Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Физика / Другие методич. материалы / Мини - сборник задач по физике. Производная и интеграл при решении задач.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Физика

Мини - сборник задач по физике. Производная и интеграл при решении задач.

библиотека
материалов

Мини - сборник задач по физике.

Производная и интеграл при решении задач.


1. Применение производной для решения задач по физике

Задача 1

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х(t) = t2 +t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?

Дано:

m =4 кг

х(t) = t2 +t + 1

t=3 с

Wк ? F?

Решение: Скоростьhello_html_m503c9c8a.gif есть функция времени, поэтому

hello_html_30e563ef.gif = х’(t)

hello_html_30e563ef.gif = 2t + 1

hello_html_477a131d.gif(3) = 7 м/с

В физике скорость изменения скорости называется ускорением.

a(t) = hello_html_477a131d.gif’(t)

a(t) =2м/с2

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь физический смысл времени.

W = hello_html_m7eb3883.gif

W = 98 Дж

F = ma

F = 8 Н

Ответ: 98 Дж; 8 Н.

Задача 2

Зависимость между массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем t выражается уравнением: М(t) = Аt2 +Bt, где А и В – постоянные. Какова скорость реакции?

Дано:

М(t) = Аt2 +Bthello_html_d296e21.gif

hello_html_4722fcfa.gif

Скорость химической реакции определяется: hello_html_2177b818.gif = М’(t)

hello_html_2177b818.gif = 2 At+ B

Ответ: 2 At+ B

Задача 3

Конденсатор ёмкостью C и зарядом q0 разряжается через резистор R по закону: q = q0hello_html_m22610838.gif Найти скорость изменения заряда конденсатора. Какова скорость в начале разряда (t = 0)?

Дано:

q = q0hello_html_m28770c0d.gif

q’(t) ? q’(0) ?

Решение:

q’(t) = (q0hello_html_72453dc5.gif’ = q0 (hello_html_72453dc5.gif’·(- hello_html_673772db.gif)’ = q0hello_html_28cd1923.gif = - hello_html_m51cbe154.gifhello_html_7abe7807.gif

q’(0)= - hello_html_m51cbe154.gif

Ответ: - hello_html_m51cbe154.gifhello_html_7abe7807.gif; - hello_html_m51cbe154.gif.

Задача 4

Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n(t) = 2hello_html_1fa43f78.gif. Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

Дано:

n(t) = 2hello_html_1fa43f78.gif

n’(t) ?

Решение:

n’(t) = (2hello_html_697ec9c0.gif = 2 (hello_html_697ec9c0.gif · (- 0,05t)’ = 2 hello_html_1fa43f78.gif · (- 0,05) = -0,1hello_html_1fa43f78.gif

Ответ: -0,1hello_html_1fa43f78.gif; знак (-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.

Задача 5

В двухэлектродной лампе сила анодного тока зависит от анодного напряжения по закону: I(U) = hello_html_1aa3d7ab.gif, где hello_html_m2a27ddb1.gif - постоянная, зависящая от формы, размеров, расположения электродов. Получить формулу прироста тока на каждую единицу изменения напряжения.

Дано:

I(U) = hello_html_1aa3d7ab.gif

I’(U)?

Решение:

I’(U) = hello_html_m540a2283.gif)’ = hello_html_6604bcd4.gif

Исходя из определения производной I’(U) = tghello_html_684ffcbb.gif

I’(U) = lim hello_html_53928493.gif

Ответ: hello_html_6604bcd4.gif.

Задача 6

Каково изменение периода колебаний математического маятника при изменении его длины?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

T = 2hello_html_6e2fd91c.gif.

T’(l) = (2hello_html_6e2fd91c.gif)’ = 2hello_html_m1b4a361b.gif((hello_html_m3c001325.gif)’ ·(hello_html_25ab34c0.gif )’ = 2hello_html_36dc9e0f.gif · hello_html_4cf0ea56.gif(hello_html_m34e1208b.gif· hello_html_33f25794.gif = hello_html_78e03b6e.gif· hello_html_33f25794.gif = hello_html_3b0c9e9b.gif.

Ответ: hello_html_3b0c9e9b.gif

Задача 7

Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону: q = 10-6hello_html_1803e6.gif. Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Дано:

q = 10-6hello_html_1803e6.gif

I(t) ?

Решение:

I(t) = q’(t) = 10-6· 104hello_html_43327388.gif = 10-2 hello_html_53be0b97.gif

Ответ: 10-2 hello_html_53be0b97.gif


Применение интеграла для решения задач по физике

Задача 1

Уравнение скорости материальной точки имеет вид: hello_html_42f8a722.gif Напишите уравнение движения x = x(t).

Дано:

hello_html_m366dabc1.gif

x = x(t)?

Решение:

x = hello_html_m34ae29a4.gif = hello_html_m2733be34.gif= 6· hello_html_m1fc0d419.gif - 3· hello_html_m6c746295.gif = 2t3t2.

Ответ: 2t3t2

Задача 2

По закону Гука сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Сила в 100 Н растягивает пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?

Дано:

F = 100 H

x = 0,02 м

А?

Решение:

По закону Гука: F = kx, k = hello_html_476056ba.gif.

K = 500 hello_html_3e7a6ab7.gif

А = hello_html_5190fba2.gif

A = hello_html_2927b4ae.gif = k·hello_html_3f805ef2.gifhello_html_32850dd0.gif

A = 0,1 Дж

Ответ: 0,1 Дж

Задача 3

ЭДС изменяется по закону: hello_html_m39b2381b.gif = - 0,01 hello_html_m721b9307.gif. Как изменяется магнитный поток?

Дано:

hello_html_m39b2381b.gif = - 0,01 hello_html_m721b9307.gif

Ф = Ф(t)?

Решение:

Ф = hello_html_42eb4456.gif = hello_html_3440465c.gif = - 0,01hello_html_mbbed35a.gif ·hello_html_m6f9a8862.gif (- hello_html_2fcb7eac.gif =

0,01 hello_html_2a4a9746.gif.

Ответ: 0,01 hello_html_2a4a9746.gif.

Задача 4

Электрические заряды q1 = 1 нКл, q2 = 4 нКл расположены на расстоянии 20 см друг от друга. Найти работу по перемещению зарядов, если расстояние увеличилось до 40 см.

Дано:

q1 = 1 нКл

q2 = 4 нКл

r1 = 20 см

r2 = 40 см

А?

Решение:

По закону Кулона F =k hello_html_m4017df3e.gif.

A = hello_html_517df4f0.gif = hello_html_64d03f7a.gifdr = kq1q2hello_html_m5d7d545a.gif = kq1q2hello_html_m458ff40b.gif dr = kq1q2 (hello_html_5507f2e6.gif =

= kq1q2(hello_html_72485c70.gif

hello_html_968a3c2.gifA = 90·10-9 Дж = 90 нДж.

Ответ: 90 нДж.

Задача 5

Из шахты глубиной 200 м равномерно поднимают клеть весом 15 кН с помощью каната, намотанного на барабан. Вес каждого метра каната 30 Н. Какова работа, необходимая для поднятия клети.

Дано:

h = 200 м

P = 15 000Н

P0 = 30 Н

А?

Решение:

Работа, необходимая для поднятия клети, равна сумме работ для поднятия самой клети и каната.

А =А1 + А2

Работа по поднятию клети А1 = P h

Работа по поднятию каната А2 = hello_html_4b9178d4.gif= hello_html_m74d72c3f.gif= P0· hello_html_23a6805d.gif = P0· hello_html_3e3e993b.gif .

А = P h + P0· hello_html_3e3e993b.gif.

А = 3,6 · 106 Дж

Ответ: 6,6 МДж

Задача 6

На оси ОХ закреплено тело массой 10 кг. В точке с координатой 10 м находится тело массой 20 кг. Найти работу силу тяготения, если тело массой 20 кг перемещается в точку с координатой 20 м.

Дано:

m1 = 10 кг

m2 = 20 кг

r1 = 10 м

r2 = 20 м

А?

Решение:

Так как сила тяготения будет направлена к началу координат, поэтому

F = - hello_html_563e8fec.gif.

A = hello_html_40bb9ca6.gif = - hello_html_m60bbf924.gif = - hello_html_m2fdab3a3.gif = - Ghello_html_1812df7d.gif(- r)- 1 = Ghello_html_32277448.gif(hello_html_2d97031.gif - hello_html_m2b31f518.gif).

A =

Задача 7

Найти работу изотермического расширения идеального газа под поршнем цилиндра, если площадь цилиндра S, объём изменяется от V1 до V2, а высота столба газа от L1 до L2.

Дано:

S, V1 ,V2

L1 ,L2

A?

Решение:

Работа силы давления газа равна

A = hello_html_m2f6a8dfb.gif.

Cилы давления газа равна: F = PS

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получается:

P = hello_html_m2c2cee5c.gifОбозначим hello_html_m4f4b583e.gif как С. V = SL. Тогда А = hello_html_59ec9b0f.gif = hello_html_m4936f91f.gif = hello_html_m26f2a57d.gif = c hello_html_m761f974.gif.

dV = SdL, A = Chello_html_m16daceee.gif ln hello_html_m42e28624.gif = C(lnhello_html_m2acb2e5a.gif) = C·lnhello_html_m1d31d7e3.gif.

Ответ: C·lnhello_html_m1d31d7e3.gif


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Небольшой подбор задач, которые способствует объяснению способов применения производных и интегралов при решение задач. После разбора данных задач, улучшается способность детей решать задачи повышенной сложности. Задачи подробно расписаны. Весь сборник разбит на две части. Одна посвещанная применению интеграла, другая - производной.

Автор
Дата добавления 26.04.2015
Раздел Физика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1586
Номер материала 255007
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх