Научно-исследовательская работа "Квадратные уравнения: события, способы решения, факты"

VII Поволжская 

юношеская научно-исследовательская 

конференция «Я – исследователь»

Район Тюлячинский

Республика  Татарстан

Школа филиал МБОУ – Верхнекибякозинская средняя

общеобразовательная школа Тюлячинского муниципального района Республики Татарстан «Малокибякозинская основная  общеобразовательная школа» 

Класс 9 

Секция «Математика, информатика»

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА 

Тема: «Квадратные уравнения: события, способы решения, факты»

                             Научный 

                             руководитель   Гульнур Ахметзакиевна Галимзянова,                                                           учитель математики и информатики                                                                                                ____________ 

                                                                                                  (подпись)

                             Учащийся        Муниса Сухробовна Саидова

                                                                                              ____________                                                                                                   (подпись)

2017 год 

Оглавление

1.     Введение  ………………………………………………………………..…2     

2.     История возникновения квадратных уравнений  ………………………. 4     

3.     Способы  и методы решения квадратных уравнений  ……………….....  7   

4.     Вывод ……………………………………………………………………..   19

5.     Заключение  ………………………………………………………………. 19     

6.     Использованная литература ……………………………………………... 21     

7.     Приложения …………………………………………………………...... 22-24    Введение

   Уравнения в школьном курсе математики занимает ведущее место. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений. Но ни один из  видов уравнений не нашел столь широкого применения, как квадратные уравнения. 

Сначала я узнала, что некоторые квадратные уравнения можно решить способом разложения левой части на множители, потом оказалось, что выделение полного квадрата двучлена тоже поможет решить квадратное уравнение. Затем я научилась решать любое квадратное уравнение с помощью специальных формул. У меня возникли вопросы  «В древности были ли известны квадратные уравнения? Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике? Насколько практичны квадратные уравнения? Наши родители и учителя умеют решать квадратные уравнения?» Поэтому  я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Квадратное уравнение: события, способы решения, факты_».

  Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках математики,  физики, химии и информатики мы очень часто встречаемся с решением  уравнений, приводимых к решению квадратных уравнений.  Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также нам  пригодится при решении более сложных задач, в том числе и  при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике. В школьных учебниках мало информации об истории возникновения и способах решения квадратных уравнений.

Цель работы: изучение способов решения квадратных уравнений и выявление наиболее удобных и рациональных среди решений,  ознакомиться  с историей развития квадратных уравнений.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

-     подобрать информацию по данной теме из учебников,  научных письменных источников и материалов сети Интернет; 

-     рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений; узнать можно ли решить любое квадратное уравнение  со всеми  способами; выявить, особенности и недостатки этих способов решения квадратных уравнений; 

-     исследовать историю развития квадратных уравнений.

Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения я смогу ли найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования:  способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования:

-     Теоретическое изучение  литературы по теме исследования и         информации из Интернета.

-     Анализ информации  полученной при изучении литературы и         результатов, полученных  при решении квадратных уравнений     различными способами.

-     Сравнение способов на рациональность их использования  при решении квадратных уравнений.

 Для выявления актуальности темы я провела исследование. Учащимся 8-9 классов (11 человек), родителям учащихся (21 человек) и учителям (14 человек) школы было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие 35 человек  из 46 (76%) . Использованы всего 3 способа решения квадратного уравнения: метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки;  решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения; решение уравнения, используя теорему Виета. Результаты исследования в Приложении 1. 

История возникновения квадратных уравнений

  Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения  таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

  В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

  Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.

  Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники 14-17 веков. Общее правило решения квадратных уравнений вида было сформировано в Европе лишь в 1544 году Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики 16 века учитывали помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в 17 веке благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

  В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1.              «Квадраты равны корням» т.е.  

2.              «Квадраты равны числу» т.е.  

3.              «Корни равны числу» т.е.  

4.              «Квадраты и числа равны корням» т.е.  

5.              «Квадраты и корни равны числу» т.е.   

6.              «Корни и числа равны квадратам» т.е.   

  Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашими. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат

Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

  На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Квадратные уравнения.

  Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.

  Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. х²+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения

  Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

  Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

  Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

  Обращаем внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении или а ≠ 0.

  Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.   Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.

  Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Способы и  методы решения квадратных уравнений

  Исследуя и изучая разные материалы,  я нашла более 10 основных способов и методов решения квадратного уравнения:

1.               Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение  х² + 10х - 24 = 0. 

Разложим левую часть на множители: х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что числа 2 и - 12 являются корнями уравнения  х² + 10х - 24 = 0.  

2.               Метод выделения полного квадрата.         Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0. 

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде: х² + 6х = х² + 2• х • 3. В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как   х² + 2• х • 3 + 3² = (х + 3)². Преобразуем теперь левую часть уравнения   х² + 6х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:   х² + 6х - 7 = х² + 2• х • 3 + 3² - 3² - 7 =    = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² - 16 =0, (х + 3)² = 16.

Следовательно, х + 3 = 4, х₁ = 1, или  х + 3 = -4, х₂ = -7.

                                   3. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения ах² + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4а и последовательно имеем: 4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)² + 2ах • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b)² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

   (1)

Если второй коэффициент  в = 2k – четное число, то формулу корней можно

                                                    k    k ²  ас

записать    х_1,2 . а

4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

А. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид                                               х² + px + q = 0.                               (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при  а = 1 имеет вид 

                                                           xx1  2 q       

                                                                                          _x x₁  ₂ p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если свободный член  q приведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.

Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны. Например,

х² – 3х + 2 = 0;  х₁ = 2  и  х₂ = 1, так как  q = 2 > 0  и   p =  – 3 <0;

х² +8х + 7 = 0;  х₁ =  –  7   и  х₂ =  – 1, так как  q = 7 > 0 и  p = 8 >0.

б) Если свободный член  q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0. Например, 

х² + 4х – 5 = 0;  х₁ =  –  5   и  х₂ = 1, так как  q = –  5<0 и  p = 4 > 0; х²  –   8х – 9 = 0;  х₁ = 9   и  х₂ =  –  1, так как  q = –  9<0 и  p = –  8 >0. Б.   Теорема Виета для квадратного уравнения    ах² +вх +с = 0   имеет вид

xx1 2  ac

                              ^_{x x}1 _{ }2 b

                                                           a

Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

   Если числа х₁ и х₂ таковы, что х₁+х₂ = -р,  х₁х₂ = q, то х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения   х² +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

    Примеры

1.   Решить уравнение 

                         х² – 9х + 14 =0

     Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что 

                                       х₁ +х₂ = 9                                        х₁х₂ = 14

Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

2.   Решить уравнение

                             х² +3х – 28 = 0

     Попробуем найти два числа х₁ и х₂ , такие, что 

                                       х₁ +х₂ = - 3                                        х₁х₂ =  - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

5. Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение  ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению  у² + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем  х₁ = у₁/а и х₂ = у₂/а. 

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. 

Пример.

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение    у² – 11у + 30 = 0. Согласно теореме Виета

у₁ = 5       х₁ = 5/2       x₁ = 2,5  у₂ = 6    x₂ = 6/2         x₂ = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

   Пусть дано квадратное уравнение  ах²  вх  с  0, _где а 0.

   1. Если а + в + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то 

                х₁ 1;х₂  ^с . а

      Доказательство: Разделим обе части уравнения на  а ≠ 0, получим

приведенное квадратное уравнение  х²  ^в х  ^с  0. 

                                                                                                                     а       а

Согласно теореме Виета  х1  х2   ав ,

х1  х2  ас .

        По условию  а + в + с = 0,                                        х1  х2    аа с 1 ас ,

 откуда  в = - а – с. Значит, 

х1  х2 1 ас .

с

Получаем х₁ 1;х₂  , что и требовалось доказать. а

2.   Если  а – в + с = 0, или в = а + с, то  х₁  1,х₂   ^с . а

^х  х   ^ав ,

                                                                                                                          1             2

      Доказательство: По теореме Виета  _

х1  х2  ас .

По условию а – в + с = 0, откуда  в = а + с. Таким образом,

^х  х   а ^а в  1 ^ас ,    

                       _{1             2}

      _

х₁х₂  1^ ^{с },

                                  а 

т.е. х₁ 1;х₂ ^с , что и требовалось доказать. а

3.   Если в уравнении ах²  вх  с  0, асmn, вm² n² ,_то

                                    _х1  _ ^m,_х2  _ ⁿ .

