Онформационно-познавательный проект по математике "Магические квадраты "

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 10»

Индивидуальный творческий проект

Магические квадраты 

Автор:

Батятина Анастасия Андреевна,

обучающаяся 6б класса

МОУ «СОШ № 10»

Наставник:

                                                                            Казакова Надежда Сергеевна,

учитель математики

 МОУ «СОШ № 10»

Кыштым 2020

Содержание

 Введение……………………………………………………………………………………….3-4

 Глава 1. Магические квадраты

1.1.История появления магических квадратов………………………………………………...5

1.2. Древние магические квадраты……………………………………………………………..6

1.3. Построения магических квадратов………………………………………………………...7

1.4. Разновидности магических квадратов……………………………………………………..8

Глава 2. Что вы знаете о магических квадратах?

2.1. Опрос одноклассников…………………………………………………………………..9-10

Заключение……………………………………………………………………………………...11

Литература и интернет источники…………………………………………………………….12

Приложения…………………………………………………………………………………13-23

Введение

В наше время магические квадраты привлекают к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами.

Актуальность выбранной мной темы заключается в привлечении учащихся к решению нестандартных задач, которые часто можно встретить в современных учебниках по математике. А умение составлять магические квадраты помогает в решении различных головоломок и олимпиадных задач, а так же повышает интерес учащихся к изучению математики.

Магические квадраты.… От этого словосочетания сразу веет волшебством. Великие учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира. Они увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, свои тайны. Позже выяснилось, что располагая числа правильными рядами, складывая слева направо и сверху вниз, каждый раз получаются равные числа. Так в ходе времени образовался магический квадрат, который мы встречаем по сегодняшний день. Магический квадрат является одной из наиболее интересных головоломок.

Цель: изучение магических квадратов, их видов, способов заполнения.

Для реализации поставленной цели предлагается решить следующие задачи:

1.      Изучить литературу и Интернет-ресурсы.

2.      познакомиться с историей появления магических квадратов;

3.      выяснить виды магических квадратов и способы их заполнения;

4.      выявить области применения  магических квадратов;

5.      сделать выводы;

6.      рассказать о результатах своей работы одноклассникам.

 В ходе работы над проектом были использованы следующие методы:

·         поиск информации по теме;

·         обработка собранной информации;

·         опрос одноклассников;

·         создание презентации  по теме: «Магические квадраты».

Практическая значимость состоит в том, что материалы данного проекта могут применяться на уроках, факультативах и на занятиях  внеурочной деятельности.

Глава 1. Магические квадраты

История появления магических квадратов.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как

только их не называли.  

”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими- магическими»” - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма.

Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн...

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики, приводившие их примеры в своих сочинениях.

Древние греки были знакомы с простейшим (3-го порядка) магическим

квадратом. В одном из арабских манускриптов конца VIII в. упоминается

его автор (который на самом деле лишь открыл заново то, что было известно

за много веков до него) – философ-новопифагорец Апполон из Тиана, живший в начале нашей эры.

В средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратам

часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались особой популярностью у прорицателей,

астрологов и врачевателей. Бытовало даже поверье, что выгравированный

на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Древние магические квадраты.

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха. По таинственным числовым узорам на ее спине император Ю понял, что это магическое создание и взял ее с собой во дворец. Черепаха стала объектом почитания, а священные узоры на ее панцире вызвали восторг у придворных ученых (Приложение 1(а)), эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату (Приложение 1 (б)).

В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера (Приложение 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия (Приложение 3). Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

Построения магических квадратов

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Квадратов 2-го порядка не существует.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (Приложение 4). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными (клетки a и b Приложение 4).

Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы. Предлагаю рассмотреть два метода построения магических квадратов.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А. Де Ла Лубера.

Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (Приложение 5). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Метод Ф. Де Ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. По клеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат (Приложение 6). Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Разновидности магических квадратов

Полумагический квадрат — это квадратная таблица nxn, заполненная n2 числами таким образом, что суммы чисел равны только в строках и столбцах. (Приложение 7)

Нормальный – магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. (Приложение 8)

Ассоциативный (симметричный) - магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2 + 1. (Приложение 9)

Дьявольский (пандиагональный) магический квадрат — магический квадрат, в котором также с магической константой совпадают суммы чисел по ломаным диагоналям (диагонали, которые образуются при сворачивании квадрата в тор) в обоих направлениях. Существует 48 дьявольских магических квадратов 4×4 с точностью до поворотов и отражений. Если принять во внимание еще и их дополнительную симметрию — торические параллельные переносы, то останется только 3 существенно различных квадрата (Приложение 10) 

Глава 2. Что вы знаете о магических квадратах?

Опрос обучающихся

       В рамках своего проекта я провела  опрос, задав несколько вопросов анкеты своим одноклассникам (Приложение 11), чтобы проанализировать знания учащихся о магических квадратах. В опросе приняли участие 18 учеников.

      На основе проведенного анкетирования, я получила  следующие результаты (Приложение 12)

     Вывод по каждой диаграмме:

1.      Анализируя ответы на 1 вопрос, я увидела, что 83% моих одноклассников сталкивались с магическими квадратами, а 17% - нет.

2.      Ответы по 2-му вопросу показали, что 44 % моим одноклассникам приходилось самостоятельно их решать, а 56% - не решали вообще или с помощью педагога.

3.      Ответы по 3-му вопросу показали, что 28% опрошенных ребят знают, почему квадраты называются «магическими», а 72 % не знают этого.

4.      Результаты по 4-му вопросу показали, что 28 % ребят знают, что магического квадрата второго порядка не существует, 5% ответили, что не существует магического квадрата третьего порядка и 67% - сказали, что нет магического квадрата 8 порядка. Из этого можно сделать вывод, что только 28% моих одноклассников знают правильный ответ, а 72% - нет.

