Научно-исследовательский проект по математике "Числа - великаны" (5 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №18»

Конкурс реферативных работ «Макеевские чтения» 2016

Числа - великаны

Авторы: Свиридов Александр,

Леонтьев Дмитрий, 5 класс,

Научный руководитель: Лукьянова

 Ольга Георгиевна, учитель математики.

Миасс, 2016

Оглавление

Введение. 3

Основная часть. 4

1. Две стихии математики. 4

2. Появление названия чисел. 4

3. Системы наименования чисел. 5

3.1 Американская система наименования чисел. 5

3.2. Английская система наименования чисел. 5

3.3 Внесистемные числа. 6

4. Числа - великаны в жизни. 7

5. Большие числа в легендах. 8

Заключение. 9

Список литературы. 10

Приложения

Приложение 1. История чисел

Приложение 2. Числа - великаны в жизни

Приложение 3. Большие числа в легендах

 

 «В сочетании цифр есть безусловная магия,

не чувствуют ее лишь люди,

 начисто лишенные воображения»

Борис Акунин « Весь мир театр»

Введение

Изучение чисел и их свойств необходимо современному человеку для развития логического мышления, памяти, творческого решения задач. Актуальность: в школьном курсе «математика» не изучается тема «числа - великаны», но узнав, что существуют числа больше триллиарда, у нас возник интерес и желание больше узнать об этих числах. Безусловно, мало знать, как называются самые большие числа в мире, имеющие собственное название. Интересно узнать и посмотреть на то, как они записываются, где встречаются в жизни. Это позволит расширить наш кругозор в употреблении многозначных чисел- великанов в области астрономии, химии, физики. Это и обусловило выбор темы работы - «Числа - великаны».

Объект исследования: удивительный мир чисел.

Предмет исследования: числа – великаны.

Цель: изучение чисел-великанов и освоение навыков работы с ними.

Задачи:

1. Изучить необходимый теоретический материал об истории возникновения чисел и о числах великанах.

2. Рассмотреть примеры гигантских чисел в реальном мире.

3. Освоить навыки работы с числами - великанами.

4. Представить работу на научно - практической конференции.

Гипотеза: если узнаем историю возникновения чисел и системы счисления, тогда легко будем читать и писать большие числа, сможем избежать трудностей при чтении, сталкиваясь на практике с числами- великанами.

Основная часть

1. Две стихии математики

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. Само возникновение понятия числа - одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительно, числами не только что-то измеряют, ими сравнивают, вычисляют, даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы. Когда- то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать, узнавать их свойства.

Открытия в науке о числах делали Пифагор, Архимед, немецкий ученый Карл Гаусс, французские математики Алексис Клеро, Эверист Галуа, Шюке и др. (Приложение 1. Рис. 1-6).

Около 2.5- 3 тысяч лет до нашей эры египтяне придумали свою числовую систему. Своя система счисления была у римлян (Приложение 1. Рис.7). В древности применялась и алфавитная система записи чисел. Любопытны были различные методы обозначения чисел. Но у всех этих методов был один недостаток: по мере увеличения чисел нужны были все новые и новые знаки.

2. Появление названия чисел

Ученые считают, что сначала название получили только числа один и два. А все, что шло после двух, называлось «много». С развитием земледелия, скотоводства, охоты, понадобилось называть и другие числа, большие «много». Появилась необходимость называть не только единицы, а десятки и сотни.

Существовали различные методы обозначения чисел, придуманные египтянами и вавилонянами, греками и римлянами. В египетской числовой системе ключевые числа 1, 10. 100 изображались специальными значками - иероглифами. Для записи чисел они употребляли следующие иероглифы:

По мере увеличения числа, нужны были все новые и новые знаки. Один из первых, кто научился называть громадные числа, был древнегреческий математик Архимед. Названия были, но обозначать он их не мог. Архимед один из гениальнейших математиков не додумался до нуля. Впервые нуль был придуман вавилонянами примерно 2 тысячи лет назад. Однако, открытие писать нули в конце числа, было сделано в Индии полторы тысячи лет назад. Нуль был присоединен к девяти цифрам, и появилась возможность обозначать этими десятью цифрами любое число, как бы велико оно ни было.

