Олимпиадные задания по математике для учащихся 7 - 8 классов

Олимпиадные задания по математике для учащихся 7 – 8 классов

1.     Найти четырехзначное число, являющееся точным квадратом, если первые две цифры, а также последние две цифры его одинаковы.

2.     Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей дает полный квадрат.

3.     Построить треугольник, если известны его высота  медиана, выходящие из одной вершины, и радиус описанной около треугольника окружности.

4.     Доказать, что разносторонний треугольник нельзя разрезать на два равных треугольника.

5.     Доказать, что из пяти различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

6.    Сколько цифр в десятичной записи числа

7.     Сумма обратных величин трех целых положительных чисел равна 1. Каковы эти числа? Найти все решения.

8.   Показать, что делится на 26460 без остатка.

9.     Доказать, что если плоский многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке

10.  Доказать, что в трапеции сумма углов при большем основании меньше, чем при меньшем.

11.  Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.

12.  Правильный звездчатый шестиугольник разрезать на 4 части так, чтобы из них можно было составить выпуклый многоугольник.

13.  Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

14.  Дан квадрат со стороной 1. Найти множество всех точек, сумма расстояний от которых до сторон этого квадрата или их продолжении равна 4.

15.  В турнире каждый шахматист половину всех очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места. Сколько человек принимало участие в турнире?