Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Научно-исследовательская работа "Нахождение угла между скрещивающимися прямыми"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Научно-исследовательская работа "Нахождение угла между скрещивающимися прямыми"

библиотека
материалов

Содержание.

1.Введение.

2.Теоретическая часть.

3.Практическая часть.

4.Заключение

5.Список используемой литературы

6. Приложение


Введение.

В представленной работе исследуются методы нахождения угла между скрещивающимися прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.

Эта работа актуальна потому что, исследуя методы на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ. Предметом моих исследований стали геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Цели работы:

  1. Рассмотреть теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми.

  2. Обобщить все знания, полученные в ходе исследования.

  3. Сделать выводы.

Задачи:

  1. Изучить литературу по данной теме.

  2. Познакомиться с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

  3. Подобрать задачи по данной теме.

  4. Исследовать задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.

Гипотеза: С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение олимпиадных задач и заданий ЕГЭ – С2».

Теоретическая часть.

Скрещивающиеся прямые.

Определение: Прямые не лежащие в одной плоскости называются скрещивающимися (см. Рис.1).

Теорема: Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

hello_html_m7c58307.png







Рисунок 1. Скрещивающиеся прямые.

Угол между скрещивающимися прямыми.

Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым (см. рис 2).

hello_html_474666e0.png

Рисунок 2. Угол между скрещивающимися прямыми b и a.

Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

Поэтапно-вчислительный.

Первый способ — с помощью параллельного переноса. Напомним, в чем его суть: мы производим перенос одной из скрещивающихся прямых (или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.

Алгоритм решения:

  1. Определение типа прямых. 

  2. Параллельный перенос одной или обеих прямых. 

  3. Нахождение требуемого угла.

Пример (см.рис.3).

а) Пусть а и b – данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α.

б) Через точку А проведем прямую с||b. Получившийся MAN- угол между скрещивающимися прямыми.

в) Выберем на прямой а - какую-нибудь точку М, а на прямой с - точку N. Получим треугольник AMN. Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем .

hello_html_3e1b6f40.png

Рисунок 3. Поэтапно-вычислительный метод.

Метод трех косинусов.

Алгоритм:

  1. Определить тип прямых.

  2. Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость.

  3. Найти косинус

  4. Нахождение искомого угла.

Пример (см. рис. 4).

а) а и b-скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую а плоскость α пересекающую прямую b.

б) Спроектируем b на α. b1- проекция.

в)

hello_html_m1f8fe994.png

Рисунок 4. Метод трех косинусов.

Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.

Пример (см. рисунок 5).

а) а и b – скрещивающиеся прямые.

б) Плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b1 проекция прямой b.

в) На прямой b лежит отрезок длинной d, а его проекция на плоскость α имеет длину d1.

г) Тогда верна формула , где α- угол между прямыми а и b.

hello_html_e3ca1db.png

Рисунок 5. Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.



Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую (см. прил. 9).

Пример (см.рис. 6):

а) a и b – скрещивающиеся прямые.

б) На прямой a находится отрезок длины d, и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1.

в) Тогда верна формула , где α – угол между прямыми a и b.

hello_html_m491d824d.png

Рисунок 6. Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую.

Метод тетраэдра.

Весьма эффективный метод, но встречается достаточно редко.

Пример (см. рис. 7).

Для тетраэдра верна формула .


hello_html_7ec84956.jpg

Рисунок 7. Метод тетраэдра.


Я подробней остановлюсь на самом универсальном на мой взгляд, самом доступном для понимания, координатном методе.

Координатный метод.

Алгоритм:

  1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. векторы).

  2. Вписываем фигуру в систему координат.

  3. Находим координаты концов векторов.

  4. Находим координаты Векторов.

  5. Подставляем в формулу "косинус угла между векторами".

  6. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

Чтобы освоить этот метод, надо хорошо уметь находить координаты точки в пространстве и правильно располагать многогранники в системе координат. Более подробно с расположением стереометрических фигур в системе координат вы можете ознакомиться в приложение (см. прил. 1-6).

Формула косинуса угла между векторами.

,

где .











Практическая часть.

Задача №1. На ребре ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1. Найдите угол между прямыми AK и BD1 (см. рис.8).

hello_html_m3dad5d89.png

Рисунок 8. Задача №1.

1) AK и BD1 – скрещивающиеся прямые.

2) Д.П. достроим куб до призмы A1B1C1D1A2B2C2D2, где ABCDA2B2C2D2-куб. Отметить точку Е на АА1 так, что АЕ : ЕА2=3:1. Тогда AK параллельна BE. Рассмотрим треугольник EBD1. Возьмем сторону АВ=1; BE =1.25 (по теореме Пифагора).

3), по правилу параллелепипеда.

4), по теореме Пифагора.

по теореме косинусов.

5)Получим , где α искомый угол.

Ответ: .

Пример решения этой же задачи можете пронаблюдать в приложение (см.прил.7-8).

Задача №2. В правильный 4-х угольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 2,боковое ребро равно 1. Найдите угол между АА1 и B1D(см.рис.9).

hello_html_624be2e8.png

Рисунок 9. Задача №2.

  1. АА1 и B1D – скрещивающиеся прямые.

  2. т. А - проекция АА1, на плоскость ABC.

  3. BD- проекция BD1-на АВС, тогда

  4. ;

Ответ:.

Задача №3. В правильной 6-ти угольной пирамиде АВС…F1 сторона основания равна корню квадратному из 2-х, а боковое ребро равно 1. Найдите угол между АF1 и B1C(см. рис. 10).

hello_html_22a12f11.png

Рисунок 10. Задача №3

  1. AF1 и B1C- скрещивающиеся прямые.

  2. F1A||BO, где O-центр 6-ти угольника ABCDEF.

  3. Рассмотрим тетраэдр OBB1C:, по теореме Пифагора; в правильном треугольнике OB1A1;BB1=1;BC= по условию

Ответ:.

Задача №4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1.









10

Автор
Дата добавления 14.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров1295
Номер материала ДБ-032565
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх