Опорные конспекты по математике на тему "Способы решения тригонометрических уравнений"

ГБПОУ  «Строгановский колледж»

г. Очер

Оханский филиал

Методические рекомендации

для самостоятельной внеаудиторной

работы студентов

по ОДБ.01 «Математика»

Тема «Способы решения тригонометрических уравнений»

Оханск, 2014

ОДОБРЕНО Предметной (цикловой) методической комиссией естественно-математический цикл Председатель __________________О.В.Зверева ____ ____________20___ г.

УТВЕРЖДЕНО Зам. директора по       МР ГБОУ СПО «Строгановский колледж» ______________ О.А.Гулина _____________20_____г.

Составитель: Пешкова Ольга Алексеевна, преподаватель ГБОУ  «Строгановский колледж», Оханский филиал

Рецензенты:

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Методические рекомендации по внеаудиторной  самостоятельной работе студентов по ОДБ.01 «Математикаа» 

Данное пособие предназначено для организации внеаудиторной самостоятельной работы студентов  в учреждениях начального и среднего профессионального образования, реализующих образовательную программу среднего (полного) общего образования при подготовке квалифицированных рабочих и служащих.

Пособие может быть использовано и на уроках математики при повторении, обобщении теоретического материала и ликвидации пробелов в знаниях по теме «Тригонометрические уравнения и способы их решения»

   Структура пособия включает в себя изучение темы по плану: краткий конспект теории, пример решения и оформления задания, упражнений для самостоятельной работы.

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение	Общее решение уравнения	Частные решения уравнения
		а = - 1	а = 0	а = 1
cos x = a a Î [-1;1]
sin x = a aÎ[-1;1]
tq x = a a – любое число
ctq x = a a – любое число			Решения нет

Сведение тригонометрического уравнения к квадратному уравнению

Задание:   записать план решения

1.      Заменить cos x  новой переменной, например cos x = y, причем  новая переменная  имеет ограничение, а именно

2.      Исходное уравнение с новой переменной  имеет вид

3.      Решить квадратное уравнение

4.      Вернуться к старой переменной, т.е. перейти к решению простейших тригонометрических уравнений:       и . Найти корни простейших тригонометрических уравнений или доказать что корней нет.

5.      Формулы корней простейших уравнений

6.      Записать ответ

Задание: записать план решения уравнения 

Указание:

Уравнения, содержащие tq x и ctq x  решаются аналогично, меняются только формулы корней простейших уравнений.

При решении следует обращать внимание на аргумент, стоящий под знаком тригонометрической функции.

Пример:

sin² x + sin x – 2 = 0, 

заменим sin x = y, y Î [-1; 1]

y² + y – 2 = 0 Þ D = 9;

y₁ = 1   y₂ = -2

Возвращаемся к старой переменной   

 sin x = 1 Þ x =  + 2pn; nÎZ                                              sin x = - 2 Þ решения нет, т.к. – 2 Ï [-1; 1]

Ответ:  x =  + 2pn; nÎZ                                              

Решить самостоятельно:

1)   3sin²x +2sin x – 8 = 0            2) sin² 2x + sin 2x – 2 = 0             3) 2 sin² + sin  – 6 = 0

  4) 2 sin² x + sin x – 1 = 0            5) sin (x²) – 2sin (x²) + 1 = 0        6) 2cos² x – cos x – 1 = 0

  7) 2cos² 3x + cos 3x – 6 = 0       8) tg² x – 3tg x – 4 = 0                  9) tg²  – tg  + 1 = 0

Сведение тригонометрического уравнения к квадратному уравнению

Задание:   записать план решения

1.      Используя основное тригонометрическое тождество заменить

2.      Исходное уравнение принимает вид 

3.      Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и привести уравнение к виду

4.      Заменить cos x  новой переменной, например cos x = y, причем  новая переменная  имеет ограничение, а именно

5.      Исходное уравнение с новой переменной  имеет вид

6.      Решить квадратное уравнение

7.      Вернуться к старой переменной, т.е. перейти к решению простейших тригонометрических уравнений:       и . Найти корни простейших тригонометрических уравнений или доказать что корней нет.

8.      Формулы корней простейших уравнений

9.      Записать ответ

Задание: записать план решения уравнения 

Указание:

заменить   cos² x =  1 – sin² x

При решении следует обращать внимание на аргумент, стоящий под знаком тригонометрической функции.

Пример;

2sin² x – cos x – 1 = 0,      заменяем   sin² x = 1 – cos² x 

2(1 – cos² x) – cos x – 1 = 0

2 – 2cos² x – cos x – 1 = 0

-2cos² x – cos x + 1 = 0

           Пусть  cos x = y; y Î [-1; 1]

 - 2y² – y + 1 = 0 Þ D = 9 Þ y₁ = - 1  и  y₂ = - ½.

Возврат к старой переменной

   cos x =  - 1 Þ x = p + 2pn; nÎZ

   cos x =  - ½ Þ x ± 2p/3 + 2pn; nÎZ

Решить самостоятельно;

1)        2 cos² x - sin x + 1 = 0            

2)      2 cos²(x/2) + sin (x/2) – 1 = 0         

3)       4sin² 2x - cos 2x – 1 = 0     

4)        2 sin² (x²) +3 cos ( x²) = 0    

Метод введения вспомогательного аргумента

    Уравнения вида      решаем способом введения вспомогательного аргумента , используя формулу         (1)

1.      Выписать коэффициенты и

2.      Вычислить     

3.      Разделить коэффициенты уравнения на  , после чего уравнение будет выглядеть        

4.      Исходное уравнение по формуле (1) представимо в виде

              

       ;

            (2)

Угол j находим из условия Þ , где угол j - угол первой координатной четверти.

В значении корня уравнения (2) заменим j его величиной.

Пример                                 

          2sin x + cos x = 2

a = 2       b = 1 Þ       

    

         

       ;

      

Вычислим угол j из условия    Þ 

   Ответ:        

Решить самостоятельно:

1)       sin x – cos x = 1                            

2)       sin 2x + cos 2x = 1                      

3)       sin (x/3) + cos (x/3) = 2   

4)      sin 5x + cos 5x =   

Однородное уравнение I степени

  (1)

поделим каждое слагаемое уравнения на cos x ≠ 0,  тогда уравнение (1)

      

    

      

     корень уравнения находим по формуле простейшего тригонометрического уравнения:

Пример:

                        sin 2x + cos 2x = 0         : cos 2x ≠ 0      

                         tg 2x + 1 = 0                                              

                         tg 2x = - 1                                                  

                         2x =  + pn         : 2                              

                         x =   + pn; nÎZ      

Ответ;              x =   + pn; nÎZ      

Решить самостоятельно:

1)                                           

2)                              

3)                                      

4)       

Однородное уравнение II степени

 (1)

поделим каждое слагаемое уравнения на cos² x ≠ 0.

Тогда уравнение (1)  будет выглядеть,    Þ

                                                         

Решаем квадратное тригонометрическое уравнение относительно тангенса, заменив tq x = y

Пример:         – sin²x – 5sinx cosx + 6 cos²x = 0: cos²x ≠ 0

                        -  tg²x – 5 tgx + 6 = 0

                        пусть  tg x = y,    где y – любое число

                        - y² – 5 y + 6 = 0

                        D = 49      y₁ = - 6         y₂ = - 1

                        tg x = - 6 Þ x = - arctg 6 + pn; n Î Z

                        tg x = - 1 Þ x = - p/4 + pn; n Î Z

Указание:

 если уравнение имеет вид   , где С - число

1)      число  С умножаем на 1, далее  заменяем  1 = cos²x + sin²x,

2)      раскрываем скобки, переносим слагаемые из правой части в левую часть

3)      приводим подобные слагаемые и сводим уравнение к однородности II степени

4)    решаем по плану для уравнения вида

Пример:

Далее решает квадратное тригонометрическое уравнение, заменив tq x = y, где у – любое число

/см. сведение к квадратным уравнениям/

Решить самостоятельно:

1)                    

2)     

3)                     

4)           

Универсальная подстановка при решении тригонометрических уравнений

               При решении уравнения данным способом произведем замену:

                                                             

     Исходное уравнение после замены содержит переменную х под единственной функцией tq и имеет вид тригонометрического квадратного уравнения.

Пример:

            

      Далее заменяем ,  где у – любое число  и решаем квадратное тригонометрическое уравнение. Возвращаемся к старой переменной и находим корни простейшего тригонометрического уравнения.

Решить самостоятельно:

1)      sin x – cos x = 1                            

2)       sin 2x + cos 2x = 1                      

3)       sin (x/3) + cos (x/3) = 2   

4)      sin 5x + cos 5x =   

5)     

Равенство одноименных функций

     Данный способ помогает решать тригонометрические уравнения,  где  в обеих частях  находятся одинаковые тригонометрические функции, но аргументами являются различные значения.

При решении следует использовать следующие схемы:

1)                     2)         3)

Примеры:

Первое уравнение системы делим на 8, второе на – 2, получим ответ

Решить самостоятельно:

1)     

2)     

3)     

Разложение на множители

      Данный способ решения приводит  уравнение к виду , где  и  тригонометрические функции. Каждая из функций является множителем, произведение которых равно нулю. Так как произведение равно нулю, значит каждый из множителей тоже может быть равен нулю. Поэтому переходим к простейшим тригонометрическим уравнениям, где  a = 0 (частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений). При разложении на множители используем формулы сокращенного умножения, вынесения общего множителя, тригонометрические формулы.

Рассмотрим пример:

                

Решить самостоятельно:

1)     

2)     

3)     

Решение тригонометрических уравнений с использованием ограничения по области значений синуса и косинуса

При решении уравнений следует помнить,  что sin ax Î[-1;1] (cos ax Î[-1;1]). Рассмотрим пример:

:                                       

Решить самостоятельно:

1)     

2)     

3)     

4)     

Проверочная работа

Решите уравнение, подобрав способ решения

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

8)     

9)     

10)