"Методы и способы решения текстовых задач в курсе математики 5 - 6 классов"

Методы и способы решения текстовых задач в курсе математики 5 - 6 классов

Введение

Проблемы обычного школьного урока привлекают к себе в последнее время особенно пристальное внимание. От школы и от учителя требуют не только дать знания, сформировать программные умения и навыки у всех учащихся, а главное, научить школьников творчески распоряжаться ими.      

  Но в большинстве случаев, учащиеся ориентируются на указания учителя, а самостоятельно организовывать свои действия не умеют. Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Ребенок с первых дней занятий в школе встречается с задачей. С начала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. Текстовые задачи — традиционно трудный для значительной части школьников материал. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств продуктивной деятельности обучающихся.

  Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи — показатель обученности и развития учащихся. Научиться решать математические задачи очень важно, т.к., зная подходы к решению математических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задачей, которых достаточно много в других школьных предметах и в жизни вообще. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности.

 Функции, цели обучения самой математики: воспитание, развитие, обучение молодого поколения. Отдельная задача может нести в себе различную информацию из различных областей знаний, расширять кругозор, воздействовать на познавательные возможности, может нести эстетическую нагрузку.

Цель: описание методов и способов решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.

Объект работы: текстовые задачи в курсе математики основной школы.

Предмет работы: решение текстовых разными способами и методами.

В соответствии с целью исследования необходимо решить следующие задачи:

·                   изучить научную литературу по данной проблеме;

·                   рассмотреть классификации, методы и способы решения текстовых задач;

·                   описать методы и способы решения задач в 5 - 6 классах.

 При решении задач требуется, чтобы учащиеся не только знали правила, определения, формулировки, но и понимали их смысл, значение, умели применять их в конкретных ситуациях. В процессе обучения должны объединиться строго научное изложение учителя с высказываниями, рассуждениями, вопросами, усилиями в преодолении трудностей со стороны учащихся.

 Методы и способы решения тестовых задач

Существуют различные методы решения текстовых задач:

·        арифметический,

·        алгебраический,

·         геометрический,

·        логический,

·         практический,

·        табличный,

·        комбинированный,

·         метод проб и ошибок.

 В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

 Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

 Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Иногда для краткости изложения, вместо того чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто - «задача решена арифметически».

 Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом - значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.

 Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно так же решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

 Логический метод. Решить задачу логическим методом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения.

  Практический метод. Решить задачу практическим методом - значит найти ответ на требования задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами).

 Табличный метод позволяет  видеть задачу целиком это- решение путем занесения содержания задачи в соответствующим образом организованную таблицу.

 Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование задачи более простым путем.

 Метод проб и ошибок  (самый примитивный), в нем ответ на вопрос задачи угадывается. Но и здесь основные моменты решения - выбор пробных ответов на вопрос задачи и проверка их соответствия условию осуществляется с помощью мыслительных операций, необходимых при решении любым путем. Угадывание ответа требует интуиции, без которой невозможно никакое решение.

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

 Примеры решения текстовых задач в 5 - 6 классе

 Решение задач по-разному – мощное средство постижения мира, осознание разнообразия свойств и отношений его элементов. Разные методы и способы решения - средство развития познавательного интереса, умения отстаивать свою точку зрения, способности слышать и понимать других людей.

 Арифметический метод.

Пример. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занимаются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Решение.

1-й способ.

1)    82  32 + 78 = 192 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2)    192 : 2 = 96 (чел.) - поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой;

3)    96 – 32 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4)    96 – 78 = 18 (чел.) - занимаются танцами;

5)    96 – 82 = 14 (чел.) - занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1)    82 – 32 = 50 (чел.) - настолько больше студентов поют в хоре, чем

занимаются художественной гимнастикой;

2)    50 + 78 = 128 (чел.) - удвоенное число студентов, поющих в хоре;

3)    128 :  2 = 64 (чел.) - поют в хоре;

4)    78 – 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5)    82 – 64 = 18 (чел.) - занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художественной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.

