Научно-исследовательская работа "Фракталы - геометрия красоты"

Районная научно - практическая конференция    « Шаг в будущее - 2018 »

   Российская Федерация

                            Забайкальский край

         Шилкинский район  село Митрофаново

    Муниципальное общеобразовательное учреждение

    « Митрофановская средняя общеобразовательная

школа - интернат с кадетскими классами »

        Научно-исследовательская работа

 « Фракталы - геометрия красоты »

   Автор: Бороева Надежда Цыдыповна

                                                                 МОУ « Митрофановская СОШИ с кадетскими

                                                                       классами » , 16 лет , 10 класс

Научный руководитель: Косякова Оксана

Владимировна, учитель математики МОУ

 « Митрофановская СОШИ с кадетскими классами »

2018 год

  Содержание:                                                                                   

1 . Аннотация

2 . План исследования

3 . Научная статья

3.1 . Понятие фрактал и история его возникновения

3.2 . Виды фракталов

        а) Алгебраические фракталы

        б) Стохастические фракталы

        в) Геометрические фракталы

4 . Фракталы в живой и неживой природе, изобретениях человека

5 . Мои исследования

6 . Заключение

Литература

Приложение 1

Приложение 2

                                             «Фракталы – геометрия красоты»                                                        

Бороева Надежда Цыдыповна

                                     Российская Федерация, Забайкальский край

                                          Шилкинский район, село Митрофаново

МОУ «Митрофановская СОШИ с кадетскими классами» , 10 класс  

                                           1 . Аннотация

Цель работы:  изучение информации о фракталах, познакомиться с новым направлением в математике – фрактальной геометрией, научиться распознавать фракталы в окружающей среде.

Задачи: 

                 1 . Дать определение понятию «Фрактал»

                 2 . Рассмотреть различные виды фракталов

                 3 . Выявить фракталы в окружающей среде

Методы и приёмы:   1. Поиск информации и литературы по теме

                                    2. Изучение и анализ литературы

                                   3. Отбор  материала для исследовательской работы

Предмет исследования:  форма и строение исследуемых предметов и явлений.

Объект исследования: человек, геометрические абстракции, изобретения созданные человеком, окружающий нас мир.

Вывод: практическая значимость моей работы заключается в том что, данная тема показалась мне интересной и увлекательной, так как она уникальна и касается окружающего нас мира. Мне захотелось узнать, что такое фрактал и попробовать создать свой.

                                              «Фракталы – геометрия красоты»                                                         

Бороева Надежда Цыдыповна

                                      Российская Федерация, Забайкальский край,

                                         Шилкинский район, село Митрофаново

       МОУ « Митрофановская СОШИ с кадетскими классами » , 10 класс

2.      План исследований

       Геометрия, которую мы изучаем в школе и которой пользуемся в повседневной жизни, восходит к Эвклиду (примерно 300 лет до нашей эры). Треугольники,  квадраты, круги, параллелограммы, пирамиды, шары, призмы – типичные объекты, рассматриваемые классической геометрией. Предметы, созданные руками человека, обычно включают эти фигуры или их фрагменты. Однако в природе они встречаются не так уж часто. Действительно, похожи ли, например, лесные красавицы ели, на какой – либо из перечисленных предметов или их комбинацию? Легко заметить, что в отличие от форм Эвклида природные объекты не обладают гладкостью, их края изломаны, зазубрены, поверхности шероховаты, изъедены трещинами, ходами и отверстиями.

          Если приглядеться к предметам, явлениям, которые существуют в окружающем мире, то можно заметить следующее, что ветвь дерева – есть подобие самого дерева. Молния не распространяется по прямой, а распадается на маленькие ломанные. То же самое можно сказать про лёгкие человека и про растение брокколи.

          Уникальность данной красоты явлений заключается в присутствии свойства самоподобия – это основное свойство фракталов, то есть в рассмотренных нами примерах присутствуют фракталы.  

         Любой микроскопический фрагмент фрактала в том или ином соотношении воспроизводит его глобальную структуру. В простейшем случае часть фрактала представляет собой просто уменьшенный целый фрактал.

         Гипотеза: строение человека, растительного мира и неживой природы едино с точки зрения фрактальной геометрии.

                                           «Фракталы – геометрия красоты»

Бороева Надежда Цыдыповна

                                    Российская Федерация, Забайкальский край

                                      Шилкинский район, село Митрофаново

     МОУ « Митрофановская СОШИ с кадетскими классами » , 10 класс

                                       3. Научная статья                                                                        

3.1. Понятие «фрактал» и история его возникновения

          Фрактал – термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

          В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

      Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой – либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова «фрактал». Работая математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришёл к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.    

        Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделённый на части).

                                                                                                             

                                                                                                           Бенуа Мандельброт

      Одно из определений фрактала – это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого.   

       В конце прошлого столетия понятие фрактала во всей своей красе ворвалось в науку. Книга Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», вышедшая в 1983 году открыла новые горизонты геометрии. Она предстала перед миром во всём своём многоцветном великолепии. В ней автор писал: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой…»

        Как только Мандельбротом  было открыто понятие фрактала, оказалось, что мы буквально окружены ими. Фракталы - слитки металла и горные породы, фрактальны расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных, фрактальны речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий.

      Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни.

                                            «Фракталы – геометрия красоты»                                                        

Бороева Надежда Цыдыповна

                                     Российская Федерация, Забайкальский край,

                                      Шилкинский район, село Митрофаново

        МОУ « Митрофановская СОШИ с кадетскими классами  , 10 класс

                                                       3.2. Виды фракталов  

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

- алгебраические фракталы;

- стохастические фракталы;

 - геометрические фракталы.

а) Алгебраические фракталы

        Первая большая группа фракталов – алгебраические. Своё название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул, иногда весьма простых.

        Методов получения алгебраических фракталов несколько. Самые наглядные из них фрактал Мандельброта (приложение 1), фрактал Ньютона (приложение 1), множество Жюлиа (приложение 1) и многие другие.

              б) Стохастические фракталы

        Второй крупной разновидностью фракталов являются - стохастические фракталы, которые образуются путём многократных повторений случайных изменений каких – либо параметров.

      Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие – либо параметры. При этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, поверхности скал, изрезанные береговые линии островов и многое другое. Двумерные стохастические фракталы используются преимущественно при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Ярким примером стохастических фракталов является плазма (приложение 1).

                Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Термин « стохастичность » происходит от греческого « предположение ».

                                                в) Геометрические фракталы

        История фракталов в XIX веке началась именно с изучения геометрических фракталов.

        Геометрические фракталы по–другому называют классическими, детерминированными или линейными. Они являются самыми наглядными, так как обладают так называемой жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Это значит, что, независимо от того, насколько вы приближаете фрактал, вы видите всё тот же узор. Фракталы ярко отражают свойство самоподобия.

       Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается. Когда изменения становятся визуально незаметными, считают, что построенная фигура хорошо приближает фрактал и дает представление о его форме. Для получения самого фрактала нужно бесконечное число этапов. Меняя основу и фрагмент, можно получить много разных геометрических фракталов.

        Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов.  

        Наиболее известными геометрическими фракталами являются:
      1. Кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины. Эта кривая не имеет касательной ни в одной точке. Описанная в 1904 году шведским математиком Хельге Фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха (приложение 2).

     2. Треугольник Серпинского – фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «салфетка» Серпинского. Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский.

      Чтобы его получить, нужно взять (равносторонний) треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д.

    Выкидывание центральных треугольников — не единственный способ получить в итоге треугольник Серпинского.

      Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д.

      Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.

     Но и на этом не всё. Оказывается, треугольник Серпинского получается в результате одной из разновидностей случайного блуждания точки на плоскости. Этот способ называется «игрой Хаос». С его помощью можно построить и некоторые другие фракталы (приложение 2).

     3. Кривая Гильберта - (известная также как заполняющая пространство кривая Гильберта) — это непрерывная фрактальная заполняющая пространство кривая, впервые описанная немецким математиком Давидом Гильбертом в 1891 году, как вариант заполняющих пространство кривых Пеано, открытых итальянским математиком Джузеппе Пеано в 1890 году.

     Эти кривые также являются фракталами, они самоподобны; если вы увеличите масштаб и внимательно посмотрите на часть кривой более высокого порядка, то вы увидите, что она выглядит так же, как сама кривая (приложение 2 ).

     4. Решётка Серпинского – это один из фракталов, с которыми экспериментировал Мандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. Треугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовывая треугольник, с большим количеством дырочек. В этом случае инициатор — большой треугольник,  а шаблон — операция вырезания треугольников, подобных большему. Так же можно получить и трехмерную версию треугольника, используя обыкновенный тетраэдр и вырезая маленькие тетраэдры (приложение 2).

     5. Пятиугольник Дюрера – Фрактал "Звезда Дюрера" или "Пятиугольник Дюрера" был назван в честь немецкого живописца и графика Альбрехта Дюрера. Именно он в 1525 году изобретает правило построения правильного пятиугольника. Предположил данное построение Альбрехт Дюрер, в одном из своих средневековых трактатов «Руководство к измерению циркулем и линейкой». В основу фрактала положен так называемый "расширенный" пятиугольник. "Звезда Дюрера" выглядит как связка пятиугольников, сжатых вместе.
   Фактически он образован при использовании пятиугольника в качестве инициатора и равнобедренных треугольников, отношение большей стороны к меньшей, в которых в точности равно так называемой "золотой пропорции" в качестве генератора. Эти треугольники вырезаются из середины каждого пятиугольника, в результате чего получается фигура, похожая на 5 маленьких пятиугольников, приклеенных к одному большому. Универсальность и простота метода А. Дюрера в том, что с его помощью мы можем построить пятиугольник с заданной (или требуемой) длиной стороны, кроме того все построение выполняется циркулем с фиксированным раствором (расстояние между ножками циркуля не меняется) и линейкой без делений (приложение 2).

