Методические рекомендации по теме "Элементы высшей математики"

Таврический колледж

Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского

МЕТОДИЧЕСКИЕ

УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ

по высшей математике

для самостоятельной работы студентов

СИМФЕРОПОЛЬ,  2021 г

Методические указания подготовила:

ст. преподаватель кафедры физики и математики

Сидоренко-Николашина Е.Л.

  Методические указания рассмотрены на заседании кафедры физики и математики.      

     Протокол № 8  от  5 июня  2008 г.

          Методические указания рассмотрены и рекомендованы к использованию в учебном процессе методической комиссией технологического факультета.

     Протокол № 8 от  27 июня  2008 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………...4

1. Содержание рабочей программы  курса дисциплины «Элементы высшей математики»……………………………………………………………...……..5

     1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия…………………….........5

     1.2. Дифференциальное исчисление функции одной независимой

     переменной……………………………………………………………….....6

     1.3. Дифференциальное исчисление функции нескольких

     независимых переменных……………………………………………….....7

     1.4. Интегральное исчисление…………………………...…………………....7

     1.5. Дифференциальные уравнения……………………………...………..….8

     1.6. Ряды……………………………...………………………………….……..9

2.  Образцы решения некоторых примеров и задач……………………….…..10

2.1. Аналитическая геометрия на плоскости…………………………...…..10

2.2. Элементы линейной алгебры…………………….…………...………...15

2.3. Введение в анализ………………………………………...……………..17

2.4. Производная и дифференциал………………………………...………..19

2.5. Приложения производной………………………………………………21

2.6. Определенный интеграл……………………...…………………………24

2.7. Дифференциальные уравнения…………………………………………25

2.8. Ряды………………………………………………………………………28

3.  Задания для самостоятельного решения………………….…………….…..32

4.  Список рекомендуемой литературы……………...……………….………...50

ВВЕДЕНИЕ

Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов  инженерных специальностей как дневной, так и заочной формы обучения аграрных высших учебных заведений, для которых учебным планом предусмотрено изучение общего курса высшей математики.

Методические указания содержат рабочую программу курса высшей математики, общие рекомендации по изучению дисциплины и образцы решения некоторых задач. Вопросы для самопроверки более подробно расшифровывают программу курса и позволяют студентам проверить уровень своей подготовленности по каждой теме программы общего курса высшей математики.

В процессе изучения материала или при решении задач у студента могут возникать трудности, для решения которых он может обратиться к преподавателю кафедры высшей математики для получения устной консультации  или ознакомиться с содержанием данных методических указаний.

После изучения определенной темы по учебнику и решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы.

 ЦЕЛЬ методических разработок – помочь студентам при самостоятельном изучении курса высшей математики, систематизировать их знания, продемонстрировать связь между различными разделами этой учебной дисциплины, дать образец решения некоторых задач и примеров.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ИНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВЫСШИХ АГРАРНЫХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ

Рабочая программа содержит перечисление тем, которые должны быть изучены студентами. Последовательность изучения тем, методика их изложения и распределение материала по семестрам программой не предусматриваются и устанавливаются кафедрами высшей математики с учетом потребностей специальных и смежных кафедр.

1. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

1.1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Понятие об определителях п-го порядка.

2. Матрицы. Ранг матрицы. Действия над матрицами. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли.

3. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.

4. Векторы. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Длина вектора. Угол между векторами. Расстояние между двумя точками. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

5. Разложение вектора по системе векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов.

6. Системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Основные задачи на метод координат (расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении).

7. Понятие об уравнении линии. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение пучка прямых. Пересечение двух прямых.

8. Неравенства первой степени на плоскости и их геометрический смысл.

9. Канонические уравнения кривых второго порядка: окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

10. Плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Уравнение плоскости в отрезках на осях. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Общее уравнение плоскости, его частные виды.

1.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Введение в математический анализ

11. Постоянные и переменные величины. Определение функции. Область определения функции; способы ее задания. Графическое изображение функции. Основные сведения из классификации функций.