                                                                                n              m

      Доказательство: Действительно, приведем это уравнение к приведенному           

х2  m2  n2 х  mn  0. mn      mn

      Запишем уравнение в виде  х² ^ ^mn  m^{n }x  ^mn  mⁿ  0.

_

      Уравнение, записанное в таком виде, позволяет сразу получить  корни

                                      _х1 _^m,_х2 _ ⁿ .       

                                                                                   n              m

4.   Если  а = - с = m·n,  в = m² – n² , то корни имеют разные знаки, а именно:   

               _х1 _^m,_х2  ⁿ .  n  m

   Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента. Часто эти свойства используются, если коэффициентами являются большие числа.

Примеры:

1.                  2008х²  - 2009х+1=0

  Решение: т. к. а + в + с = 0 (2008 – 2009 +15 =0), то  х₁ 1;х₂  ¹     .     Ответ: 1; 2008

 .

2.                  7х² 5х2  0.

  Решение: так как 7 – 5 – 2 = 0, то х₁ 1,х₂  .                               Ответ: 1;.

3.                  132х²+247х+115=0

  Решение: т. к.  а – в + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х₁ 1;х₂ .  

Ответ: 1;.

4.                  5х² 2х 7  0.

           Решение: так как 5 – (-2) + 7 = 0, то х₁ 1;х₂  ⁷.                          Ответ: 1;1    .

5

5.                  6х² 13х6  0.

          Решение: здесь  6 = 3·2, 13 = 3² + 2². Корни этого уравнения  х₁   ³;х₂     .

2

                                 Ответ: -;1.

6.                  6х² 5х6  0.

             Решение: здесь  6 = 3·2, но 5 = 3² – 2²  и  х_{1 } ²;х₂  .    Ответ: 1      ;   .  

3

7.                  Графическое решение квадратного уравнения.             Если в уравнении х²  pxq 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим  х²  px  q.

    Построим графики зависимостей  у  х² и  уpxq.

    График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая (рис.1). 

    Возможны следующие случаи:                  

-   прямая и парабола могут                           у=х пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; 

-   прямая и парабола могут касаться

(только одна общая точка ), т.е.                           уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

            Примеры:            

1.Решить графически  уравнение х² 3х4  0. 

     Решение: см. рис.2.

Запишем уравнение в виде  х²  3х 4.

Построим параболу у  х²  и прямую у 3х 4. Прямую   у 3х 4. можно

построить по двум точкам М(0;4) и  N(3;13). Прямая и парабола                   пересекаются в двух точках А и В  с абсциссами х₁ = - 1 и х₂ = 4.       

Ответ: -1; 4.

        2. Решить графически уравнение                               

х² 2х1 0.    

    Решение: см. рис. 3.  Запишем уравнение в виде  х²  2х1.

Построим параболу  у  х² и прямую у 2х1. Прямую у 2х1.построим по

двум точкам  М(0;-1) и N^_ ¹;0^_.

 2 

Прямая и парабола пересекаются в  точке А с абсциссой  х =1.     Ответ: 1.  3.Решить графически уравнение   х² 2х5  0. Решение: см. рис. 4.  Запишем уравнение в виде  х²  2х5.   

Построим параболу у  х² и прямую у 2х5. Прямую у 2х5 построим по  двум точкам М(0;-5)и N(2,5;0). Прямая 

и парабола не имеют общих точек         пересечения,        т.е. данное уравнение не имеет корней    

Ответ: нет решений.                                     

8. Решение квадратных уравнений с помощью  номограммы

 Это старый и но забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на  83 странице «Четырехзначные математические таблицы» Брадиса В.М.  

 Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z² + pz + q = 0. Эта номограмма    позволяет, не      решая         квадратного         уравнения, по      его коэффициентам определить корни уравнения.

     Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.5):

 

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию 

        Рис.5                                       

       откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z² + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Примеры.

1)  Для уравнения z² - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни  z₁ = 8,0 и z₂ = 1,0

2)  Решим с помощью номограммы уравнение 

2z² - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z² - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z₁ = 4 и z₂ = 0,5. 3) Для уравнения  z² - 25z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим  уравнение t² - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим  t₁ = 0,6 и t₂

= 4,4, откуда  z₁ = 5t₁ = 3,0 и z₂ = 5t₂ = 22,0

9.  Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.  Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика. Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки. Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х_1; 0) и D (х_2; 0), где х₁ и х₂ - корни уравнения ах² + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;

с

) и С (0; ^а ) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙

ОС, откуда

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

1 2  b b у1  у2 1_ ас  ас х  х а   



        SK =     2           2         2а , SF =     2             2           2а .

Итак:

                                                                                 b     а  с



1)                построим точки S (   2^а ; 2^а ) (центр окружности) и А (0; 1):

2)                проведем окружность с радиусом SA;

3)                абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.

При этом возможны три случая. 1) Радиус окружности больше ординаты центра

а  с

(AS>SK, или R> 2^а ), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. а) B

(х_1; 0) и D (х_2; 0), где х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

а  с

2)     Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = 2^а ), окружность касается оси Ох (рис. б) в точке B (х_1; 0), где х_{1 -} корень квадратного уравнения.

а  с

3)     Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < 2^а ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.

 

1. Решим уравнение х^{2 -} 2х - 3 = 0.

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам: b      2

                                     1,

х = - 2a 2 1 а  с

                                     1.

у = 2а = 

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1) Ответ: х₁ = - 1, х₂ = 3.

10.  Геометрический способ решения квадратных уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из "Алгебры" ал-Хорезми.

Решим уравнение х² + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: "Квадрат и десять корней равны 39".

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна   2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5 х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей:

первоначального квадрата х², четырех прямоугольников

(4 ∙ 2,5 х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,5 *4=25), т.е. S = х² + 10х = 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим х = 8 – 2,5 – 2,5 = 3.

11. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

При делении P (х) на х- α в остатке может получиться лишь некоторое число r

(если r = 0, то деление выполняется без остатка): P (x) = (x - α ) Q (x) + r. (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = α. При этом двучлен х - α обращается в нуль, получаем, что P (α) = r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P (x) на двучлен х - α равен P (α) (т.е. значению P (x) при х = α).

Если число α является корнем многочлена P (x), то этот многочлен делится на  х - α без остатка. х²-4х+3=0

Р₂ (х) = х²-4х+3 α; ±1,±3. α =1, 1-4+3=0

Разделим р (х) на (х-1) (х²-4х+3) / (х-1) =х-3 х²-4х+3= (х-1) (х-3)

(х-1) (х-3) =0

<=> х-1=0; х₁=1, или х-3=0, х₂=3; Ответ: х₁=1, х₂=3.

          И            я            пробовала            решить            квадратное           уравнение

4х² − 16х + 15 = 0 с этими способами. (Приложение 2) Вывод  

  Изучая  литературу, я узнала, что можно решить квадратное уравнение еще и с помощью циркуля и линейки, а также  геометрическим способом.  Но они не приводят к более рациональному  решению. Я изучила более десяти способов решения квадратных уравнений: от всеми известного с помощью вычисления дискриминанта и корней по формулам до очень интересного с помощью номограммы.  Я пришла к выводу, что приступая к решению любого квадратного уравнения, не следует спешить прибегать к традиционному   способу решения. Используя теорему Виета и свойства коэффициентов, можно гораздо быстрее найти корни уравнения и не тратить лишнее время. Я очень рада, что их изучила и буду использовать. Гипотеза, поставленная в начале работы, подтвердилась.

 Но у каждого способа есть свои положительные и отрицательные стороны.

Каждый способ имеет свои «плюсы» и «минусы» (Приложение 3) 

Заключение

   Квадратные уравнения  -  это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях.

   В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех.  Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Квадратные уравнения решаются   не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.     

  Проанализировав изученные материалы, можно сделать вывод о том, что развитие методов решения квадратных уравнений шло постепенно, усовершенствовалось с течением времени. В настоящее время используются методы, которые впервые были использованы в Европе в XIV веке, тогда были выведены формулы дискриминанта и корней уравнения, доказана теорема

Виета.  

  Хочется отметить и то что, несмотря на многочисленные научные книги и изобилие материалов о  квадратном уравнении в Интернете, излагаемая тема еще не полностью  изучена в математической науке,  поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней. Поэтому на этом моя работа не закончится, я продолжу искать другие способы решения квадратных уравнений. А далее меня ждут еще квадратные уравнения с модулем и уравнения с параметрами. Я думаю, погружаясь в различные способы решения этих уравнений, я найду для себя тоже много нового и познавательного. 