 Алгебраический метод.

Пример 1. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабочего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1-й способ. Пусть х д. в день - первоначальная производительность рабочего. Тогда (х + 10) д. в день - новая производительность, Зх  д. – число  деталей, которое он должен сделать. По условию получаем уравнение Зх = 2(х + 10), решив которое найдем х = 20. первоначальная производительность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2-й способ.

Пусть х д. – число  деталей, которое должен сделать рабочий. Тогда  д. в день - новая производительность, ( – 10) д. в день – первоначальная  производительность рабочего по условию получаем уравнение х = 3( – 10), решив которое найдем х = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Приме 2. На солнышке грелось несколько кошек. У них вместе лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

Решение.

1 способ.

Кошки	х шт.
Лапы	4х шт.
Ушки	2х шт.

Так как лап на 10 больше чем ушей.

Составим и решим уравнение:
4х – 2х = 10
2х = 10   │: 2
х = 5

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке. 

 2 способ

1.                 На сколько лап больше чем ушей у одной кошки?
4 – 2 = 2 (шт.)

2.                 Сколько кошек грелось на солнышке?
10 : 2 = 5 (шт.)

Ответ: 5 кошек грелось на солнышке. 

Пример 3. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если известно, что у них вместе 19 голов и 46 ног?

Решение.

	Количество	Ноги
Куры	х шт.	2х шт.
Овцы	(19 – х) шт.	4(19 – х) шт.

Так как у кур и овец ног всего 46.
Составим и решим уравнение:
2х + 4(19 – х) = 46

Составленное уравнение учащиеся решают самостоятельно, с последующей проверкой.

2х + 76 – 4х = 46
-2х = -30 │: (-2)
х = 15
15 шт. – куры
19 – 15 = 4 (шт.) – овцы

Ответ: 15 кур, 4 овц

 Геометрический метод.

Пример. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго – ЗО км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение.

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаграммы. Причем длину одного отрезка по вертикали за 10 км. Длину одного отрезка по горизонтали - за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой отрезок АВ, равный 250 км. Он будет изображать расстояние между городами. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку В. затем на вертикальных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым туристом за 1 ч, 2 ч, 3 ч и т. д. Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали - расстояние (в километрах).

Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Построим графики, характеризующие движение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией y = 20х, второго – y= 250 – З0х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся. Из чертежа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения - отрезком OS. Тогда площадь S прямоугольника OSOT соответствует расстоянию между городами А и В. Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение 250 = 50 · ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

 

 Логический метод.

Пример 1.: Кто из учеников Саша, Сергей, Дима и Андрей играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если Саша и Сергей играет, то Дима не играет;

б) если Сергей не играет, то играют Дима и Андрей;

в) Дима играет.

 Решение.

Если Саша и Сережа играют, то Дима не играет.

Если играют Дима и Андрей, то Сережа не играет.

Так как Дима по условию играет в шахматы значит – это Дима и Андрей играют в шахматы.

Ответ: в шахматы играют ученики Дима и Андрей, а Саша и Сергей – не играют.

Практический метод.

Пример. Некто истратил 30 р. Своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70р. Сколько денег было вначале?

Решение:

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 р., добавляем к ним истраченные 90 р. (160 р.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 р.). После этого добавляем 60 р. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р. (140 р.). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 р.), прибавляем истраченные в первый раз 30 р. и находим первоначальное количество денег (100 р.). Ответ: первоначально было 100 р.

Табличный метод

Пример. С одного участка собрали 1440 центнеров пшеницы, а с другого, площадь которого на 12 гектар меньше,  собрали 1080 центнеров. Найти площадь первого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 2 ц больше, чем на втором.