12. Числовые последовательности, их сходимость. Предел числовой последовательности. Теорема о существовании предела монотонной ограниченной .последовательности (формулировка).

13. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Математические неопределенности и способы их раскрытия (примеры). Сравнение бесконечно малых величин.

14. Непрерывность функции в точке и на интервале. Точки разрыва функции и их классификация.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл.

16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные параметрически и неявно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

17. Производные высших порядков.

18. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

19. Применение производной к вычислению пределов (правило Лопиталя).

20. Теоремы Ролля, Лагранжа. Применение производной к исследованию функций. Экстремумы функции. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на интервале. Задачи безусловной оптимизации.

21. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба.

22. Асимптоты кривой. Схема исследования функции и построения ее графика.

1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

23. Определение функции нескольких независимых переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

24. Частные производные функции нескольких независимых переменных, их геометрический смысл (для случая двух независимых переменных). Частные производные высших порядков. Теорема Шварца.

25. Полный дифференциал функции нескольких независимых переменных; его применение в приближенных вычислениях.

26. Экстремум функции многих переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функции.

27. Задача обработки наблюдений. Подбор параметров кривых по способу наименьших квадратов.

28. Скалярное и векторное поля. Производная по направлению. Градиент функции. Свойства градиента.

1.4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

29. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов.

30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических функций и некоторых иррациональностей.

31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Формулировка теоремы существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

32. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона—Лейбница.

33. Вычисление определенных интегралов способом подстановки и по частям. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

34. Приближенное вычисление определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона).

35. Геометрические приложения определенного интеграла:

вычисление площадей плоских фигур; объемов тел .по площадям сечений и тел вращения; длин дуг кривых; площадей поверхностей вращения. Примеры приложения интеграла к решению простейших задач механики и физики.

36. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций, их геометрические приложения.

37. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла.

38. Понятие о тройном интеграле. Геометрические приложения тройного интеграла.

1.5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

39. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие об общем и частном решении, их геометрическая интерпретация. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (без доказательства).

40. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.

41. Некоторые виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

42. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейно-независимые решения. Структура общего решения.

43. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение однородного уравнения.

44. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

1.6  РЯДЫ

45. Числовые ряды; их сходимость и расходимость. Свойства сходящихся рядов.

46. .Ряды с положительными членами. Необходимый и достаточные признаки сходимости.

47. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

48. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал сходимости.

49. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд элементарных функций.

50. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям, вычисление определенных интегралов.

Библиографический список

1. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука,-1 975.

2. Кудрявцев В. А., Демидович В. П. Краткий курс высшей математики. 6-е изд. М.: Наука, 1985.

3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука,. 1977.                           

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления:

т. 1, 2. М.: Наука, 1978.

5. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1986.

В настоящих методических указаниях приведенные пособия для краткости обозначаются заключенными в квадратные скобки номерами из библиографического списка. Например, запись [2] гл. 3; [3] № 66, 68, 81, 113 означает следующее: изучите материал, изложенный в главе 3 учебника Кудрявцева В. А., Демидовича В. П. «Краткий курс высшей математики» и решите задачи № 66, 68, 81, 113 из задачника Минорского В. П.

2.  ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ

2.1. Аналитическая геометрия на плоскости

[11 гл. I, II; [3] № 4, 10, 23, 28;

[1] гл. III § 11, 12, гл. IV; [3] № 59, 67, 71, 82 (2), 87, 103;

[1] гл. V § 24—26, 30—36; [3] № 140, 155, 166, 169, 190, 211, 224.

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (—4; 8), В(5; —4), С(10; 6). Найти: 1) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 2) внутренний угол при вершине А; 3) уравнение высоты CD и ее длину; 4) уравнения медиан и точку их пересечения; 5) уравнение прямой ЕF, проходящей через вершину В параллельно стороне АС; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC; 7) сделать чертеж в прямоугольной системе координат.

Решение: 1. Длины отрезков мы находили еще в пределах программы средней общеобразовательной школы:   М₁М_2=.     (1).

