Мини
- сборник задач по физике.
Производная
и интеграл при решении задач.
1.
Применение производной для решения задач по физике
Задача
1
Тело массой 4 кг
движется прямолинейно по закону х(t) = t2 +t + 1.
Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала
движения и сила, действующая на тело?
Дано:
m =4 кг
х(t) = t2 +t + 1
t=3 с
Wк ? F?
Решение: Скорость есть
функция времени, поэтому
= х’(t)
= 2t + 1
(3) = 7
м/с
В физике скорость
изменения скорости называется ускорением.
a(t) = ’(t)
a(t) =2м/с2
Операция
нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической
точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной
величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой
переменной y по
отношению к изменению независимой переменной х. Последняя не обязана иметь
физический смысл времени.
W =
W = 98 Дж
F = ma
F = 8 Н
Ответ: 98 Дж; 8
Н.
Задача
2
Зависимость между
массой вещества М, получаемого в химической реакции и временем t
выражается уравнением: М(t) = Аt2 +Bt, где А и
В – постоянные. Какова скорость реакции?
Дано:
М(t) = Аt2 +Bt
Скорость химической
реакции определяется: =
М’(t)
= 2 At+ B
Ответ: 2 At+ B
Задача 3
Конденсатор
ёмкостью C и зарядом
q0 разряжается
через резистор R по
закону: q = q0 Найти
скорость изменения заряда конденсатора. Какова скорость в начале разряда (t = 0)?
Дано:
q = q0
q’(t) ? q’(0) ?
Решение:
q’(t) = (q0 ’ = q0 (’·(- )’ = q0 = -
q’(0)= -
Ответ: - ; - .
Задача
4
Концентрация
некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма
изменяется по закону: n(t) = 2. Как
изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой
смысл имеет знак скорости?
Дано:
n(t) = 2
n’(t) ?
Решение:
n’(t) = (2 = 2 ( · (- 0,05t)’ = 2 · (-
0,05) = -0,1
Ответ: -0,1; знак
(-) означает убывание концентрации вещества с течением времени.
Задача
5
В двухэлектродной
лампе сила анодного тока зависит от анодного напряжения по закону: I(U) = , где -
постоянная, зависящая от формы, размеров, расположения электродов. Получить
формулу прироста тока на каждую единицу изменения напряжения.
Дано:
I(U) =
I’(U)?
Решение:
I’(U) = )’ =
Исходя из
определения производной I’(U) = tg
I’(U) = lim
Ответ: .
Задача
6
Каково изменение
периода колебаний математического маятника при изменении его длины?
Решение:
Период колебаний
математического маятника определяется по формуле:
T = 2.
T’(l) = (2)’ = 2(()’ ·( )’ = 2 · (· = · = .
Ответ:
Задача
7
Заряд на
пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по
закону: q = 10-6
. Записать
уравнение зависимости силы тока от времени.
Дано:
q = 10-6
I(t) ?
Решение:
I(t) = q’(t) = 10-6·
104 = 10-2
Ответ: 10-2
Применение
интеграла для решения задач по физике
Задача
1
Уравнение скорости
материальной точки имеет вид: Напишите
уравнение движения x = x(t).
Дано:
x = x(t)?
Решение:
x = = = 6· - 3· = 2t3 –t2.
Ответ: 2t3 –t2
Задача
2
По закону Гука
сила упругости пропорциональна растяжению пружины. Сила в 100 Н растягивает
пружину на 2 см. Какую работу она при этом совершает?
Дано:
F = 100 H
x = 0,02 м
А?
Решение:
По закону Гука: F = kx, k = .
K = 500
А =
A = = k·
A = 0,1 Дж
Ответ: 0,1 Дж
Задача
3
ЭДС изменяется по
закону: = - 0,01 . Как
изменяется магнитный поток?
Дано:
= - 0,01
Ф = Ф(t)?
Решение:
Ф = = = - 0,01 · (- =
0,01 .
Ответ: 0,01 .
Задача
4
Электрические
заряды q1 = 1 нКл, q2 = 4 нКл
расположены на расстоянии 20 см друг от друга. Найти работу по перемещению
зарядов, если расстояние увеличилось до 40 см.
Дано:
q1 = 1 нКл
q2 = 4 нКл
r1 = 20 см
r2 = 40 см
А?
Решение:
По закону Кулона F =k .
A = = dr = kq1q2 = kq1q2 dr = kq1q2
( =
= kq1q2(
A = 90·10-9
Дж = 90 нДж.
Ответ: 90 нДж.
Задача
5
Из шахты глубиной
200 м равномерно поднимают клеть весом 15 кН с помощью каната, намотанного на
барабан. Вес каждого метра каната 30 Н. Какова работа, необходимая для поднятия
клети.
Дано:
h = 200 м
P = 15 000Н
P0 = 30 Н
А?
Решение:
Работа,
необходимая для поднятия клети, равна сумме работ для поднятия самой клети и
каната.
А =А1 +
А2
Работа по поднятию
клети А1 = P h
Работа по поднятию
каната А2 = = = P0· = P0· .
А = P h + P0· .
А = 3,6 · 106
Дж
Ответ: 6,6 МДж
Задача
6
На оси ОХ
закреплено тело массой 10 кг. В точке с координатой 10 м находится тело массой
20 кг. Найти работу силу тяготения, если тело массой 20 кг перемещается в точку
с координатой 20 м.
Дано:
m1 = 10 кг
m2 = 20 кг
r1 = 10 м
r2 = 20 м
А?
Решение:
Так как сила
тяготения будет направлена к началу координат, поэтому
F = - .
A = = - = - = - G(- r)- 1
= G( - ).
A =
Задача 7
Найти работу
изотермического расширения идеального газа под поршнем цилиндра, если площадь
цилиндра S, объём
изменяется от V1 до V2, а высота
столба газа от L1 до L2.
Дано:
S, V1
,V2
L1 ,L2
A?
Решение:
Работа силы
давления газа равна
A = .
Cилы
давления газа равна: F = PS
Из уравнения
Менделеева-Клапейрона получается:
P = Обозначим как С. V = SL. Тогда А = = = = c .
dV = SdL, A = C ln = C(ln) = C·ln.
Ответ: C·ln
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.