Научно-практическая конференция по теме "Уникальность ленты Мёбиуса"

Отдел по образованию

Каменецкого районного исполнительно комитета

Государственное учреждение Образования

«Гимназия г. Каменца»

Тема: «Уникальность ленты Мёбиуса»

Выполнили:

Костючик Иван Евгеньевич

Котко Даниил Сергеевич

учащиеся VII класса гимназии г. Каменца

Руководитель:

Осташеня Ольга Александровна

учитель математики

Каменец, 2018

Оглавление

Введение………………………………………………………………………3

1.       Теоретическая часть

1.1. Наука топология…………………………………………………..5

1.2. История возникновения ленты Мёбиуса……………………......6

1.3. Изготовление ленты Мёбиуса……………………………………8

1.4. Топологические свойства листа Мёбиуса……………………….9

1.5. Использование ленты Мёбиуса………………………………….10

2. Практическая часть……………………………………………………...   13

Заключение……………………………………………………………...14

Литература………………………………………………………………15

Приложения……………………………………………………………..16

Введение

Школьный курс математики состоит из двух учебных предметов – «Алгебра» и «Геометрия». В последнее столетие большой интерес вызывает ветвь геометрии – топология. Лист Мёбиуса или лента Мёбиуса это объект, который имеет прямое отношение к  геометрии. Мы решили, как можно больше узнать о ленте Мебиуса, потому что её часто называют загадочной.

Что же это за лента, которая занимает такое важное место в математике, а может быть и не только в математике? Мы выбрали эту тему, потому что считаем, что она имеет важное научное и практическое значение и просто интересна для ученика. В своей работе мы рассмотрели ленту Мёбиуса и её применение в науке и технике. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: красящие ремни для печатающих устройств, магнитофонная лента и многое другое. Самое интересное происходит, когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса.

Цель работы: Исследовать поверхность и свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

1)    изучить историю появления ленты Мёбиуса;

2)    познакомиться со свойствами ленты Мёбиуса;

3)    исследовать области её применения;

4)    провести опыты, используя кольца Мёбиуса;

В теоретической части исследовательской работы рассмотрены следующие аспекты. Для начала мы выяснили, что наука изучающая ленту Мёбиуса и её свойства носит название – топология.

Объект исследование – Лента Мёбиуса. Предмет исследования – свойства Ленты Мёбиуса.

В практической части работы мы провели социалогический опрс, который включает в себя следующие вопросы:

1) Знаете ли вы что такое топология?

2) Что такое лента Мёбиуса?

3) Где можно встретить ленту Мёбиуса в жизни?

Проанализировав результаты опроса, мы выяснили, что о существовании науки топология слышали 6 % опрошенных, 10 % знают о Ленте Мёбиуса. И 4 % слышали о её свойствах.

         Таким образом, проведённый опрос показал, что окружающие нас люди имеют небольшое представление о ленте Мёбиуса.

         Мы решили изготовить Ленту Мёбиуса и провели несколько экспериментов. Она получается из прямоугольника, у которого длина на много больше ширины.  Провели несколько экспериментов. Если разрезать ленту вдоль посередине параллельно краю, то можно получить одну длинную ленту, которая будет уже первоначальной и дважды перекручена – но не лента  Мёбиуса.

Если разрезать Ленту Мёбиуса вдоль, отступив от края 1/3 её ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой. Большое – не лента Мёбиуса, а маленькое – лента Мёбиуса.

Методы исследования, которые мы использовали – работа с учебной и научной литературой, а так же ресурсами сети интернет. Мы провели наблюдение, анализ, сравнение и опрос.

Наука топология

Топология – раздел математики, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. Е не изменяются при деформациях. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). С точки зрения топологии, кружка и бублик  неотличимы. Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предметами, которые, казалось бы, никак между собой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных отношениях они совершенно различны.