5.      Ответы по 5-му вопросу показали, что 5 % ребят думают, что квадраты бывают только полумагические, 17 % -только нормальные магические, 0% -ассоциативные (симметричные), 44 % - выбрали дьявольский магический квадрат, 17% - считают, что все эти виды квадратов существуют, 17% - считают, что таких квадратов вовсе нет.

       Проанализировав полученные результаты, я пришла к выводу, что большая часть моих одноклассников мало что знают о магических квадратах. Мне захотелось познакомить их поближе с этими квадратами. Тогда я предложила им попробовать заполнить магические квадраты (Приложение 13), а после провела небольшой опрос (Приложение 14).

Проанализировав работу ребят с магическими квадратами, получились результаты (Приложение 15).

     Вывод по каждой диаграмме:

1.      Анализируя ответы на 1 вопрос, я увидела, что 67% моих одноклассников заинтересовались заполнением магических квадратов, а 33% - нет.

2.      Ответы на 2 вопрос, показали, что 56 % ребят было не сложно заполнять магические квадраты, а 44% - было сложно, вовремя заполнения возникали трудности.

3.      Ответы на 3 вопрос, показали, что 61% ребят захотелось испытать свои силы на более сложных магических квадратах, а 39% ребят к сожалению нет.

Заключение

После всей проделанной работы мы пришли к следующим выводам:

1.      Поставленная цель достигнута: изучили магические квадраты, их виды, способы заполнения.

2.      Поставленные задачи решены:

2.1. изучили литературу и Интернет-ресурсы;

2.2. познакомились с историей появления магических квадратов;

2.3. узнали виды магических квадратов и способы их заполнения;

2.4. выявили области применения  магических квадратов;

2.5. рассказали о результатах своей работы одноклассникам.

Я считаю, что  материалы моего проекта можно использовать при подготовке к олимпиадам по математике,  на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения своего познавательного кругозора, развития логического мышления. Большинство моих одноклассников заинтересовали магические квадраты, и они обязательно продолжать тренироваться по их заполнению.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание любителей математических игр и развлечений. Магические квадраты – это нечто удивительное, интересное и увлекательное. Такие квадраты являются популярной головоломкой.

Во время моего исследования, я узнала много способов заполнения магических квадратов, историю их возникновения, а так же много интересного из жизни математики и магических квадратов.

Литература и интернет источники

1.      Энциклопедический словарь юного математика. М. Издательство «Педагогика», 1985г.

2.      Игры и развлечения. М. Издательство «Молодая гвардия»,1989г.

3.      Постников М. М. «Магические квадраты». Издательство «Наука». Москва.

1964г.

4.      https://multiurok.ru/files/proektnaia-rabota-na-temu-magicheskii-kvadrat.html

5.      https://school-science.ru/6/7/36280

6.      https://stydopedia.ru/4xab5f.html

7.      https://vuzlit.ru/857460/istoriya_poyavleniya_razvitiya_magicheskih_kvadratov

8.      https://math.bobrodobro.ru/3226

9.       http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html

10.  https://docviewer.yandex.ru/view/897084941/?page=33&*=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&lang=ru

Приложения.

Приложение 1 (а)

Приложение 1 (б)

Приложение 2.

Квадрат А. Дюрера

Приложение 3

Гравюра Меланхолия,  А. Дюрера

Приложение 4.

Приложение 5.

Приложение 6

Приложение 7

Приложение 8

Приложение 9

1	15	14	4
8	10	11	5
12	6	7	9
13	3	2	16

Приложение 10

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

1	8	11	14
12	13	2	7
6	3	16	9
15	10	5	4

Приложение 11

Анкета

1.Вы когда-нибудь сталкивались с магическими квадратами?

А) да

Б) нет

2.Приходилось ли вам самостоятельно их решать?

А) да

Б) нет

3.Как вы думаете, почему квадраты называются «магическими»?

А) арабы считали, что такие квадраты имеют мистические свойства и применяли их за своеобразные талисманы

Б) арабы считали, что в таких квадратах присутствует магия.

4.Как вы думаете, какого порядка магического квадрата не существует? (второго)

А) второго

Б) третьего

В) восьмого

5.Как вы думаете, какие разновидности магических квадратов бывают?

А) Полумагический квадрат 

Б) Нормальный  магический квадрат

В) Ассоциативный (симметричный)

Г) Дьявольский  магический квадрат 

Д) все перечисленные

Е) ни какой из перечисленных

Приложение 12

Приложение 13

Задача 1

Впиши в пустые прямоугольники недостающие числа от 1 до 16 так, чтобы в сумме по всем столбикам и строкам и обеим диагоналям получилось число 34

			5
	13	3
		6	9
	1

Ответ

11	8	10	5
2	13	3	16
7	12	6	9
14	1	15	4

Задача 2.

В свободные клетки квадрата впишите числа 23, 41, 47, 65 и 71 так, чтобы по всем строкам, и двум диагоналям в сумме получалось одно и то же число.

35		17
		59
	11

Ответ

35	71	17
23	41	59
65	11	47

Задача 3

В клетках квадрата переставьте числа так, чтобы по любой вертикали,

горизонтали и диагонали их суммы были равны между собой:

3	5	7
9	11	13
15	17	19

Ответ

17	7	9
3	11	19
13	15	5

Приложение 14.

Опрос

1.Заинтересовались ли вы заполнением магических квадратов?

А) Да

Б) Нет

2. Сложно ли вам было заполнять магический квадрат?

А) Да

Б) Нет

3. Захотелось ли вам испытать свои силы на более сложных магических квадратах?

А) Да

Б) Нет

Приложение 15