Обобщение опыта работы по теме "Применение заданий с практическим содержанием на уроках математики"

Применение заданий с практическим содержанием на уроках математики.

Значение заданий с практическим содержанием

В программе по математике сказано: «Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык… Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте… Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, усвоение научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность». И одна из целей обучения математике в школе – овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для смежных дисциплин, для продолжения образования.

В таком авторитетном документе, как «Рекомендации международной конференции ООН по народному образованию, относящиеся к преподаванию математики в средних школах», говорится о необходимости «пробуждать и поддерживать интерес учащихся как к самой математике, так и к её приложениям». Но математика, к сожалению, не является любимым предметом у очень многих школьников.

Как показывает практика, формальный перечень нравственных норм, поступков, действий и правил, требования неукоснительного их выполнения не всегда дают желаемый результат. Гораздо больший эффект достигается при ненавязчивом подсказывании, построенном на живом материале.

Эмоциональность подачи материала способствует лучшему его усвоению учащимися. Если школьник глубоко переживает события, изложенные в тексте нового материала, то изучение такого материала сыграет положительную роль в его становлении. Такой материал лучше усваивается и воспроизводится.

Хорошо подобранные и правильно методически расположенные задания помогают ученику усвоить теоретический материал, делают курс математики более интересным, вызывают потребность в новых знаниях и умении их самостоятельно получать. Но кроме прямого воздействия содержание задания имеет скрытое «подтекстуальное» влияние на учащихся.

Приступая к выполнению задания или решению задачи, ученик сначала знакомится с её формулировкой, решение же пока остаётся вне поля его деятельности. Поэтому очень важно, чтобы содержание вызывало живой интерес. Полезно когда тексты задач обращены не только к уму, но и к эмоциям детей, вызывая у них чувство причастности к решению актуальных проблем, стоящих пред нашей страной. При этом воспитательное воздействие содержания задач осуществляется не только через условие задачи, но и непроизвольно, через подтекст материала.

В значительной мере повышению интереса к математике способствует рассмотрение на уроках так называемых заданий с практическим содержанием. Все задания с практическим содержанием можно разделить на две большие группы:

- практические работы;

- прикладные задачи

Задания с практическим содержанием

1.     Практические работы (Приложение 1)

Практические работы занимают важное место в системе подготовки учащихся к практической деятельности. Выполнение этих работ оказывает положительное влияние на развитие инициативы и находчивости, навыков выполнения вычислений, измерений, построений, чтения графиков, на формирование творческого мышления.

Практические работы нужны для того, чтобы знания не были неосознанными. Если ученик самостоятельно практически добывает знания, то они надолго останутся в его памяти. Практические работы на уроках математики позволяют решать важные педагогические задачи:

- ставить перед учащимися познавательную математическую проблему (см. познавательные работы);

- актуализировать знания учащихся (см. тренировочные работы);

- подготовить учеников к усвоению нового материала(см. познавательные работы);

- формировать практически важные умения и навыки в обращении с различными приборами, инструментами, справочниками и таблицами (см. измерительные работы).

Важно также  подчеркнуть, что выполнение практических работ на уроках математики способствуют активизации познавательной деятельности учащихся. И несмотря на то что, выполняя такие работы, учащиеся имеют возможность делать только частные и ограниченные выводы, тем не менее эти выводы делаются ими самостоятельно, благодаря чему практическую работу можно считать одним из эффективных методов обучения. Практические работы, таким образом, позволяют реализовать в обучении важнейшие принципы взаимосвязи теории и практики: практика выступает в качестве исходного звена развития теории и служит важнейшим стимулом её изучения учащимися, она является средством проверки теории, а так же естественной областью её применения.

Специальная тематика практических работ, подбор их содержания позволяют показать учащимся важность математических знаний в повседневной жизни и быту, что способствует повышению интереса к математике.

В процессе обучения в школе традиционно применяются так называемые познавательные, тренировочные практические работы, измерительные работы на местности.

Познавательные работы имеют целью поставить учеников в условия «открытия» ими новых математических факторов. Замеченная в результате выполнения работы закономерность даёт ученикам возможность выдвинуть гипотезу, которая либо подтверждается либо опровергается доказательством. Например, доказательству теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника целесообразно предварить выполнение такой лабораторной работы: каждому ученику выдаётся модель выпуклого многоугольника, предлагается измерить каждый угол и вычислить сумму углов. В результате выполнения работы оказывается, что сумма углов каждого четырёх угольника приблизительно равна 360^о, а пятиугольника – 540^о. Доказательство теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника подтверждает обоснованность такого предположения.

Тренировочные работы имеют целью выработать у учеников умение применять теоретические знания по математике к решению конкретных задач. Выполнение таких работ связано с изменением линейных размеров, площадей плоских фигур, объёмов и площадей поверхностей пространственных тел.

Например, после доказательства теоремы об объеме пирамиды и решения отдельных задач по теме учащимся полезно предложить найти объёмы моделей, имеющих форму пирамиды. Ученики выполняют необходимые измерения и, используя изученную теорию, вычисляют объём данной пирамиды.

Целесообразно предлагать учащимся находить линейные размеры, площади поверхностей и объёмы реальных деталей и узлов машин и их макетов, чертежей. При выполнении работ следует использовать широкий инструментарий, в том числе штангенциркуль, микрометр, нутромер, кронциркуль, широко применяемые в производственной практике, знакомые учащимся из их предыдущего обучения в учебных мастерских.

Измерительные работы на местности связаны с измерением реальных расстояний, в том числе между недоступными предметами, высот, площадей земельных участков, съёмкой плана местности. Но эти работы сложны по оснащению оборудованием.

Самыми простейшими из таких лабораторных работ, являются работы по вычислению периметров и площадей реально существующих объектов (модели многоугольников, комнаты, заборы приусадебных участков и т.д.). А более сложные практические работы – это работы с использованием специальных измерительных приборов (например, работа по вычислению скорости течения «реки»)

Ценность измерительных работ на местности велика как для математического образования школьников, так и для приобретения ими практических умений и навыков. Выполнение таких работ способствует подготовке к математическому моделированию практических задач.

Практические работы рассмотренных трёх видов выполняются на уроках математики и непосредственно не связаны с трудовым обучением учеников. Однако их выполнение способствует формированию тех умений и навыков, стиля мышления, которые необходимы в повседневном производительном труде.

2.     Прикладные задачи (Приложение 2)

Что касается настоящих прикладных задач, то они должны черпаться из реальной действительности. И можно считать прикладными такие задачи, которые возникают в реальной практике  людей различных профессий.

Все «хорошо составленные», «честно и подлинно связанные с реальностью» прикладные задачи, должны удовлетворять следующим требованиям:

1.     Реальность сюжета.

2.     Математическая существенность сюжета.

3.     Естественность вопроса задачи.

4.     Математическая содержательность

5.     Терминологический лаконизм

Пренебрежение этими требованиями породило обилие задач, в которых связь с жизнью чисто внешняя, вопросы носят искусственный и надуманный характер, далёкий от вопросов возникающих в реальной жизни. Такие задачи не просто бесполезно крадут учебное время, но и формируют у учащихся скептическое отношение к математическим методам. Иногда бывает, что неправильно подобранная задача не вызывает интереса у учащихся, не доходит до их сознания.

Рассмотрим некоторые особенности прикладных задач.

Неопределённость прикладной задачи заключается в том, что человеку. Решающему такую задачу надо самому выбрать те параметры, которые он найдёт путём измерения или подсчёта и которые ему обеспечат возможность вычислить искомую величину. В учебных условиях считается, что учитель должен знать все необходимые данные для решения задачи

Пример: Сколько погонных метров планок потребуется, чтобы защитить щели между досками? Если фронтон равносторонний треугольник.

Решение: Правда ли, что фронтон, обшитый досками, но с ещё не зашитыми щелями выглядит так?

На этом рисунке щели между досками изображены вертикальными отрезками. Известно ли количество щелей, их длины? (нет) Одинаковой ли ширины доски используются для обшивки фронтона? (да, обычно используются доски шириной а см) Известна ли ширина фронтона? (Она равна ширине дома) Ширина дома равна в м.

 Количество щелей равно

Суммарная длина щелей равна l=2(A₁B₁ + … + A_mB_m), где

A₁B₁ = AA₁  tg 60^o, A₂B₂ = AA₂ tg 60^o

Величину погонных метров найдём по формуле суммы n членов арифметической прогрессии.

