Открытый урок на тему: "Арифметическая прогрессия"

• 1 слайд

  АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
  
  
  
  
  Учитель математики
  Латфуллина Н.В.
  МБОУ «СОШ №16»
  г. Нижнекамск
  

• 2 слайд

  Закончился XX век,
  Куда стремится человек,
  Изучен космос и моря,
  Строенье звезд и вся земля,
  Но математиков зовет
  Известный лозунг
  “Прогрессия – движение вперед!”
  

• 3 слайд

  Устная работа
  Последовательность ( 𝒂 𝒏 )
  задана формулой
  𝒂 𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟑.
  
  Найдите: 𝒂 𝟏 , 𝒂 𝟑 , 𝒂 𝟓𝟎 , 𝒂 𝒌 .
  
  
  

• 4 слайд

  Устная работа
  Назовите три первых члена
  последовательности 𝒄 𝒏 , если
  
  𝒄 𝟏 =𝟒, 𝒄 𝒏+𝟏 = 𝒄 𝒏 +𝟑.
  
  
  
  

• 5 слайд

  Проверка домашнего задания
  1. Найдите первые шесть членов
  последовательности, заданной формулой 𝒏 – го
  члена: 𝒙 𝒏 = −𝟏 𝒏+𝟏 ∙𝟐.
  
  Решение: 𝒙 𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∙𝟐=− 𝟏 𝟐 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟑 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟑 = −𝟏 𝟑+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟒 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟒 = −𝟏 𝟒+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟓 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟓 = −𝟏 𝟓+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟔 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟔 = −𝟏 𝟔+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟕 ∙𝟐=−𝟐,
  
  

• 6 слайд

  Проверка домашнего задания
  1. Найдите первые шесть членов
  последовательности, заданной формулой 𝒏 – го
  члена: 𝒙 𝒏 = −𝟏 𝒏+𝟏 ∙𝟐.
  
  Решение: 𝒙 𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏 ∙𝟐=(− 𝟏) 𝟐 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟑 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟑 = −𝟏 𝟑+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟒 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟒 = −𝟏 𝟒+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟓 ∙𝟐=−𝟐,
  
  𝒙 𝟓 = −𝟏 𝟓+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟔 ∙𝟐=𝟐,
  
  𝒙 𝟔 = −𝟏 𝟔+𝟏 ∙𝟐= −𝟏 𝟕 ∙𝟐=−𝟐,
  
  

• 7 слайд

  Проверка домашнего задания
  2. Последовательность 𝒃 𝒏 задана формулой
  𝒃 𝒏 =𝟐 𝒏 𝟐 +𝟑𝒏. Найдите 𝒃 𝟓 , 𝒃 𝟏𝟎 , 𝒃 𝟓𝟎 .
  
  Решение: 𝒃 𝟓 =𝟐∙ 𝟓 𝟐 +𝟑∙𝟓=𝟓𝟎+𝟏𝟓,
  𝒃 𝟏𝟎 =𝟐∙ 𝟏𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟏𝟎=𝟐𝟎𝟎+𝟑𝟎=𝟐𝟑𝟎,
  𝒃 𝟓𝟎 =𝟐∙ 𝟓𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟓𝟎=𝟐∙𝟐𝟓𝟎+𝟏𝟓𝟎=𝟔𝟓𝟎.
  
  
  3. Выпишите первые пять членов
  последовательности 𝒂 𝒏 , если:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 −𝟏 .
  
  Решение:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝟐 =−𝟑, 𝒂 𝟑 =𝟑, 𝒂 𝟒 =−𝟑, 𝒂 𝟓 =𝟑.
  
  
  
  

• 8 слайд

  Проверка домашнего задания
  2. Последовательность 𝒃 𝒏 задана формулой
  𝒃 𝒏 =𝟐 𝒏 𝟐 +𝟑𝒏. Найдите 𝒃 𝟓 , 𝒃 𝟏𝟎 , 𝒃 𝟓𝟎 .
  
  Решение: 𝒃 𝟓 =𝟐∙ 𝟓 𝟐 +𝟑∙𝟓=𝟓𝟎+𝟏𝟓,
  𝒃 𝟏𝟎 =𝟐∙ 𝟏𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟏𝟎=𝟐𝟎𝟎+𝟑𝟎=𝟐𝟑𝟎,
  𝒃 𝟓𝟎 =𝟐∙ 𝟓𝟎 𝟐 +𝟑∙𝟓𝟎=𝟐∙𝟐𝟓𝟎𝟎+𝟏𝟓𝟎=𝟓𝟏𝟓𝟎.
  
  
  3. Выпишите первые пять членов
  последовательности 𝒂 𝒏 , если:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 −𝟏 .
  
  Решение:
  𝒂 𝟏 =𝟑, 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝟑 , 𝒂 𝟑 =𝟑, 𝒂 𝟒 = 𝟏 𝟑 , 𝒂 𝟓 =𝟑.
  
  
  
  

• 9 слайд

  Какая закономерность наблюдается в каждой последовательности?
  
  1) 𝟏;𝟑;𝟓;𝟕;…
  
  2) 𝟔;𝟏𝟐;𝟐𝟒;𝟒𝟖;…
  
  3) 𝟐;𝟕;𝟏𝟐;𝟏𝟕;…
  
  4) −𝟏𝟔;−𝟏𝟑;−𝟏𝟎;−𝟕;…
  
  5) 𝟏;𝟒;𝟗;𝟏𝟔;…
  
  
  Найдите для каждой последовательности следующие два члена.
  А можно ли из данных пяти последовательностей выделить группу числовых рядов, объединённых каким-либо общим признаком?
  
  
  

• 10 слайд

  Арифметическая прогрессия
  Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
  
  (an) - арифметическая прогрессия,
  если an+1 = an+d ,
  где d-некоторое число.
  

• 11 слайд

  Разность между любым членом арифметической
  прогрессии, начиная со второго, и предыдущим
  членом равна 𝒅.
  
  
  
  
  
  
  Число 𝒅 называют разностью арифметической прогрессии.
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  +d
  a2
  a1
  a3
  an
  an-1
  an+1
  d=an+1-an
  

• 12 слайд

  Зарядка для глаз
  

• 13 слайд

  Последовательности заданы несколькими первыми членами? Есть ли среди них арифметические прогрессии?
  1) 1; 4; 7; 10;...
  
  2) 1; 4; 15; 18;...
  
  3) 1; -1; -3; -5;…
  
  4) 4; 4; 4; 4;…
  𝒅=𝟑
  𝒅=𝟎
  𝒅=−𝟐
  

• 14 слайд

  Какой вывод из этих прогрессий можно сделать?
  𝟏;𝟒;𝟕;𝟏𝟎;…
  𝟏;−𝟏;−𝟑;−𝟓;…
  4; 4; 4; 4;…
  Если в арифметической прогрессии разность положительна (𝒅>𝟎), то прогрессия является возрастающей.
  
  Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (𝒅<𝟎), то прогрессия является убывающей.
  
  Если разность равна нулю 𝒅=𝟎 , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и последовательность называется стационарной.
  
  𝒅=𝟑, 𝒂 𝒏+𝟏 > 𝒂 𝒏
  𝒅=−𝟐, 𝒂 𝒏+𝟏 < 𝒂 𝒏
  𝒅=𝟎, 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏
  

• 15 слайд

  Задача.
  Выпишите первые три члена арифметической прогрессии 𝒂 𝒏 , если известно, что 𝒂 𝟏 =𝟐, 𝒅=𝟎,𝟒.
  
  𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟏 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟒.
  
  𝒂 𝟑 = 𝒂 𝟐 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟖.
  
  
  𝒂 𝟑𝟏 −? 𝒂 𝟏𝟎𝟎 −?
  
  

• 16 слайд

  Формула n-го члена
  a1
  a2=a1+d
  a3=a2+d=(a1+d)+d =a1+2d
  a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
  a5=a4+d=(a1+3d)+d=a1+4d
  ……………………..
  an=a1+(n-1)d
  
  an=a1+d (n-1)
  
  
  

• 17 слайд

  Задача.
  Выпишите первые три члена арифметической прогрессии 𝒂 𝒏 , если известно, что 𝒂 𝟏 =𝟐, 𝒅=𝟎,𝟒.
  
  𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟏 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟒.
  
  𝒂 𝟑 = 𝒂 𝟐 +𝟎,𝟒=𝟐,𝟖.
  
  
  𝒂 𝟑𝟏 −? 𝒂 𝟏𝟎𝟎 −?
  
  

• 18 слайд

  Задача.
  Дано ( 𝑥 𝑛 ) –арифметическая прогрессия, 𝑥 30 =128, d=4. Найти: 𝑥 1.
  
  

• 19 слайд

  Задача.
  Дано ( 𝑦 𝑛 ) –арифметическая прогрессия, 𝑦 1 =10, 𝑦 5 =22. Найти: d.
  
  

• 20 слайд

  Ответы к тесту:
  Вариант 1
  
  
  Вариант 2
  
  Прогресс (лат. progressus) – направление развития от низшего
  к высшему, поступательное движение вперед, к лучшему.
  

• 21 слайд

  Домашнее задание:
  пункт 31,
  На «3»:
  1).  , ,
  2) 6; 2; …; 
  
  На «4»
  3)   , ,
  4) 4; 6; …; 
  5)    , ,
  На «5»
  Найти задачи, связанные с арифметической прогрессией из различных областей: физики, медицины и т.д.