Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методика решения логарифмических и показательных уравнений
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методика решения логарифмических и показательных уравнений

библиотека
материалов

Методика решения логарифмических

уравнений и неравенств.

Сатцаева Н.Е. МБОУ лицей г.Владикавказ

Решение простейших логарифмических уравнений связано с определением логарифма и основным логарифмическим тождеством вида:

hello_html_db58ff.gif, где hello_html_m10f0c3a3.gifhello_html_m707f7316.gifhello_html_41497df1.gif

На основании определения логарифма решают задачи, в которых по данным основаниям и числу определяется логарифм, по данному логарифму и основанию определяется число и по данному числу и логарифму определяется основание. Приведу несколько примеров:

1. hello_html_349e82d6.gifhello_html_m34de197b.gif

2. hello_html_203f9273.gifhello_html_76667a1b.gif

3. hello_html_9c4a16b.gifhello_html_mad803b.gif

4. hello_html_1c54443e.gifhello_html_m37cab173.gif

5. hello_html_m7c8748d8.gifhello_html_m1737067a.gif

6. hello_html_m2a695af.gifhello_html_m1d24013a.gif

7. hello_html_40173cd8.gifhello_html_m38e14681.gif

8. hello_html_40b7c842.gifhello_html_1df54ee8.gif

9. hello_html_412a0173.gifhello_html_76667a1b.gif

10. hello_html_m46cb2ba8.gifhello_html_m7a9a15df.gif

11. hello_html_2aad34e.gifhello_html_m35653798.gif

12. hello_html_m7aa13574.gifhello_html_m366a0399.gif

13. hello_html_59400df8.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_15eaa223.gif

14. hello_html_m7f80894a.gifhello_html_493c11be.gif

15. hello_html_7424152e.gifhello_html_7fda3df1.gif

16. hello_html_m40d219f9.gifhello_html_770b2e12.gif

17. hello_html_m559e830b.gifhello_html_m53a02b77.gif

18.hello_html_m19fc6e87.gifhello_html_m1d24013a.gif

19. hello_html_4146423e.gifhello_html_m57d7f822.gif

20. hello_html_4cb54de0.gifhello_html_76667a1b.gif

21. hello_html_m2dcb15ec.gifhello_html_ff52eee.gif

22. hello_html_m2ee626e5.gifhello_html_a71123f.gif

23. hello_html_1f00a0fc.gifhello_html_mc013592.gif

24. hello_html_4b356bda.gifhello_html_m468652e0.gif

25. hello_html_6e8c0ccf.gifhello_html_m53a02b77.gif

26. hello_html_7255816f.gifhello_html_31f32ddf.gif

27. hello_html_m1416d92e.gifhello_html_m340d20a7.gif

28. hello_html_5a67f60f.gifhello_html_m40d89f68.gif

29. hello_html_1324c430.gifhello_html_59a6b151.gif

30. hello_html_6e0a4d2d.gifhello_html_38a48ed6.gif

31. hello_html_22dfe7b4.gifhello_html_m35653798.gif

32. hello_html_m2e3b3fbf.gifhello_html_19353ef3.gif

33. hello_html_m5b77733.gifhello_html_m66a03c50.gif

34. hello_html_61052b05.gifhello_html_76667a1b.gif

35. hello_html_576b3d42.gifhello_html_39599abc.gif

36.hello_html_m1bea87df.gifhello_html_m387ecc96.gif

37. hello_html_59ecda1.gifhello_html_76667a1b.gif

38.hello_html_75425241.gifhello_html_322d0d51.gif.


Решения уравнений вышеприведённого характера обычно затруднений не вызывает, поэтому на их решениях останавливаться не будем.

В школе чаще всего встречаются уравнения, которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потенцированием с предварительным упрощением данного выражения, либо логарифмированием обеих частей уравнения.

Я хочу остановиться подробно на решение каждого из видов.

Первый вид

hello_html_ma11be1f.gif

Желательно, чтобы учащиеся, не приступая к решению, нашли там, где это возможно, область допустимых значений функции, стоящей в левой части уравнения.

hello_html_5c7651e7.gifhello_html_5b0bc26b.gif

hello_html_m5a1d806d.gifhello_html_m44689693.gifhello_html_m2a3f7344.gif

При наличии предварительного исследования проверку делать не обязательно. Если же исследование не проводится, то проверка решения необходима.

В данном примере hello_html_79fbcad9.gif является корнем уравнения.