Узловой момент – выбор модели. Для решения практической задачи мы часто пользуемся «математической моделью», то есть вместо реальных объектов имеем дело с их математической идеализацией. Чаще всего пол классной комнаты – прямоугольник, стакан – цилиндр, ведро – усечённый конус, спичечный коробок – параллелепипед и т.д. В подобной ситуации самым поучительным, самым ценным для учащегося является его собственный поиск, его предложения по выбору модели (с последующим выбором тех параметров, которые он считает целесообразным найти непосредственным измерением). Если же эти два узловых (выбор модели и выбор параметров для измерения) сообщены ученику заранее, то основная дидактическая ценность задачи потеряна. Выбор той или иной модели диктуется рядом факторов: простотой требуемых измерений, требуемой точностью (т.е. нужен ли ответ с большой точностью или же приемлема более или менее грубая прикидка), здравым смыслом, интуицией, и др. Многим учебным задачам (в том числе из школьных учебников) можно вернуть их первоначальный практический характер, тем самым значительно повысив их педагогический эффект.

Пример: Имеется куча зерна пшеницы (картофеля), которую нужно отправить на склад (в погреб). Сколько примерно стандартных мешков потребуется для такой перевозки?

Решение: Чтобы решить эту задачу, необходимо оценить объем зерна в куче. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных нам пространственных фигур, но она напоминает конус. Для объёма конуса имеем формулу: . Но даже приняв кучу зерна за конус сложно измерить R и H. Можем считать, что основанием конуса-модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром: если она равна С, то . Высоту Н тоже неудобно замерять непосредственно, но легко с помощью шнура найти «перекидку» . Тогда .

Применимость «неправильных» формул. Конечно же чем точнее модель, тем лучше и «неправильные» формулы нельзя применять для правильного решения задачи. Может показаться странным, что для решения прикладных задач нередко предлагается использовать такие формулы, которые как будто противоречат формулам, известным нам из школьных учебников. Однако не следует торопиться исправлять эти формулы на известные правильные. Всё определяется выбором модели, а выбор модели диктуется рядом требований. Важнейшие из них: простота необходимых измерений и простота алгоритма при удовлетворительной точности

Пример: При определении объёмов брёвен обычно применяют упрощённую формулу V=lS, где l- длина бревна, S – площадь его среднего сечения.

Форма круглого леса близка к усечённому конусу. По упрощённой формуле объём на практике получают по формуле V=πlt², где t – измеренный с помощью мерной вилки радиус среднего сечения. При вычислении объёма по такой формуле получается относительная погрешность около 4%. В практике лесоведения такая погрешность считается вполне допустимой. С большей точностью практически невозможно измерить ни диаметры торцов (ведь они несколько отличаются от кругов), ни длину бревна, поскольку измеряют не высоту, а образующую усечённого конуса (длина бревна в десятки раз больше диаметра, и это не приводит к большим погрешностям). Таким образом на первый взгляд неправильная, но более простая формула (производится только два измерения, и арифметических действий меньше) для объёма усечённого конуса  в реальной ситуации оказывается вполне правомерной.

Качественные детали сюжета задачи задают количественные характеристики. При решении прикладных задач следует не упустить из виду, что отсутствующие в условии задачи численные значения необходимых для решения параметров рассматриваемого объекта иногда полностью определяются его качественными (физическими или конструктивными) особенностями.

Для примера можно вернуться к уже рассмотренной задаче о куче зерна.  При свободном высыпании сыпучего материала «угол естественного откоса» (угол наклона, образующийся к плоскости основания конуса) у каждого материала свой; для свежеубранного зерна пшеницы он составляет примерно 40^о. В условии задачи речь шла именно о пшенице, поэтому решение задачи можно упростить и найти объём кучи зерна с помощью всего одного измерения, а именно величины «перекидки» p.

В самом деле:

После упрощений получаем удобную и достаточно точную приближённую формулу

.

Микроэкскурсии. Решение практических задач заметно облегчается, если человек, решающий эту задачу, имел или имеет  возможность увидеть заданный объект в натуре. Поэтому важно, даже в учебных условиях обращение к источнику информации не свелось лишь к диалогу с учителем, и притом в классной комнате. Необходимо использовать имеющийся у учащихся жизненный опыт, опыт их трудовой деятельности, а также практиковать постановку задач непосредственно на реальных объектах, организуя в случае необходимости микроэкскурсии. Например, рассмотренные ранее задачи о фронтоне дома, о куче зерна и другие достаточно сложно решать с учащимися, которые никогда не видели соответствующих объектов. Поэтому иногда решению задач мы предваряем непродолжительные экскурсии или можно задать задание на дом изучить какой либо объект, сделать необходимые выводы о его свойствах.

Здравый смысл в численном расчёте. Получение алгоритма для решения реальной прикладной задачи – это только первый шаг; алгоритм затем применяется к задаче с конкретными числовыми значениями параметров, и при этом численном расчёте необходимо соблюдение естественных требований здравого смысла. В частности, ответ к реальной задаче следует доводить «до числа», т.е. записать его в виде десятичной дроби, полученной после округления. Так, например, ответ к задаче на вычисление объёма некоторого реального тела, приведённый в виде , не может удовлетворить заказчика. Присутствие иррациональных множителей не согласуется со здравым смыслом. Приемлемым будет ответ в виде: 37,4 см³. Или при вычислении необходимого количества банок краски получили ответ 49,14:2=24,57, ясно, что такой ответ не устроит потребителя, поэтому мы всегда округляем в таких случаях с избытком.

При вычислениях надо помнить, что численные значения параметров являются приближёнными, и поэтому, необходимо соблюдать правила приближённых вычислений.

Каждый школьник должен понимать: нелепо ожидать, что в результате вычислений объёма коробки мы получим ответ с точностью до 1 кубического микрона, если стороны коробки измерены с точностью до 1 сантиметра.

III. Заключение.

В реальной работе применять практические работы и прикладные задачи приходится очень осторожно, учитывая особенности развития учащихся класса, их способности и возможности. Надо быть уверенным, что каждый ученик справится с предложенным заданием. Поэтому одно и то же задание необходимо предварительно подготовить для каждого ученика. Например,  для вычисления площади многоугольника более слабому ученику можно дать прямоугольник, а более сильному трапецию.

Некоторые практические работы рассчитаны на целый урок. Но чаще практические работы выполняются в течении некоторой части урока или при объяснении нового материала, или при закреплении изученного ранее.

Допустим работу по нахождению средней скорости реки необходимо выполнять на улице и именно, весной, когда бегут ручьи. В ходе выполнения работы вычисляется средняя скорость течения «реки» (ручья). При помощи секундомера измеряется время за которое «судно» (кораблик) проплывёт 60 (100) метров. Затем по формуле вычисляется средняя скорость «реки». Но нельзя забывать о том, что предварительно необходимо ознакомить учащихся с правилами безопасности при выполнении этой работы. Хочется отметить, что эту работу всегда учащиеся выполняют с огромным удовольствием. А допустим, работу по нахождению π можно провести при объяснении нового материала, так как она занимает по времени не более 5 минут.

Набор прикладных задач с увеличением моего стажа работы постоянно меняется. Если в 1994 году, когда я пришла работать в Кузинскую школу, здесь существовал достаточно рентабельный колхоз «Память Ленина», поэтому актуальны были различные сельскохозяйственные задачи. Например, такая: «Трактор с пятикорпусным плугом за один проход вспахивает полосу шириной 1,75 м при средней скорости движения 5,4 км/ч. За какое время он вспашет поле площадью 6 га?» В настоящее время колхоза не существует, поэтому такие задачи утратили свою значимость.

Сейчас большое значение имеют задачи с экономическим содержанием, так как сейчас всё больше и больше экономические проблемы поднимаются в средствах массовой информации. Одна из таких задач: «Некоторый товар стоил 3150 рублей. После двух последовательных снижений цены он стал стоить 1512 рублей. Сколько стоил товар после первого снижения, если второе снижение было на 20 процентных единиц больше, чем первое?»

Очень большое место занимают задачи, составленные на основе материала из периодической печати. Они позволяют не только применить знания учащихся для решения прикладной задачи. Но и имеют большое воспитательное значение. При помощи таких задач я устраняю пробелы в информированности учащихся о событиях в настоящее время происходящих в мире, нашей стране, области и районе.

Как правило, задания с практическим содержанием повышают интерес учащихся к математике. Дети с большим интересом выполняют практические задания, чем решают задачи из учебника. Также умение пользоваться различными измерительными приборами им необходимо не только на уроках математики, но и при изучении других предметов, а также в повседневной жизни. Ещё хочется отметить, что при решении прикладных задач учащиеся расширяют свой кругозор, знакомятся с новыми терминами из различных отраслей, получают первоначальное представление о различных устройствах и приспособлениях, с которыми они могут встретиться в своей жизни и после приобретения профессии.

