Методическое пособие " Нестандартные приемы устного счета"

Пояснительная записка

 Устный счет – гимнастика ума

    Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счета жизнь невозможна. Приемы устного счета позволят вам научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение быстро считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже ваших интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих.      Приемы быстрого счета способны здорово облегчить жизнь и ребенку в школе, и маме в магазине или на кухне, и папе на производстве или в офисе. Попробуйте выйти на середину комнаты и сесть на шпагат. Почему-то "не сажается", да? А гимнаст делает это совершенно спокойно, не напрягаясь. Тренироваться нужно! (6, стр. 9-14)

  Удачным с этой точки зрения, представляется  применение такого вида эвристической деятельности, как математическое исследование нестандартных способов умножения. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть феноменальной способностью устного счета? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку молниеносно считать устно, можно выделить три основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт.

     Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для быстрого устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям.(9, стр.25-27)

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как сохранить у школьников интерес к изучаемому материалу, поддержать их активность на протяжении всего занятия. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких нестандартных методических приемов, которые активизировали бы мышление обучающихся, стимулировали бы их самостоятельность в приобретении знаний.  

   Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных      приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

   Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате вычислений.

   Самый простой способ тренировки и, одновременно, разминки мозга: устный счет вслух (обязательно!) через число до ста и обратно. Утром, стоя под душем, или готовя завтрак, посчитайте: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Можно считать через три, через восемь - главное, делать это вслух. Всего через пару недель регулярных занятий вы удивитесь, насколько ПРОЩЕ станет обращаться с числами.(2)

   Много остроумных и, главное, быстрых приемов помогают возводить число в степень, извлекать квадратный корень. Знаменитые "30 приемов Перельмана" быстрого счета для математически мыслящих людей будут покруче шоу Коперфильда, потому что они еще и понимают что происходит, и как оно происходит. Ну, а остальные могут просто наслаждаться красивым фокусом.

   Учитель: Ребята, я на доске сейчас запишу четырехзначное число состоящие из девяток 9999, один из вас на доске запишет любое тоже четырехзначное число. Каждый из вас перемножит эти числа (время засекается). Учитель в это время быстро записывает ответ на листе бумаги или на доске. После выполнения умножения ответы сверяют… у ребят – восторг! Они просят еще задание. Можно дать теперь пятизначное число 99999.

  Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что этот фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность  двух составляющих ( свои способности и знание алгоритмов), поскольку имея их в своем арсенале , вы сможете удивить даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

   В статье представлено занятие математического кружка в 6 классе, которое рассчитано на 9 часов. В содержании подобраны задания, которые знакомят учащихся с различными способами умножения натуральных чисел, не используемых на уроках, и их применение при вычислениях числовых выражений. Освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления. Новые способы умножения развивают  у учащихся огромный интерес к предмету.

«Мы получим реальную отдачу, если учиться

в школе будет увлекательно и интересно.»

Д.А. Медведев.

    Внеурочная математическая деятельность школьников – это совокупность всех видов деятельности школьников, в которой в соответствии с основной образовательной программой образовательного учреждения решаются задачи воспитания и социализации, развития интересов, формирования универсальных учебных действий (УУД).

     Внеурочная деятельность является неотъемлемой частью образовательного процесса в школе и позволяет реализовать требования федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС)  в полной мере. Особенностями данного компонента образовательного процесса являются предоставление обучающимся возможности широкого спектра занятий, направленных на их развитие. Эффективность внеурочной деятельности определяется правильным выбором форм и методов проведения, учитывающим профиль обучения школьников, уровень их математической подготовки, интерес к изучаемому предмету и т.п. Учителю математики необходимо использовать новые приемы, технологии не только в процессе обучения, но и в организации внеурочной работы. Математический кружок — одна из самых емких постоянных форм организации внеурочной работы. Занятия математического кружка направлены  на развитие одаренных детей, углубление знаний учащихся, получаемых ими при изучении основного курса, развитие познавательного интереса  к предмету, любознательности, смекалки, расширение кругозора, вырабатывают у них навыки самостоятельного получения знаний, учат ориентироваться в потоке различной информации.

    На каждом занятии проводится коллективное обсуждение решения задач определенного вида. На этом этапе у детей формируется такое важное качество, как осознание собственных действий, самоконтроль, возможность дать отчет в выполняемых шагах при решении задач любой трудности. Ребенок на этих занятиях сам оценивает свои успехи. Это создает особый положительный эмоциональный фон: раскованность, интерес, желание научиться выполнять предлагаемые задания. В системе заданий реализован принцип «спирали», то есть возвращение к одному и тому же заданию, но на более высоком уровне трудности.(11)

Инновационный продукт

    Учитель: «  Сегодня, ребята, мы с вами познакомимся с увлекательной темой: «Нестандартные способы умножения».

Способы выполнения арифметических действий в старину не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату. Наши предки пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. Например, нужно перемножить 45 на 37. Не получается? Рука сама тянется за мобильником с калькулятором. А, между тем,

Это русский крестьянский способ умножения:  полуграмотные русские крестьяне 200 лет назад спокойно делали это, пользуясь лишь первым столбиком таблицы умножения - умножением на два. Не верите? А зря. Это - реальность.

      Напишем числа на листе и разделим их вертикальной чертой. Левое число делим на 2, отбрасывая остаток, пока не получим единицу. Правое - умножаем до тех пор, пока число строчек в столбике не сравняется. Затем вычеркиваем из ПРАВОГО столбика все те числа, напротив которых в ЛЕВОМ столбике получился четный результат. Оставшиеся числа из правого столбика складываем. Получится 1645. Перемножьте числа привычным способом. Ответ сойдется.»(1)

35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.

Счет на автомате

Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

  Вычитание 7, 8, 9. Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

  Умножение на 2. Для устного счета очень важно уметь быстро умножать любое число на 2. Для умножения на 2 некруглых чисел пробуйте округлять их до ближайших более удобных. Так 139*2 проще считать, если сначала умножить 140 на 2 (140*2=280), а потом вычесть 1*2=2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140). Итого: 140*2-1*2=280-2=278.

  Деление на 2. Для устного счета также важно уметь быстро делить любое число на 2. Несмотря на то, что многим умножение и деление на 2 дается достаточно просто, в сложных случаях также пытайтесь округлять числа. Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 1 (1 мы получили, разделив прибавленные 2 на 2). Итого: 198/2=200/2-2/2=100-1=99.

  Деление и умножение на 4 и 8. Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно. Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

   Умножение и деление на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2. Например,138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5= (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру. Например, 345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

  Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4. Например,348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

 Умножение на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину. Например, 26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

  Умножение на однозначные числа. Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать дву- или трехзначное число поразрядно. Например, умножим 83*7. Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 - разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581. Возьмем более сложный пример: 236*3. Итак, умножаем сложное число на 3 поразрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

  Определение диапазонов. Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке не выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных - не более 10 000 (99*99=9801), трехзначных не более - 1 000 000 (999*999=998001).

  Деление 1000 на 2, 4, 8, 16. И наконец, полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум: 1000=2*500=4*250=8*125=16*62,5.

Примечание. Эти закономерности являются ключевыми для счета в уме. Если какая-то из них вызывает у вас трудность – потренируйтесь, так как дальнейшие алгоритмы потребуют быстрого совершения описанных выше арифметических операций.

   Умножение на 11.

Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры. Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10. Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.

Умножать на 11 таким способом можно любые двузначные числа. Для наглядности приведены примеры:

81 * 11 = 8 (8+1) 1 = 891

   Умножение на 11.

2 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11.

Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1.

Пример:

24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2)

24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)

При умножении числа 72 на 111111 цифры 7 и 2 надо раздвинуть на 5 шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме.

72 х 111111 = 7999992 (количество шагов – 5)

Если единиц во втором множителе 7, то шагов будет на один меньше, т.е. 6.

Если единиц 8, то шагов будет 7 и т.д.

61 х 11111111 = 677777771

Эти вычисления можно легко произвести в уме.

Умножение двузначного числа на 111, 1111, 1111 и т.д., сумма цифр которого равна или больше 10.

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10.

Примеры:

48 х 111 = 4 (4+8) (4+8) = 4 (12) (12) 8 = (4+1) (2+1) 28 = 5328.

В этом случае к первой цифре нужно прибавить 1. получим 5.

Далее 2 + 1 = 3. А последние цифры 2 и 8 оставляем без изменения.

56 х 11111 = 5 (5+6) (5+6) (5+6) (5+6) 6 = 5 (11) (11) (11) (11) 6 = 622216

67 х 1111 = 6 (6+7)…7 = 6 (13)…7 = 74437 (10)

   Умножение двузначного числа на 101.

97*101= 9797

   Умножение трехзначного числа на 101.