В качестве упражнений можно предложить следующие задачи:


1. hello_html_6f76e5e6.gifhello_html_a71123f.gif

2. hello_html_m482552f3.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_ff52eee.gif

3. hello_html_237ced3c.gifhello_html_46120518.gif

4. hello_html_409a7227.gifhello_html_m73578de9.gif

5. hello_html_7c113ee3.gifhello_html_m67a56c22.gif

6. hello_html_28dd24c7.gifhello_html_ff52eee.gif

7. hello_html_m350d2d38.gifhello_html_m35653798.gif

8. loghello_html_239ef9d2.gifhello_html_35532f2e.gif

9. hello_html_537310bb.gifhello_html_222dbc4f.gif

10. hello_html_m3d970540.gifhello_html_m35653798.gif

11. hello_html_2b806f07.gifhello_html_m2deb4b07.gif

12. hello_html_550c7e60.gifhello_html_m41e00a7.gif

13. hello_html_m77c53190.gifhello_html_32fe0bb4.gif

14. hello_html_59e16191.gifhello_html_m4872661a.gif

15. hello_html_maf9b6e3.gifhello_html_76667a1b.gif

16. hello_html_1e667a9a.gifhello_html_m60e3721.gif

17. hello_html_m71f2d3c7.gif (9)

Второй вид


hello_html_7a405cc.gif


hello_html_4e6fa2ec.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_5ac8b62e.gif

hello_html_30019226.gifhello_html_m2c318a0b.gif


hello_html_m6b1ae07d.gifявляется корнем данного уравнения. Проверка может быть проведена с целью обнаружить ошибку в ходе решения, если такая окажется.


Задачи для упражнений.

1. hello_html_m676b7a9d.gifhello_html_m2deb4b07.gif

2. hello_html_m2adbe2e3.gifhello_html_355d7fd8.gif

3. hello_html_m783e424e.gifhello_html_139c37c7.gif

4. hello_html_7de0fde8.gifhello_html_6870b8e7.gif

5. hello_html_5d4dc4be.gifhello_html_1156dfcc.gif

6. hello_html_7f42cd2b.gifhello_html_m44a0b1b8.gif

7. hello_html_m314ef1b7.gifhello_html_m28154c95.gif

8.hello_html_m18d49230.gifhello_html_m274f3731.gif

9. hello_html_m3c889492.gifhello_html_m1efd03a1.gif

10. hello_html_m471cf087.gif (4)

11. hello_html_2cdca15.gif (4)

12. hello_html_m71f3569c.gif (100;0,01)

13. hello_html_m4271c74e.gifhello_html_m275bd229.gif

Третий вид

Эти уравнения решаются логарифмированием обеих частей.

Чаще всего этот способ применяется для уравнений, в которых показатель степени содержит логарифмы. Например: для решения уравнения hello_html_m65407a00.gif прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, что сделать можно, так как x>0, ибо среди компонентов имеется lgx, который существует только при x>0.

hello_html_m42f9b397.gif

hello_html_896cae8.gif;

hello_html_m70d0c99f.gif

hello_html_292cdc1a.gif

hello_html_1f410e0f.gif

Ответ: 100.


Примерные упражнения.


hello_html_m7c1574b.gif

Разобрав решения основных видов показательных и логарифмических уравнений, следует в порядке повторения рассмотреть уравнения с усложнёнными условиями. Например, такие:

1. hello_html_4fb806c0.gifhello_html_m71ef082c.gif

сгруппировав члены и вынося за скобки общие множители, получим

hello_html_23698f0.gif

Так как hello_html_m1d27a1cc.gif и hello_html_477d9e9.gif

то hello_html_21469aa3.gif

hello_html_1f410e0f.gif

Ответ: 100.

2. hello_html_m1ac69456.gif

Потенцируя обе части уравнения, получим:

hello_html_3d4210e2.gif

hello_html_m778d43cd.gif

hello_html_5b037bad.gif

Решая полученное уравнение и используя замену, получаем

hello_html_1650089b.gifи hello_html_m316348ad.gif

Ответ: 2; 4.


3.hello_html_522dbaf1.gif, hello_html_30f3f7e5.gif

hello_html_1ff01e4c.gif

Ответ: 10; hello_html_2d139b2a.gif


4. hello_html_m594bb4a4.gifhello_html_1181c650.gif, hello_html_m6c67b016.gif

Заменяя hello_html_m16c1120a.gif и потенцируя, получим:

hello_html_m4aa92b25.gif

получаем hello_html_1ad413e8.gifhello_html_d8e6972.gif

Первый корень посторонний, так как hello_html_m6c67b016.gif

Решением будет hello_html_3b9f574b.gif


5. hello_html_m86d30d3.gifhello_html_1181c650.gif

пусть hello_html_m40992e4.gif, имеем

hello_html_m211113a7.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Используя замену, получим hello_html_75cafb17.gif По свойству показательных функций равенство

hello_html_m32b4c4ed.gifневозможно; hello_html_m2ffcb2c.gifкорень посторонний.