По этой формуле можно при необходимости вычислить длины сторон треугольника, его медиан, высот и так далее.

Уравнение прямой, проходящей через точки М₁ (х₁ у₁) и М₂(х₂ у₂), имеет вид:

.                                               (2).

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой AB:

,     ,     ,

,

.

Для нахождения углового коэффициента  прямой AB разрешим полученное уравнение относительно у:. Отсюда .

Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой АС:

,     ,     ,

.

Отсюда .

2. Угол  между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k₁ и k₂, определяется по формуле:

.                                                    (3).

Угол А, образованный прямыми AB и АС, найдем по формуле (3), подставив в нее , .

,

 рад.

3. Так как высота CD перпендикулярна стороне AB, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и потивоположны по знаку, т. е.

_.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁ (х₁ у₁) и имеющей заданный угловой коэффициент k (уравнение пучка прямых), имеет вид:

.                                                (4).

Подставив в (4) координаты точки С,получим уравнение высоты CD:

,     ,     .

Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (AB) и (CD):

, откуда х = 2, у =0, то есть D(2;0).

Подставив в формулу (1), координаты точек С и D, находим:

.

4. Для составления уравнения медиан АR, ВQ и СР в первую очередь нужно найти координаты середин сторон треугольника АВС – точек Р, R, Q, которые представляют собой среднее арифметическое координат вершин треугольника.

Например,

_=;

=, тогда точка Р(;2).

Аналогично для точек R и Q:  ; , то есть точка R(;1).

                                                   ; , то есть точка Q(3;7).

Для составления уравнения медианы АR воспользуемся уравнением (2):

,     ,     ,

-14х-56=23у–184 или 14х+23у-128=0.

Уравнения медиан СР и ВQ составляются аналогично.

СР: ;  ;  ;  8х-80=19у-114;  8х-19у+34=0.

ВQ: ;  ;  11х-55=-2у-8;  11х+2у-47=0.

Решив систему уравнений, состоящую из уравнений двух медиан, найдем точку N их пересечения:. Отсюда х=3,66; у=3,33,

точка N(3,66;3,33).

5. Так как известно, что прямая EF проходит через вершину В(х_0; у₀) параллельно стороне АС (по условию параллельности К_АС=К_EF= -), то удобно использовать уравнение пучка прямых (4).

Тогда уравнение EF примет вид: у –(-4) = -(х–5);  -7(у+4) = х-5;  х+7у+23 = 0.

6. Множество точек треугольника ABC есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой AB и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой AB ,и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой AB координаты точки С:

.

Поэтому искомое неравенство имеет вид: .

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

,     ,     ,

.

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: . Искомое неравенство будет . Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В: . Третье искомое неравенство . Итак, множество точек треугольника ABC определяется системой неравенств:

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

4. Напишите формулы преобразования координат: а) при параллельном переносе системы координат; б) при повороте системы координат.

5. Напишите уравнения прямой а) с угловым коэффициентом, б) проходящей через данную точку в данном направлении, в) проходящей через две данные точки, г) в отрезках.

6. Как найти координаты точки пересечения двух прямых?

7. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

8. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых?

9. Сформулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости хОу, с центром в начале координат.

11. Дайте определение эллипса. Напишите каноническое уравнение эллипса.

12. Что называется эксцентриситетом эллипса? Как изменяется форма эллипса с изменением эксцентриситета от 0 до 1?

13. Дайте определение гиперболы. Напишите каноническое уравнение гиперболы.

14. Напишите формулу для определения эксцентриситета гиперболы.

15. Напишите уравнения для нахождения асимптот гиперболы.

16. Сформулируйте определение параболы. Напишите каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу.

2.2.  Элементы линейной алгебры

[5] гл. XXI; [3] № 592, 624, 628.

Задача 2. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Решение. Обозначим через A - матрицу коэффициентов при неизвестных; X – матрицу-столбец неизвестных x₁, x₂, x₃; H – матрица-столбец свободных членов:

, , .

