Открытый урок по математике на тему "Интегрирование подстановкой"

Федеральное агентство по образованию ФГОУ СПО

Тольяттинский политехнический колледж

                                                                          «УТВЕРЖДАЮ»

                                                                                     заместитель директора

                                                                               по учебной работе

                                                                                            _________С.А.Савощенко

П  Л  А  Н

открытого урока по математике

              Тема:            «Интегрирование подстановкой»

              Группа:                           Тм-11

            Дата проведения:           20.04.06

           Преподаватель:              Малова Е.С.

                                                                                        Рассмотрено на заседании

                                                                                         цикловой комиссии

                                                                                         математических и

                                                                                          естественно - научных

                                                                                          дисциплин

                                                                                         Председатель комиссии

                                                                                         _________Л.А.Гончарова

Тольятти,2006г.

План открытого урока

Группа Тм-11 курс1

Тема урока:      Интегрирование подстановкой

1. Цели урока.

Дидактические: сформулировать основные правила замены переменной в интеграле, научить учащихся правильно осуществлять замену.

Развивающие: развивать такие мыслительные операции, как анализ, синтез, обобщение, прививать умения выявлять общие свойства и находить различные элементы.

Воспитательные: воспитывать аккуратность, познавательную активность, внимание и организованность.

2. Основные знания и умения:

     Знать: правила замены переменной в интеграле.

    Уметь: определять заменяемое выражение, осуществлять замену по существующему алгоритму.

3. Вид урока: комбинированный урок.

4. К уроку приготовить: кодоскоп, кодопозитивы, плакат, табличные интегралы

5. Содержание и ход урока:

·        Организационный момент-2 мин.

·        Домашнее задание-3мин.

·         Проверка домашнего задания и опрос-20 мин.

1.      Проверка домашнего задания: решение задач (у доски)

2.      Опрос по определениям, пройденным на уроке №66

3.      Примеры по темам уроков №66, №67

·         Объяснение нового материала-40 мин

1. Сущность интегрирования методом замены
2. Виды подынтегральной функции
3. Случаи замены переменной

·         Заключение и закрепление материала -15 мин

     1.Решение задач

     2. Подведение итогов урока, оценки за урок

Подпись

Число 20.04.06г.

Конспект урока

Здравствуйте, садитесь.

Отмечаются отсутствующие.

Домашнее задание

Прежде чем приступим к решению задач, откройте тетради, запишите число,  тему урока (записаны на доске), домашнее задание (на кодопленке). Домашнее задание содержит три интеграла, в которых необходимо правильно подобрать замену. Обратите внимание на случаи подстановки.

Проверка домашнего задания и опрос

На предыдущих занятиях мы с вами познакомились с понятием первообразной, интеграла, их свойствами, решали интегралы по таблице, которая присутствует у вас на парте.

Сегодня вы напишите небольшую самостоятельную работу на 10мин, которая покажет,  как вы научились решать простейшие интегралы. Но прежде чем ее писать повторим основные понятия, необходимые нам сегодня для урока. Один человек идет к доске записывать формулы и решение интеграла. Задание оценивается в 10 баллов:

1.Степенная функция имеет вид: (у=хⁿ)

2. Показательная функция имеет вид: (у=а^х)

3.

4.   x^-t        =

5. =  (записать производную через дифференциал)

6.

Пока студент отвечает у доски, проведем устный опрос. За ответ на один вопрос 5 баллов, за свойства интегралов15 баллов:

1. Определение первообразной
2. Определение интеграла
3. Основное свойство первообразной
4. свойства интегралов.
5. Какая функция называется дифференцируемой

Проверим работу у доски.

Теперь приступим к самостоятельной работе. Задание написано на кодопленке. Всего 6 вариантов по три интеграла в каждом. На решение время пошло.

Один человек собирает листочки. А теперь посмотрите на ответы и сами себя оцените. Оценки будут объявлены на следующем уроке.

Объяснение нового материала

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

1)      Для нахождения интеграла  заменяем дифференцируемую функцию,  новой переменной t  с помощью подстановки t=g(х).

2)      Дифференцируя равенство t=g(x) , получаем dt=

3)      Подставляя в подынтегральное выражение вместо х и dx их значения, выраженные через t и dt, имеем=

4)      После того как интеграл относительно новой переменной будет найден, с помощью подстановки x=g^-1(t) он приводится к переменной х.

Рассмотрим возможные виды интегралов, решение которых необходимо производить способом подстановки. (Висит плакат на доске). На нем имеется 2 вида интеграла: первый от дроби, а второй от произведения.

Для того чтобы научиться видеть заменяемое выражение необходимо запомнить, что в интегралах с данным способом решения обязательно должны существовать одновременно функция, от которой находим производную (другими словами дифференцируемая) и функция, которая является найденной производной для данной, а за новую переменную всегда берется дифференцируемая функция.

Возможны различные случаи:

1)      Если числитель есть производная от функции в знаменателе, то знаменатель обозначаем за новую переменную.

       Рассмотрим пример1

                            t=5x³+1

           dt=15x²dx    =

                            x²dx=

          Пример2

В плакат вставляется задание для второго примера. Студент идет к доске. Ему предоставляется выбор из трех карточек (t=3+4x⁵, t=4x⁵, t=5x⁴) для замены переменной в данном интеграле.

                            t=3+4x⁵

    dt=20x⁴dx    =

                      5x⁴dx=

2)      Если производная от числителя, есть функция, содержащая знаменатель, то числитель обозначаем за новую переменную.

   Рассмотрим пример 3

          

                             t=lnx

           dt=    =

     Пример4

В плакат вставляется задание для  примера. Студент идет к доске. Ему предоставляется выбор из трех карточек (t=3+lnx, t=x, t=lnx) для замены переменной в данном интеграле.

                             t=3+lnx

      dt=    =

3)      Если в знаменателе степенная функция, и производная от ее основания есть числитель, то основание обозначаем за новую переменную

Рассмотрим пример 5

                            t=x³-3

    dt=2xdx       ==

                            xdx=     

=

     Пример6

В плакат вставляется задание для  примера. Студент идет к доске. Ему предоставляется выбор из трех карточек (t=1+2sinx, t=cosx, t=sinx) для замены переменной в данном интеграле.

 

                            t=1+2sinx

   dt=2cosxdx  =       

                            cosxdx=

Для второго вида интеграла:

1)      Если производная от основания степенной функции есть множитель данной функции, то за новую переменную обозначаем основание.

Рассмотрим пример 7

 

                                t=2x³+3

 dt=6x²dx   =

                                x²dx=       

Пример8

В плакат вставляется задание для  примера. Студент идет к доске. Ему предоставляется выбор из трех карточек (t=4x³+1, t=x², t=) для замены переменной в данном интеграле.

                               t=4x³+1

   dt=12x²dx    =

                               x²dx=

2)      Если в интеграле присутствует показательная функция, умноженная на найденную производную от показателя, то за новую переменную берется показатель.

Рассмотрим пример9

                       t=5x²

    dt=10xdx  =

                       xdx=

Заключение и закрепление материала

Не всегда осуществляется полная замена, иногда можно определить частичную замену.

                                               t=x⁴

1. = dt=4x³dx     =

                                                 x³dx=

=

                            t=e^2x

 2.   dt=2e^2xdx   =

                            e^2xdx=

1.      Как осуществляется замена в интеграле?

2.      Какие виды интегралов, решаемые заменой, вы узнали?

3.      Какие возможны случаи замены переменной?

4.      Как можно осуществить частичную замену?

Итак, сегодня мы познакомились с алгоритмом замены переменной в интеграле, видами интегралов, решаемых данным способом, различными случаями замены переменной.

За активную работу на уроке выставляю дополнительные баллы (перечисляю фамилии)

Спасибо за урок. До свидания.

Литература

1.      Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа.М:Просвещение,1993год

2.      Богомолов Н.В.Практические занятия по математике. М: Высшая школа, 1997год