Методические рекомендации задачи на дроби

Старинные математические  задачи на любой вкус.

Методические разработки

II. Дроби

С чего нужно начинать работу с задачами на дроби?

Нужно напомнить задачи , которые они (ученики) решали в начальной школе .НА первых словах доли должны задаваться словами:половина , треть , четверть и т.д. «Понятия числитель , знаменатель»

Первые задачи на нахождение части числа и  числа по его частидолжны решаться в два действия до тех пор, пока все учащиеся не уяснятназначение первого шага в решении. Затем действия объединяются в одно выражение . Ввиду того ,что сейчас умножение и деление дробей не изучается в пятом классе ( Виленкин,Нурк) , то следующий шаг в решении задач – нахождение части числа умножением на дробь, числа по его части делением на дробь  придётся отложить почти на год . В 5 кл можно использовать только те из них , в решении которых требуется выполнить сложение и вычетание дробей с одинаковыми знаменателям .

Подготовительные задачи на « бассейны»

1)Бассейн наполняется за 10 ч. Какая часть бассейна, наполняется за 1 час.

2) В каждый час труба наполняет 1/6бассейня. За сколько часов она наполнит весь бассейн .

3) В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, вторая -1/15 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за один час совместной работы.

Затем предлагаются задачи для более слабых учащихся .

1)   Через первую трубу бассейн можно наполнить за 10 часов , а через вторую за 15 часов . Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.  1/10, 1/15   1/10+1/15=1/6

2)    В каждый час первая труба наполняет 1/10 бассейна, а вторая -1/15бассейна. За сколько часов напонится весь бассейн , если открыть обе трубы ?

                            1/10+1/15=1/6      1:1/6=6 часов

                   3)Через первую трубу бассейн6 можно наполнить за                                  10 часов , а через вторую за 15 часов . Какую часть                                      бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной                                    работы? За сколько часов наполнится весь бассейн , если                        открыть обе трубы? 1/10, 1/15 , 1/10+1/15=1/6 1:1/6=6

                            В качестве вводной задачи со словами половина ,         треть и т.п. можно предлагать старинную задачу Франца .

                   Трое хотят купить дом за 24 000 ливров. Они условились , что первый даёт половину, второй одну треть , а третий оставшуюся часть . Сколько даёт каждый ?

                                      1/2+1/3=5/6       1-5/6=1/6

24000:2=12000; 24000:3=8000 ; 24000:6=4000

         Интерес представляют задачи на сравнение дробей. Если учащиеся 5 класса не умеют сравнивать дроби с разными знаменателями , то нужно показать учащимся , как сравнивать используя идею уравнения

Алеша с папой стреляли в тире. Алёша из 10 выстрелов имел 5 попаданий, а папа  из 5 выстрелов имел 3 попадания. Чей результат лучше?

Предположим, что отец выстрелил ещё пять раз и имел тот же результат – три попадания . Сколько всего попаданий будет у папы? Чей же результат лучше ? После обсуждения первого способа можно перейти ко второму .

- Какую часть всех выстрелов Алёши составляют попадания ?  5/10

- Какую часть всех выстрелов папы составляют попадания ? 3/5=6/10

-Как получить ответы на вопрос задачи 6/10>5/10?

Серия очень интересных задач

1)   На столе лежало несколько книг. Когда взяли половину всех книг и ещё одну книгу , то осталось две книги Сколько книг лежало на столе первоначально ? 

При решении задачи обратить внимание учащихся на то , что если из одного из двух равных чисел вычесть , а к другому прибавить третье число , то разность полученных результатов будет в два раза больше третьего числа . Это наблюдение можно связать  с известным учащимся правилом нахождения двух чисел по их сумме и разности .

     Взяли книг на 2 больше , чем осталось , то есть ….  2+(2+2)=6 (книг)

2)   Мама дала своим детям конфеты . Дочери половину всех конфет и ещё одну конфету . Сыну половину остатка и ещё пять конфет . Сколько конфет мама дала детям ?

Рисунок.

         Попросите учащихся дополнить рисунок, показав на нём отрезок , соответствующий пяти конфетам .

Рисунок

Так как в условии не оговорено , что конфеты ещё остались , следовательно мама отдала все конфеты .

         У мальчика было 10 конфет , а у девочки на 2 больше.

У Васи есть три шоколадки . Он утверждает , что сможет взять половину всех шоколадок , не ломая ни одной из них . Сможет ли Вася выполнить своё обещание ? Если сможет , то как ?

         Оставшихся будет на  ½*2=1мены

Количество шоколадок – нечётное .

В коробке лежали карандаши. Сестра взяла половину всех карандашей и ещё полкарандаша . Остальные 4 карандаша взял брат . Сколько карандашей было первоначально ?

Рисунок

4=4=1/2*2=9 ( карандашей ).

№3 * Крестьянка продавала на рынке яйца .Первая покупательница купила у неё половину яиц и ещё пол- яйца . Вторая половину остатка и ещё пол-яйца, а третья последние десяц яиц .Сколько яиц принесла крестьянка на рынок ?

Рисунок.

10+10+1/2*2=21 (яйцо )- половина яиц без ½ яйца

21+21+1/2*2=43 (яйца )- всего принесла крестьянка.

         Затем будут задачи дроби с разными знаменателями . Это нахождение части числа и числа по его части . Останавливаться на таких задачах мы не будем , они не вызывают затруднений .

В       В 5-6 классах учащиеся должны научится решать пропорции , ознакомиться с прямыми и обратными пропорциональностями , решать задачи . Сами пропорции не намного обогащают арсенал способов решения задач. В любом случае программой предусмотрено применение пропорций .

 С чего начинать ?

1.Научить школьников решению пропорций , опираясь на основные свойства пропорций .

2. Выделять в условиях задач практического содержания две величины , устанавливать вид зависимости между ними .

3. По условию задачи составлять пропорции .

Примеры простых задач.

1)   За 6 часов поезд прошёл 480 км . Сколько км пройдёт поезд за первые 2 часа, если его скорость была постоянной?

                Время                          Путь                

       За 6 час                   -         480 км     

       За 2 час                  -             Х км       

Время и путь уменьшились в одно и тоже число раз , а так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны . Уменьшеение показываем стрелкой вниз , увеличение – вверх.

                   6/2 =480/Х; 6*Х=2*480; Х= 2*480/6  ; Х=160.

2)   Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошёл со скоростью 80 км /чза 3 часа .За сколько времени товарный поезд пройдёт то же расстояние со скоростью 40 км /ч?

                           Скорость                        Время

                           80 км/ч        -                 3 ч.

                           40 км/ч        -                 Х ч

                        80/40=Х/3;      Х=80*3/40 ;        Х= 6

Важно , чтобы у учащихся не сложилось впечатление , что зависимость может быть только прямой или обратной пропорциональностью . Следует рассмотреть  провокационные задачи.

1.   За 2 часа поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа7 Пропорциональность  числа пойманных карасей и времени лова весьма проблематична.

2.   Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

3.   Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать когда он прочтёт 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность, т.к. чем больше прочитано, тем меньше осталось прочитать. Здесь увеличение одной и уменьшение другой величины происходит не в одно и то же число раз.

4.   Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь занятая лилиями удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся  лилиями за 8 недель?

 

0 1  2    4        5    67                                      8

За 7 недель . здесь нет прямой пропорциональности. Пруд покрылся лилиями наполовину за 1 неделю до того момента, когда он полностью покрылся лилиями.

Задача на пропорциональную зависимость для трёх величин.

Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Куры	дни	яйца	Х=12*3*12/3*3= 48
3	3	3
12	12	х

Количество кур увеличилось в 4 раз следовательно, количество яиц так же увеличится в 4 раза и станет равным 12 . Если количество дней увеличится в 4 раза, то и количество яиц увеличиться в 4 раза и будет 12*4=48

Д\З: Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 метров длинны, 20 метров ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длинны канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 часов в день, если ширина канала должна быть 10м, глубина 18 дм?