3. Системы наименования чисел

3.1 Американская система наименования чисел

Эту систему названий применяют сейчас и в нашей стране.

Американская система наименования чисел построена довольно просто. Все названия больших чисел строятся так: в начале идет латинское порядковое числительное, а в конце к ней добавляется суффикс -иллион. Исключение составляет название «миллион» которое является названием числа тысяча (лат. mille) и увеличительного суффикса –иллион.

3.2. Английская система наименования чисел

Названия чисел в английской системе наименования чисел строятся так: к латинскому числительному добавляют суффикс -иллион, следующее число (в 1000 раз большее) строится по принципу — то же самое латинское числительное, но суффикс — -иллиард. То есть после триллиона в английской системе идёт триллиард, а только затем квадриллион, за которым следует квадриллиард и т.д. Таким образом, квадриллион по английской и американской системам — это совсем разные числа! Узнать количество нулей в числе, записанном по английской системе и оканчивающегося суффиксом -иллион, можно по формуле 6·x+3 (где x - латинское числительное) и по формуле 6·x+6 для чисел, оканчивающихся на -иллиард.

Название числа	Значение по американской системе	Значение по английской системе
Миллион	106	106
Миллиард	109	109
Биллион		1012
Биллиард	—	1015
Триллион	1012	1018
Триллиард	—	1021
Квадриллион	1015	1024
Квадриллиард	—	1027
Квинтиллион	1018	1030
Квинтиллиард	—	1033
Секстиллион	1021	1036
Секстиллиард	—	1039
Септиллион	1024	1042
Септиллиард	—	1045
Октиллион	1027	1048
Октиллиард	—	1051
Нониллион	1030	1054
Нониллиард	—	1057
Дециллион	1033	1060
Дециллиард	—	1063

 

3.3 Внесистемные числа

Кроме чисел, записанных при помощи латинских префиксов по американской или английской системе, известны и так называемые внесистемные числа, т.е. числа, которые имеют свои собственные названия безо всяких латинских префиксов.

В книжных источниках и интернете - ресурсах были найдены следующие внесистемные числа:

Название	Число
Мириада	104
Гугол	10100
Асанкхейя	10140
Гуголплекс
Второе число Скьюза
Мега	2[5] (в нотации Мозера)
Мегистон	10 [5] (в нотации Мозера)
Мозер	2[2[5]] (в нотации Мозера)
Число Грэма	G63 (в нотации Грэма)

В итоге, было выяснено, что число Грэма является самым большим известным в мире числом и занесено даже в «Книгу рекордов Гинесса».

Чем больше в числе степеней, тем сложнее понять, какое из чисел больше. Таким образом, для сверхбольших чисел пользоваться степенями стало неудобно. Встал вопрос как же их записывать. Математики разработали несколько принципов для записи таких чисел. Каждый математик, кто задавался этой проблемой, придумывал свой способ записи, что привело к существованию нескольких, не связанных друг с другом, способов для записи чисел — это нотации Кнута, Конвея, Стейнхауза и др.

4. Числа - великаны в жизни

Мы рассмотрим по-настоящему большие и даже гигантские числа, с которыми каждый из нас сталкивается либо в реальном мире, либо в расчетах, говорящих кое- что важное о Вселенной. Мы будем двигаться по пути возрастания степеней десятки, начав от триллиона и дальше. Надеемся, что это подведет нас к очень важным утверждениям, которые мы сможем сделать об окружающем нас мире.

Триллион = 1000000000000 = 10¹².

Чтобы представить его наглядно, уже придется потрудиться. Если мы возьмем триллион бактерий (допустим, у нас как-то получится их собрать), то они займут объем примерно одного кубика сахара (Приложение 2. рис.1). Примерно столько бактерий содержится в теле человека. А число клеток в нем - несколько десятков триллионов (Приложение 2. рис.2). Во всех, когда-либо отпечатанных книгах за всю историю книгопечатания, около 100 триллионов букв (Приложение 2. рис.3). Вообще, кажется, что триллион это очень много. Но попробуем взять что-нибудь по-настоящему маленькое, - например атом. Горстку из триллиона атомов даже не увидеть невооруженным взглядом, вот насколько они малы. Давайте лучше увеличим что-нибудь в триллион раз. Например, электрон. Он будет размером с горошину (Приложение 2. рис.4).

