Опорный конспект на тему "Параллелограмм и его виды" (8 класс)

Параллелограмм              B                              C           Параллелограмм – это четырехугольник,                                                      у которого противолежащие стороны попарно                                                      параллельны.                                                            AB ‖ CD     A                              D                   BC ‖ AD	Параллелограмм              B                              C           Параллелограмм – это четырехугольник,                                                      у которого противолежащие стороны попарно                                                      параллельны.                                                            AB ‖ CD     A                              D                   BC ‖ AD
Свойства параллелограмма	Свойства параллелограмма
B                              C                                                                               A                              D                   1.       У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.                               Док-во:     В D ABD и DCDB: BD - общая ÐCBD = ÐADB  (внутренние накрест лежащие при BC ‖ AD и секущей BD) ÐABD = ÐCDB  (внутренние накрест лежащие при AB ‖ CD и секущей BD)      Значит, D ABD = DCDB  (по II признаку).     Тогда AB = CD, BC = AD, ÐA = ÐC, ÐB = ÐD.         B                              C                                                                                                                           A                              D                   2.      Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.                        Док-во: ÐA + ÐB = 180° (т. к. ÐA и ÐB – внутренние односторонние при BC ‖ AD и секущей AB)         B                              C                                                   О                                                                                           A                              D                   3.      Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.                         Док-во: В D BOC и DDOA: BC = AD (по свойству 1) ÐCBO = ÐADO  (внутренние накрест лежащие при BC ‖ AD и секущей BD) ÐBCO = ÐDAO  (внутренние накрест лежащие при BC ‖ AD и секущей AC)      Значит, D BOC = DDOA  (по II признаку).     Тогда BO = OD, AO = OC	B                              C                                                                               A                              D                   1.       У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.                               Док-во:     В D ABD и DCDB: BD - общая ÐCBD = ÐADB  (внутренние накрест лежащие при BC ‖ AD и секущей BD) ÐABD = ÐCDB  (внутренние накрест лежащие при AB ‖ CD и секущей BD)      Значит, D ABD = DCDB  (по II признаку).     Тогда AB = CD, BC = AD, ÐA = ÐC, ÐB = ÐD.         B                              C                                                                                                                           A                              D                   2.      Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.                        Док-во: ÐA + ÐB = 180° (т. к. ÐA и ÐB – внутренние односторонние при BC ‖ AD и секущей AB)         B                              C                                                  О                                                                                           A                              D                   3.      Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.                         Док-во: В D BOC и DDOA: BC = AD (по свойству 1) ÐCBO = ÐADO  (внутренние накрест лежащие при BC ‖ AD и секущей BD) ÐBCO = ÐDAO  (внутренние накрест лежащие при BC ‖ AD и секущей AC)      Значит, D BOC = DDOA  (по II признаку).     Тогда BO = OD, AO = OC

Высота параллелограмма – перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противолежащую сторону.               P      B                N       C          E                                                                                          AP = BK = DN = CM = EF  –                                                                               высоты,  соответствующие                                                                                        сторонам BC и AD                                                                                           A       K                D       M         F                                  B                         C                                                                                                BK и ВМ – высоты, проведенные                                                                           из одной вершины                                                М                                                                                                                        A       K                D                   Свойства биссектрис параллелограмма 1.             B                    К          C                                                              Биссектриса угла параллелограмма                                                              отсекает от него равнобедренный                                                              треугольник.                A                                D 2.             B                    К          C                                                              Биссектрисы соседних углов                           О                                параллелограмма пересекаются                                                              под прямым углом.               A                       М      D Свойства высот параллелограмма                       B                         C       Угол между высотами, проведенными                                                            из вершины тупого угла параллелограмма,                                                            равен острому углу параллелограмма.                                                М                                                                     Угол между высотами, проведенными             A       K                D                из вершины острого угла параллелограмма,                                                 равен тупому углу параллелограмма.

Высота параллелограмма – перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противолежащую сторону.               P      B                N       C          E                                                                                          AP = BK = DN = CM = EF  –                                                                               высоты,  соответствующие                                                                                        сторонам BC и AD                                                                                           A       K                D       M         F                                  B                         C                                                                                                BK и ВМ – высоты, проведенные                                                                           из одной вершины                                                М                                                                                                                        A       K                D                   Свойства биссектрис параллелограмма 1.             B                    К          C                                                              Биссектриса угла параллелограмма                                                              отсекает от него равнобедренный                                                              треугольник.               A                                D 2.             B                    К          C                                                              Биссектрисы соседних углов                           О                                параллелограмма пересекаются                                                              под прямым углом.               A                       М      D Свойства высот параллелограмма                       B                         C       Угол между высотами, проведенными                                                            из вершины тупого угла параллелограмма,                                                            равен острому углу параллелограмма.                                                М                                                                     Угол между высотами, проведенными             A       K                D                из вершины острого угла параллелограмма,                                                            равен тупому углу параллелограмма.

Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике   противолежащие стороны попарно равны,           B                       C                        A                       D противолежащие стороны равны и параллельны,            B                      C                             AB ‖ CD   A                       D диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,           B                       C                         A                       D то этот четырехугольник – параллелограмм.

Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике   противолежащие стороны попарно равны,           B                       C                        A                       D противолежащие стороны равны и параллельны,            B                      C                             AB ‖ CD   A                       D диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,           B                       C                        A                       D то этот четырехугольник – параллелограмм.

Виды параллелограмма Параллелограмм                      Прямоугольник             Квадрат                         Ромб               (параллелограмм,               ( - ромб, у которого                 (параллелограмм,                    у которого                             все углы прямые;                       у которого                 все углы прямые)           - прямоугольник, у которого         все стороны равны)                                                       все стороны равны)                       B                   B                         C                    B             C                                                                                                                                                                     A           C              A                        D                   A            D                                                                                  ÐA=ÐB=ÐC=ÐD=90°                   AB=BC=CD=AD     D

Виды параллелограмма Параллелограмм                      Прямоугольник             Квадрат                         Ромб               (параллелограмм,               ( - ромб, у которого                 (параллелограмм,                    у которого                             все углы прямые;                       у которого                 все углы прямые)           - прямоугольник, у которого         все стороны равны)                                                       все стороны равны)                       B                   B                         C                    B             C                                                                                                                                                                     A           C              A                        D                   A            D                                                                                  ÐA=ÐB=ÐC=ÐD=90°                   AB=BC=CD=AD     D

Прямоугольник Свойства прямоугольника 1.    Все свойства параллелограмма. 2.    Диагонали прямоугольника равны.     B                          C          A                          D                  Док-во:     В D ABD и D DCА: АD – общий катет AB = CD (по св-ву параллелограмма)      Значит, D ABD = D DCА  (по двум катетам). Тогда AC = BD. Признаки прямоугольника 1.   Если один из углов параллело-грамма прямой, то этот парал-лелограмм – прямоугольник. 2.   Если в параллелограмме диаго-нали равны, то этот параллело-грамм – прямоугольник. Ромб Свойства ромба 1.    Все свойства параллелограмма. 2.    Диагонали ромба перпендику-лярны и являются биссектри-сами его углов.       B                   Док-во:                       AB = BC, тогда                           D ABC – равно-                             бедренный.   A        О          C      По свойству                            параллелограмма                            АО = ОС, т. е.                      ВО – медиана D ABC.             D        Значит, ВО – и бис-                                  сектриса,и высота. ВО^ АС (а значит, BD^ АС) ÐАBO = ÐСВO   Признаки ромба 1.   Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник – ромб. 2.   Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм – ромб. 3.   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. 4.   Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб. Квадрат Свойства квадрата 1.    Все свойства параллелограмма. 2.    Все свойства прямоугольника. 3.    Все свойства ромба. Признаки квадрата 1.    Если диагонали  прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат. 2.    Если диагональ прямоугольника является биссектрисой его угла, то этот прямоугольник – квадрат. 3.    Если диагонали ромба равны, то этот ромб – квадрат.

Прямоугольник Свойства прямоугольника 1.   Все свойства параллелограмма. 2.    Диагонали прямоугольника равны.     B                          C          A                          D                  Док-во:     В D ABD и D DCА: АD – общий катет AB = CD (по св-ву параллелограмма)      Значит, D ABD = D DCА  (по двум катетам). Тогда AC = BD. Признаки прямоугольника 1.   Если один из углов параллело-грамма прямой, то этот парал-лелограмм – прямоугольник. 2.   Если в параллелограмме диаго-нали равны, то этот параллело-грамм – прямоугольник. Ромб Свойства ромба 1.   Все свойства параллелограмма. 2.    Диагонали ромба перпендику-лярны и являются биссектри-сами его углов.       B                   Док-во:                       AB = BC, тогда                           D ABC – равно-                             бедренный.   A        О          C      По свойству                            параллелограмма                            АО = ОС, т. е.                      ВО – медиана D ABC.             D        Значит, ВО – и бис-                                  сектриса,и высота. ВО^ АС (а значит, BD^ АС) ÐАBO = ÐСВO   Признаки ромба 1.   Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник – ромб. 2.   Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм – ромб. 3.   Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб. 4.   Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм – ромб. Квадрат Свойства квадрата 1.   Все свойства параллелограмма. 2.    Все свойства прямоугольника. 3.    Все свойства ромба. Признаки квадрата 1.   Если диагонали  прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник – квадрат. 2.    Если диагональ прямоугольника является биссектрисой его угла, то этот прямоугольник – квадрат. 3.    Если диагонали ромба равны, то этот ромб – квадрат.

Краткое описание документа:

Для более успешного усвоения большого теоретического материала и экономии времени на уроке можно использовать раздаточный материал в виде опорного конспекта.

Предлагаемый конспект содержит определение параллелограмма, его свойства, признаки, а также свойства и признаки прямоугольника, ромба и квадрата. При распечатке рассчитан на двух учеников.