Приложение №1

ПРАКТИЧЕСКИЕ

РАБОТЫ
5 класс

Натуральные числа и шкалы

1. Нарисовать в на чистом листе 3 отрезка различной длины, при помощи циркуля сравнить их длины, проверить сравнение при помощи линейки.

Оборудование :циркуль; линейка; чистый лист бумаги.

2. Начертите прямую АВ и отрезки CD, KM и луч PE так, чтобы отрезок  CD пересекал прямую АВ, отрезок KM лежал на прямой, а луч PE не пересекал прямую АВ.

3. Работа заключается в ознакомлении с измерительными приборами и в определении цены деления шкалы прибора. Учащимся предлагается несколько измерительных приборов, результаты работы заносятся в таблицу:

№ п/п	Название прибора	Цена деления

Затем при помощи одного из приборов (термометра, секундомера, метра, весов или измерительного цилиндра) сделать измерения.

Оборудование: различные измерительные приборы (термометр, секундомер, метр, весы или измерительный цилиндр);  вода; груз.

Сложение и вычитание натуральных чисел

1. Работа заключается в измерении сторон предложенных многоугольников и вычислении их периметров.

Оборудование: модели различных плоских многоугольников; линейка

Площади и объёмы

1. Обвести модель многоугольника на миллиметровую бумагу так, чтобы одна сторона лежала на жирной линии миллиметровой бумаги подсчитать число полных квадратных единиц (миллиметров).

Оборудование: модели многоугольников; миллиметровая бумага.

2. Среди предложенных моделей фигур выбрать фигуры с равной площадью и равные фигуры.

3. Работа заключается в нахождении площадей плоских фигур, которые можно разбить на прямоугольники и квадраты. Для выполнения работы надо сделать необходимые измерения.

Оборудование: модели различных плоских многоугольников; линейка.

4. Найти объёмы предложенных моделей, собранных из кубов с объёмом 1 кубический сантиметр

Оборудование: модели, состоящие из кубов объёмом 1 кубический сантиметр.

5. Работа заключается в нахождении объёма, площади поверхности и суммы длин рёбер предложенных моделей прямоугольных параллелепипедов и кубов. Для выполнения работы необходимо измерить длину ребра куба и длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Оборудование: модели прямоугольных параллелепипедов и кубов; линейка. 

Обыкновенные дроби

1. Нарисовать окружность заданного радиуса и заданного диаметра.

Оборудование: циркуль; линейка.

2. Определить какая часть данной модели закрашена.

Оборудование: модели, часть которых закрашена.

3. Закрасить заданную часть данной фигуры.

Оборудование: модели фигур, разделённых на равные части; цветные карандаши.

4. Сравнить закрашенные части различных фигур.

Оборудование: модели, часть которых закрашена.

Десятичные дроби. Сложение и вычитание десятичных дробей

1. Найти площадь пришкольного участка. Выразить её в квадратных метрах, арах и гектарах. Найти длину изгороди вокруг всей территории школы.

Оборудование: рулетка.

Умножение и деление десятичных дробей

1. В ходе выполнения работы вычисляется средняя скорость течения «реки» (ручья). При помощи секундомера измеряется время за которое «судно» (кораблик) проплывёт 60 (100) метров. Затем по формуле вычисляется средняя скорость «реки».

Оборудование: деревянная или пластмассовая модель кораблика; секундомер; рулетка.

2. Вычислить средний рост учащихся класса (школы) по данным медицинского осмотра.

Инструменты для вычислений и измерений

1.      Измерить все стороны и углы предложенных моделей треугольника. Определить вид углов треугольника (прямой, острый или тупой).

2.       

Оборудование: модели треугольников различных видов; линейка; транспортир.

2. Начертить прямоугольник и квадрат при помощи чертёжного треугольника и транспортира

Оборудование: чистый лист; чертёжный треугольник; транспортир; линейка.

3. Начертить круговую диаграмму распределения своего времени за сутки

Оборудование: циркуль, линейка; транспортир.

6 класс.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.

1. Основное свойство дроби. Предложенные модели круга и прямоугольника разделить сначала на 2 равные части, закрасить  круга (прямоугольника). Разделить каждую часть круга ещё на две равные части и закрасить . Аналогично, закрасить и . Сделать вывод.

Оборудование: круги и прямоугольники; чертёжный треугольник; транспортир.

Отношения и пропорции.

1. Определение расстояния между населёнными пунктами. В ходе выполнения работы необходимо измерить расстояние между населёнными пунктами на географической карте (желательно взять карты с различными масштабами) и рассчитать действительное расстояние с учётом масштаба карты.

Оборудование: географические карты с различными масштабами; линейка.

2. Определение числа π, нахождение длины окружности, площади круга, длины экватора, меридиан и радиуса Земного шара. В ходе работы необходимо измерить длину окружности (при помощи нити) и диаметр (при помощи линейки или штангенциркуля) предложенных стаканов. Сделать вычисления по формуле: .

Вычислить длину окружность и площадь круга предложенных пластинок соответственно по формулам и .

Измерить с помощью нити длину экватора на глобусе и, используя масштаб вычислить экватор, меридиан и радиус Земного шара.

Оборудование: стаканы разного размера; нить; линейка; пластинки разного размера; глобус.

Положительные и отрицательные числа

1. Построить точки с заданными координатами на чистом листе.

Оборудование: чистый лист; линейка.

Координаты на плоскости

1. Построить перпендикулярную и параллельную прямые к данной.

Оборудование: чистый лист с проведённой прямой; чертёжный треугольник; линейка.

2. Определение координат точек данной фигуры и построение фигур по точкам с данными координатами.

Оборудование: фигуры на координатной плоскости; список точек с координатами.

3. Вначале урока провести опрос учащихся: какой предмет нравится больше (выбрать один из предметов): а) математика; б) русский язык; в) история и т.д. По результатам опроса построить столбчатую и круговую диаграмму.

Оборудование: транспортир; линейка; циркуль.

4. Построить график изменения температуры в течение прошедшей недели (предварительно ведутся ежедневно записи дневной температуры.

Оборудование: лист в клетку или миллиметровая бумага.

9 класс

Квадратичная функция (возрастание, убывание чётность, преобразование графиков функций)

1. Найдите область определения и область значения функций, графики которых перед вами

Оборудование: карточки с графиками функций.

2. Найдите промежутки возрастания и убывания функций, графики которых перед вами.

Оборудование: карточки с графиками функций

ГЕОМЕТРИЯ

7 класс

Начальные геометрические сведения

1.Определить значение суммы смежных углов. Для этого нарисуйте три пары различных смежных углов, обозначьте их 1 и 2, измерьте градусные меры данных смежных углов.

Оборудование: линейка, транспортир.

2. Сравнить вертикальные углы. Для этого нарисуйте 3 пары пересекающихся прямых, обозначьте в них пары вертикальных углов 1, 2, 3, 4, измерьте градусные меры этих углов

Оборудование. линейка, транспортир

Треугольники

1. Сравнить углы при основании равнобедренного треугольника. Для этого    постройте 3 равнобедренных треугольника АВС, с основанием АС, измерьте градусные меры углов А и С,  результаты измерений занесите в тетрадь, сравните углы А и С.

Оборудование:  линейка, транспортир.

Параллельные прямые

1. Сравнить накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. Для этого  нарисуйте 3 пары параллельных прямых, проведите через них секущие, отметьте получившиеся накрест лежащие углы 1, 2, 3, 4, измерьте данные углы, результаты измерений занесите в таблицу, сравните пары накрест лежащих углов.   

Оборудование: линейка, транспортир.

2. Сравнить соответственные углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей. Для этого проведите 3 пары параллельных прямых и секущие к ним, отметьте образовавшиеся соответственные углы, измерьте данные углы, результаты измерений занесите в тетрадь, сравните пары соответственных углов.

Оборудование:  линейка, транспортир.

3. Определить сумму односторонних углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Для этого    начертите 3 пары параллельных прямых и секущие к ним, отметьте образовавшиеся односторонние углы 1 и 2,  3 и 4, измерьте градусные меры данных углов,  результаты измерений занесите в тетрадь.

Оборудование:  линейка, транспортир.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

1. Определить сумму углов треугольника. Для этого постройте 3 треугольника АВС, измерьте градусные меры углов А, В, С, результаты измерений занесите в тетрадь, найдите сумму углов А, В, С.

Оборудование: линейка, транспортир.

2. Установить зависимость размеров сторон от размеров противолежащих ему углов треугольника,  постройте треугольник по 3 сторонам, измерьте углы треугольника. Сделайте вывод:

- какой из углов самый наибольший;
- против какой стороны находится этот наибольший угол;
- который из углов треугольника самый наименьший;
- против какой стороны находится этот наименьший угол.

Оборудование:  линейка, циркуль, транспортир.

3. Возьмите за основание треугольника палочку длиной 40 см, и прилагая к ней поочередно другие палочки “постройте” треугольник, аналогичную работу проделайте, меняя основания, каждый случай зафиксируйте схематически в тетради, для каждого случая найдите сумму боковых сторон и сравните с основанием.

Оборудование. четыре палочки с длинами 11 см, 24 см, 30 см, 40 см, пластилин

4. Найти значение суммы острых углов прямоугольного треугольника. Для этого постройте 3 прямоугольных треугольника, измерьте градусные меры острых углов А и В, результаты измерений занесите в таблицу.

Оборудование:  линейка, транспортир.

5. Определить зависимость между длиной катета противолежащего углу 30^o и гипотенузы. Для этого    постройте 3 прямоугольных треугольника по острому углу 30^o и гипотенузам, равным 6, 8, 10 см. измерьте длины катетов противолежащих 30^o в построенных треугольниках. сравните их с гипотенузами.

Оборудование: линейка, циркуль, транспортир

8 класс

Четырёхугольники

1. Постройте 5 выпуклых многоугольников, из одной вершины проведите диагонали, сравните число сторон многоугольника с числом получившихся треугольников, выразите сумму углов каждого многоугольника через сумму углов треугольника, сделайте вывод о сумме углов выпуклого многоугольника.

Оборудование: линейка.

2. Постройте 3 выпуклых четырехугольника АВСД, измерьте углы А, В, С, Д. Найдите сумму углов выпуклых четырехугольников

Оборудование:  линейка, транспортир.

3. Постройте 3 параллелограмма, измерьте углы, сравните градусные меры противолежащих углов.

Оборудование: линейка, транспортир.

4. Постройте 3 равнобедренные трапеции,  измерьте углы при основании и сравните их градусные меры.

Оборудование: линейка, транспортир.

5.  Разделите отрезок на n равных частей, применяя теорему Фалеса. Чтобы это сделать     постройте отрезок АВ, и луч АК, не совпадающий с АВ. На луче АК отложите n равных отрезков, через точку в и последнюю проведите прямую, через концы отрезков, отложенных на луче АК проведите прямые, параллельные первой прямой.

Оборудование:  линейка, циркуль.

3. Осевая и центральная симметрия. Учащимся предлагается начертить четырёхугольник и построить симметричные ему относительно

1.1. любой стороны;

1.2. его диагонали;

1.3.   прямой, пересекающей четырёхугольник;

1.4. прямой, не имеющей с четырёхугольником ни одной общей точки.

2.1. вершины четырёхугольника;

2.2. точки пересечения диагоналей;

2.3. точки, лежащей вне четырёхугольника.

Площадь фигур

1. Обвести контур модели многоугольника на миллиметровую бумагу (так, чтобы одна из сторон совпала с жирной линией, а вершина с пересечением двух линий), посчитать количество полных квадратных сантиметров, входящих в контур многоугольника, посчитать количество квадратных миллиметров, которые не вошли в посчитанные квадратные сантиметры, записать в тетради площадь предложенного многоугольника в квадратных сантиметрах и квадратных миллиметрах.

Оборудование: модели параллелограммов, треугольников и трапеций; миллиметровая бумага; карандаш.

2. Построить произвольный треугольник, трапецию и параллелограмм. Построить высоты фигур, сделать необходимые измерения и вычислить площадь многоугольников по формуле.

Оборудование: карандаш; чертёжный угольник, линейка

3. Вычислить площадь пришкольного участка и площади занятые различными культурами.

Оборудование: рулетка.

Подобные треугольники

1. Постройте пары подобных треугольников, измерьте углы у данных треугольников. Сравните соответствующие углы подобных треугольников.

Оборудование: линейка, транспортир

2. Постройте треугольник, постройте все его средние линии, измерьте стороны треугольника и средние линии, сравните результаты и сделайте вывод.

Оборудование:  линейка, циркуль.

Окружность

1. На нитке сделать пометку, длиной около 3 см, считая от кнопки, отметить это расстояние при разных положениях нити вокруг кнопки.

Оборудование: кусок пенопласта; кнопка; нить с привязанным карандашом.

2.     Постройте 3 окружности, проведите к ним касательные, к точкам касания проведите радиус, измерьте углы, образованные радиусом и касательной, сделайте вывод.

Оборудование: циркуль, линейка, транспортир.

3. Постройте 3 окружности с центрами в точке О, отметьте на каждой из них точки А, В, С, образуйте вписанный угол АВС и центральный угол АОС, измерьте градусные меры этих углов, сравните меры вписанного и центрального углов, опирающихся на одну и ту же дугу и сделайте вывод.

Оборудование:  циркуль, транспортир, линейка.

4. Постройте окружность и 3 вписанных в неё угла, опирающихся на одну и ту же дугу,  сравните эти углы, сделайте вывод.

Оборудование. циркуль, линейка, транспортир.

5. Постройте окружность произвольного радиуса, постройте 3 вписанных угла, опирающихся на диаметр, измерьте эти углы, сделайте вывод.

Оборудование: циркуль, линейка, транспортир.

6. Постройте угол, постройте биссектрису этого угла, на биссектрисе отметьте точки и от них опустите перпендикуляры к сторонам угла, измерьте полученные расстояния, сравните результаты и сделайте

Оборудование: линейка, циркуль.

7. Постройте окружность, опишите вокруг нее четырехугольник, измерьте стороны четырехугольника, сравните суммы противоположных сторон в описанном четырехугольнике, рассмотрите 3 случая и сделайте вывод.

Оборудование: циркуль, линейка.

8. Впишите в окружность четырехугольник АВСД,  измерьте углы четырехугольника, определите сумму противоположных углов вписанного четырехугольника, рассмотрите 3 случая, сделайте вывод.

Оборудование: циркуль, линейка, транспортир.

9 класс

Векторы. Метод координат.

1. Построить 3 вектора сонаправленных с данным, 3 вектора противоположнонаправленных и 3 вектора равных данному.

Оборудование: лист с построенным вектором, чертёжный треугольник, линейка.

2. Построить 3 пары векторов, найти сумму каждой пары векторов, пользуясь сначала правилом треугольника, затем правилом параллелограмма.

Оборудование: чертёжный треугольник, линейка.

3. Построить 5 векторов, найти их сумму.

Оборудование: чертёжный треугольник, линейка.

4. Построить 3 пары векторов, найти разность каждой пары векторов.

Оборудование: чертёжный треугольник, линейка.

5. Постройте 3 трапеции, проведите средние линии, измерьте средние линии и основания трапеции, сравните значение средней линии со значениями оснований, сделайте вывод.

Оборудование: линейка, циркуль.

6. Постройте 3 вектора в системе координат, определите их координаты.

Оборудование: чертёжный треугольник, линейка.

7. Постройте в системе координат 3 окружности, найдите координаты их центра, длины радиуса и напишите уравнения этих окружностей.

Оборудование: циркуль, линейка.

8. Постройте в системе координат 3 точки, через каждые две проведите прямые, найдите координаты точек, напишите уравнения построенных прямых.

Оборудование: линейка.

Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

1. Постройте 3 произвольных треугольника, измерьте их стороны и углы, найдите отношения длин сторон к синусам противоположных углов. Сравните полученные результаты и сделайте вывод.

Оборудование: линейка, транспортир, четырёхзначные математические таблицы, калькулятор.

2. Постройте 3 произвольных треугольника, измерьте их стороны и углы, найдите квадрат каждой стороны треугольника и сравните его с суммой квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Оборудование: линейка, транспортир, четырёхзначные математические таблицы, калькулятор.

Длина окружности и площадь круга

1. Обведите предложенные модели правильных многоугольников, проведите диагонали, соединяющие противоположные точки, постройте окружности, описанные около правильных многоугольников, и вписанные в правильные многоугольники

Оборудование: циркуль, линейка.

2. Постройте квадрат, равносторонний треугольник и правильный шестиугольник, опишите около них окружности, измерьте стороны, построенных многоугольников и радиусы описанных окружностей, по формулам вычислите площади многоугольников.

Оборудование: линейка, циркуль.

3. Определение числа π, нахождение длины окружности, площади круга, длины экватора, меридиан и радиуса Земного шара. В ходе работы необходимо измерить длину окружности (при помощи нити) и диаметр (при помощи линейки или штангенциркуля) предложенных стаканов. Сделать вычисления по формуле: .

Вычислить длину окружность и площадь круга предложенных пластинок соответственно по формулам и .

Оборудование: стаканы разного размера; нить; линейка; пластинки разного размера.

Движение

1. Осевая и центральная симметрия. Учащимся предлагается начертить четырёхугольник и построить симметричные ему относительно

1.1. любой стороны;

1.2. его диагонали;

1.3.   прямой, пересекающей четырёхугольник;

1.4. прямой, не имеющей с четырёхугольником ни одной общей точки.

2.1. вершины четырёхугольника;

2.2. точки пересечения диагоналей;

2.3. точки, лежащей вне четырёхугольника.

Оборудование: линейка, чертёжный треугольник.

2. Обведите модель многоугольника, постройте произвольный вектор, постройте многоугольник, который получится при параллельном переносе данного многоугольника на данный вектор. Измерьте стороны данного и полученного многоугольников, сделайте вывод.

Оборудование: модели многоугольников, линейка, чертёжный треугольник.

3. Обведите модель многоугольника, постройте многоугольник, который получится при повороте данного многоугольника на 60^о вокруг одной из вершин многоугольника. Измерьте стороны данного и полученного многоугольников, сделайте вывод.

Оборудование: модели многоугольников, линейка, чертёжный треугольник.

Приложение №2

ПРИКЛАДНЫЕ

ЗАДАЧИ
Математика 5-6

Деление натуральных чисел

Важнейшей принадлежностью фрезерного станка является делительная головка – приспособление для деления круга на равные части. Простейшая делительная головка имеет для деления диск с 12 прорезями. На сколько равных частей можно разделить круг с помощью такой делительной головки?

Деление с остатком

Наилучшим (наиболее плотным) способом укладки ценных сортов яблок в ящик для транспортировки считается так называемый пряморядный способ:

При котором все яблоки одинакового размера (их диаметр от 45 до 100 мм.). Какого диаметра яблоки позволяет укладывать ширина стандартного ящика (375 мм.), если суммарная длина ряда яблок может на 1 мм превосходить ширину ящика и быть меньше её на 4 мм.?

Десятичные дроби.

1. Корова съедает в сутки около 70 кг. травы, пастбищный сезон в средней полосе нашей страны длится в среднем 150 суток, примерная урожайность культурных пастбищ в этой зоне – 250 ц/га. Какова ориентировочная площадь культурного пастбища, необходимая для 1 коровы на пастбищный сезон.

2. Трактор с пятикорпусным плугом за один проход вспахивает полосу шириной 1,75 м при средней скорости движения 5,4 км/ч. За какое время он вспашет поле площадью 6 га?

Уравнения и формулы

1. Найти максимально допустимое расстояние между  двумя пунктами заправки сеялки СЗ-3,6, высевающей пшеницу при норме высева 260 кг на 1 га.

2.Известно, что средний рост сосняков Смоленской области изменяется по формуле , где h – высота (в м), t - возраст (в десятках лет). Найти средний рост насаждений через 30 (t=30), 50, 100 лет и в конце жизни (450 лет).

Среднее арифметическое

1. Перед нами таблица средних месячных температур по Смоленской области:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
-8,5	-8	-3,6	-4,8	12,6	16,3	17,9	16,5	11,3	4,9	-0,9	-5,9

Найти среднюю годовую температуру по области.

2. «Преподаватель глазами студента» - так называется анкета, заполняя которую ученик ставит оценку преподавателю в баллах от 1 до 9. Затем для данного преподавателя вычисляется средняя (арифметическая) курсовая оценка p, при этом, если курс состоит из нескольких классов, то соответствующая инструкция величину p рекомендует вычислять как среднее арифметическое средних классных. Верна ли эта рекомендация?

Округление чисел

1. Наилучшим (наиболее плотным) способом укладки ценных сортов яблок в ящик для транспортировки считается так называемый пряморядный способ:

При котором все яблоки одинакового размера (их диаметр от 45 до 100 мм.). Какого диаметра яблоки позволяет укладывать ширина стандартного ящика (375 мм.), если суммарная длина ряда яблок может на 1 мм превосходить ширину ящика и быть меньше её на 4 мм.?

2. Урожайность убираемой культуры предварительно оценивают по времени заполнения бункера комбайна объёмом 3м². Оценить урожайность пшеницы, убираемой комбайном «Нива» с шириной захвата 4,1 м, на скорости движения 6 км/ч, если известно, что бункер комбайна заполняется зерном за 41 мин. При решении задачи необходимо учесть, что масса 1м³ пшеницы 840 кг.

Решение: Так как комбайн едет со скоростью 6 км/ч = 6000 м/ч, то за 1 час он убирает с площади (м²) = 2,46 га. В бункер комбайна вмещается кг зерна, так как он наполняется за 41 мин., то за час комбайн соберёт (кг.) зерна. Следовательно урожайность пшеницы равна кг/га 15 ц/га.

Измерение углов. Транспортир.

1. Весной молодые яблони обрезают, формируя крону. При этом не оставляют скелетных веток, отходящих от ствола под углом менее 45о и более 85о (они образуют непрочное соединение). Отметить на условном деревце ветки, подлежащие удалению.

Замечание. На рисунках или фотографиях деревьев углы искажены, поэтому это деревце мы назовём условным, считая, что все ветки лежат в плоскости чертежа.

2. На рисунке изображён чертёж земляной плотины, проектируемой для сооружения

рыбоводного пруда. По этому чертежу определяют, будет ли вода из пруда просачиваться через плотину, найдя границу промачивающегося грунта. Для этого через точку А проводят луч, образующий при пересечении с прямой ВС угол в 22^о (для плотины из суглинка). Определить, будет ли просачиваться вода через проектируемую плотину.

Круговая и столбчатые диаграммы.

1. Перед вами диаграмма из газеты, на которой некоторые числа заклеены. Какие это числа?

2. На рисунке изображена диаграмма выноса из почвы питательных веществ на 1 т

 урожая картофеля. Какие числа следует записать во втором и третьем столбцах

Графики

1. На рисунке показаны графики поглощения питательных веществ льном-

долгунцом, где по оси отложен возраст льна в неделях, а по оси – процент усвоения веществ. Определить, какое вещество наиболее энергично усваивается льном:

а) в первые три недели роста (так называемая фаза ёлочки);

б) в период бутонизации (шестая неделя);

в) в период цветения (восьмая неделя);

г) в период созревания.

2. По данным таблицы роста берёзовых насаждений:

Возраст (лет)	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Средняя высота (м)	5,7	11,3	15,5	19	21,6	23,8	25,5	26,8	27,7	28,5

Изобразите зависимость высоты от возраста графически.

3. Рассмотрите график средних температур воздуха Смоленской области:

Определите по графику продолжительность безморозного периода (t>0), периода активного развития растений (t>10^o).

Ответ: 223 и 143 дня.

Длина окружности

Сеянцы деревьев высаживают с помощью лесопосадочных машин. Посадочный аппарат этих машин, подающий сеянцы в борозды, представляет собой диск диаметром 95,5 см, на котором укреплены планки с зажимами. Найти шаг посадки (расстояние между соседними сеянцами), если на диске 4 планки.

Площадь прямоугольника.

Сечение тупокантного бруса представляет собой прямоугольник без четырёх отрезанных от него равных равнобедренных треугольников. Найти площадь этой фигуры.

Объём параллелепипеда

1. Пресс-подборщик подбирает сено из валков и прессует его в тюки, обвязывая их проволокой. Тюки имеют форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 36, 50 и 80 см. Плотность сена в тюках (в зависимости от погодных условий и вида травы) от 80 до 200 кг в 1 м³. Какова масса тюка?

2. Для перевозки свеклы выделен двухосный самосвальный тракторный прицеп, кузов которого имеет длину 370, ширину 200 и высоту 820 см. Сколько свеклы можно перевезти за один рейс, если масса 1м³ её 650 кг?

Проценты

1. «В начале одного из сезонов мне неожиданно сообщили, что я должен уплатить  за снятые помещения почти в три раза дороже, чем прежде…На следующий день я получил письмо, извещавшее меня, что арендная плата будет увеличена только на пятьдесят, а не на триста процентов» (Дейл Корнеги, «Как завоёвывать друзей и оказывать влияние на людей»)

Не допустил ли автор математической ошибки?

2. «Сбор с физических лиц в Пенсионный фонд России временно увеличился с 1 августа на 2 процента, до 3 процентов. …Сегодня…отчисляют физические лица 1 процент» (сообщение ИТАР-ТАСС, опубликованное в газетах 24 июля 1998г). Всё ли верно в этом тексте?

Решение: Из зарплаты в 1000 рублей раньше брали 10 рублей, а будут брать 30. Значит, сборы увеличиваются на 200%, а не на 2%. Это очень распространённая ошибка. В таких случаях будет правильным сказать, что сбор увеличивается на 2 процентных пункта.

Алгебра 7-9

Алгебраические выражения

1. Одним из важнейших показателей качества молока является его плотность – отношение массы молока при температуре 20^о к массе равного объёма дистиллированной воды при температуре 4^о. Плотность коровьего молока зависит от его химического состава и колеблется в пределах 1,027 – 1,032. В постоявшем некоторое время молоке его лёгкий компонент – молочный жир – всплывает вверх, образуя слой сливок. Подснятие сливок повышает плотность молока, а добавление воды – понижает. Зная плотность, можно отличить натуральное молоко от фальсифицированного и определить характер и степень фальсификации.

Плотность молока определяется с помощью специального прибора – ареометра. При этом если температура молока не равна 20^о, то его плотность вычисляется по формуле , где D – показание ареометра, t – фактическая температура.

С помощью ареометра установлено, что для молока из первой фляги D=1,026, t=15^о, а из второй - D=1,032, t= 23^о. Натуральное ли это молоко? Каков характер его фальсификации?

2. Количество сухого вещества в молоке (в процентах) определяют по формуле  где p – жирность, d - плотность молока. Найти процентное содержание сухого вещества в молоке, у которого p =3,6%, d=1,032.

Уравнение первой степени с одним неизвестным

1. Вывести формулу пересчёта молока на базисную жирность (установленную в нашем районе – 3,6).

, где m – фактический надой, p - фактическая жирность, M - зачётная масса молока, P - базисная жирность.

2. В газете «Рабочий путь» (27 февраля 2001 г.) говорится, что в Смоленской области «в 2000 году средняя жирность молока составила 3,69, то есть выросла на 0,02 процента». Какой она была в предыдущем году?

Системы уравнений

1. В повести Иосифа Герасимова «Ночные трамваи» приводится следующее якобы имевшее место обращение одного из руководителей пищевой отрасли: «Мне наука сказала – масла надо полтора миллиона тонн. А сколько у тебя на блюде? Семьсот тридцать тысяч тонн!... Ты масло какой жирности выпускаешь? Более восьмидесяти процентов? А Европа, между прочим, семьдесят три процента ест… Вот и думай!» Пищевик дал указание на заводы, рассказывает далее писатель и добыча масла почти в полтора раза возросла. Какой жирности стали выпускать масло?

2. На сколько процентов уменьшится масса травы, превратившись в сено, если согласно справочникам влажность травы 80%, а сена – 17%?

Линейная функция

1. Оптимальную скорость вращения молотильного барабана кукурузомолотилки определяют по формуле:

где х – влажность зерна в процентах. Найти у(20) и у(24). Какова область определения функции? Является ли эта функция линейной на всей области определения, на какой-нибудь её части? Построить график функции. Как изменяется скорость барабана с увеличением влажности зерна?

Рациональные дроби

1. Может ли относительная или абсолютная влажность вещества оказаться равной 120%, если относительная влажность вычисляется по формуле , а абсолютную влажность по формуле ?

2. Какова абсолютная влажность материала, если его относительная влажность p %?

Числовые неравенства

1. При расчёте зерноочистительных машин важную роль играет так называемый приведённый размер зерна , где a – толщина зерна, b - ширина, l - длина (в мм). Для семян зерновых хлебных культур 1<a<4,5; 1,4<b<4; 4<l<18,6.

Найти возможные границы изменения величины d.

2. Между клубнями уложенного на хранение слоя картофеля имеются пустоты. Поэтому наряду с обычным понятием плотности вещества для картофеля рассматривают ещё понятия объёмной массы и скважности. Пусть картофель массой m уложен в слой объёмом V, а суммарный объём всех клубней картофеля равен ν. Тогда  - плотность (т/м³);

 - объёмная масса;

 - скважность.

Найти скважность картофеля, зная его плотность и объёмную массу. Найти возможные значения k, если известно, что.

Неравенства с одной переменной

В журнале «Огонёк» (1997,№40) говорится, что некоторые умельцы из прогорклого импортного сливочного масла 82 – процентной жирности «добавлением n –го количества свежего молока делают «масло» жирности 72,5%, получая лишние 100 кг на тонну». Определить n.

Абсолютная и относительная погрешности

При определении объёмов стандартных брёвен обычно применяют упрощённую формулу, где l – длина бревна, S - площадь его среднего сечения. Допустимо ли это?

Квадратные уравнения

Требуется выкопать канал для подачи воды к рыбоводному пруду. Имеется возможность устроить его в форме полувыемки-полунасыпи. В таком случае наиболее экономичным будет такое расположение канала, при котором сечение выемки равновелико сечению насыпи (не нужно будет ни отвозить,

ни подвозить грунт). Определить какой должна быть при этом глубина выемки, если общая глубина канала h = 2м, ширина по дну b = 1 м, ширина гребня насыпи a = 1м, а угол наклона откосов – 45^о

Биквадратные уравнения

Увеличение глубины вспашки при фиксированной ширине (увеличение стороны D₁A₂ прямоугольника D₁A₂B₂C₂) приведёт, очевидно, к тому, что центр массы О пласта спроектируется левее точки D₁ и пласт после прохождения плуга отвалится обратно в борозду. Найти предельно допустимое отношение глубины вспашки к ширине захвата плуга.

Квадратичная функция

Написать уравнение поперечного профиля дороги шириной 2b и с наибольшим возвышением (стрелой подъёма), если  b =20м, h =40см.

Решение: В заданной системе координат уравнение данной параболы имеет вид . Заметив, что парабола проходит через  точку (b; h), найдём k. Уравнение параболы: ; .

Арифметическая прогрессия

1. Однажды в «Учительскую газету» (27 октября 1984г.) поступило письмо её читателя, в котором сообщалось, что, делая деревянный фронтон на доме, он попросил своего внука-школьника подсчитать, сколько погонных метров планок потребуется, чтобы зашить щели между досками. На его просьбу внук ответил: «Мы таких конкретных задач не решаем». Эту задачу он так и не решил, хотя фронтон – равносторонний треугольник.

Сумеете ли вы сделать соответствующий расчёт?

2. Сколько погонных метров планок потребуется, чтобы защитить щели между досками? Если фронтон равносторонний треугольник.

Решение: Правда ли, что фронтон, обшитый досками, но с ещё не зашитыми щелями выглядит так? На этом рисунке щели между досками изображены вертикальными отрезками. Известно ли количество щелей, их длины? (нет) Одинаковой ли ширины доски используются для обшивки фронтона? (да, обычно используются доски шириной а см) Известна ли ширина фронтона? (Она равна ширине дома) Ширина дома равна в м.

 Количество щелей равно n=в/ а -1

Суммарная длина щелей равна l=2(A₁B₁ + … + A_mB_m), где m=n/2

A₁B₁ = AA₁  tg 60^o, A₂B₂ = AA₂ tg 60^o

Величину погонных метров найдём по формуле суммы n членов арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия

1. Шпиндель (вращающийся вал с устройством для закрепления заготовок) металлорежущих станков может вращаться с различной скоростью, причём все возможные частоты вращения шпинделя образуют геометрическую прогрессию. У токарно-винторезного станка 1К62 всего 23 различных частот вращения шпинделя, среди них наименьшая n₁=12,5 и наибольшая n₂₃=2000 оборотов в минуту. Найти n_12.

2. Рассмотрите тарифные коэффициенты оплаты труда Единой тарифной сетки (ЕТС) для учителей, врачей и других работников бюджетной сферы: 1,0; 1,3; 1,69; 1,91; 2,16; 2,44; 2,76; 3,12; 3,53; 3,99; 4,51; 5,10; 5,76; 6,51; 7,36; 8,17; 9,07; 10,07. Чем замечателен этот ряд чисел?

Степень с рациональным показателем.

1. При посеве семена скатываются на дно бороздок, образованных в почве сошниками. Осыпающаяся после прохода сошника со стенок борозды земля покрывает семена рыхлым слоем. Толщина этого слоя в сухой песчаной почве может быть определена по формуле (размеры в мм) , где h – глубина бороздки, x - расстояние между стенками сошника. Определите глубину заделки семян при h=70 мм, x=32мм.