Например 125 * 101 = 12625

(увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя)

125 + 1 = 126   12625

Этот прием дети легко усваивают при записи вычисления в столбик

х х125 101 + 125 125_ 12625

х х348 101 +348 348_ 35148

Еще пример: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227

 Умножение двухзначных чисел, близких к 100

Пример: 94 • 78

Решение: чтобы получить необходимые последние цифры (единицы и десятки), необходимо:

100 – 94 = 6

100 – 78 = 22 и результаты перемножить

6 · 22 = 132           32 последние две цифры (1 запоминаем)

Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо:  94 – 22 = 72

72+1 = 73

В результате имеем   94•78 = 7332

Пример: 67 • 93

100 – 67 = 33

100 – 93 = 7

33 • 7 = 231 (31 последние две цифры) 2 запоминаем

67 – 7 = 60

60 + 2  = 62

67 • 93 = 6231

Удивительное умножение (4)

Учащимся предлагается сначала умножить 12 345 679 • 9, затем на18, 27,…,81.

В результате учащиеся делаю вывод, что все числа кратны 9.

12345679 • 9 = 1111111 111

12 345 679 • 18 = 2 222 222 222

12 345 679 • 27 = 3 333 333 333

12 345 679 • 36 = 4 444 444 444

12 345 679 • 45 = 5 555 555 555

12 345 679 • 54 = 6 666 666 666

12 345 679 • 63 = 7 777 777 777

12 345 679 • 72 = 8 888 888 888

12 345 679 • 81 = 9 999 999 999

Умножение на 9, 99, 999, 9999, 99999

Учащимся предлагается (в виде соревнования) выполнить умножение различными способами:

Умножение столбиком

786 • 9 = 786(10 - 1) = 786 • 10 – 786  = 7860 – 786  = 7074 (для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число). При умножении на 99, приписывают два нуля, на 999, приписывают три нуля и т.д.

456 • 99 = 45600 – 456 = 45144

598 • 999 = 598000 – 598 = 597402   

 Умножение трёхзначного числа на 999.( 2 способ)

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры есть умножаемое число, только на уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Например:

385 * 999 = 384615

Следующий способ вызывает у учащихся огромный интерес, удивление:

Учитель: Ребята, я на доске сейчас запишу четырехзначное число состоящие из девяток 9999, один из вас на доске запишет любое тоже четырехзначное число. Каждый из вас перемножит эти числа (время засекается). Учитель в это время быстро записывает ответ на листе бумаги или на доске. После выполнения умножения ответы сверяют… у ребят – восторг! Они просят еще задание. Можно дать теперь пятизначное число 99999.

99999 • 74586 = 7458525414

999999 • 683498 = 683497316502

В результате умножения,  получается десятизначное число: первые пять цифр его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные пять цифр «дополнения, первой пятерки.

Интересные ответы

1 •  1 = 1
11 •  11 = 121
111 •  111 = 12321
1111 •  1111 = 1234321
11111 •  11111 = 123454321
111111• 111111 = 12345654321
1111111 •  1111111 = 1234567654321
11111111 •  11111111 = 123456787654321
111111111 •  111111111 = 12345678987654321

При умножении числа 142857 на числа от 1 до 6 получается произведение, записанное теми же цифрами, переставленными в циклическом порядке:

142857 •  1 = 142857;
142857 •  2 = 285714;
142857 •  3 = 428571;
142857 •  4 = 571428;
142857 •  5 = 714285;
142857 • 6 = 857142.

При умножении числа 37037 на числа от 1 до 9 получается произведение, записанное периодическими цифрами. Затем полученное число умножьте на 3.

37037 • 1 = 37037

37037 • 2 = 74074

37037 • 3 = 111111

37037 • 4 = 148148

37037 • 5 = 185185

37037 • 6 = 222222

37037 • 7 = 259259

37037 • 8 = 296296

37037 • 9 = 333333

 Восстановите пример на умножение натуральных чисел, если известно, что сумма цифр у обоих сомножителей одинакова.(10)

Рисунок 5: Задание на востановления пропущеных множителей.     

   Ответ:  2221 • 25

Рассмотренные на занятиях способы умножения не такие сложные и могут повседневно использоваться учащимися. Они познавательны и интересны.

Опорное число.

Посмотрите на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8. Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

15*18

1.      К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.

2.      Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230

3.      К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270.

Оба числа меньше опорного (под опорным)

Допустим, мы хотим умножить 48 на 47. Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.

Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

47*48

1.      Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же)

2.      Дальше 45 умножаем на 50 = 2250

3.      Затем прибавляем 2*3 к этому результату и вуа ля – 2 256!

Квадрат близкий к известному квадрату

Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:

На 1 больше:

Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.

• 31² = 30² + 30 + 31 = 961
• 16² = 15² + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

На 1 меньше:

Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.

• 19² = 20² – 19 – 20 = 400 – 39 = 361
• 24² = 25² – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576

На 2 больше

Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.

• 22² = 20² + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
• 27² = 25² + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

На 2 меньше (8)

Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.

• 48² = 50² – 2*(50+48) = 2500 – 196 = 2 304
• 98² = 100² – 2*(100+98) = 10 000 – 396 = 9 604

Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).

    Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (10) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)

Например:

952 = 9025

9 *10

1252 = 15625

12 * 13

      Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры:

1) 582 = 3364.

Объяснение: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.

2) 672 = 4489

Объяснение: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 =289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но меньшее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат недостатка данного числа до 50.

Примеры:

1) 482 = 2304.

Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.

2) 372 = 1369

Объяснение: 37 – 25 = 12, 50 - 37 = 13, 132 =169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

Умножение на пальцах.

Древнерусский способ умножения на пальцах является одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.

Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько, первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. Потом бралось число (суммарное) вытянутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько загнуто пальцев на руках, а результаты складывались.

Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет загнуто 2 и 3 пальца. Если сложить количества загнутых пальцев (2+3=5) и перемножить количества не загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56 . Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5( 5 ).

Рисунок 1: Умножение на пальцах.

Умножение на 9.

Умножение для числа 9: 9·1, 9·2 … 9·9 — легче выветривается из памяти и труднее пересчитывается вручную методом сложения, однако именно для числа 9 умножение легко воспроизводится «на пальцах». Растопырьте пальцы на обеих руках и поверните руки ладонями от себя. Мысленно присвойте пальцам последовательно числа от 1 до 10, начиная с мизинца левой руки и заканчивая мизинцем правой руки Допустим, хотим умножить 9 на 7. Загибаем палец с номером, равным числу, на которое мы будем умножать девятку. В нашем примере нужно загнуть палец с номером 7. Количество пальцев слева от загнутого пальца показывает нам количество десятков в ответе, количество пальцев справа — количество единиц. Слева у нас 6 пальцев не загнуто, справа — 3пальца. Таким образом, 9·7 = 63. Еще пример: нужно вычислить 9·9 =?. По ходу дела скажем, что в качестве «счетной машинки» не обязательно могут выступать пальцы рук. Возьмите, к примеру, 10 клеточек в тетради. Зачеркиваем 9-ю клеточку. Слева осталось 8 клеточек, справа — 1 клеточка. Значит 9·9 = 81. Все очень просто. 8 клеток и 1клетка(5).

Таблица Оконешникова

Умножение не стоит на месте, о чем доказывает новый способ умножения, который разработал Василий Иванович Оконешников. По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе  и «теперь ребята смогут  умножать и складывать в уме не только единицы, десятки, но также миллионы, триллионы и даже, не пугайтесь, секстиллионы с квадриллионами»

7 8 9

4 5 6

1 2 3

При этом каждая кнопка делится еще на 9 квадратов, в которой записываются результаты перемножения числа данной кнопки на числа от одного до девяти, т.е. получаем своеобразную таблицу умножения. Данный метод имеет ограничение - умножение делается на однозначное число.  Например, найдем произведение чисел 148 и 4. Для этого обратимся к квадрату соответствующему четверке, выбираем числа, соответствующие цифрам числа по порядку: единице, четверке, восьмерке.

Получаем: 04 16 32. Левую цифру (в нашем примере - ноль) оставляем без изменений, а следующие складываем попарно: четверку с единицей, шестерку с тройкой.. Последняя цифра также без изменений. 0(4 + 1)(6+3)2  = 0592.  Число 592 и есть результат умножения. Произведя расчет по методу Василия Ивановича Оконешникова при умножении многозначного числа на однозначное, этот метод достаточно прост и быстр, если имеется готовая таблица в уме или перед глазами.

(1)

Рисунок 2: Таблица Оконешникова.

3. Русско-крестьянский способ умножения.
Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду

последовательных делений одного числа пополам при одновременном умножении на 2  другого числа.