Квадриллион = 1 000 000 000 000 000 = 10¹⁵.

Это название уже не на слуху и редко кто пользуется им в обыденной жизни. Например, квадриллион долларов - это сумма неиспользуемая в практическом смысле. Даже не понятно, что может стоить так много. Разве что небольшая гора высотой метров в 200, состоящая из цельного куска платины (Приложение 2. рис.5). На нашей планете живет примерно квадриллион муравьев (да, их гораздо больше, чем людей, - примерно в 100 тысяч раз) (Приложение 2. рис.6).

Квинтиллион = 1 000 000 000 000 000 000 = 10¹⁸.

Как вы понимаете, он в тысячу раз больше квадриллиона. Квинтилион километров - это примерно диаметр нашей галактики, которая называется Млечный Путь (Приложение 2. рис.7). До нашей соседки - галактики Андромеды - 25 квинтиллионов (и, кстати, это расстояние сокращается на 300 километров каждую секунду, потому что мы сближаемся именно с такой скоростью) (Приложение 2. рис.8).  Квинтиллион секунд - это время в 2 раза большее, чем то, которое прошло от Большого Взрыва и до сегодняшнего момента. Для того чтобы вычерпать все мировые океаны, достаточно 7 квинтиллионов стаканов (Приложение 2. рис.9). А если мы возьмем квинтиллион молекул чернил, то сможем написать ими какое-нибудь одно, не очень большое, слово. 25 - 30 квинтиллионов молекул содержится в 1 куб.см воздуха при нормальной температуре и давлении. Масса всей атмосферы Земли - около 5 квинтиллионов килограмм (Приложение 2. рис.10).  Число возможных комбинаций кубика Рубика - 43 квинтиллиона с лишним (Приложение 2. рис.11). Громадные числа окружают нас повсюду, от просторов космоса до масштабов микромира. Когда мы размышляем об этом, то поневоле восхищаемся тем, каким удивительным образом устроена Вселенная (Приложение 2. рис.12).

5. Большие числа в легендах

Шахматная доска была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений (Приложение 2. Рис.8). Узнав, что она изобретена одним из его подданных, Сетой, царь приказал его позвать, чтобы  лично наградить за удачную выдумку.

-Я щедро тебя награжу. Проси любую награду какую хочешь,- сказал царь.

-Повелитель,- сказал Сета,- прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

-Простое пшеничное зерно? - изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую 8, за пятую 16, за шестую 32...

   Царь удивился скромности просьбы, но велел придворным математикам сделать подсчёт количества зёрен. Утром царю доложили, что такого количества зерна нет во всём государстве.

-Назови же мне это чудовищное число,- сказал он в раздумье старцу, пришедшему с донесением.

-Когда мудрец назвал требуемое количество зерен, царь понял, что он действительно не может выдать обещанную награду. Что же это за число?

  Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нужно сложить числа 1,2,4,8... и т.д... всего 64 слагаемых. Последнее слагаемое будет 2*2*2*2*2*2* и т.д. (перемножить 64 двойки). Мы долго не могли посчитать, нам помог учитель математики.

Вот эта сумма: 18 446 744 073 709 551 615 зерен (Приложение 3. рис.1–3).

Заключение

Проделанная исследовательская работа помогла нам узнать, как зародилась наука о числах, как она развивалось, какие трудности встречались на ее пути, какие ученые занимались изучением чисел и их свойств.

Узнав историю возникновения чисел, систем счисления, название классов, мы расширили свой кругозор в области математики, а именно по вопросу числа-великаны, о том, что они и их названия появились давно. Эти числа окружают нас повсюду.

Мы считаем, что наша работа будет интересна одноклассникам. Полученные знания помогут всем нам в дальнейшем в изучении физики, химии, астрономии, биологии.

Список литературы

1. http://5klass.net/matematika-5-klass/CHisla-velikany/009-Vozniknovenie-shakhmatnoj-doski.html  - Возникновение шахматной доски.

2. http://fb.ru/article/54960/rasstoyaniya-v-kosmose-astronomicheskaya-edinitsa-svetovoy-god-i-parsek  - Образование Наука Расстояния в космосе.

3. http://www.pvsm.ru/nauchno-populyarnoe/93925  -  Числа – гиганты.