Использованная литература:

1.        Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука, 1972.

2.        Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – М.: Просвещение, 1990

3.        Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные  материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988 

4.        Глейзер Г. И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982

5.        Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся  7-9 кл. сред.шк. – М.: Просвещение, 1990

6.        Плужников И. 10 способов решения квадратных уравнений// Математика в школе.-2000.-№40

7.        http://mat.1september.ru/2001/42/no42_01.htm   

8.        http://www.egesdam.ru/page221.html  

9.        http://revolution.allbest.ru/mathematics/00259978_0.html

Приложение 1.

Результаты исследования по решению полного квадратного уравнения
Способы решения квадратного уравнения	Количество учащихся
Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки	1	2,8%
Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения	22	63%
Решение уравнения, используя теорему Виета.	3	8,5 %
Неверно решили уравнение	9	25,7 %

Приложение 2

Решение квадратного уравнения   𝟒х^𝟐 − 𝟏𝟔х + 𝟏𝟓 = 𝟎 разными способами

1. Разложение левой части уравнения на множители. 4х2 − 16х + 15 = 0 4х2—10х − 6х + 15 = 0 2х(2х— 5) − 3(2х − 5) = 0 (2х— 5)(2х − 3) = 0 (2х— 5) = 0 или (2х − 3) = 0 х = 𝟐,𝟓            х = 𝟏, 𝟓	2. Метод выделения полного квадрата
3.Решение квадратных уравнений по формуле а)   4х2 − 16х + 15 = 0                    (          )2                           15                                                                                                        4 ∙ 2                                  4   2 б) так как b четное число и k=-8                 (            )2                   15	4. Решение уравнений с использованием теоремы  Виета    4х2 − 16х + 15 = 0    х2 − 4х + 3,75 = 0 q=3,75>0 ,имеет два одинаковых по знаку корня  p=-4<0, оба корня положительные                                         3 75                     𝟏 𝟓                     {                                  {
5. Решение уравнений способом «переброски» 4х2 − 16х + 15 = 0 х2 − 16х + 60 = 0 по Виету у1 = 10;   у2 = 6                                            10                         6 х𝟏 =  = 𝟐, 𝟓 ;  х2 =  = 𝟏, 𝟓                                             4                          4	6. Свойство коэффициентов квадратного уравнения a+b+c=0   ð   4 + (-16) + 15 ≠ 0 a+c=b       ð   4 + 15 ≠ 16 данный способ не подходит
7.Графическое решение квадратных уравнений 4х2 − 16х + 15 = 0 4х2 = 16х − 15 у = 4х2 − парабола у = 16х + 15 − прямая	8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Построим                                                 точку Точка А(0;1) Ответ:1.5; 2.5
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы	10. Геометрический способ решения квадратных уравнений Не возможно решить данным способом х = 𝟐, 𝟓            х = 𝟏, 𝟓

Приложение 3

№	Название способа решения квадратных уравнений	Положительные стороны («плюсы»)	Отрицательные стороны («минусы»)
1.	Разложение левой части уравнения на множители	Дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	Нужно правильно вычислить слагаемых для  группировки.
2.	Метод выделения полного квадрата	За минимальное количество действий можно найти корни уравнений	Нужно  правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата.
3.	Решение квадратных уравнений по формуле	Можно применить ко всем квадратным уравнениям.	Нужно выучить формулы.
4.	Решение уравнений с использованием теоремы Виета	Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения.	легко находятся только целые корни.
5.	Решение уравнений способом переброски	За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета.	легко найти только целые корни.
6.	Свойства коэффициентов квадратного уравнения	Не требует особых усилий	Подходит только к некоторым уравнениям
7.	Графическое решение квадратного уравнения	Наглядный способ	Могут быть не точности при составлении графиков
8.	Решение квадратных уравнений с помощью циркуля  и линейки	Наглядный способ	Могут быть не точности
9.	Решение квадратных уравнений с помощью номограммы	Наглядный способ, прост в применении.	Не всегда под рукой имеется номограмма.
10.	Геометрический способ решения квадратных уравнений	Наглядный способ.	похож на способа выделения полного квадрата