«Основное тригонометрическое тождество и следствие из него» (1 курс, мед.колледж)

Государственное автономное профессиональное

образовательное учреждение «Орский медицинский колледж»

филиал г. Гай

Методическая разработка практического занятия по теме: «Основное тригонометрическое тождество и следствие из него»

по предмету ОБП.06. Математика

(для специальности 34.02.01Сестринское дело)

РАССМОТРЕНО на заседании ЦМК общегуманитарных, математических и естественнонаучных дисциплин Протокол № от «   »               20    г. Председатель ЦМК: ___________Губская Т.В.

СОСТАВИТЕЛЬ Преподаватель  математики: ____________Нилова Т. Г.

Гай, 2020 г.

Пояснительная записка

Методическая разработка занятия по дисциплине ОДБ.06. Математика на тему «Основное тригонометрическое тождество и следствие из него» составлена для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело на основе Рабочей программы и календарно-тематического плана.

Данное занятие является четвертым занятием из раздела «Основы тригонометрии», на котором проводится изучение нового материала в нестандартной форме, что способствует дальнейшему развитию пространственного представления и вычислительных умений, логического мышления и речи, умению проводить систематизацию. Задания данного занятия включает в себя следующие темы раздела: задания на определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, на соотношения, связывающие различные тригонометрические функции, задачи на применение основного тригонометрического тождества.

В ходе занятия совершенствуется математический язык (словесный, символический), формируются качества личности, необходимые для жизни в современном мире (ясность, точность мысли, интуиция), устанавливается отношение к математике как к части общечеловеческой культуры. Для обеспечения оптимального взаимодействия между преподавателем и студентами на занятии предусмотрены: организация диалога, использование «готовых» знаний, компьютерная презентация, самостоятельная работа,  работа в группе, работа в парах, само- и взаимоконтроль, тестирование.

Для поддержания интереса и устойчивой концентрации внимания предусмотрена смена видов деятельности: фронтальная работа – учебный диалог, индивидуальная работа – работа в группе, компьютерная презентация, работа в группах – решение задач; компьютерная презентация – связь с реальным миром.

Контроль над деятельностью студентов в ходе занятия осуществляется со стороны преподавателя, предусмотрены самоконтроль, самооценивание и взаимооценивание.

Методическая разработка практического занятия по теме:

«Основное тригонометрическое тождество и следствие из него»

Вид занятия: Практическое

Тип занятия: Урок ознакомления с новым материалом.

Продолжительность: 90 минут

Цель занятия: Изучение основного тригонометрического тождества и следствие из него.

Задачи:

Образовательные – формировать понятие  основного тригонометрического тождества, как равенства справедливого для всех допустимых значений букв, обучать доказательству тождеств с использованием изученной формулы и следствия из него.

Развивающие – способствовать развитию логического мышления, памяти, умений сравнивать, выявлять закономерности, преодолевать трудности при решении математических задач, развитию познавательного интереса учащихся.

Воспитательные – способствовать воспитанию ответственного отношения к учебному труду, настойчивости для достижения конечных результатов при решении задач.

Методы обучения: групповой метод, метод соотнесения, метод индукции (от общего к частному), методы контроля и коррекции.

Место проведения: учебная аудитория

Средства обучения:

- методическая разработка;

- лист оценивания, 

-раздаточный материал.

- интерактивный тест для групповой работы, 

- мультимедийный  проектор

-персональный компьютер;

- мультимедийная презентация;

Межпредметные связи:  история, астрономия, физика, медицина.

Требования к освоению данной темы:

Студент должен знать:

-  зависимость градусной и радианной меры углов, определение тригонометрических функций;

-  основное тригонометрическое тождество.

Студент должен уметь:

-  преобразовывать тригонометрические выражения, используя основное тригонометрическое  тождество;

-  применять при решении задач основное тригонометрическое тождество.

Список использованной и рекомендованной литературы

Основные источники:

1.   А.Г. Мордкович, П.В.Семёнов «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс. Мнемозина, 2014

2.   А.Г. Мордкович, П.В.Семёнов «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс.  Задачник Мнемозина, 2014

Дополнительные источники:

1.   Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник «Контрольные и проверочные работы по алгебре» 10-11 класс. Издательский дом «Дрофа»

Интернет-ресурсы:

·        http://school-collection.edu.ru – Электронный учебник «Математика в школе, XXI век».

·        http://fcior.edu.ru - информационные, тренировочные и контрольные материалы.

·        http://laila50.livejournal.com/111671.html

·        http://blogs.mail.ru/mail/kareglazka_liana/726E0A12FACCD455.html

·        http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Archimedes_and_the_burning_mirrors.html

·        http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/ARHIMED.html?page=0,3

·        http://kid-mathematics.narod.ru/eiler.htm

·        http://flotprom.ru/publications/history/slava/eiler/

·        Н.И. Кованцов «Математика и романтика»

Технологическая карта занятия

Этапы занятия	Содержание учебного материала	Методы, формы работы	Средства обучения	Время	Цель этапа занятия
I.                  Вводная часть
Организационный момент	Приветствие, подготовка помещения к занятию, проверка отсутствующих	Монологическая речь, беседа,		2 мин	Организация и дисциплинированность студентов и создание рабочей обстановки.
II.               Основная часть
Проверка домашнего задания	Проверка выполнения домашнего задания	Беседа		3 мин.	Контроль выполнения домашнего задания
Актуализация знаний. Мотивация темы, цели занятия. Фронтальный опрос Тест	Формулировка темы. Цель занятия. Объяснения этапов урока. Мотивация.	Беседа	Презентация	3 мин.	Развитие познавательного интереса к изучаемой теме
	Студенты  отвечают на вопросы	Беседа	Презентация	5 мин	Контроль усвоения  полученного ранее материала
	Студенты  отвечают на вопросы теста	Тест, взаимопроверка	Презентация	5 мин	Контроль усвоения  полученного ранее материала
Изучение нового материала	Объяснение нового материала	Лекция, историческая справка	презентация	20 мин.	Изучить новый материал
Закрепление изученного материала	Устное выполнение заданий	Устное выполнение заданий у доски	презентация	7 мин	Контроль усвоения новых знаний
Групповая работа	Просмотр видеоролика	Монологическая речь, беседа, показ видеоролика	Видеоролик	8 мин	Контроль усвоения  материала, развитие познавательного интереса к изучаемой теме
	Выполнение задания с защитой его у доски	Показ презентации,  беседа, показ презентации	презентация	12 мин
	Игра «Кто быстрей»	Выполнение заданий по слайдам	презентация	7 мин
Индивидуальная работа	Решение заданий	Решение заданий	Карточки, презентация	8 мин	Контроль усвоения  материала
III.           Заключительная часть:
Подведение итогов.	Метод «Ресторан»	Беседа	Карточки	6 мин	Организация подведения итогов занятия обучающимися.
Выставление оценок. Рефлексия	Выставление оценок, заключительная речь,	Беседа, анализ,	Оценочный лист	3 мин
Информирование о домашнем задании	Подготовить таблицу значений тригонометрических функций	Разъяснение		2 мин	Ориентация студентов на самостоятельную работу

 

Ход занятия.

I.                  Вводная часть

Организационный этап.

Включает в себя подготовку помещения к занятию, приветствие, проверку отсутствующих.

Дорогие ребята, теперь прошу обратить внимание  на материалы на ваших столах.  Всё это пригодится для нашего занятия, на разных его этапах. Я надеюсь на ваше внимание и активность на уроке.

II.               Основная часть.

Проверка домашнего задания.

Ребята, вы должны были выполнить несколько заданий, включающих в себя: вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса, перевод данных чисел из радианной меры в градусную, перевод данных чисел из градусной  меры в радианную. Возникли ли вопросы по домашнему заданию?

Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос.

Мы с вами начали изучать раздел «Основы тригонометрии», познакомились с несколькими темами данного раздела. Давайте немного повторим пройденный материал. Вспомним:

- Дайте определение синуса? (Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α).

- Дайте определение  косинуса?  (Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α).

- Дайте определение тангенса? (Тангенсом числа t  называется отношение синуса t к косинусу t). 

- Дайте определение котангенса? (Котангенсом t  называется отношение косинуса t  к синусу t).

 Хорошо. На экране вы видите задания теста . Прошу вас выполнить их. Время 5 минут. За каждый правильный ответ– 1 балл

Тест

1.      Выберите точку, в которой   =  1

 а) ;  б); в) ; г).

2.     Вычислите: а);

а)  ;     б)  ;   в)  -    ; г) - .

3.     Обозначьте на числовой окружности точки t, удовлетворяющие уравнению , и запишите каким числам t они соответствуют.

а) ± +2πk, kєZ;    б) ± +2πk, kєZ

4.     Определите знак числа:

а)+;     б)-.

5.   Определите знак выражения sin

6.     а)+;     б)-.

Время вышло, теперь поменяйтесь тетрадями с соседом по парте и выполните проверку. Правильные ответы вы видите на экране.

 

Мотивация темы, цели занятия.

Прежде чем узнать тему урока, угадайте несколько слов.

1.       Наиболее важный, служащий опорой или фундаментом для других,  главный, самый существенный? (основной).

2.       Царство, где живут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы? (тригонометрия).

3.       Как в математике называют равенство, верное при любых допустимых значениях переменных? (тождество).

4.       Наступать, происходить, появляться после кого-чего-нибудь? (следовать).

Итак, у вас есть четыре слова «основной», «тригонометрия», «тождество», «следовать». Попробуйте составить из них тему нашего занятия.

«Основное тригонометрическое тождество и следствия из него»

- О чем пойдет сегодня речь на занятии? (о тригонометрическом тождестве).

- Какие действия будем выполнять? (решать, доказывать, упрощать).

-Как? (с помощью основного тригонометрического тождества и следствий из него).

Цели: Какие цели учения на занятие вы поставили бы для себя?

(Изучение основного тригонометрического тождества и следствие из него).

Объясняю ход урока

Хорошо, вот именно данным целям мы и будем следовать сегодня на занятии. Сначала рассмотрим новый материал, далее вы выполните тест, затем вы будете работать в группах и, в заключении, вам предстоит выполнить индивидуальную работу. Итоговая оценка будет складываться из трёх этапов.

Прослушаем историческую справку.

Рассмотрим единичную окружность с центром в начале системы координат. Чему равен радиус этой окружности? (1). Давайте возьмем точку М на окружности с координатами х и y и поставим этой точке в соответствии некий угол α. Вспомните, какой тригонометрической функции соответствует координата х точки М? (Косинусу). Вспомните, какой тригонометрической функции соответствует координата y точки М?(Синусу). Так как у нас имеется окружность с центром в начале координат, давайте вспомним уравнение такой окружности (x²+y²=R² ). Не трудно заметить что х – это косинус ,  y – это синус, а радиус нашей окружности равен единице. И мы с вами получаем основное тригонометрическое тождество  cos²α +sin²α=1.

Запишем эту формулу и на ее основе выведем несколько ее следствий.

 

cos²α +sin²α=1                           tgα⋅ctgα=1

cos²α =1-sin²α

           sin²α=1- cos²α                            tgα=

         1+ tg²α=                               ctgα=

         1+сtg²α=

Рассмотрим примеры:

1.     Упростить выражение cos²α +sin²α+ tg²α

2.     Найдите значение выражения: 

Закрепление изученного материала

Устная работа по слайдам

Упростите

     а) ( sin α + cos α )²                                                                  1+ sin 2α

     б) ( sin α – 1)(sin α + 1)                                                             - cos² α

     в) 1- 2tq α*ctq α                                                                               - 1

    г) tq² α +1 – 1/cos² α                                                                            0

    д) sin α /cos α + cosα/sin α                                               1/ sin α cos α

    е) соs²α - 1 + sin² α                                                                               0

    ж) 1/ tq α * 1/ ctq α                                                                               1

    з) sin² α – 1 - cos² α                                                                   - 2cos² α

Теперь я попрошу вас разделиться на 3 группы.

Групповая работа

1 этап

Просмотр видео и выполнение заданий

Просмотрим видео ,из которого вы узнаете для чего нужна геометрия в реальной жизни. Тригонометрия так же используется в офтальмологии при вычислении угла до невидимого предмета. Предлагаю выполнить задание, связанное с вашей профессией, и узнать под каким углом делаются внутримышечные и подкожные уколы.

1.     Вычислите по каким углом делаются внутримышечные инъекции, если синус этого угла равен единице.

2.     Вычислите по каким углом делаются подкожные  инъекции, если синус этого угла равен.

2 этап

Решение задания с защитой его у доски

Каждая группа попытается выполнить предложенное мной задание, затем защитить его у доски.

1     группа Известно, что cos α =- ,π ˂ α ˂ 3π/2. Найти: sin α; tg α; ctg α.

                                                                                          (;  )

      2  группа Известно, что  ˂ α ˂ π и  sin α = 0,6. Найти cos α; tq α; ctg α.

                                                                                                    (– 0,8; -0,75;- )

3        группа  Известно, что tg α=3/4 и 0 ˂ α ˂ π/2. Найти: sin α; cos α; ctg α

                                                                                           (0,6;0,8;  )

3 этап

Викторина «Кто вперед»

Следующее задание вы увидите на слайде, оно будет на применение основных тригонометрических  формул  к преобразованию выражений. Кто первый поднимет руку, та группа и отвечает, за каждый правильный ответ 1 балл

1)    Упростите

       а) 1 – 1/sin² α                                                                               - ctq² α

       б) 1 – 1/cos² α                                                                                - tq² α

       в) 1 + sin² α/cos² α                                                                       1/cos² α

       г) 1 + cos² α/sin² α                                                                        1/sin² α

       д) (1 - sin² α)/cos² α                                                                                1

       е) (1 - cos² α )/cos² α                                                                           tq α

       ж)( sin² α – 1)/sin² α                                                                       - ctq² α

       з) (cos² α – 1 )/sin² α                                                                              - 1

       и) 1 + tq² α – 1/cos² α                                                                              0

       к) 1 + ctq ² α – 1/sin² α                                                                             0

       л) sin² α + cos² α + 5                                                                                 6

2)    Докажите тождество:

а).

     б)  .

в) =tgt

4) Упростите выражения:

а) sin α · cos α · tg α;                                                                          sin² α

б) sin²х- tg x· ctg x;                                                                            - cos² α

в) (1- sin²α) · tg ²α;                                                                             sin² α

г)

Индивидуальное задание

1.Упростите выражение

1)                              

 2)        

3) sin t · cos t · tg t

4) tg x· ctg t - cos² t;

5) (1- cos t) (1+ cos t);

6) sin²t- tg t· ctg t;

7) (1- sin²t) · tg ²t.

Ответы:

1)   0;  2) ;   3)sin² t;  4)sin² t;  5)sin² t;  6) - cos² t;  7) sin² t.

Ш. Заключительный этап

1.     Подведение итогов.

Итак, что нового вы узнали на занятии?

Сформулируйте основное тригонометрическое тождество.

Назовите несколько следствий из основного тригонометрического тождества.

Я предлагаю вам представить, что сегодняшний день вы провели в ресторане и теперь директор ресторана просит их ответить на несколько вопросов:

- Я съел бы еще этого…

 - Больше всего мне понравилось…

 - Я почти переварил…

- Я переел…

- Пожалуйста, добавьте…

Вы пишете свои ответы на карточках и приклеиваете на лист флип-чарта, комментируя.  

 2. Выставление оценок

Ребята  подсчитывают баллы и получают оценку за занятие.

3. Домашнее задание

На следующем занятие мы продолжим изучать тригонометрию, познакомимся с новыми формулами. Домашнее задание - выполнить задания на листочках. На этом позвольте закончить урок.

Урок закончен, всем спасибо!

Приложение

Оценочный лист студента

ФИ   студента_____________________

Дом зада ние	Фронт. опрос	тест	Устная работа	Работа в группах			Индиви дуаль ное задание	Итог
				Просмотр видео, выполнение заданий	Выполнение задания и защита его у доски	Игра «Кто быстрей»

Критерии оценивания

1 балл – за каждое выполненное задание

«5» - 39- 41  балла

«4» - 34-38 баллов

«3» - менее 33 баллов.

Ответы на тест

№ задания	1	2	3	4	5
Верный ответ	б	а	а	а	a

Историческая справка

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew- измеряю).

В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников.

Возникновение  тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.

Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с точностью до 1/60⁴. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский  астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед (1201-1274). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.  Современный синус a, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной a, или как хорда удвоенной дуги.

                                               A

                                                             

 

                                               А’

Рис. 1

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками  в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в  веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa =  sin( 90° - a)).

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов.  Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.

Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г.  Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. Факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло большой практический интерес (например, для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т. д.). Астрономов интересовали соотношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо заметить, что математики древности удачно справлялись с поставленными задачами.

Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще,

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов, от греческого gwnia - угол,  metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически не употребляется.

Домашнее задание

Вариант 1.

1.Упростите выражение

2. Известно, что  и  Найдите значения остальных тригонометрических функций.

Вариант 2.

1.Упростите выражение

2. Известно, что  и  Найдите значения остальных тригонометрических функций.