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

.                                                       (1)

Если матрица A – невырожденная (ее определитель  отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу A^-1. Умножив обе части уравнения (1) на A^-1, получим:

.

Но  (Е – единичная матрица), а , поэтому

.                                                       (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу A^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

. Тогда ,

где A_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) – алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы A, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы A.

Вычислим определитель  и алгебраические дополнения элементов матрицы A.

-следовательно, матрица A имеет обратную матрицу A^-1.

  

  

  

Тогда

.

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда x₁=3, x₂=0, x₃=-2.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем .второго, третьего, п-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Что называется матрицей?

6. Как определяются основные действия над матрицами?

7. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

8. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

9. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

10. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

11. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?

2.3. Введение в анализ

[2] гл. VI § 1—9; [3] № 683, 685, 700, 701;

[2] гл. VII § 1—13; [3] № 716, 734, 736, 738, 744, 747, 782, 789;

[2] гл. VIII; [3] № 816, 820, 825 (2, 3).

Задача 3. Вычислить пределы:

а) ,   б) ,

в) ,   г) .

Решение. а) Подстановка предельного значения аргумента х= —3 приводит к неопределенному выражению вида .

Для устранения этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (x+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (x+3) отличен от нуля при :

.

б) При  выражение  дает неопределенность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на :

.

в) Обозначим . Тогда  и  при . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

.

г) При  выражение  является неопределенностью вида . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при  величины и применим формулу второго замечательного предела:

.

Тогда имеем:

.

Пусть , тогда  и  при . Переходя к переменной у, получим:

.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение понятия функции.

2. Что называется областью определения функции? областью изменения функции?

3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.

4. Какие функции называются элементарными? Приведите примеры.

5. Что называется пределом числовой последовательности?

6. Сформулируйте определение предела функции.

7. Назовите основные свойства пределов функций.

8. Какая функция называется бесконечно малой? бесконечно большой?

9. Назовите свойства бесконечно малых функций.

10. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

11. Какие логарифмы называются натуральными?

12. Дайте определения односторонних пределов функции в точке.

13. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?

14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?

15. Перечислите основные свойства непрерывных на отрезке функций.

2.4. Производная и дифференциал

[2] гл. IX, § 1—5; [3] № 907, 908, 910;

[2] гл. X; [3] № 850, 857, 875, 888, 945, 956;

[2] гл. XII; [3] № 1067, 1075, 1077.

Задача. Найдите производные функции:

а) ,   б) ,

в) .

Решение: а) Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формулы дифференцирования, имеем:

;

б) Аналогично:

.

в) В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения производной  нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно :

Из последнего уравнения находим :

Вопросы для самопроверки

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический, физический смысл производной?

3. Как взаимосвязаны непрерывность функции и ее дифференцируемость в точке?

4. Напишите основные правила дифференцирования функций.

5. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции?

8. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

9. Перечислите основные свойства дифференциала функции.

10. Напишите формулу, позволяющую находить приближенное значение функции при помощи ее дифференциала.

11. Как найти производную второго, третьего, n-го порядков?

12. Как найти дифференциал второго порядка от данной функции?

2.5. Приложения производной

[2] гл. XI, §1—3, 7—10; [3] № 1162, 1167, 1201, 1222, 1229.

Задача 5. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение. Исследование функции проведем по следующей схеме:

1. Найдем область определения функции.

2. Исследуем функцию на непрерывность.

3. Установим, является ли данная функция четной, нечетной.

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функция и точки экстремума.

5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найдем асимптоты кривой.

Реализуем указанную схему:

1. Функция определена при всех значениях аргумента х кроме х=1.

2. Данная функция является элементарной, поэтому она непрерывна на своей области определения, т. е. на интервалах  и . В точке х=1 функция терпит разрыв второго рода.

3. Для установления четности или нечетности функции проверим выполнимость равенств  (тогда f(x) - четная функция) или  (для нечетной функции) для любых х и -х из области определения функции:

Следовательно,  и , то есть данная функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Для исследования функции на экстремум найдем ее первую производную:

 при х=0 и  не существует при х=1. Тем самым имеем две критические точки: х₁=0, х₂=1. Но точка х₂=1 не принадлежит области определения функции, экстремума в ней быть не может.