Длинна	Кол- во человек	Дни	Часы работы в день	ширина	глубина
96	26	40	12	20	12
х	39	80	10	10	18

Длинна канала увеличивается от:

 увеличения числа человек в 39/26 раза Х= 96*39/26

увеличение числа дней в 80/40 раза Х= 96*39/26*80/40

уменьшения ширины в 20/10раза Х= 96*39/26*80/40*20/10

       Длина канала уменьшится от

уменьшения числа часов 12/10 раз Х= 96*39/26*80/40*20/10:12/10

увеличения глубины в 18/12 разХ= 96*39/26*80/40*20/10:12/10:18/12

окончательно имеем Х=320м

Задачи на проценты во многих рекомендациях предлагается рассматривать как частный случай задач на дроби.

Этапы при повторении и изучении материала , способствующие усвоению процентов большинством учащихся.

1.    Нахождения части числа умножением на дробь (обыкновенную, потом десятичную); увеличение числа на некоторую его часть.

2.   Нахождение числа по его части делением на дробь.

3.   Определение , какую часть одно число составляет от другого. Эта задача является опорной для нахождения процентного отношения двух чисел , на может быть усложнена вопросами типа : «Цена товара увеличилась с 400 до 500 рублей .На какую часть от первоначальной цены произошло её повышение?»  500- 400= 100; 100/400= ¼=0,25

4.   Выражение процентов в виде обыкновенной и десятичной дроби, выполнение  обратного преобразование.  Для решения более сложных задач учащиеся должны научиться отвечать на вопросы «Сколько процентов от числа Асоставляет  0,12 А? на сколько процентов число 0,12 А меньше числа А?» 0,12А/А*100=12%; А-0,12А = 0,88А; 0,88А/А*100=88%

5.   Нахождение нескольких процентов числа , увеличение числа на несколько процентов.

6.   Нахождение числа по нескольким его процентам

7.   Нахождение процентного отношения двух чисел, а также определение на сколько процентов одно число больше другого.

Если три пункта ещё не реализованы , то в 5 классе ограничиться  решением задач с помощью рассуждений об 1 %.

Первые  из задач должны решаться в два действия , лучше избегать задач приводящих к результату «0,33 ученика». Потом два действия объединить  в выражение.

1.   Папа потратил свою премию 20000 рублей на подарки жене и детям. 40 % от этой суммы он потратил  на подарок жене , 30 % - сыну и 30 % дочери. Все ли деньги  потратил папа? Да , т.к. 40% +30% +30% = 100%.

2.   Желая блеснуть знаниями  процентов , Вася сказал, что 60% книги он прочитал на прошлой неделе , а оставшиеся 50% - на этой. Вася ничего не перепутал? Напутал, так как 60 %+ 50%= 110% т.н. больше книги.

3.   Из «Арифметики» Киселёва А.П.

Найти процентные деньги с капитала 7285 рублей, отданного в рост по 8% на 3,5 года. 1% от 100 руб. –и 1 руб. ; 8% - 8 руб.

Со 100 рублей	За 1 год	8 руб.
С 7285 рублей	За  3,5 года	Х

Х = 8* 3,5/1 * 7285/100= 2039,8 рублей

При нахождении процентного отношения двух чисел нужно выразить отношение первого числа ко второму в процентах.

1.    Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет масса сушенных ? Выразите эту часть в процентах. Сколько теряется при сушке? 4/16=1/4=0,25=25%16-4/16=12/16+3/4=75/100=75%

2 способ применителен для неудобных чисел:

4/16=4*100/16*1/100=4*100/16 или короче 4*100/16=25%

Таким образом,  что бы найти процентное отношение двух чисел, можно первое разделить на второе и результат умножить на сто %.

2.    Цена товара снизилась с 4000 рублей до 3000 рублей. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена по сравнению с первоначальной?

Учащимся бывает трудно определить какое число принимать за 100%. Следует обратить внимание на число  с которым сравнивают другое число. Можно переформулировать задачу: «На сколько  процентов 3000руб. меньше 4000руб.» сравнивают с суммой 4000 руб. , значит 4000 руб. – это 100%

Решение:

1 способ: 3000*100/4000  = 75%; 100-75=25%;

2 способ:4000-3000 =1000 руб. разность 1000руб. составляет от4000 руб.

1000*100/4000 =25% Обычно первое решение усваивается лучше.

Пример более сложной задачи.