2. Расход воды небольшого оросительного канала часто определяют с помощью водослива по формуле , где h – высота слоя воды (в м) перед водосливом (напор воды). Найти расход воды, если напор воды h =0,64 м.

Планиметрия

Измерение отрезков

1. На рисунке изображён разрез цилиндрической детали. Как с помощью кронциркуля и линейки определить внутренний диаметр цилиндра?

2. Для увеличения точности измерения отрезка во многих приборах (например, штангенциркуль) используется специальное приспособление – нониус. Он представляет собой вспомогательную линейку длиной в 9 единиц шкалы основной линейки, разделённую на 10 равных частей. Если конец измеряемого отрезка не совпадает с делением основной линейки, то к концу его приставляют нониус и смотрят, какое деление нониуса совпадает с делением основной линейки. Например, если на основной линейке конец отрезка попал между 5 и 6, а на нониусе совпало 6 деление с 11 на основной линейке, то длина отрезка будет равна 5,6. Докажите, что это действительно так.

Смежные и вертикальные углы.

Направляющие колёса автомобиля и, имеют автономные оси, которые во время  поворота поворачиваются в шарнирах и  на углы α и β. Доказать, что для правильного поворота необходимо выполнение условий:.

Признаки равенства треугольников.

В землеустроительной практике иногда возникает необходимость разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции (такая форма удобнее для механизированной обработки).Как это сделать?

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

1. В землеустроительной практике иногда возникает необходимость разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции (такая форма удобнее для механизированной обработки). Как это сделать?

2. Определение угла конического углубления на практике обычно производится с помощью двух шаров радиусов r и R. Чему равен угол α, если расстояние между шарами равно l?

Свойства равнобедренного треугольника

Известно, что пучок света от фар расходится под углом α=2^о к направлению движения. Какова видимость от фар на повороте с радиусом закругления R= 100 м?

Признаки параллельности двух прямых

Направляющие колёса автомобиля и, имеют автономные оси, которые во время поворота поворачиваются в шарнирах и  на углы α и β. Доказать, что для правильного поворота необходимо выполнение условий:.

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Трамвайный рельсовый путь нередко имеет повороты в форме окружностей довольно малых радиусов (до 20 м). Если бы трамвай с прямолинейного участка сразу перешёл на такую окружность, то мгновенно возникла бы большая центробежная сила, что небезопасно. Поэтому переход на основную дугу поворота радиуса r осуществляется постепенно с помощью переходной приближённой спирали, которая представляет собой  несколько последовательных сопряжённых между собой дуг окружностей OO₁, O₁O₂,…, O_n-1O_n равной длины l радиусов r₁>r₂>…>r_n>r с центрами в точках P₁, P₂,…, P_n. Для разбивки кривой на местности необходимо знать координаты (x_k; y_k) точек сопряжения Okв указанной на рисунке системе координат. Найти координаты точки O₃.

Углы с попарно параллельными и перпендикулярными сторонами

1. Определение угла конического углубления на практике обычно производится с помощью двух шаров радиусов r и R. Чему равен угол α, если расстояние между шарами равно l?

2. Для закрепления цилиндрической детали в токарном станке необходимо отметить центр круглого основания. Для этой цели используются так называемые центроискатели. Вот два из них:

Выбрав два положения центроискателя (положение ясно из рисунков) и проведя след по прямой АВ, мы в пересечении этих следов и получим центр окружности.

Доказать, что с помощью центроискателей описанным выше способом действительно можно найти центр окружности.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Доказать, что если оптимальный узел разветвления совпадает с вершиной треугольника, то это вершина наибольшего угла.

Неравенство треугольника

При проектировании дорожной сети часто возникает необходимость соединить дорогами три пункта А, В, и С. При этом можно проложить дороги по сторонам треугольника АВС, а можно соединить эти пункты с помощью узла разветвления. В каком случае общая длина дорожной сети будет меньше?

Параллелограмм

На рисунке изображено осевое сечение обтачиваемой цилиндрической детали и резец, t мм – глубина резания. За один оборот детали резец переместится в указанном направлении на s мм. Изобразить сечение получаемого среза и найти его площадь (эта величина используется при расчёте эксплуатационных характеристик токарного станка).

Прямоугольник

При разбивке площадки под фундамент усадебного дома прямые углы откладывают с помощью верёвочного треугольника с соотношением сторон 3:4:5, а окончательно проверяют «прямоугольность» плана сравнением диагоналей. Какие геометрические теоремы здесь используются? Верны ли они?

Решение: Принцип построения прямого угла основан на теореме, обратной теореме Пифагора, которая верна. Проверка прямоугольности четырёхугольника основана на убеждении, что четырёхугольник с равными диагоналями является прямоугольником. Эта теорема, обратная к хорошо известной правильной теореме, но сама она не верна. Таким свойством обладает не только прямоугольник, но и равнобокая трапеция. Однако этот приём всё же полезен. Если диагонали окажутся не равны, то получился не прямоугольник (так может быть сформулирована упомянутая теорема).

Ромб и квадрат

При определении твёрдости методом Кнупа в качестве наконечника используется пирамида, основание которой – ромб. Основание высоты совпадает с точкой пересечения диагоналей основания пирамиды, угол между рёбрами пирамиды, опирающимися на большую диагональ основания, α=172,5^о, а угол между другими рёбрами β=130^о. Твёрдость по Кнуту (H_k) вычисляют как отношение нагрузки P к площади S основания отпечатка, измеряя большую диагональ отпечатка d. Записать формулу для вычисления H_k

Площадь многоугольника

Древние вавилоняне полагали, что площадь четырёхугольника равна произведению полусуммы противоположных сторон. Этой же неправильной формулой пользуются и сейчас огородники при определении площади участков, близких по своей форме к прямоугольнику. Допустимо ли это? (хотя погрешность и велика, но формула допустима на практике)

Площадь прямоугольника

Скорость течения воды в водоотводных канавах (кюветах) определяется по эмпирической формуле , где  R - гидравлический радиус (отношение площади поперечного сечения канала (живое сечение) к длине границы этого сечения (смоченный периметр)), i - уклон, k - константа. Чтобы можно было пользоваться этой формулой, в технических руководствах приводятся значения R для канав различного профиля, вычисляемые по специфическим параметрам, принятым при их сооружении. Найти гидравлический радиус R для канав прямоугольного сечения.

Площадь параллелограмма

В землеустроительной практике иногда возникает необходимость разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции (такая форма удобнее для механизированной обработки). Как это сделать?

Площадь треугольника

Скорость течения воды в водоотводных канавах (кюветах) определяется по эмпирической формуле , где  R - гидравлический радиус (отношение площади поперечного сечения канала (живое сечение) к длине границы этого сечения (смоченный периметр)), i - уклон, k - константа. Чтобы можно было пользоваться этой формулой, в технических руководствах приводятся значения R для канав различного профиля, вычисляемые по специфическим параметрам, принятым при их сооружении. Найти гидравлический радиус R для канав треугольного сечения.

Площадь трапеции

1. Скорость течения воды в водоотводных канавах (кюветах) определяется по эмпирической формуле , где  R - гидравлический радиус (отношение площади поперечного сечения канала (живое сечение) к длине границы этого сечения (смоченный периметр)), i - уклон, k - константа. Чтобы можно было пользоваться этой формулой, в технических руководствах приводятся значения R для канав различного профиля, вычисляемые по специфическим параметрам, принятым при их сооружении. Найти гидравлический радиус R для канав трапецеидального сечения.

2. Площадь поперечного сечения АВСД железнодорожной выемки находят через величины ВС=2а, AF=2b, DE=2c и уклонов откосов h. Вывести соответствующую формулу.

Теорема Пифагора.

Сообщение между сёлами и центральной усадьбой, расположенной около автомагистрали совхоза, осуществляется по дорогам, состоящим из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Доказать, что постройка прямой дороги от любого села, расположенного в стороне от автомагистрали, не может сократить путь белее, чем на 30%.

Теорема обратная теореме Пифагора.

При разбивке площадки под фундамент усадебного дома прямые углы откладывают с помощью верёвочного треугольника с соотношением сторон 3:4:5, а окончательно проверяют «прямоугольность» плана сравнением диагоналей. Какие геометрические теоремы здесь используются? Верны ли они?

Решение: Принцип построения прямого угла основан на теореме, обратной теореме Пифагора, которая верна. Проверка прямоугольности четырёхугольника основана на убеждении, что четырёхугольник с равными диагоналями является прямоугольником. Эта теорема, обратная к хорошо известной правильной теореме, но сама она не верна. Таким свойством обладает не только прямоугольник, но и равнобокая трапеция. Однако этот приём всё же полезен. Если диагонали окажутся не равны, то получился не прямоугольник (так может быть сформулирована упомянутая теорема).

Подобные треугольники

Через центральное отверстие в плоской крышке бункера, имеющего форму усечённого конуса, загружается крупный влажный песок. Рассчитать предельную фактическую вместимость бункера, если диаметр его крышки равен 250 см, диаметр днища – 50 см, а высота бункера 196 см.

Синус, косинус и тангенс.

Мокрый откос плотины имеет уклон 1:3, а сухой – 1:2. Определить углы наклона откосов.

Касательная к окружности.

При таксации (учёте) леса методом так называемых угловых проб из одной точки местности с помощью оптических приборов засекают углы определённой величины. Дальнейшие расчёты значительно упрощаются, если засекается так называемый критический угол. Угол называется критическим, если площадь любого круга, вписанного в этот угол, равна 0,0001 площади круга. Какова величина критического угла?

Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

При дальномерно-угломерном методе локации из одной и той же точки А определяют дальность R цели S (AS=R) и направление на цель (угол α). Написать уравнение линий положения и найти координаты при условии, что α=36^о52`, R=5, координаты точки А такие: x=-2, y =1.

Формула для расстояния.

Доказать, что при повороте одной цапфы рулевой трапеции на острый угол α другая цапфа поворачивается на угол β, отличный от α.

Уравнение окружности

1. При дальномерно-угломерном методе локации из одной и той же точки А определяют дальность R цели S (AS=R) и направление на цель (угол α). Написать уравнение линий положения и найти координаты при условии, что α=36^о52`, R=5, координаты точки А такие: x=-2, y =1.

2. При дальномерном методе локации из трёх пунктов А, В, и С определяют дальности a, b, и c цели S. Что представляют собой в данном случае линии положения (геометрическое место точек плоскости, для которых измеряемый радиолокационной системой параметр постоянен)?  Найти координаты S при условии, что a=5, b=, c=4, а координаты точек А, В, и С такие А(-3;0), В(3;0), С(1;7).

Уравнение прямой

На рисунке изображено поперечное сечение земляной плотины, сооружаемой на склоне. Перед началом строительства такой плотины вначале отмечают на местности (столбами) её продольную ось OS, а затем с помощью так называемых поперечников размечают подошву плотины по расстояниям l₁ и l₂ от точек A₁ и A₂ до оси плотины. Найти эти расстояния, если известно, что высота плотины OS=h, ширина гребня В₁В₂=, откосы А₁В₁ и А₂В₂ имеют уклон 1: n, а уклон склона 1: m.

Теорема синусов

Величина угла на местности часто определяется линейными параметрами. На сторонах угла откладывают отрезки АВ=АС=10 м и измеряют ВС. Какова величина угла, если ВС=а м?

Теорема косинусов

Найти длину кратчайшей сети дорог, соединяющей точки А, В и С, если АВ=с, ВС=а, АС=b.

Правильные многоугольники

В справочниках токаря диаметр круглой заготовки для вырезания шестиугольной гайки рекомендуется вычислять по формуле , а квадратной гайки – по формуле , где  b – так называемый размер под ключ (расстояние между параллельными гранями гайки). Вывести эти формулы.

Длина окружности и дуги

1. Известно, что пучок света от фар расходится под углом α=2^о к направлению движения. Какова видимость от фар на повороте с радиусом закругления R= 100 м?

2. Найти длину грушевидного поворота широкозахватного агрегата.

Площадь круга и его частей

Для хранения зерна на элеваторах по одному из проектов сооружают ёмкости в форме одинаковых цилиндров. Зерно засыпается не только в цилиндрические ёмкости (круглые силосы), но и в ёмкость, образовавшуюся между четырьмя соприкасающимися цилиндрами (силос-звёздочка). Найти площадь поперечного сечения силос-звёздочки, зная внутренний диаметр круглого силоса и

а) пренебрегая толщиной стенок;

б) учитывая толщину стенок.

Параллельный перенос

Погрузка (с одновременным измельчением) сена или соломы из стога производится с помощью навесного фуражира. Слой сена срезается фрезой которая, поворачиваясь вместе с всасывающей трубой вокруг оси, проходит по скирде сверху донизу. После срезания одного слоя, трактор подъезжает к стогу на некоторую величину (величину подачи), равную толщине срезаемого слоя, и процесс повторяется. Найти площадь сечения срезаемого слоя, если толщина срезаемого слоя - h, а высота скирды – H.

Поворот

Пусть А₁, В₁, С₁ – вершины равносторонних треугольников, построенных соответственно на сторонах   ВС, АС, АВ вне треугольника АВС. Доказать, что прямые АА₁, ВВ₁ и СС₁ пересекаются в одной точке, которая и является оптимальным узлом разветвления.

 Объём конуса

Имеется куча зерна пшеницы, которую нужно отправить на склад. Сколько примерно стандартных мешков потребуется для такой перевозки?

Решение: Чтобы решить эту задачу, необходимо оценить объем зерна в куче. По своей форме куча зерна заметно отличается от известных нам пространственных фигур, но она напоминает конус. Для объёма конуса имеем формулу: V=1/3   R²H. Но даже приняв кучу зерна за конус сложно измерить R и H. Можем считать, что основанием конуса-модели служит круг, окружность которого имеет такую же длину, как периметр основания кучи. Эту длину можно измерить непосредственно шнуром: если она равна С, то R=C/2π. Высоту Н тоже неудобно замерять непосредственно, но легко с помощью шнура найти «перекидку» p=ASB. Тогда Н=√(p/2)²-R².

Задачи с экономическим содержанием

1.     По сравнению с предыдущим месяцем увеличилась на 24,7% стоимость набора из 25 основных продуктов питания и составила 391,3 рубля Сколько стоила «Продовольственная корзина в предыдущем месяце? (декабрь 1998 года)

2.     Газета «Рабочий путь» (8.01.99) пишет, что инфляция в Смоленской области в декабре 1998 года составила 10,4%, что почти на 6 пунктов выше, чем в ноябре. Каким был темп инфляции в ноябре?

3.     Один из договоров о годичном страховании имущества от несчастных случаев предусматривает оплату 2,14% страховой суммы при скидке 30% для постоянных клиентов. Определить величину страхового платежа для повторного страхования бани на сумму 12000 рублей.

4.     Вкладчик внёс в банк 10 марта 8000 рублей с доходом в 19% годовых. С 14 августа банк снизил ставку прибыли до 15%, а 20 декабря счёт был закрыт. Какую сумму получил вкладчик?

5.     Срочный вклад предусматривает начисление а% прибыли через год хранения денег в банке. Если спустя этот срок счёт не закрывается, то договор автоматически продлевается на тех же условиях (пролонгируется). Какая сумма будет на счёте вкладчика через 3 года при первоначальном вкладе 10000 руб?

6.     Заёмщик получил в банке 1 января кредит в сумме 20000 рублей на срок в 3 года с условием его ежемесячного погашения равными долями в последний день месяца, начиная с 31 января и одновременной уплатой 3% за месяц пользования кредитом. При несвоевременном внесении платежа заёмщик уплачивает штраф в размере 0,2% от просроченного платежа за каждый день просрочки. Своевременно уплатив положенное в январе и в феврале, в марте заёмщик задержался и пришёл в банк 11 апреля. Какую сумму он должен уплатить?

7.     При краткосрочных вкладах до востребования увеличение вклада производится ежедневно на а% от первоначальной суммы независимо от срока хранения. Найти величину вклада спустя р дней хранения в банке.

8.     Увеличение так называемого срочного вклада производится на а% через t месяцев хранения. Найти величину вклада спустя nt месяцев хранения в банке после неоднократного пролонгирования договора.

9.     При одном из видов кредитования (как правило, краткосрочном) заём в 6000 рублей погашается в течении года по 500 рублей ежемесячно, вносимых в последний  день месяца одновременно с уплатой 5% в месяц, начисляемых по формуле сложных процентов на совершаемый платёж. Найти размер всей платы за кредит.

10.  В осеннее-зимний период цена на свежие фрукты возрастала трижды: на 10%, на 20% и на 25%. На сколько процентов возросла зимняя цена по сравнению с летней?

11. Владелец магазина купил товар по себестоимости:51,2 рубля за единицу товара. На пути к прилавку цена поднималась трижды на один и тот же процент. Товар продавался плохо, и коммерсант распорядился трижды сделать скидку на тот же самый процент. В итоге цена оказалась равной 21,6 рубля. Найти процент изменения цены.