Анализ задачи показывает, что в ней рассматривается сбор урожая пшеницы с двух участков, при этом этот сбор характеризуется тремя величинами: массой собранной пшеницы, площадью участка и урожаем с одного гектара. Исходя из этого, составим таблицу для схематической записи условий и требований задачи. Неизвестные величины, встречающиеся в задаче, запишем в таблице буквами, притом искомое обозначим буквой х:

Участки	Масса собранной пшеницы, ц	Урожай с 1 га, ц	Площадь участка, га
Первый	1440	а + 2	х
Второй	1080	а	х – 12

В этой схематической записи выделены все условия, их объекты и характеристики. Указано и требование задачи: найти площадь первого участка. В то же время эта запись очень компактная, наглядная и полностью заменяет саму формулировку задачи.

Комбинированный метод

Пример. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес половину суммы, вносимой остальными, второй - треть того, что внесли все его товарищи, третий - четверть того, что все его товарищи, четвертый - оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?

Решение:

Пусть первый товарищ внес х р., второй – у р., третий – z р. тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию задачи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Решение начнем алгебраическим методом.

Пусть первый товарищ вне х р., тогда все остальные внесли 2х р. Отсюда находим стоимость телевизора: (р.). Значит, первый внес стоимости телевизора. Пусть второй внес у р., тогда все остальные внесли Зу р. Отсюда находим стоимость телевизора:  (р.). Значит, второй внес стоимости телевизора.

Пусть третий внес z р., тогда все остальные внесли 4z р. Отсюда находим стоимость телевизора:  (p.). Значит, третий внес стоимости телевизора.

Продолжим решение арифметическим методом.

Первый, второй и третий внесли  стоимости телевизора. Значит, четвертый внес остальные  стоимости. По условию это составляет 650 р. Следовательно, телевизор стоит р.

Ответ: 3 000 р.

Метод проб и ошибок 

Методы решения могут быть разные, но способ решения, лежащий в их основе, может быть один.

Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом - строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Пример. Площадь прямоугольника равна 180 см², его ширина на 8 см меньше длины. Найти длину и ширину этого прямоугольника.

Построим математическую модель задачи:

Подбираем решение «экспериментально», методом проб и ошибок.

Найдем значение x, такие, что значение выражения x · (x – 8) равно 180. По смыслу задачи x > 8.

Пусть x = 9, то 9 · (9 – 8) ≠ 180.

И 9 слишком маленькое число.

Возьмем x =17, то 17· (17 – 8) ≠ 180

                x = 18, то 18 · (18 – 8) =180

                x = 19, то 19 ·  (19 – 8) ≠ 180

Итак, если x = 18, то x – 8 = 10.

Ответ: длина 18 см, ширина 10 см.

Пример. Найти методом проб и ошибок натуральные корни уравнения          x² – 8x + 15=0

Найдем значения x, такие, что x² – 8x + 15  равно 0.

Возьмем  x = 2, то 2² – 8 · 2 + 15 ≠ 0

                 x = 3, то 3² – 8 · 3 + 15 = 0

Один натуральный корень найден, продолжим исследование:

                 X = 4, то 4² – 8 · 4 + 15 ≠ 0,

                 x = 5, то 5² – 8 · 5 + 15 = 0,

                x = 6, то 6² – 8 · 6 + 15 ≠ 0

Оказалось, что уравнение имеет 2 натуральных корня. Больше быть не может.

Ответ: 3 и 5

Пример. Найти число x, если выполняется равенство x ·(17 – x)= 70.

Найдем такое число х, чтобы значение выражения  х · (17 – х) было равно 70.

x = 6, то 6 · (17 – 6) = 66 < 70

х = 7, то 7 · (17 – 7) > 70

х = 8, то 8 · (17 – 8) > 70

х = 9, то 9 · (17 – 9) > 70

х = 10, то 10 · (17 – 10) = 70

Ответ: х = 7 и х = 10.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод - построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.

Заключение

Для достижения цели данного исследования были выполнены следующие задачи:

1.     Был произведен анализ некоторой методической и школьной литературы с точки зрения изучения общих методов решения задач в школе на уроках математики.

2.     На основе изученного материла, были описаны методы и способы решения текстовых задач, в основной школе. С кратким описанием и приведением примеров.