3.   *Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20%, и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли его вес за этот год прежним? Уменьшился или увеличился?

                   Если Женя весил Х кг, то после уменьшения веса на 20 % , он стал весить 0,8 Х кг, а после увеличения веса на 30 % - 0,8Х* 1,3 кг и т.д. в итоге  имеем 0,8Х *1,3*0,8*1,1 или 0,9152 Х кг, что меньше Х кг. Значит,  Женя похудел.

4.   * Яблоки, содержащие 70% воды, при сушке потеряли 60% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходиться на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10/40=0,25% массы сушенных яблок

5.   * «Квант» №2 85 год

В драм кружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет  число  девочек в этом драм кружке от числа мальчиков?

1 способ :число мальчиков  составляет 80% от числа девочек (100%) , определим сколько процентов составляет 100% от 80%; 100*100/80=125%

2 способ:  число мальчиков (м) составляет 80% от числа девочек(д), значит, м=0,8д. отсюда д= 1,25 м, т.е. число девочек составляет 125% от числа мальчиков.

3 способ: на 10 девочек приходиться 8 мальчиков , число девочек составляет 10/8 или 125 % от числа мальчиков.

6.   Сбербанк России с 1.10.1993 года за хранение денег на срочном депозите в течение года выплачивал 150% от вложенной суммы ; в течение полугода – 130% годовых; в течение 3х месяцев – 120% годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наибольший доход на 100 000 руб.? каков этот доход ?

1.   Годовой вклад под 150% процентов годовых 150%+100%= 250% . Через год сумма обратиться в 100*2,5 = 250 тыс. руб.

2. Полугодовой вклад под130%. Через полгода получим деньги с доходом 130%:2= 65% от вложенной суммы , теперь все полученные деньги положим ещё на полгода. Таким образом, через год мы получим 100*1,65*1,65=272,25 тыс. руб.

3. Квартальный вклад под 120% годовых. Через 3 месяца получим деньги с доходом 120/4 = 30% от вложенной суммы, так будем вкладывать целый год. Через год получим:

100*1,3*1,3*1,3*1,3=275,61 тыс. руб.

7.   *в спортивной секции девочки составляют 60% от числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Если число мальчиков принять за 100 % , то число девочек от них составляет 60% , а число всех участников секции 160% от числа мальчиков. 60% от 160% составляет 60* 100/160=37,5%. Но воспринимать это решение из-за нагромождения процентов нелегко. Если число мальчиков обозначить за Х, то число девочек равно 0,6Х, а число всех участников  секции Х+0,6Х=1,6 Х. теперь определим, сколько процентов от 1,6 Х составляет число 0,6Х : 0,6Х*100/1,6Х=37,5%.

Наконец, задачи, решаемые с помощью уравнений. Прежде прорешать  задачи, готовящие учащихся к использованию букв в составлении  уравнений.

Например: купили 4 линейки по 40 руб. и 3 угольника по 80 руб. сколько сдачи получили с 500 руб.?

Затем, они должны  научиться решать некоторые  из уже известных учащимся типов задач, с помощью  уравнений. Лучше начать с задач на части, решение которых мало изменяется от замены «частей» на «Х».

Следующий  шаг – задачи решение которых арифметическим способом затруднительно или приводит к громоздким рассуждениям.

Наконец, задачи, арифметическое решение которых если и возможно , то чаще всего после того, как решение будет найдено с помощью уравнений. Так поступали учителя в те времена, когда сборники были полны сложными задачами.

Пример интересной задачи , арифметическое решение которой легче алгебраического:

Стрелки часов показывают полдень. Через сколько часов они встрентяться еще раз?

1 способ Минутная стрелка догонит 1 раз часовую после 1 часа, второй раз после 2 х часов , … последний 11 раз после 11 часов и ровно в 12 часов. То есть промежуток между встречами стрелок составляет 12:11= 1*1/11часов

2 способ . Пусть первая встреча произойдёт через Х часов, за это время минутная стрелка сделает Х оборотов, а часовая Х/12 оборотов, причём минутная стрелка сделает на 1 оборот больше чем часовая . составим уравнение: х-х/12=1; х=1*1/11.