 Пример: 32 х 13 = 416                                                                                Таблица 1

1 Множитель =32	II Множитель = 13
32	13
16	26
8	52
4	104
2	208
1	416

Способ умножения «метод решетки»

Рисунок 3: Способ умножения «метод решетки».

Для умножения чисел Мухаммед из Хорезма предлагал «метод решетки», который, пожалуй, проще, чем применяемый в школе(1). Пусть надо умножить 564 на 37. Начертим таблицу, и запишем над ней число 564 слева направо, а справа от нее  число 37 сверху вниз. В каждую клеточку запишем произведение цифр. При этом цифру десятков произведения запишем над косой чертой, а цифру единиц под ней. А теперь будем складывать числа в каждой косой полосе, выполняя, эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишут под нижней цифрой полосы. Если же окажется больше 10, то пишут только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляют к следующей сумме. В результате получим нужное произведение, которое равно 20868, также выполняем умножение 623 ∙ 26 = 16198.

Китайский способ умножения.

А теперь представим метод умножения, бурно обсуждаемый в Интернете, который называют китайским.  При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют  количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Пример: умножим 32на 24. В первом множителе 3 десятка и 2 единицы, значит, строим 3 параллельные прямые и поодаль 2 прямые.

Во втором множителе 2 десятка и 4 единицы. Строим параллельно 2 и поодаль 4 прямые, пересекающие прямые первого множителя.

 

8

  

		6

 

Рисунок 4: Китайский способ умножения.

Прямые пересеклись в точках, количество которых и есть ответ, то есть 

32 • 24 = 768

Литература

              1.    Л.В. Бикташева «Алгоритмы ускоренных вычислений», журнал «Математика в школе»  №11  2001

              2.    Л. Денисова «Умножение натуральных чисел», журнал «Математика»  №15  2011

              3.   Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов «Мир чисел», М.: Просвещение,1980

4.   Е.Г.Козлова «Задачи для математического кружка» , М.:» Мирос»,1995

5.   Мартин Гарднер « Математические новеллы». – М.: Мир, 1974

6.   Н.Л. Мельникова «Развитие вычислительной культуры учащихся», журнал « Математика в школе» 2001  

7.   Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин «Математическая шкатулка», М.: Учпедгиз, 1961

8.   Э.Л.Струнников «Устный счет»

9.   Г.А.Филиппов   «Устный счёт – гимнастика ума», Волгоград: Перемена,1995

             10.  П.В.Чулков Математика. Школьные олимпиады.5-6 класс. М.: НЦ ЭНАС, 2014

             11.  О.С. Шейнина, Г.М. Соловьева Математика. Занятия школьного кружка 5 - 6 класса, М.: НЦ ЭНАС, 2011

Краткое описание документа:

Ну-ка, в сторону карандаши! Ни костяшек, ни ручек, ни мела. " Устный счёт!" Мы творим это дело только силой ума и души. Цифры сходятся где - то во тьме, и глаза начинают светиться, и кругом только умные лица, потому что считаем в уме! (Валентин Берестов).

Математика - одна из основных наук. Правильное её изучение приводит не только к умению считать, но и к умению логически мыслить.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов устного счета в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

С помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки учащихся, которые надо развивать, а развить их может каждый человек, независимо от его феноменальных математических способностей, хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана на рынке или в магазине.

Цель работы: научить учащихся приёмам быстрого счёта, доказать необходимость умения быстро считать и эффективно использовать эти приёмы.

Задачи:

1) узнать об упрощённых, нестандартных способах (некоторых уже забытых) устных вычислений при умножении натуральных чисел.

2)рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении и делении чисел.2

Внеурочная деятельность является неотъемлемой частью образовательного процесса в школе и позволяет реализовать требования федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) в полном объеме. Учителю математики необходимо использовать новые технологии и приемы не только в процессе обучения, но и в организации внеурочной работы.5«Ребята, я на доске сейчас запишу четырехзначное число, состоящее из девяток 9999, один из вас на доске запишет любое тоже четырехзначное число. Каждый из вас перемножит эти числа (время засекается)». Учитель в это время быстро записывает полученный им тут же ответ на доске. После долгого выполнения умножения детьми, ответы сверяются… у ребят – восторг! Они просят еще задание…

Вывод: Основу культуры счета составляют вычислительные навыки. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной. Устный счет развивает умение сосредоточиться, механическую память, быстроту реакции. Мы получим реальную отдачу, если учиться в школе будет увлекательно и интересно. ( Д.А. Медведев).