   6. Кривая Леви — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви (приложение 2).

7. Кривая Минковского — классический геометрический  фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок, а генератором является ломанная из восьми звеньев (два равных звена продолжают друг друга) (приложение 2).

 8. Кривая дракона — пример системы итерируемых функций, общее название для некоторых фрактальных кривых, которые могут быть упрощены  повторяющимися методами (приложение 2).

    9. Дерево Пифагора — разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны» Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман (1891-1961) во время Второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку (приложение 2).

                                              «Фракталы – геометрия красоты»                                                          

Бороева Надежда Цыдыповна

                                       Российская Федерация, Забайкальский край,

Шилкинский район, село Митрофаново

        МОУ « Митрофановская СОШИ с кадетскими классами » , 10 класс

4.       Фракталы в живой и неживой природе, изобретениях человека

        Одним из типичнейших представителем фрактального подводного мира является коралл. В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков. В строении морской раковины  так же хорошо видна структура фрактала.

 

      На первый взгляд человек не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь – всё встаёт на свои места. Кровеносная, дыхательная, нервная система, сетчатка глаза - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке.

  

    Растения, деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист растения (прожилки), общее строение растений также фрактально.

Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не являются их точной копией.

    

    Структуру фрактала хорошо просматривается в формах горных хребтов, сталактитов и сталагмитов, ну и конечно в кристаллах.

  

Возьмём, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда в облаке водяной пар превращается в лёд. По мере роста кристалликов возникают изящные, ажурные узоры.

 

Стохастические фракталы можно увидеть в границах географических объектов и береговых линий, форме облаков и разрядах молний.

 

 

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

В последнее время фракталы стали популярным инструментом для анализа состояния биржевых рынков.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают

текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы 

текста:

1) неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…»;

2) неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И, хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не

помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

                                             «Фракталы – геометрия красоты»                                                         

Бороева Надежда Цыдыповна

                                      Российская Федерация, Забайкальский край

                                          Шилкинский район, село Митрофаново

     МОУ «Митрофановская СОШИ с кадетскими классами», 10 класс

5.      Мои исследования

         Данная тема показалась мне уникальной и занимательной. Раньше я не имела представления о фракталах и не знала что это такое, но познакомившись с этим понятием, я заметила, что фрактал – это нередкое явление в нашей жизни.

       Я поняла, что мы буквально окружены ими. Фракталы встречаются везде и без их существования, мир оказался бы скучным и простым.

      Они украшают нашу жизнь, задают форму предметам, заставляют остановиться и присмотреться к тому, что нас окружает.

      Даже человек далёкий от геометрии и математики с лёгкостью может заметить фрактал и поймёт его красоту. Фракталы тесно связаны с нами.

      Вдохновившись этой мыслью, я захотела попробовать создать свой собственный фрактал.

      Для этого мне понадобилось ничего лишнего. Просто взяла листок бумаги и карандаш. Затем я нарисовала уменьшенные фигуры, подобные всей фигуре в целом. В дальнейшем, уменьшая масштаб, моя работа стала похожа на фрактал.

      Мои друзья позитивно оценили мою проделанную работу, узнали о существовании фракталов и заинтересовались ими.

       Я довольна проделанной работой, получила хороший опыт, который буду использовать в дальнейшем.

«Фракталы – геометрия красоты»

       Бороева Надежда Цыдыповна

Российская Федерация, Забайкальский край

Шилкинский район, село Митрофаново

МОУ « Митрофановская СОШИ с кадетскими классами » , 10 класс

6.      Заключение

Изучая фракталы, анализируя  проявления фракталов в окружающей  нас действительности, а также в научных открытиях, связанных с существованием фракталов, я обнаружила  удивительно тесную  связь математики и окружающим нас мира.

Фракталы описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике и искусстве. Но не следует забывать о том, что и фракталы — не более чем упрощенная модель реальности, которая не может претендовать на роль универсального ключа к описанию природы.

Я думаю, что  приобретенные знания и навыки исследовательской работы    при изучении  данной темы помогут мне при изучении и других школьных предметов.

Список используемой литературы и сайтов интернета

1. https://ru,wikipedia,org/wiki/Фрактал

2. https://poznayka.org/s2038t1.html

3. https://studopedia.org/3-83644.html

4. https://sitekid.ru/matematica/stohasticheskie_fractal.html

5. https://ru.wikipedia,org/wiki/Коралл

         Приложение 1              

 

             Фрактал  Мандельброта                                                    Фрактал Ньютона                                         

         

                                              Множества Жюлиа

                

Плазма                                                Стохастический фрактал

Приложение 2

     

Кривая Коха

 

Треугольник Серпинского                                    Салфетка Серпинского

     

Кривая Гильберда

    Решётка Серпинского

   

Пятиугольник Дюрера

                                                              

Кривая Леви                                                      кривая Минковского                                    Кривая дракона