. Суть обратного хода заключается в обнулении всех элементов расширенной матрицы, стоящих выше ведущих элементов.
Итак, обнуляем все элементы, стоящие в столбце p, выше элемента . Так как ≠0, то сложим строки 1,2,...p−1 со строкой p, умноженной на 
соответственно.
Расширенная матрица примет следующий вид:
Аналогичным методом обнуляем элементы столбцов p−1, p−2, ...,2 выше ведущих элементов 
. Расширенная матрица примет следующий вид:
Делим каждую строку на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует): Тогда решение можно записать так: где 
− произвольные вещественные числа. Отметим, что при m=n и rangA=n система линейных уравнений (2) имеет единственное решение.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Задание 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса:
1 вариант
6 вариант
2 вариант
7 вариант
3 вариант
8 вариант
4 вариант
9 вариант
5 вариант
10 вариант
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №12
Тема: " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений».
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Задание 1.Найти обратную матрицу методом Гаусса.
1 вариант
1 вариант
2 вариант
1 вариант
3 вариант
1 вариант
4 вариант
1 вариант
5 вариант
1 вариант
Задание 2Вычислить определитель методом Гаусса.
1 вариант 
6 вариант
2 вариант
7 вариант
3 вариант
8 вариант
4 вариант
9 вариант
5 вариант
10 вариант
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №13
Тема: " Решение систем линейных алгебраических уравнений приближенными методами "
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Метод итераций
При большом числе уравнений (~ 100 и более) прямые методы решения СЛАУ становятся труднореализуемыми на ЭВМ, прежде всего из-за сложности хранения и обработки матриц большой размерности.
Методы последовательных приближений, в которых при вычислении последующего приближения решения используются предыдущие, уже известные приближенные решения, называются итерационными.
В итерационных методах решение может быть вычислено за бесконечное число итераций (приближений), а поскольку это невозможно, то, останавливая процесс вычислений на какой-либо итерации, необходимо уметь оценивать погрешность метода итераций.
Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс построения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся).
Эффективность применения приближенных методов зависят от выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса.
Пусть дана линейная система
Сравнение прямых и итерационных методов
Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью прямых, так и итерационных методов. Для систем уравнений средней размерности чаще используют прямые методы.
Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большой размерности, когда использование прямых методов невозможно из-за ограничений в доступной оперативной памяти ЭВМ или из-за необходимости выполнения чрезмерно большого числа арифметических операций. Большие системы уравнений, возникающие в основном в приложениях, как правило, являются разреженными. Методы исключения для систем с разреженными матрицами неудобны, например, тем, что при их использовании большое число нулевых элементов превращается в ненулевые и матрица теряет свойство разреженности. В противоположность им при использовании итерационных методов в ходе итерационного процесса матрица не меняется, и она, естественно, остается разреженной. Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми методами тесно связанна с возможностью существенного использования разреженности матриц.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Задание 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений методомитераций. Проверить результаты любым точным методом:
1 в. 2 в.
3 в.
4 в. 5 в.
6 в.
7 в. 8 в.
9 в.
10 в.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №14
Тема: " Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений».
Краткие теоретические сведения.
Рабочие формулы для метода Зейделя для системы трех уравнений имеют следующий вид:
Запишем в общем виде для системы n-уравнений рабочие формулы:
Заметим, что теорема сходимости для метода простой итерации справедлива и для метода Зейделя.
Зададим определенную точность решения e, по достижении которой итерационный процесс завершается, т. е. решение продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие для всех уравнений: 
где i=1,2,3,…,n.
Пример. Методом Зейделя решить систему с точностью e = 10-3:
Решение.
1. Приведем систему к виду:
2. В качестве начального вектора х(0) возьмем элементы столбца свободных членов, округлив их значения до двух знаков после запятой:
3. Проведем итерации методом Зейделя. При k = 1
.
При вычислении х2(1) используем уже полученное значение х1(1) =
= 0,7512:
.
При вычислении х3(1) используем значения х1(1) и х2(1):
Наконец, используя значения х1(1), х2(1), х3(1), получаем:
Аналогичным образом ведем вычисления при k=2 и k=3. При k= 2:
При k= 3:
Найдем модули разностей значений 
при k = 2:
Они меньше заданного числа e, поэтому в качестве решения возьмем: x1 = 0,80006, x2 = 1,00002, x3 = 1,19999, x4 = 1,40000.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Задание 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Зейделя. Проверить результаты любым точным методом:
1 в. 2 в.
3 в.
4 в. 5 в.
6 в.
7 в. 8 в.
9 в.
10 в.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №15
Тема: " Составление интерполяционных формул Лагранжа"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Интерполирование и экстраполирование функций».
Краткие теоретические сведения:
Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции f(x) в некоторых точках отрезка восстановить ее значения в остальных точках отрезка.
Существует несколько подходов к решению задач интерполяции.
1. Метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы, прежде всего, найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция
является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=xj и 0, когда x=xi, ij. Многочлен Lj(x)yj принимает значения yiв i-й узловой точке и равен 0 во всех других
узлах. Из этого следует, что есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi).
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
По данной таблице построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
Найти приближенное значение функции в указанной точке. -
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №16
Тема: " Составление интерполяционных формул Ньютона"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Интерполирование и экстраполирование функций».
Краткие теоретические сведения:
Метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x):
P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn);
— разделённая разность 1-го порядка;
— разделённая разность 2-го порядка и т.д.
Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x)
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Построить эмпирическую формулу для функции y, заданной таблицей (воспользоваться интерполяционной формулой Ньютона):
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №17
Тема: " Численное дифференцирование"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Численное интегрирование».
Краткие теоретические сведения.
В ряде случаев возникает необходимость найти производные от функции , заданной таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей аналитического задания функции. В этих случаях прибегают к приближённому дифференцированию.
Пусть функциязадана в равноотстоящих точках отрезка [a,b]. Функцию приближённо заменим интерполяционным полиномом Ньютона:
Здесь ― шаг интерполяции.
― первая конечная разность:
― вторая конечная разность:
― конечные разности высших порядков:
Формула приближённого дифференцирования:
Если функция задана таблично, и значение производной нужно вычислить в узловых точках , то каждое табличное значение принимают за начальное и тогда Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются. Полагая в формуле (1.8) , получаем:
30 35
40
45
50
1,4771
1,5441
1,6021
1,6532
1,6990
Пример 1
Найти производную функции , заданной таблично в
точке
Значения функции
Решение:
Здесь шаг Вычислим конечные разности различных порядков по формулам:
Заполним таблицу разностей:
0 1
2
3
4
30
35
40
45
50
1,4771
1,5441
1,6021
1,6532
1,6990
0,0670
0,0580
0,0511
0,0458
-0,0090
-0,0069
-0,0053
0,0021
0,0016
-0,0005
По формуле (1.9), используя первую строчку таблицы, с точностью до разностей четвёртого порядка, получаем:
Пример 2
Найти значения первой производной функции Бесселя, заданной таблично, в точке
Решение:
Составим таблицу конечных разностей.
Первые конечные разности:
Вторые конечные разности:
Третьи конечные разности:
Четвёртая конечная разность:
Таблицаконечныхразностей:
0 1
2
3
4
0,96
0,98
1
1,02
1,04
0,782536
0,773933
0,765198
0,756332
0,747339
-0,008603
-0,008735
-0,008866
-0,008993
-0,000132
-0,000131
-0,000127
0,000001
0,000004
0,000003
Значение первой производной функции в точке вычисляем по формуле (1.9):
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
1. Найти значения первой производной функции, заданной таблично, в точках
1.
2. 3. 4. 5. 6. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №18
Тема: " Численное интегрирование"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Численное интегрирование».
Краткие теоретические сведения.
Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], если функция f неотрицательна, то определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=f(x)dx.
Однако не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Часто на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно. В этих случаях прибегают к различным методам приближённого интегрирования.
Формула прямоугольников
f(x)dx≈((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1) – формула внутренних прямоугольников
f(x)dx≈((b-a)/n)(y1+y2+…+yn) – формула внешних прямоугольников.
- формула средних прямоугольников.
Погрешность вычисляется по формулеPnp=, где
2. Формула трапеций.
Для определения погрешности интеграла, вычисленного с помощью формулы трапеций, используется формула: где
3.Формула Симпсона (формула парабол).
Погрешность для этого метода находится по формуле: где
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Вычислить интеграл с использованием формул Ньютона-Котеса (формула прямоугольников (входящих, исходящих, средних), формула трапеций, формула парабол).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ:
1 вариант.
2 вариант.
3 вариант.
4 вариант.
5 вариант.
6 вариант.
7 вариант.
8 вариант.
9 вариант.
10 вариант.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №19
Тема: " Решение интегральных уравнений с помощью степенных рядов"
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Пример 1.
Найти приближённо частное решение 
дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
в виде четырёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.
Решение: в условиях данной задачи 
, поэтому общая формула Тейлора 
трансформируется в частный случай разложения в ряд Маклорена:
Разбираемся со значениями 
.
Этапы решения удобно занумеровать:
0) На нулевом шаге записываем значение 
, которое всегда известно из условия. В тетради итоговые результаты пунктов желательно обводить в кружок, чтобы они были хорошо видны и не затерялись в решении. Мне по техническим причинам сподручнее выделять их жирным шрифтом. Кроме того, отмечаем, что данное значение не равно нулю! Ведь по условию требуется найти четыре отличных от нуля членов ряда.
1) Вычислим 
. Для этого в правую часть исходного уравнения вместо «игрека» подставляем известное значение 
:
2) Вычислим 
. Сначала находим вторую производную:
Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение 
:
В распоряжении уже три ненулевых члена разложения, нужен ещё один:
3) Находим третью производную – это производная от второй производной:
Так получается, что в данном задании каждая следующая производная оказывается выраженной через предыдущую производную.