Ответ: 9.


6. hello_html_m31333647.gif

На основании определения логарифма имеем:

hello_html_m6680371c.gif

Ответ: 3hello_html_m31b1df80.gif


7. hello_html_3b05ecc1.gif

Заменяя hello_html_m16c1120a.gif, получим

hello_html_107e1559.gif

Ответ: 1.


Решение логарифмических неравенств следует предлагать учащимся после выяснения свойств логарифмической функции, так как их решения часто основываются на свойстве монотонности логарифмической функции.

Разберём несколько примеров.


1. hello_html_m133582a9.gif

Так как обе части неравенства – числа положительные, то возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство.

hello_html_358df0e.gif

заменим 1 через hello_html_1374e6cb.gif, получим систему неравенств:

hello_html_2e256b2.gif

Первое неравенство вытекает из определения логарифма, а второе – из свойств монотонного возрастания логарифмической функции при основании , большем единицы

( в нашем случае -2). Эта система равносильна системе

hello_html_48f46743.gif

а) Если hello_html_m30760a4a.gif, т.е. hello_html_m3d8393df.gif то

hello_html_39412a18.gifРешения нет.

б) Если hello_html_m43546b4.gif, т.е. hello_html_m349d2f76.gif, то

hello_html_m75815c17.gif

Ответ: hello_html_18df4f35.gif

2. hello_html_m5b3043e3.gif, заменяем hello_html_3350e3a2.gif,

получим систему неравенств:

hello_html_502d833.gif

что равносильно неравенству:

hello_html_686352.gif

hello_html_m5ed57c5d.gifи hello_html_m4bdd9515.gif

Ответ: hello_html_m5ed57c5d.gif, hello_html_m4bdd9515.gif

3. hello_html_70316f3e.gifhello_html_2d2eff4.gif

4. hello_html_543fd67c.gif

hello_html_m522e2679.gifпри любом х, значит,

hello_html_m298af5be.gif

hello_html_4e1c9bc2.gif

Ответ: hello_html_4e1c9bc2.gif

5. hello_html_4d95018c.gif Приведя к общему знаменателю, после упрощения получим:

hello_html_56a50292.gif;

hello_html_179c2dcb.gifпри любом х, т.к.

D=1-4=-3<0; a=1>0. Значит, hello_html_m727ad5b9.gif

т.е. hello_html_m727ad5b9.gif при hello_html_m517f25fe.gif

Ответ: hello_html_m517f25fe.gif

6. hello_html_m4d0b5d29.gif;

hello_html_5b5244bb.gif;

hello_html_m468eddf4.gif

Ответ: hello_html_m5cf27ca.gifhello_html_m3be59420.gif

7. hello_html_74da643.gif Т.к. hello_html_m34ae79bf.gif, получим

hello_html_4da25c67.gif

hello_html_m35343d38.gif

hello_html_471ab12c.gif

Ответ: hello_html_m37e37571.gifhello_html_m6f7bb093.gif


8. hello_html_6068fc83.gif Это уравнение равносильно системам:

hello_html_m2ba02937.gifhello_html_m6dfc0198.gif

Ответ: hello_html_5f1a614.gif

Рассмотрим решение более сложных неравенств.

1.

hello_html_m3698953c.gif

hello_html_m24008a57.gif

Ответ: hello_html_m7973fe1a.gif

2. hello_html_4bae51b6.gif

hello_html_m3136b278.gif

hello_html_m16c7a3e1.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: hello_html_m239d0d01.gif

3. Найти область определения функции:

hello_html_a9a678a.gif.

hello_html_6c9bb099.gif

Ответ: hello_html_m5fbde6ae.gif


4. hello_html_45f22913.gif

hello_html_6f041df1.gif

hello_html_m5a5bce07.gif

Ответ: hello_html_me10f8f6.gif

5. hello_html_2a80b757.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53030f45.gif

hello_html_m466ee9f.gifhello_html_m352a1328.gifhello_html_7d5d5a09.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif


13


Автор
Дата добавления 17.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров375
Номер материала ДВ-267195
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх