Определители, их свойства и вычисление

Методическая  разработка  на  тему

«Определители, их свойства и вычисление»

(письменная консультация для заочного отделения)

         Пусть дана  таблица  (называемая матрицей), состоящая  из четырех чисел:

         Матрица имеет две строки а₁₁а₁₂  и  а₂₁а₂₂ и  два столбца  а₁₁а₁₂ а₂₁а₂₂

Числа составляющие  эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексации. Первый  индекс  указывает номер строки, а второй – номер столбца, в котором стоит данное число. Например, а₁₂ означает число стоящее в первой строке и втором столбце;  а₂₁ – число, стоящее в 2-ой строке  и 1-ом столбце, число  а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ будем называть  элементами матрицы.

Определителем  второго порядка, соответствующим  данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: 

а₁₁, а₂₂ -  а₂₁а₁₂

Определитель обозначают  символом:

Т.е.  = а₁₁, а₂₂ -  а₂₁а₁₂

Числа  а₁₂, а₂₁, а₂₂ – называется  элементами определителя.

Пример:

         = 2^. (-4) -3^. 5 = -8 – 15 = -23

Свойства определителя II порядка

1)    Определитель не изменяется , если его строки поменять местами с соответствующими  столбцами, т.е

 =

2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак  на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.

= -

3)    Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

4)    Общей множитель  всех элементов строки (или столбца) можно выносить  за знак  определителя:

 = к

5)    Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равен нулю,то определитель  равен нулю.

6)    Если к какой-либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель  не изменит своей величины, т.е.

 =

Определитель III порядка

     Рассмотрим матрицу, состоящую  из девяти чисел:

     Определителем  III порядка, соответствующим данной  матрице, называют  число, получаемое следующим образом:

а₁₁ - а₁₂  + а₁₃

     Определитель  III порядка обозначают символом:

Числа  а₁₁, а₁₂, … а₃₃ называют его  элементами. Определитель  III порядка имеет  3 строки и 3 столбца, т.о.

а)   = а₁₁ - а₁₂ + а₁₃

         Это разложение определителя  III порядка по элементам первой строки  а₁₁ а₁₂ а₁₃ и сводит вычисление определителя  III порядка к вычислению определителей  II порядка.

Пример.

 = 2  - 3  - 4  = 2 (18-0) – 3(15-56)

Письменная консультация по высшей математике  для

студентов I курса заочного отделения  на тему:

«Матрица. Действия над матрицами»

1. Определение матрицы.

Матрицей размера  m x n называется  прямоугольная таблица  вида:

А =

         Числа, составляющие эту таблицу, называют ее элементами.

         Если  m = n ( число строк равно числу  столбцов), то матрица называется  квадратной.

         Элементы  а₁₁, а₂₂, а₃₃, …, а_nn – образуют главную  диагональ  матрицы.

2. Действия над матрицами

а) Сложение

Суммой двух матриц А и Б  одинакового размера называется матрица  А + В, полученная из А и В по парным  сложением их элементов, стоящих на одинаковых местах.

Пример.

          +  =  =

б) Вычитание

         Разностью двух матриц одинакового размера А и В называется  матрица  А – В такая, что  (А-В) + В = А. Из этого следует, что каждый элемент матрицы  А-В есть  разность  соответствующих  элементов матриц  А и В.

Пример.

          -  =  =

в) Произведение матрицы на число

         Произведением матрицы А на  число   называется  матрица  А, которая  получена из матрицы А умножением на  каждого ее элемента.

Пример.

         2А = 2 ^.  =

г) Произведение  матриц

Пример.

         А = ;      В = ;      А ^. В =

С₁₁ = 1^. (-2) + 2^. (-3) +3^. (-4) = -2 - 6 -12 = - 20

С₁₂ = 1^. 1 + 2^. (-2) + 3^. 2 = 1 – 4 + 6 = 3

С₁₃ = 1 ^. 0 + 2 ^. 5 + 3^. (-7) = 0 + 10 – 21 = -11

С₂₁ = 4 ^. (-2) + 5^. (-3) + 6^. (-4) = - 8 – 15 – 24 = - 47

С₂₂ = - 4 ^. 1 + 5 ^. (-2) + 6 ^. 2 = -4 – 10 + 12 = 6

С₂₃ = -4 ^. 0 + 5 ^. 5 + 6 ^. (-7) = 0 + 25 – 42 = - 17

С₃₁ = 7 ^. (-2) + 8 ^. (-3) + 9 ^. (-4) = - 14 – 24 – 36 = - 74

С₃₂ = 7 ^. 1 + 8 ^. (-2) + 9 ^. 2 = 7 – 16 + 18 = 9

С₃₃ 7 ^. 0 + 8 ^. 5 + 9^. (-7) = 0 + 40 – 63 = - 23

Следовательно:

         А ^. В =

3) Обратная матрица

         Обратной матрицей к матрице А называется  матрица А^-1 такая, что                 А ^. А^-1 = Е, где  Е – единичная матрица.

Определение: Единичной матрицей называется матрица у  которой элементы главной  диагонали  1, а остальные  нули.

         Если  определитель  матрицы  ≠ 0,  то обратная матрица  существует.

Пример.

         А =

         Решение:

∆ =  = 3  - 4  + 2  =

= -2^. (-4 + 15) - 4 (2+3) + 2 (10+4) = 3 ^.11 – 4^.5 +2^.14 = 33 – 20 + 18 = 41

Таким образом  матрицы  А  имеет обратную  А^-1

         А^-1 =

Это  Аij – алгебраические дополнения

А₁₁ = (-1)¹⁺¹  = -4 + 15 = 11;              А₁₂  = (-1)¹⁺²  = -(2+3) = -5;

А₁₃  = (-1)¹⁺³  = 10 + 4 = 14;                 А₂₁ = (-1)²⁺¹  = - (4 – 10) = 6;

А₂₂ = (-1)²⁺²  =  3 -2 = 1;                          А₂₃ = (-1)²⁺³  = - (15– 4) = -11;

А₃₁ = (-1)³⁺¹  = - 12 +8 = -4;                 А₃₂ = (-1)³⁺²  = -(- 9 -4) = 13;

А₃₃ = (-1)³⁺³  = - 12 - 8 = -20

Проверка

         А^. А^-1 = Е

         А^. А^-1 =  ^. =

С₁₁ = 3^.

С₁₂= 3^.

С₁₃ = 3^. (-

С₂₁ =2^.

С₂₂ =2^.

С₂₃ = 2^. (-

С₃₁= 1^.

С₃₂ = 1^.

С₃₃ = 1^. (-