Подставляем в правую часть найденное в предыдущем пункте значение 
:
Теперь подставим найденные значения в формулу Маклорена и аккуратно проведём упрощения:
Ответ: 
Пример 2.
Найти приближённо частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
в виде трёх первых отличных от нуля членов ряда Тейлора.
Решение начинается стандартной фразой:
Разложение частного решения 
дифференциального уравнения при начальном условии 
имеет вид:
В данной задаче 
, следовательно:
Теперь последовательно находим значения 
– до тех пор, пока не будут получены три ненулевых результата. Если повезёт, то отличны от нуля будут 
– это идеальный случай с минимальным количеством работы.
Нарезаем пункты решения:
0) По условию 
. Вот и первый успех.
1) Вычислим 
. Сначала разрешим исходное уравнение относительно первой производной, то есть, выразим 
. Подставим в правую часть известные значения 
:
2) Находим вторую производную 
и подставляем в правую часть известные значения 
:
Второй «не ноль».
3) Находим 
– производную от второй производной:
Подставим в правую часть 
известные значения 
:
Третье ненулевое значение.
Аккуратно и внимательно подставляем «жирные» числа в нашу формулу:
Ответ: искомое приближенное разложение частного решения: 
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
Представить приближенно частное решение ДУ, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.
Представить приближенно частное решение ДУ, соответствующее заданному начальному условию , в виде суммы трех первых отличных от нуля членов степенного ряда.
Найти три отличных от нуля члена разложения в ряд Маклорена частного решения дифференциального уравнения второго порядка 
при начальных условиях 
.
Содержание отчета
Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Практическое занятие №20
Тема: " Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера»
Цель работы: Используя теоретический материал и образцы решения задач, решить примеры по теме «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений».
Краткие теоретические сведения:
Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y) (1) численным методом значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Величина h=xk-xk-1 называется шагом интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х).
Рекуррентные формулы метода Эйлера:
ук+1=ук+αкh
xk+1=xk+h
αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)
yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.
Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:
| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),
где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.
Порядок проведения работы:
1. Используя теоретические сведения, выполнить предложенное преподавателем задание.
2. Соответствующим образом оформить работу.
Перечень заданий.
1.Решить дифференциальное уравнение методом Эйлера
Содержание отчета Отчет должен содержать:
1.Название работы
2.Цель работы
3.Задание
4.Формулы расчета
5.Результат
Список информационных источников
Основные источники (печатные издания)
Богомолов, Н.В. Алгебра и начала анализа: учеб. пособие для СПО/Н.В.Богомолов. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 240 с. – (Серия: Профессиональное образование).
Данко, П.Е, Попов, А.Г., Кожевникова, Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1: Учеб.пособие для втузов. – М.:Высшая школа, 2015. – 304 с.
Данко, П.Е, Попов, А.Г., Кожевникова, Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.2: Учеб.пособие для втузов. – М.:Высшая школа, 2015. – 416 с.
Численные методы: учебник и практикум для СПО/под ред.У.Г.Пирумова. – 5-е изд.,перераб.и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 421 с. – (Серия: Профессиональное образование).
Дополнительные источники (печатные издания)
Бирюкова, Л.Г. Линейная алгебра и линейное программирование. Практикум: учеб.пособие для СПО/Л.Г.Бирюкова, Р.В.Сагитов; под общ.ред. О.В.Татарникова. – М.: Издательство Юрайт, 2019. – 52 с. – (Серия: Профессиональное образование).
Григорьев, С.Г. Математика: учебник для студ.сред.проф.учреждений/С.Г.Григорьев, С.В.Задулина; под ред.В.А.Гусева. – М.:Издательский центр «Академия», 2015. – 384 с.
Ларин, С.В. Числовые системы: учебное пособие для СПО/С.В.Ларин. – 2-е изд., испр.и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 177 с. – (Серия Профессиональное образование).
Дополнительные источники (электронные издания)
Пехлецкий И.Д. Математика: Учеб. для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И. Д. Пехлецкий. - М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 304с.
Шипачев, В.С. Высшая математика. Базовый курс: Учебник и практикум для бакалавров / В.С. Шипачев. - Люберцы: Юрайт, 2015. - 447 c.
Шипачев, В.С. Высшая математика: Учебник и практикум / В.С. Шипачев. - Люберцы: Юрайт, 2016. - 447 c.
Интернет-ресурсы
https://infourok.ru/chislennie-metodi-prakticheskie-raboti-3779925.html
http://window.edu.ru/resource/584/63584/files/chisl_met_praktikum.pdf
https://docplayer.ru/62903525-Metodicheskoe-posobie-dlya-prakticheskih-i-laboratornyh-rabot-po-kursu-chislennye-metody.html
https://docplayer.ru/41531474-Chislennye-metody-laboratornyy-praktikum.html
https://studfile.net/preview/4083820/
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.