3.     В результате были описаны наиболее часто встречающиеся методы используемые в школьном курсе математики в 5 – 6 классах.

Таким образом, была достигнута цель данного исследования: описать методы и способы решения текстовой задачи в курсе изучения математики 5 – 6 классов.

Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит, прежде всего, в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения. (А.Д. Александров).

Литература

1.                Бизам, Д. Игра и логика. 85 логических задач //Д. Бизам, Я. Герцег.– М.: Мир, 1975.– 358 с. : ил.

2.                Ванцян А.Г. «Математика» 5 класс// А.Г. Ванцян. – М.: Просвещение, 2009.- с.

3.                Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина: 1999-2004. – 384 с.

4.                Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений// Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 1999-2004. – 384 с.

5.                Кочагин В.В. Математика // Тематические тренировочные задания/ В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. – М.: Просвещение, 2008.

6.                Гаврилова Т.Д. Занимательная математика. 5 – 11 классы. (Как сделать уроки математики нескучными)// Т.Д.  Гаврилова. – Волгоград: Учитель, 2005. - 96 с.

7.                Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 // Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1996.– 176 с. : ил.

8.                 Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1997.– 240 с. : ил.

9.                 Дорофеев, Г.В. Математика: 5 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова.– 3-е изд.– М.: Просвещение, 2000.– 368 с.: ил.

10.             Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 3 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 1999.– 129 с.: ил.

11.             Дорофеев, Г.В. Математика: 6 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. В 3 ч. Ч. 3 / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон.– М.: Баласс, С-инфо, 2002.– 176 с. : ил.

12.             Зак, А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления школьников // А.З. Зак.– Ярославль: Академия развития, 1998.– 192 с. : ил.

13.             Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. В 2 ч. Ч. 2: Обучение математике через задачи и обучение решению задач // Ю.М. Колягин.– М.: Просвещение, 1977.– 139 с.

14.             Кордемский, Б.А. Математическая смекалка // Б.А. Кордемский.– М.: Наука, 1991.– 377 с.

15.             Лихтарников, Л.М. Логические задачи: книга для учащихся 3-7 кл. / Л.М. Лихтарников.– Новгород: НГПИ, 1995.– 288 с.

16.            Мираков, Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в 5-8 классах: пособие для учителя // Т.Н. Мираков.– Львов: Квантор.– 1991.– 94 с. : ил.

17.            Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учебное пособие для студ. физ.-мат. фак. пед. ин-тов // В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин и др.– М.: Просвещение, 1980.– 480 с.

18.             Епишева О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. Для учителей //О.Б. Епишева В.И.. Крупин. – М.: Просвещение, 2000. – с. 102-136.

19.              Мерзляк. А. Г. Математика: 5 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений // А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. −  М.: Вентана-Граф, 2012.

20.             Мерзляк  А. Г.  Дидактические материалы по математике для 5 класса // А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. −  М.: Вентана-Граф, 2012.

21.              Никольский С.М. Арифметика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений// С.М.Никольский, М.К. Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 1999-2005. – 255 с.

22.             Полякова, Т.С. История математического образования в России. Два века. – М.: Изд. Московского ун-та, 2002.

23.             Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений// А.А. Темербекова. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 490 с.

24.             Шевкин А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах.: Книга для учителя// А.В. Шевкин. – М.:Галс плюс, 1998. – 168 с.

25.             Шевкин А.В. Материалы курса “Текстовые задачи в школьном курсе математики”: Лекции 1 – 4// А.В.Шевкин. М.: Педагогический университет “Первое сентября”, 2006. – 88 с.

26.             Шевкин А.В. Роль текстовых задач в школьном курсе математике.  Математика.// А.В.  Шевкин– 2005. – № 17. – c. 23-30.

27.             Ресурсы Интернет: http: //www.eidos.ru/journal/2002/0920.htm

28.             Ресурсы Интернет: http://www.erudition.ru

29.             Ресурсы Интернет:  http:// docs.google.com

30.             Ресурсы Интернет: http://ipk.admin.tstu.ru/sputnik