Можно считать, что топология изучает фигуры, сделанные из пластилина, т.к. фигуры из этого материала можно растягивать, сжимать, без разрывов и склеиваний, и получать типологически равные. Примерами топологически равных фигур в жизни могут быть шар и тарелка, гайка и баранка, баранка и макаронина. Например, русские заглавные буквы А ––> Я ––> Д (можно из одной буквы получать другую без разрывов и склеиваний).

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.

Если, деформируя одну фигуру, можно перевести ее в другую без разрывов, разрезов и склеиваний, то обе фигуры считаются топологически неразличимыми. Взяв шарообразный ком сырой глины, можно совершить с ним на гончарном круге целый ряд превращений, которые ни один тополог не признает изменением формы. Приплюснув ком сверху ладонью, получим вместо шара эллипсоид, затем продавим в середине вмятину и, постепенно углубляя и расширяя ее, сделаем глиняную чашу. Вытянув верхнюю часть чаши, преобразим ее в кувшин, у которого можно даже оттянуть спереди «носик».

Для тополога все это будет одна и та же фигура. Вот если теперь оторвать кусочек глины и прилепить к кувшину ручку, мы получим совершенно новую топологическую фигуру. Ведь мы проделаем сразу две запретные операции – разорвем материал, а потом склеим его в другом месте.

Пример топологии – таинственный и знаменитый лист Мебиуса. Лист Мебиуса считается одним из символов современной математики, а момент его открытия стал началом рождения этой новой науки.  Нас очень заинтересовала эта тема и мы решили углубить свои познания в этой области.

История возникновения ленты Мёбиуса

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса.

Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса. В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.

Существует интересная легенда об открытии листа Мёбиуса. Мёбиус был профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро.

 На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!». Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мёбиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школьники проводили за этим занятием немало времени.

Изготовление ленты Мёбиуса

Для того, чтобы получить ленту Мебиуса, отрежьте от листа бумаги полосу. Ее пропорции могут быть любыми, но лучше, чтобы длина полоски была в 5-6 раз больше ширины, иначе вам будет неудобно работать с ней дальше.

Расстелите получившуюся полоску на ровной поверхности, придержите один конец и аккуратно поверните другой на 180 градусов – так, чтобы полоска перекрутилась, а изнаночная сторона листа стала лицевой.

Склейте концы перекрученной полоски. Односторонний объект лента Мебиуса – готов.

Чтобы убедиться в том, что у ленты действительно одна сторона, возьмите ручку или карандаш и попробуйте закрасить одну сторону. Через некоторое время вы обнаружите, что закрасили ленту целиком.

Загадочные свойства ленты Мебиуса этим не исчерпываются. Например, если взять ножницы и разрезать ленту посередине – то вместо двух односторонних лент (как можно было бы ожидать), получится одна длинная и двухсторонняя лента (с двумя полуоборотами бумаги). Получившаяся конструкция называется «афганская лента». (Приложение 1)

Топологические свойства листа Мёбиуса

Основными свойствами ленты Мёбиуса являются: однородность, непрерывность и связность.

1) Рассмотрим первое свойство.

Лента имеет одну поверхность, однако в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет «внешнюю» и «внутреннюю» стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

2) Непрерывность.

Тополог может как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная.

Представьте себе, что по наружной поверхности обычного кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся в исходную точку, обойдя наружную поверхность. На ленте Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю.

3) Связность.

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны. А лист Мёбиуса двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Использование ленты Мёбиуса

Фантастика

Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них, помнится, описывался случай в Нью-йорском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту Мебиуса. Оказалось, что автор не так далек от истины. Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна, замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности - чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Оппоненты этой теории утверждают, что для подобного искривления Вселенной не хватит массы, но, во-первых, распределение плотности вещества еще до конца не изучено, во-вторых, не учитывается наличие так называемой "скрытой массы", да и нейтрино, как выяснили совсем недавно, обладают положительной массой покоя, а не нейтральны.

Искусство

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Техника.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Генетика

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Физика

Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой правильно, зеркального своего двойника!

Изобретения

Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса — в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632.

Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое.

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).