Разобьем числовую ось на три интервала:

В первом и третьем интервалах первая производная отрицательна, следовательно, здесь функция убывает; во втором интервале — положительна и данная функция возрастает. При переходе через точку х=0 первая производная меняет свой знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет минимум: . Значит, А (0; -1)—точка минимума.

На рисунке знаками +, - указаны интервалы знакопостоянства производной у', а стрелками - возрастание и убывание исследуемой функции.

5. Для определения точек перегиба графика функции и интервалов выпуклости и вогнутости кривой найдем вторую производную:

 при  и у" - не существует при х=1.

Разобьем числовую ось на три интервала:

На первом интервале вторая производная  отрицательна и дуга исследуемой кривой выпукла; на втором и третьем интервалах , тем самым график является вогнутым. При переходе через точку   меняет свой знак, поэтому  - абсцисса точки перегиба.

Следовательно,  - точка перегиба графика функции.

6. х=1 - точка .разрыва функции, причем . Поэтому прямая х=1 является вертикальной асимптотой графика. Для определения уравнения наклонной асимптоты y=kx+b воспользуемся формулами:

, .  Тогда 

При вычислении последнего предела использовалось правило Лопиталя.

Значит, прямая у=0 есть горизонтальная асимптота графика исследуемой функции, представленного на рисунке 7.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теоремы Ролля, Лагранжа. Каков их геометрический смысл?

2. Какая функция называется возрастающей? убывающей?

3. Сформулируйте необходимый, достаточный признаки возрастания и убывания функции.

4. Какие точки называются стационарными? критическими?

5. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

6. Какая кривая называется выпуклой? вогнутой?

7. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой?

8. Сформулируйте достаточный признак существования точки перегиба кривой.

9. Что называется асимптотой кривой? Как найти вертикальные и наклонные асимптоты?

10. Назовите схему исследования функции и построения ее графика.

11. В каком случае применяется правило Лопиталя при вычислении пределов?

2.6. Определенный интеграл

[2] гл. XIV, XV; [3] № 1598, 1607, 1612, 1619, 1622, 1629, 1636, 1670, 1686.

Задача 6 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху и снизу непрерывными линиями  и , пересекающимися в точках с абсциссами х=а и х=b, определяется по формуле

                                       (1)

Для нахождения точек пересечения данных линий .решаем систему уравнений

, 

,

, 

откуда х₁=–4, х₂=1.

Применяя формулу (1), получим:

 (кв. ед.).

Вопросы для самопроверки

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции  на отрезке [a; b].

3. Что называется определенным интегралом от функции  на отрезке [a; b]?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона—Лейбница.

8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?

10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

2.7. Дифференциальные уравнения

[2] гл. XXII §1—13; [3] № 2058, 2067, 2094, 2102, 2165, 2186,2213,2215.

Задача 1. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) искомую функцию у представим в виде произведения двух других функций:  и , то есть введем подстановку . Тогда  и данное уравнение примет вид:

или

.                            (1)

Выберем функцию u так, чтобы

.                                                      (2)

При подобном выборе функции u уравнение (1) примет вид

или

.                                                 (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющимися переменными, имеем:

,

,

,

.

Здесь произвольная постоянная С=0. подставляя найденное значение u в уравнение (3), имеем:

,

,

,

.

Тогда  - общее решение данного уравнения.

Задача 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения у_одн однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то есть

у = у_одн+.

Для нахождения у_одн составим характеристическое уравнение , имеющее комплексные корни  и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

у_одн = ,                                      (4)

где  - комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4) , имеем:

у_одн = .

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция  и числа  не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение . Если же числа  являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение .

Применяя эту теорему при , имеем:

.

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим у":

.

Подставив в данное уравнение у и у", получим:

,

откуда А = -1, В = -2.

Следовательно,  и

.

Найдем :

.

Используя начальные условия, получим систему:

откуда .

Следовательно,  есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

3. Каков геометрический смысл частного решения дифференциального уравнения первого порядка?

4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите способ их решения.

6. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка?

7. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

8. Какой вид имеет общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

9. Как найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

10. Какой вид имеет частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? показательная функция? тригонометрическая функция?

Тема 2.8. Ряды

[2] гл. XXI §1—24; [3] № 2424, 2426, 2474, 2475, 2503, 2519, 2533.

Задача 3. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение. Беря последовательно n = 1, 2, 3, ..., запишем данный ряд в виде:

.

Для нахождения области сходимости ряда применим признак Даламбера:

.

Данный ряд сходится абсолютно при тех значениях х, которые удовлетворяют неравенству

, или , или .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала.

При  данный ряд принимает вид . Последний ряд является знакочередующимся; абсолютная величина его общего члена стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Лейбница сходимости знакочередующихся рядов этот ряд сходится. Значит,  принадлежит области сходимости данного ряда.

При  данный ряд принимает вид . Исследуем сходимость этого ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и исследуемый ряд. Значит, при  исходный ряд сходится.

Таким образом,  - область сходимости данного ряда.

Задача 4 Вычислить  с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив х в разложении функции  на , имеем:

.

Тогда

,

.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвертый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена. Тогда

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется n-й частичной суммой числового ряда?

3. Какой числовой ряд называется сходящимся?

4. Что является необходимым условием сходимости числового ряда?

5. Назовите достаточные признаки сходимости, основанные на сравнении рядов.

6. Назовите признак Даламбера сходимости рядов.

7. В чем состоит интегральный признак сходимости Коши?

8. Какие ряды называются знакочередующимися? Приведите примеры.

9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.

10. Какие знакочередующиеся ряды называются абсолютно сходящимися? условно сходящимися?

11. Дайте определение степенного ряда и области его сходимости.

12. Как найти область сходимости степенного ряда?

13. Запишите разложение в степенной ряд функций .

14. Как обеспечивается требуемая точность при применении степенных рядов в приближенных вычислениях?

3.  ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задание №1.

В задачах 1-30 даны вершины треугольника АВС.

Найти:1) уравнение сторон треугольника и их угловые коэффициенты;

     2) внутренний угол при вершине А ;

     3) уравнение высоты ВД и ее длину;

     4) уравнение медиан АР и СМ, а также точку N их пересечения;

     5) уравнение прямой EF, проходящие через вершину В параллельно стороне АС;

     6) сделать чертеж в прямоугольной системе координат.

№ варианта	Координаты вершины А	Координаты вершины В	Координаты вершины С
1.	( 10; 6)	(-1; -7)	(-9; 1)
2.	(5; 15)	(-2; 4)	(-8; 6)
3.	( -5;-12)	( 4; 6)	(9; -5
4.	(-14; -8)	(-2; 11)	( 6; 2)
5.	(-9; -7)	(-1; 8)	(4; 3)
6.	(-2; 12)	( 3; -10)	( 7; 1)
7.	( -4; -10)	( 3; 8)	( 10; -6)
8.	( 1;-13)	(-9; -1)	(10; 8)
9.	(-6; 9)	( 1; -5)	( 12; 7)
10.	( -4; -16)	( 1; 7)	(12; -3)
11.	(-12; -6)	(-3; 8)	( 7; -5)
12.	( -7;-12)	( 5;11)	( 1;-3)
13.	(-3; 12)	(2; 4)	(-15; -7)
14.	(-6; 10)	(-1; -5)	( 7; 2)
15.	(-15; -1)	( -8; 9)	( 2; 5)
16.	(-11; 2)	(-7;12 )	(11; 0)
17.	(-3; -8)	( 6; 11)	( 9; -2)
18.	( -2; -6)	( 3; 9)	( 7; -1)
19.	(-3; -10)	( 7; 8)	(12; -4)
20.	( -11;-14)	( -6; 3)	( 10; 4)
21.	( -12; -6)	( -5; 4)	( 8; 11)
22.	( -8: -16)	(-1: 10)	( 9; -7)
23.	( -13; -9)	( 1; 12)	( 5; -4)
24.	( -14; -7)	(-3; 8)	(10; 1)
25.	( -10; -5)	( 4; 3)	( 11; 10)
26.	( -3; -11)	( 2; 15)	( 7; -9)
27.	( -12; -6)	( -2; 9)	( 2; 0)
28.	( -11;-8)	( 7; 6)	( -2; 9)
29.	(-12; -7)	(-1; 5)	(9; -3)
30.	( -12; 0)	( -5; 12)	( 2; 7)

Задание №2.

Решить систему методом Крамера. Выполнить проверку полученного решения.

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

 22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Задание №3.

01. а)

б)

в)

г)

02. а)

б)

в)

г)

03. а)

б)

в)

г)

04. а)

б)

в)

г)

05. а)

б)

в)

г)

11. а)

б)

в)

г)

12. а)

б)

в)

г)

13. а)

б)

в)

г)

14. а)

б)

в)

г)

15. а)

б)

в)

г)

21. а)

б)

в)

г)

22. а)

б)

в)

г)

23. а)

б)

в)

г)

24. а)

б)

в)

г)

25. а)

б)

в)

г)

06. а)

б)

в)

г)

07. а)

б)

в)

г)

08. а)

б)

в)

г)

09. а)

б)

в)

г)

10. а)

б)

в)

г)

16. а)

б)

в)

г)

17. а)

б)

в)

г)

18. а)

б)

в)

г)

19. а)

б)

в)

г)

20. а)

б)       

в)

г)

26. а)

б)

в)

г)

27. а)

б)

в)

г)

28. а)

б)

в)

г)

29. а)

б)

в)

г)

30. а)

б)

в)

г)

Задание №4.

Найти производные указанных функций.

№ варианта	Пункт а)	Пункт б)
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30

Задание 5.

Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1)    найти область определения функции;

2)    исследовать функцию на непрерывность;

3)    определить, является ли данная функция четной, нечетной;

4)    найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума;

5)    найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6)    найти асимптоты графика функции;

7)    сделать чертеж.

№ варианта	Пункт а)	Пункт б)
01.		.
02.		.
03.		.
04.		.
05.		.
06.		.
07.		.
08.		.
09.		.
10.		.
11.		.
12.		.
13.		.
14.		.
15.		.
16.		.
17.		.
18.		.
19.		.
20.		.
21.		.
22		.
23.		.
24.		.
25.		.
26.		.
27.		.
28.		.
29.		.
30.		.

 

Задание №6.

Найти неопределенные интегралы.

№ варианта	Пункт а)	Пункт б)
	заменой переменной	интегрированием по частям
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Задание №7.

Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами.

№ варианта	уравнения парабол	№ варианта	уравнения парабол
01		16
02		17
03		18
04		19
05		20
06		21
07		22
08		23
09		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Задание №8.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в указанной четверти и ограниченной заданными линиями:  параболой, прямой и осью Ох.

№ вар	Заданные линии и координатная четверть	№ вар	Заданные линии и координатная четверть
01	, х=0, у=0, 2-ая	16	, х=0, у=0, 1-ая
02	, х=0, у=0, 3-ья	17	, х=0, 1-ая
03	, х=0, 1-ая	18	, х=0, у=0, 1-ая
04	, х=0, 4-ая	19	, х=0, у=0, 1-ая
05	, х=0,у=0, 2-ая	20	, х=0, у=0, 1-ая
06	,х=0,у=0, 1-ая	21	, х=0, у=0, 4-ая
07	, х=0, 1-ая	22	, х=0, у=0, 4-ая
08	, х=0, 2-ая	23	, х=0, у=0, 2-ая
09	, х=0, у=0,1-ая	24	, х=0, у=0, 2-ая
10	, х=0, у=0, 3-ья	25	, х=0, 1-ая
11	,  х=0, у=0, 3-ья	26	, х=0, у=0, 1-ая
12	, х=0, у=0, 2-ая	27	, х=0, у=0, 1-ая
13	, х=0, у=0, 1-ая	28	, х=0, у=0, 1-ая
14	, х=0, у=0, 1-ая	29	, х=0, у=0, 1-ая
15	, х=0, у=0, 1-ая	30	, х=0, у=0, 1-ая

Задание №9.

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.

№ варианта		№ варианта
01		16
02		17
03		18
04		19
05		20
06		21
07		22
08		23
09		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Задание №10.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

№ вар-та		№ вар-та
01		16
02		17
03		18
04		19
05		20
06	,	21
07		22
08		23
09	,	24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Задание №11.

Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального    уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

№ варианта
01	y” – y’ = – 5e –x  (cosx + sinx)
02	y” + 2y’ + 2y = 4e –x cosx
03	y” – 4y’ + 3y = e 2x sinx
04	y” + 4y = 4cos2x –12sin2x
05	y” – 2y’ + 5y = e x cos2x
06	y” + 2y’ + 2y = e x sinx
07	y” – 4y = e 2x sin2x
08	y” – 4y’ + 4y = – e 2x sin4x
09	y” + 6y’ + 13y = e –3x cos5x
10	y” – 4y’ + 8y = e x (2sinx - cosx)
11	y” + 2y’ = 3e x (sinx + cosx)
12	y” – 4y’ + 4y = e 2x sin4x
13	y” + 6y’ + 13y = e – 3x cos8x
14	y” – 4y’ + 8y = e x (– sinx + 2cosx)
15	y” – 4y’ + 4y = e 2x sin6x
16	y” + 6y’ + 13y = e –3x cos4x
17	y” + y = 2cos3x –3sin3x
18	y” – 4y’ + 8y = e x (–3sinx + 4cosx)
19	y” + 2y’ = 10e x (sinx + cosx)
20	y” – 4y’ + 4y = e 2x sin5x
21	y” + 6y’ + 13y = e –3x cosx
22	y” – 4y’ + 8y = e x (3sinx + 5cosx)
23	y” + 2y’ = 6e x (sinx + cosx)
24	y” + 2y’ = 4 e x (sinx + cosx)
25	y” – 4y’ + 4y = – e 2x sin6х
26	y” + 2y’ = – 2e x (sinx + cosx)
27	y” + y = 2cos7x + 3sin7x
28	y” - 4y’ + 8y = ex (5sinx - 3cosx)
29	y” + 2y’ = ex (sinx + cosx)
30	y” - 4y’ + 4y = e2x sin3x

Задание №12.

Исследовать на сходимость числовой ряд.

.

№ варианта		№ варианта
01		16
02		17
03		18
04		19
05		20
06		21
07		22
08		23
09		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Задание №13.

Найти радиус сходимости степенного ряда и определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости.

№ варианта		№ варианта
01		16
02		17
03		18
04		19
05		20
06		21
07		22
08		23
09		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Задание №14.

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

№ варианта		№ варианта
01		16
02		17
03		18
04		19
05		20
06		21
07		22
08		23
09		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

4.  СПОСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1)    Борковский В.В., Борковская Н.В. Математика для экономистов. Высшая школа. 1999.

2)    Долгов Н.М. Высшая математика. – К., Высшая школа, 1998.

3)    Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М., Высшая школа. 1978.

4)    Зайцев И.Л. Высшая математика. – М., Высшая школа. 1991.

5)    Каплан И.А. Сборник задач по дифференциальному и интегральному исчислению функций. – М., Наука, 1986.

6)    Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М., Наука, 1985.

7)          Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М., Наука, 1978.

8)          Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятности и математической статистике. – Минск, Высшая школа,1989.

9)    Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятности и математической статистики. – М., Наука, 1976.

10)           Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1-2 – М., Наука, 1985.

11)           Под редакцией Кремера Н.Ш. Высшая математика для экономистов.- М.,Юнити. 2003.

12)           Под редакцией Кручковича Г.И. Сборник задач по высшей математике. – М., Высшая школа, 1973.

13)           Шипачев В.С. Высшая математика. – М., Высшая школа. 1990.