В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало целых два «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистки. Он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Фокусы

В одном из них показывающий вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом.

Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания. Второе кольцо ( его называют листом Мебиуса ) получается присоединение концов ленты, перекрученной один раз на 180º. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая ее вдоль по середине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в 1/3 ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, т.е на 360º.

В другом варианте фокуса кольцо разрезается на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посередине превращается тоже в два отдельных кольца, а другое – в одно большое .

Можно придумать и другие комбинации. (Приложение 2)

Практическая часть

В практической части работы мы провели социалогический опрс, который включает в себя следующие вопросы:

1) Знаете ли вы что такое топология?

2) Что такое лента Мёбиуса?

3) Где можно встретить ленту Мёбиуса в жизни?

Проанализировав результаты опроса, мы выяснили, что:

О существовании науки топология слышали 6 % опрошенных, 10 % знают о Ленте Мёбиуса. И 4 % встречали её в повседневной жизни.

         Таким образом, проведённый опрос показал, что окружающие нас люди имеют небольшое представление о ленте Мёбиуса.

         Мы решили изготовить Ленту Мёбиуса и провели несколько экспериментов. Она получается из прямоугольника, у которого длина на много больше шири. Если разрезать ленту вдоль посередине параллельно краю, то можно получить одну длинную ленту, которая будет уже первоначальной и дважды перекручена – но не лента Мёбиуса.

         Если разрезать Ленту Мёбиуса вдоль, отступив от края 1/3 её ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой. Большое – не лента Мёбиуса, а маленькое – лента Мёбиуса. Результаты экспериментов можно увидеть в приложении 3

Заключение

При исследовании мы прочитали разнообразную литературу, использовали ресурсы Интернета, помогали учителя и родителей.

Лист Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников и нас учеников. Нам были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса:

1)    Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону

2)    Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

3)    Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

4)    Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

5)    Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.

6)    Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Работая над данной темой, мы получили удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса. От того, что смастерила своими руками и поделилась этим с ребятами нашей гимназии. Нами проведены не все опыты с лентой Мебиуса. Их много, они интересны и если будет время, то мы обязательно их все рассмотрю.

Лист Мёбиуса – жёлтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой склеенный маршрут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна заколдованному звуку

Вибрирующей неоновой струны.

Литература

1.     Большая советская энциклопедия» том №26, «Топология», Москва, издательство «Советская энциклопедия», 1977 год, Постников М.

2.     http://arbuz.uz/t_lenta.html

3.     http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm

4.     http://www.kvant.info/

5.     Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111-112

Приложение 1

Приложение 2

Ленточный конвейер

             Абразивная лента для заточки инструментов

      Лента Мёбиуса в архитектуре

   Матричный принтер

Приложение 3

Опыт 1 Отметим точку на одной из сторон каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придем снова в поставленную точку.
Обычное кольцо	Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, возвращаясь в точку начала. Вторая сторона остается чистой
Лента Мебиуса	Непрерывная линия проходит по двум сторонам, возвращаясь в начальную точку
Опыт 2 Попробуем раскрасить полностью только одну сторону колец.
Обычное кольцо	Одна сторона полностью закрашена, другая – нет
Лента Мебиуса	Лента закрашена полностью
Опыт 3 Представим, что на одной стороне поверхности сидит муравей. Сможет ли муравей доползти до обратной стороны поверхности не перелезая через край.
Обычное кольцо		Конечно же нет!
Лента Мебиуса		В любое место поверхности листа Мебиуса может доползти муравей, не перелезая через край
Опыт 4 Разрежем кольца вдоль по линии, равноудаленной от краев.
Обычное кольцо		Получилось два кольца. Ширина полученных колец уже чем у исходного.
Лента Мебиуса		Получилось одно кольцо в виде восьмёрки
Опыт 5 Разрежем кольцо, отступив от края приблизительно на треть его ширины.
Обычное кольцо		Получилось 2 кольца одно уже, другое шире
Лента Мебиуса		Получилось два сцепленных  друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое