Педагогический проект: «Применение метода математического моделирования при решении прикладных задач»

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя

общеобразовательная школа №1 села Федоровка

муниципальный район Федоровский район Республики Башкортостан

Педагогический проект

по математике  

Применение метода математического

моделирования при решении прикладных задач

Учитель математики: Марфина Светлана Павловна «___» ____________20__ г.

С.Федоровка, 2021 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО  

МОДЕЛИРОВАНИЯ 6

1.1. Понятие математического моделирования6

1.2. Понятие прикладной задачи12

1.3. Психолого-педагогические особенности детей подросткового

возраста16

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ

МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ

ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ 23

2.1. Методические приемы обучения школьников решению прикладных

задач с помощью метода математического моделирования23

2.2. Комплекс прикладных задач решаемых с помощью метода

математического моделирования33

2.3. Элективный курс «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования»45

2.4. Опытно-экспериментальная работа. Анализ ее результатов48

ЗАКЛЮЧЕНИЕ53

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ55

ПРИЛОЖЕНИЯ59

ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее универсальных математических методов познания является метод математических моделей (математическое моделирование).

Математическое моделирование повышает активность мыслительной деятельности человека, помогает понять задачу самостоятельно, найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решения.

Вопросы моделирования рассматривались в работах философов (В. А. Штоффа, И. Б. Новикова, Н. А. Уемова и других), специалистов по педагогике и психологии (Л. М. Фрид­мана, В. В. Давыдова, Б. А. Глинского, С. И. Архангельского и других), методистов (И. М. Шапиро, Н. А. Терешина и других)

Математическое моделирование – это один из рациональных способов решения задач, а умение решать задачи  –  один из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала.  Задачи из окружающей действительности позволяют раскрыть практическую значимость математики. Многочисленные закономерности окружающего нас мира, производства, являются конкретными моделями общих математических зависимостей, свойства которых целиком и полностью распространяются на эти модели.

С помощью метода математического моделирования при решении прикладных задач раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего нас реального мира, с другой –  сама жизнь, практика способствует дальнейшему развитию математики и направляет это развитие.

В разное время проблемой прикладной направленности обучения математике занимались как математики, так и методисты: С.С. Варданян, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых и другие.

Однако, как показало констатирующее исследование, проведенное среди учителей математики Федоровского района РБ, учителя на своих уроках очень мало уделяют внимание решению прикладных задач.

Во первых, такое положение дел связано с тем, что в действующих учебниках математики текстовые задачи занимают лишь небольшую часть от общего числа задач: в учебнике [Мордкович, 2010]: текстовые задачи занимают лишь 28 % от числа всех задач, а прикладные задачи 9% от текстовых задач и примерно 2 –  3 % от общего числа задач; в учебнике [Алгебра, 2009]: текстовые задачи занимают лишь 36 % от числа всех задач, а прикладные задачи 13% от текстовых задач и примерно 3 –  4 % от общего числа задач.

Во вторых, молодые учителя математики отметили, что не достаточно методической литературы по обучению учащихся решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

В связи с чем возникает противоречие между необходимостью обучать учащихся решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования и недостаточной разработанностью методического материала по данному вопросу.

Объект исследования: процесс обучения математике в 9 классе.

Предмет исследования: обучение учащихся решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

Цель работы: выявить методические приемы по обучению учащихся решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования и разработать комплекс таких задач.

Гипотеза исследования: если при обучении математике использовать выявленные методические приемы и разработанный комплекс прикладных задач, то повысится успеваемость и качество знаний учащихся.

Задачи исследования:

1)                провести анализ психолого–педагогической и методической литературы по теме исследования;

2)                выявить методические приемы по обучению школьников решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования;

3)                разработать комплекс прикладных задач, решаемых методом математического моделирования;

4)                составить элективный курс по математике «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования»;

5)                провести опытно–экспериментальную работу.

Практическая значимость исследования заключается в следующем: выявленные методические приемы и разработанный комплекс прикладных задач, а также сконструированный элективный курс по теме «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования» будут полезны и могут быть использованы как учителями математики, так и студентами во время прохождения педагогической практики и на занятиях по теории и методики обучения математике.

Апробация исследования осуществлялась по следующим направлениям:

1)                выступление на VIII Межвузовской научно–практической конференции молодых ученых РБ «Молодежь. Прогресс. Наука» г. Стерлитамак, 2013 г.

2)                выступление на занятиях по дисциплине специализации.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ.

Понятие математического моделирования

Моделирование в настоящее время получило необычайно широкое применение во многих областях знаний: от философских и других гуманитарных разделов знаний до ядерной физики и других разделов физики, от проблем радиотехники и электротехники до проблем механики и гидромеханики, физиологии и биологии и т. д. моделирование – главный способ познания окружающего мира.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Моделируемый объект называется оригиналом, моделирующий - моделью.

Понятие «модель» возникло в процессе опытного изучения мира, а само слово «модель» произошло от латинских слов «modus», «modulus», означающих меру, образ, способ. Почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью [Штофф, 1966, с. 72] .

Существуют различные точки зрения на определение понятия «модель». Так, например, В. А. Штофф под моделью понимает такую мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая отображает и воспроизводит объект так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте [там же, с. 82].

А. И. Уемов определяет модель как систему, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе [Уемов, 1996, с. 51].

Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: «Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет» [Майгейм, 1997, с. 544]. Наиболее известной является классификация по характеру моделей.

Модели классифицируют исходя из наиболее существенных признаков объектов. В литературе, посвященной философским аспектам моделирования, представлены различные классификационные признаки, по которым выделены различные типы моделей. Рассмотрим некоторые из них.

В. А. Штоф предлагает следующую классификацию моделей [Штофф, 1966, с. 28]:

1) по способу их построения (форма модели);

2) по качественной специфике (содержание модели).

Л. М. Фридманом, с точки зрения степени наглядности, все модели разбивает на два класса [Фридман, 1965, с. 29]:

1)    материальные (вещественные, реальные);

2)    идеальные.

Материальные модели, несмотря на то, что эти модели созданы человеком, существуют объективно. Их назначение специфическое – воспроизведение структуры, характера, протекания, сущности изучаемого процесса – отразить пространственные свойства – отразить динамику изучаемых процессов, зависимости и связи.

Материальные модели неразрывно связаны с воображаемыми (прежде чем что-либо построить, необходимо иметь теоретическое представление, обоснование). Эти модели остаются мысленными даже в том случае, если они воплощены в какой-либо материальной форме. Большинство этих моделей не претендует на материальное воплощение.

В свою очередь материальные модели по форме делятся на [Штофф, 1966, с. 30]:

1)                образные (построенные из чувственно наглядных элементов);

2)                знаковые (в этих моделях элементы отношения и свойства моделируемых явлений выражены при помощи определенных знаков);

3)                смешанные (сочетающие свойства и образных, и знаковых моделей).

Достоинства данной классификации в том, что она дает хорошую основу для анализа двух основных функций модели:

1)  практической (в качестве орудия и средства научного эксперимента);

2)  теоретической (в качестве специфического образа действительности, в котором содержатся элементы логического и чувственного, абстрактного и конкретного, общего и единичного).

Б. А. Глинский разделяет модели и по характеру воспроизведения сторон оригинала на [Глинский, 1965, с. 125]: субстанциональные; структурные; функциональные; смешанные.

Как видим, понятие модели в науке и технике имеет множество различных значений, среди ученых нет единой точки зрения на классификацию моделей, в связи с этим невозможно однозначно классифицировать и виды моделирования. Классификацию можно проводить по различным основаниям [Штофф, 1966, с. 28]:

1)    по характеру моделей (то есть по средствам моделирования);

2)    по характеру моделируемых объектов;

3) по сферам приложения моделирования (моделирование в технике, в физических науках, в химии, моделирование процессов живого, моделирование психики и т. п.);

4) по уровням («глубине») моделирования, начиная, например, с выделения в физике моделирования на микроуровне.

Известно, что для математического исследования процессов и явлений, реально происходящих в действительности, надо суметь описать их на языке математики, то есть построить математическую модель процесса, явления. Математические модели и являются объектами непосредственного математического исследования.

Математической моделью называют совокупность математических объектов, описывающих языком математических символов исследуемый объект и его отношение с окружающим миром [Дулов, 2001, с.44]. Математической моделью можно назвать специальное описание некоторой проблемы, ситуации, которое дает возможность в процессе ее анализа применять формально-логический аппарат математики [Салмина, 1998, с. 131].

С математическими моделями тесно связан математический метод познания отображаемых моделью объектов – метод математического моделирования.

Соотношение между элементами a, b и c, выражаемое формулой a+b=c, – это математическая модель. Она изоморфно отображает операцию объединения двух «куч камней» с их числами a и b в общую «кучу камней», которых окажется с=a+b. В этом смысле операция сложения изоморфна этому слиянию.

Этот пример поясняет общий математический метод познания. Он состоит в построении для объекта, процесса или явления изоморфной математической модели, изучении этой математической модели и переносе в силу изоморфизма результатов, полученных для модели, на исходный объект [Грес, 2005, с. 28].

 «Моделирование – это есть процесс использования моделей (оригинала) для изучения тех или иных свойств оригинала (преобразования оригинала) или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности» (например, для преобразования арифметического выражения можно его компоненты временно обозначить буквами) [Штофф, 1966, с. 121].

«Моделирование – это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система» [Новик, 1964, с. 25]:

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

2) способная замещать его в определенных отношениях;

3) дающая при ее исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте» (три перечисленных признака по сути являются определяющими признаками модели).

На основании перечисленного можем выделить следующие цели моделирования [Алтухов, 1988, с. 21]:

1)    понимание устройства конкретной системы, ее структуры, свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром;

2)    управление системой, определение наилучших способов управления при заданных целях и критериях;

3)    прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на систему.

Все три цели подразумевают в той или иной степени наличия механизма обратной связи, то есть необходима возможность не только переноса элементов, свойств и отношений моделируемой системы на моделирующую, но и наоборот.

Различают следующие виды моделирования [Сичивица, 1993, с. 29]:

1. Предметное моделирование, при котором модель воспроизводит геометрические, физические, динамические или функциональные характеристики объекта. Например, модель моста, плотины, модель крыла самолета и т.д.

2. Аналоговое моделирование, при котором модель и оригинал описываются единым математическим соотношением. Примером могут служить электрические модели, используемые для изучения механических, гидродинамических и акустических явлений.

3. Мысленное моделирование, при котором модели приобретают мысленно наглядный характер. Примером может в данном случае служить модель атома, предложенная в свое время Бором.

4. Знаковое моделирование, при котором моделями служат знаковые образования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, графы, слова и предложения в некотором алфавите (естественного или искусственного языка.

Математическое моделирование [Овчинников, 2002, с. 15] — частный случай моделирования. Является важнейшим видом знакового моделирования и осуществляется средствами языка математики. Знаковые образования и их элементы всегда рассматриваются вместе с определенными преобразованиями, операциями над ними, которые выполняет человек или машина (преобразования математических, логических, химических формул и т. п.).

Математическое моделирование предполагает использование в качестве специфического средства исследования оригинала его математическую модель, изучение которой дает новую информацию об объекте познания, его закономерностях (Н.П. Бусленко, Б. А. Глинский, Б.В. Гнеденко, Л.Д. Кудрявцев, И.Б. Новик, Г.И. Рузавин, К.А. Рыбников, В.А. Штофф).

Предметом исследования при математическом моделировании является система «оригинал – математическая модель», где системообразующей связью выступает изоморфизм структур оригинала и модели. Структура служит инвариантным аспектом системы, раскрывающим механизм ее функционирования [Овчинников, 2002, с. 29].

Метод математического моделирования, как отмечает Грес, заключается в том, что для исследования какого-либо объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому [Грес, 2005, с. 28]. Построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследуемые задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект .

Математическое моделирование – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Это мощный метод познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления [Виноградов, 1982, с. 59].

1.2. Понятие прикладной задачи

В разное время проблемой прикладной направленности обучения математике занимались как математики, так и методисты: С.С. Варданян, Г.Д.Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.А. Терешин, Ю.Ф. Фоминых и другие.

Практика показывает, что школьники с интересом решают и воспринимают задачи практического содержания. Учащиеся с увлечением наблюдают, как из практической задачи возникает теоретическая, и как чисто теоретической задаче можно придать практическую форму.

В настоящее время нет единого подхода к трактовке понятия «прикладная задача». «Прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами» [Терешин, 1990, с. 37].

Существуют различные классификации задач.

                  I.                        По характеру объектов задачи можно разделить на:

1)                прикладные (практические) задачи – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами;

2)                математические задачи – задача, которая выполняется посредством умозаключения, вычисления [Колягин, 1985, с. 118].

В данной работе мы будем придерживаться определения прикладной задачи по Терешину, считая прикладные задачи практическими.

               II.                        По отношении к теории прикладные задачи делятся на:

1.      стандартные задачи – это задачи, для решения которых в школьном курсе математики имеются готовые правила (в виде словесного алгоритма, формулы, тождества и т.д.) или эти правила непосредственно следуют из правил, теорем, определений программного минимума;

2.     Нестандартные задачи – это задачи, способ решения которых не находится в распоряжении субъекта [Терешин, 1990, с. 39].

            III.                        По характеру требований задачи делятся на три вида:

1.     нахождение (распознавание) искомых;

2.     задачи на преобразование или построение;

3.     задачи на доказательство и  объяснение [там же, с. 40].

К прикладной задаче, по мнению Н.А. Терешина, следует предъявлять следующие требования:

1)    в содержании прикладных задач должны отражаться математические и нематематические проблемы и их взаимная связь;

2)    задачи должны соответствовать программе курса, вводиться в процесс обучения как необходимый компонент, служить достижению цели обучения;

3)    вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание и требование задачи должны «сближаться с реальной действительностью»;

4)    способы и методы решения задачи должны быть приближены к практическим приемам и методам;

5)    прикладная часть задачи не должна покрывать ее математическую сущность [там же, с. 52].

Прикладные задачи могут быть использованы с разной дидактической целью, они могут заинтересовать или мотивировать, развивать умственную деятельность, объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами.

Часто у школьников возникает мысль, будто бы задачи бывают прикладные, т. е. нужные в жизни, и не практические, которые в жизни не понадобятся. Для устранения таких ошибок целесообразно использовать любую возможность показа того, что абстрактная задача может быть связана с прикладными. Например: «Двор имеет форму треугольника. Где нужно вкопать столб для подвески светильника, чтобы наилучшим способом осветить ближайшие к столбу точки сторон треугольника?» или «Лесная поляна имеет форму треугольника. В какой ее точке безопаснее развести костер?» При изучении темы в 9 классе «Геометрическая прогрессия» можно выстроить урок «Геометрическая прогрессия и ее приложения в экономике» и рассмотреть вопрос: «Как банки дают кредиты различным фирмам?» Учащиеся видят, что такие, на первый взгляд, бесполезные вопросы, как сумма членов геометрической прогрессии, бесконечно убывающая прогрессия и ее сумма, имеют глубокий экономический смысл.

Решение прикладной задачи тогда эффективно, как отмечает А.Д.Мышкис,  когда учащиеся встречались с описываемой ситуацией в реальной действительности: в быту, на экскурсии, при изучении других предметов [Мышкис, 1990, с. 9]. Эффективным средством является широкое использование наглядности: фотографий, слайдов, плакатов, рисунков и т. д.

Прикладная задача повышает интерес учащихся к самому предмету, поскольку для подавляющего большинства ценность математического образования состоит в ее практических возможностях.

Важным средством достижения прикладной и практической направленности обучения математике служит планомерное развитие у школьников наиболее ценных для повседневной деятельности навыков выполнения вычислений и измерений, построения и чтения графиков, составления и применения таблиц, пользование справочной литературой. Возможны различные пути формирования подобных навыков. В этой связи являются перспективными вычислительные практикумы, лабораторные работы по измерению геометрических величин, измерительные работы на местности, задания на конструирование и преобразование графиков.

Использование прикладных задач в преподавании математики, как отмечает Н. А. Терешин, только тогда может дать педагогический эффект и вызвать интерес у учащихся, если эти задачи удовлетворяют следующим требованиям [Терешин, 1990, с. 42].:

1)                допускают краткую формулировку;

2)                использующиеся в них понятия известны учащимся, легко определяемы или интуитивно ясны;

3)                применение математического аппарата не требует существенной затраты времени;

4)                решение задач имеет важное практическое значение.

Рассмотрим примеры прикладных задач:

         Задача 1. Из щепы леспромхоз производит сухих кормовых дрожжей в 2 раза больше, чем из опилок. Сколько дрожжей он производит из щепы и сколько из опилок, если он производит за год 1080—1200 т дрожжей?

Задача 2. С одного места, в одном направлении одновременно стартовали по велотреку два велосипедиста. Один из них проезжает круг по велотреку за 1 минуту, а другой за 45 секунд. Через какое наименьшее время после начала движения велосипедист снова встретится в месте старта?

Задача 3.  На первом рабочем месте сборочного конвейера начинают собирать изделие из 5 деталей, затем на каждом из 9 следующих рабочих мест добавляется к изделию на 2 детали больше, чем на предыдущем. Какое количество деталей будет в изделии после прохождения 10 рабочих мест?

Задача 4. Требуется изготовить антенну в форме конуса высотой 24 см и диаметром основания 64 см. Развертка конуса  представляет собой сектор. Выразите его угол в градусах и радианах.

Задача 5. Усилитель низкой частоты, т. е. усилитель электрических колебаний звуковых частот, состоит из нескольких каскадов. Каждый каскад увеличивает выходное напряжение по сравнению с напряжением на входе каскада в р раз. Во сколько раз увеличится напряжение, если в усилителе k каскадов? Девятиклассник желает собрать усилитель, который бы усиливал звук в 30—40 раз. Сколько он должен последовательно соединить каскадов с коэффициентом усиления р = 2? Данная задача является одновременно прикладной и межпредметной.

Задача 6. Самолет летит из Москвы в Пермь и в тот же день возвращается обратно. В первый день погода была безветренной, а во второй дул сильный ветер с запада. Одинаковое ли время самолет находился в воздухе в первый и во второй день?

Задачи должны быть подобраны так, чтобы их постановка привела к необходимости приобретения учащимися новых знаний по математике, а приобретенные под влиянием этой необходимости знания позволили решить не только поставленную, но и ряд других задач прикладного характера. Для создания проблемных ситуаций можно использовать и отдельные фрагменты прикладных задач, а задачи в целом рассмотреть впоследствии при закреплении и углублении знаний школьников.

Для постановки проблемы перед изложением нового учебного материала следует использовать задачи с практическим содержанием, отличающиеся ясностью и простотой решения. Их использование обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учит школьников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства, основным мыслительным операциям, выделению существенных свойств математических объектов.

1.3. Психолого-педагогические особенности детей подросткового возраста

Одна из основных трудностей профессии учителя состоит не только в необходимости знать досконально учебный материал уроков, в умении правильно выбрать и применить методы и приемы преподавания. Столь же важно и умение использовать в своей работе знания о возрастных особенностях учащихся данного возраста, знание возрастной и педагогической психологии.

Подростковый возраст — стадия онтогенетического развития между детством и взрослостью (от 11 до 15 лет), которая характеризуется качественными изменениями, связанными с половым созреванием и вхождением во взрослую жизнь [Фридман, 2003, с. 29].

Л.С. Выгодский перечислил несколько основных групп наиболее ярких интересов подростка, которые он назвал доминантами:

1) эгоцентрическая доминанта (интерес подростка к собственной личности);

2) доминанта дали (установка подростка на обширные, большие масштабы, которые для него наиболее субъективно приемлемы, чем ближние, текущие, сегодняшние);

3) доминанта усилия (тяга подростка к сопротивлению, преодолению, к волевым напряжениям, которые иногда проявляются в упрямстве, хулиганстве, борьбе против воспитательного авторитета, протесте и других негативных проявлениях);

4) доминанта романтики (стремление подростка к неизвестному, к рискованному, к приключениям, к героизму) [приводится по: Фридман, 2003,

с. 342].

В подростковом возрасте ведущую роль играет общение со сверстниками в контексте собственной учебной деятельности подростка. Присущая детям этого возраста деятельность включает в себя такие ее виды, как учебная, общественно-организационная, спортивная, художественная, трудовая. При выполнении этих видов полезной деятельности у подростков возникает осознанное стремление участвовать в общественно необходимой работе, становиться общественно значимым. Он учится строить общение в различных коллективах с учетом принятых в них норм взаимоотношений, рефлексии собственного поведения, умения оценивать возможности своего «Я». Это наиболее сложный переходный возраст от детства к взрослости, когда возникает центральное психическое, личностное новообразование человека – «чувство взрослости». Специфическая социальная активность подростка заключается в большей восприимчивости к усвоению норм, ценностей и способов поведения, которые существуют в мире взрослых и в их отношениях.

С точки зрения В.А. Караковский [Приводится по: Зимняя, 1999, с. 176], младшему подростку особенно присущи потребность в достойном положении в коллективе сверстников и семье; стремление обзавестись верным другом; стремление избежать изоляции как в классе, так и в малом коллективе; повышенный интерес к вопросу о «соотношении сил» в классе; стремление отмежеваться от всего подчеркнутого детского; отсутствие авторитета возраста; отвращение к необоснованным запретам; восприимчивость к промахам учителей; переоценка своих возможностей, реализация которых предполагается в отдаленном будущем; отсутствие адаптации к неудачам; тенденция предаваться мечтаниям; боязнь осквернения мечты; повышенный интерес к спорту и т. д. Наряду с этим младший подросток характеризуется повышенной утомляемостью, ярко выраженной эмоциональностью, иногда резкостью в суждениях (до грубости). К концу периода младшего подростничества учащиеся начинают осознавать необходимость самостоятельного выбора дальнейшей программы образования, что предполагает сформированность достаточно устойчивых интересов и предпочтений, ориентацию в различных сферах труда и общественно полезной деятельности.

В этом возрасте главная ценность – система отношений со сверстниками, взрослыми, подражание осознаваемому или бессознательно следуемому «идеалу», устремленность в будущее (недооценка настоящего). Отстаивая свою самостоятельность, подросток формирует и развивает на основе рефлексии свое самосознание, образ «Я», соотношение «реального» и «идеального Я». На основе интеллектуализации психических процессов происходит их качественное изменение по линии все большей произвольности, опосредованности.

Очень важно, как отмечает С. Л. Рубинштейн, что ребёнок ощущает, когда «прикасается» к тому, о чём до этого только слышал. В этот момент главное, чтобы возникло ощущение лёгкости восприятия и понимания нового предмета, что ничего сложного, например, в обыкновенных дробях, десятичной записи числа, или решении задач не «по действиям», а с помощью составления уравнения нет. Таким образом, если ученика не пугать контрольными, то ощущение в момент их написания не будет стрессовым, и как следствие, оценка за работу будет гораздо выше, понимание пройденной темы останется более глубоким.

Вообще, в психологии ощущением называют «результат сознательной деятельности, дифференциации, выделения отдельных чувственных качеств внутри восприятия» [Рубинштейн, 2000, с. 177].

Во время уроков ощущение от предметов, объектов, действий происходит на 90% за счет зрительной информации. Зрение даёт информацию о цвете, размере, объёме, отдалённости предмета. Поэтому важно, при обучении математике, использовать принцип наглядности, а именно – использовать таблицы и схемы, модели предметов, раздаточный материал, постоянно приводить примеры из окружающего мира, связанные со свойствами изучаемых объектов, и т.д.

Кроме зрительного восприятия, ведущую роль играет слуховое восприятие, то есть ощущение, вызванное раздражением слуховых рецепторов. Чем меньше постороннего шума на уроке математики, из-за обсуждения школьниками посторонних тем, не связанных с темой урока, а тем более, шума, следствием которого является плохое поведение на уроке, тем больше шансов понять тот или иной материал гораздо быстрее и качественнее. Здесь, также стоит отметить, что голос учителя на уроке, его интонация, громкость дают разные ощущения и восприятия от преподаваемого материала.

Известно, что прием и переработка человеком поступившей через органы чувств информации завершается появлением образов предметов или явлений. Процесс формирования этих образов называется – восприятием. Итак, «восприятие – целостное отражение предметов, ситуаций и событий, возникающее при непосредственном воздействии физических раздражителей на рецепторные поверхности органов чувств» [Фридман, 2003, с. 73].

Одну и ту же информацию дети воспринимают по–разному, в зависимости от своих интересов, потребностей, способностей и т. п. Восприятие зависит от прошлого опыта, от содержания психической деятельности человека.

Восприятие, как отмечает Л. М. Фридман, обладает рядом свойств:

1) целостность, т. е. восприятие есть всегда целостный образ предмета;

2) константность – благодаря ей окружающие предметы воспринимаются как относительно постоянные по форме, цвету, величине.

3) осмысленность – восприятие тесно связано с мышлением, с пониманием сущности предмета.

4) избирательность – проявляется в преимущественном выделении одних объектов над другими [Фридман, 2003, с. 82].

В зависимости от того, в какой степени целенаправленна будет деятельность ребенка, восприятие разделяют на непреднамеренное и преднамеренное.

Непреднамеренное восприятие может быть вызвано как особенностями окружающих предметов (их необычность, яркость), так и соответствием этих предметов интересам. В непреднамеренном восприятии нет заранее поставленной цели.

Преднамеренное восприятие с самого начала регулируется задачей – воспринимать тот или иной предмет, явление, ознакомиться с ним.

Процесс запоминания у подростков приобретает целенаправленный характер. Их память становится продуктивной и точной, у них развиваются навыки преимущественно смыслового запоминания, и в связи с этим проявляется резко отрицательное отношение к механической памяти - «зубрежке». Такое пренебрежение может сопровождаться отрицательным отношением вообще к необходимости серьезно работать над запоминанием, заучиванием учебного материала.

 «Мышление – это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведёт от отдельного к общему и от общего к отдельному. Мышление – это опосредованное – основанное на раскрытии связей, отношений, опосредований – и обобщённое познание объективной реальности» [Рубинштейн, 2000, с. 310].

Мышление представляет собой опосредованное сознание, то есть, например, мы не видели, как решали задачу и получили ответ, но мы видим решение и ответ, значит, мы делаем вывод, что задача решена.

Вообще говоря, мы мыслим с помощью понятия явлений окружающего мира. Возникает понятийное мышление не сразу, а появляется только к 13-15 годам. Значит, у подростков оно находится на стадии развития, и этому виду мышления надо уделять огромную роль. В качестве средств понимания многие исследователи предлагают использовать определённую организацию учебного материала: индивидуальные задания; различные интерпретации, раскрывающие смысл понятия; перевод с одного языка на другой (с русского на язык математики, то есть язык символов); системы вопросов; диалог и др.

Подростки в основном находятся на эмпирическом уровне мышления, они практически не задают вопросов учителю, отвечают формально, заученно. Возраст учеников таков, что они часто слушают и даже внимательно, но не слышат, не могут самостоятельно увидеть проблему, и организовать полноценный диалог становится проблематичным.

Учитывая специфику школьного предмета математики: высокую абстрактность его понятий, которая выражается в преобладании синтаксиса изложения (формы) в ущерб семантике, большую роль для организации обучения, нацеленного на понимание (в узком смысле), имеют два фактора - содержательный анализ учебного материала и диалог. Умение проводить содержательный анализ составляет первый уровень теоретического мышления - аналитический. Он состоит в умении находить закономерные связи, внутренние отношения, то есть раскрывать сущность вещей, закономерности их развития, выделять генетическую основу рассматриваемых объектов, устанавливать связи единичных явлений внутри некоторого целого.

Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется при решении задач. Любая мыслительная деятельность начинается с вопроса, который ставит перед собой человек, не имея готового ответа на него. Иногда этот вопрос ставят другие люди, но всегда акт мышления начинается с формулировки вопроса, на который надо ответить, задачи, которую надо решить, с осознания чего-то неизвестного, что надо понять, уяснить.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ

МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ.

2.. Методические приемы обучения школьников решению прикладных задач с помощью математического моделирования

По мнению Н.Б. Истоминой работа, проведенная на подготовительном этапе к знакомству с прикладной задачей, позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на усвоение ее структуры и на осознание процесса ее решения [Истомина, 2003, с. 52].

При этом существенным является не отработка умения решать определенные типы (виды) прикладных задач, а приобретение учащимися опыта в семантическом и математическом анализе различных прикладных задач и формирование умения представлять их в виде математических моделей.

         Основными задачами процесса моделирования являются выбор модели, наиболее адекватной оригиналу, и перенос результатов исследования на оригинал, что требует от учащихся умения определять проблемы и ставить задачи, прогнозировать результаты исследования, проводить разумные оценки; выделять главные и второстепенные факторы для построения моделей, выбирать аналогии и математические формулировки.

         Учащихся следует отвлекать от однообразной утомительной деятельности, чаще варьируя методы обучения.

При выборе методических приемов, по мнению Н. Б. Истоминой, необходимо учитывать:

1) Как происходит усвоение материала в зависимости от времени суток. Специалисты констатируют, что самый лучший период усвоения сложного юридического материала определяется временными рамками от 11 часов до 13 часов дня. Подъем работоспособности наблюдается в субботу, так как у учеников на уровне подсознания заложена информация о приближающемся выходном дне.

2) Наличие и эффективность использования наглядности и технических средств обучения.

3) Эффективность контроля над работой учеников, оценку их деятельности.

4)  Уровень обратной связи, проявляемой в ходе занятия.

5) Степень эстетического воздействия занятия на учеников [Истомина, 2003, с. 87].

При решении прикладных задач особенно часто ис­пользуются их алгебраические и аналитические модели. Такой моделью может быть функция, описывающая явление или процесс, уравнение, система уравнений, неравенство, систе­ма неравенств, система уравнений и неравенств и др. При составлении модели задача, таким образом, переводится на язык алгеб­ры или математического анализа.

Любая прикладная задача предполагает необходимость осознанного поиска соответствующего средства для достижения цели. Под поиском решения задачи Л.Л. Гурова понимает отыскание принципа построения логики решения,  в соответствие с чем выполняются те или иные действия,  о которых нельзя заранее сказать, приведут ли они к требуемому результату или нет [Гурова, 1976, с. 34].

Проведенный анализ психолого –  педагогической [Гурова, 1976; Цареве, 1997] и методической литературы [Кульбякина, 2002] позволил выделить следующие приемы поиска плана решений прикладных задач:

1. По модели.  Приём заключается в выделении элемента, моделирующего искомое,  в определении последовательности операций с другими элементами модели или соответствующей последовательности арифметических действий над данными и неизвестными для получения искомого или для составления уравнения.

Задача 1. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение: Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

х                             60 - х

A_____________С________________B

Расстояние АС = х, а ВС = 60 - х

Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км.

Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у=200х+100(60 – х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].

Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:

а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;

б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;

в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

Ответ: если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.

2. С помощью рассуждений «от вопроса к данным»  и «от данных к вопросу». Несмотря на то, что при разборе любой задачи обучающиеся мыслят аналитико-синтетически, в данном процессе в зависимости от возрастных особенностей психики детей и сложности задачи может преобладать одна из его сторон,  то есть разбор задачи приобретает определенную направленность. Если разбор задачи ведется в направлении от данных к вопросу,  его называют синтетическим методом,  а если от вопроса задачи к ее данным– аналитическим.  Разбор составной задачи аналитическим методом состоит в том,  что к главному вопросу задачи подбирают такие данные из условия,  по которым можно на него ответить.

Если в условии задачи нет нужных данных или одного из них,  то ставят новые вопросы,  как  его найти.  И так до тех пор, пока не дойдут до вопроса, для решения которого уже известны все данные  в условии задачи. Потом составляется план.  Рассуждения при этом проводятся в  обратном порядке.

Задача 2. Масса деревянной балки составляет 120 кг, а масса металлической – 140 кг, причем металлическая балка на 1 м короче деревянной. Какова длина каждой балки, если масса 1 м железной балки на 5 кг больше массы 1 м деревянной?

Данную задачу можно разобрать следующим образом:

1. Какой вопрос задачи? – Какова длина каждой балки, если масса 1 м железной балки на 5 кг больше массы 1 м деревянной?

2.  Какие нужно  знать данные, чтобы ответить на данный вопрос? – Какова длина металлической балки, деревянной балки?

3.  Известны  и нам эти данные? – Нет

4. Можем ли их найти? – Для этого надо составить уравнение, найти корни и проверить удовлетворяют ли эти корни условию задачи.

5. Что для этого надо знать? – Массу металлической балки, массу деревянной балки.

6. За длину какой балки нужно взять неизвестную переменную? Чему будет равняться длина другой балки?

7.  Пусть длина деревянной балки равна х м, тогда длина металлической балки составляет (х-1) м.

8.  Можно ли по этим данным найти массы одного метра обеих балок??

9. Да. Масса 1 м деревянной балки равна кг, а масса 1 м металлической будет равна  кг.

10. Можно ли составить уравнение по всем данным задачи?

11. Да. - =5

Название этого метода разбора составной задачи происходит от греческого слова «анализ», что в переводе означает разложение (расчленение) объекта на составные части,  поэтому его иногда рассматривают как процесс составления простых задач, который начинается с главного вопроса составной задачи и оканчивается ее данными.

1. Масса деревянной балки составляет 120 кг, а масса металлической – 140 кг, причем металлическая балка на 1 м короче деревянной. Какова длина каждой балки, если масса 1 м железной балки на 5 кг больше массы 1 м деревянной?

2.Масса деревянной балки составляет 120 кг, а масса металлической балки на 40 кг больше, причем металлическая на 1 м короче деревянной. Какова длина каждой балки, если масса 1 м железной балки на 5 кг больше массы 1 м деревянной?

3.  Масса деревянной балки составляет 120 кг, а масса металлической – 140 кг, причем металлическая балка на 1 м короче деревянной, а вес 1 м деревянной балки 8 кг. Какова длина металлической балки, если масса 1 м железной на 5 кг больше 1 м деревянной?

4. Длина деревянной балки составляет 8 м, а металлической 3 м. Найти массу каждой балки, если 1 м деревянной балки весит 15 кг?

Название этого метода разбора задачи происходит от греческого слова «синтез», что в переводе означает соединение (разрозненных частей в одно целое).

Анализ и синтез при разборе задачи аналитико-синтетическим методом находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.

3. Разбиение текста задачи на смысловые части. Использование данного приёма, по мнению С.Е. Царевой, обеспечивает порционное усвоение учащимися содержания задачи. А это способствует как его пониманию,  так и запоминанию [Царева, 1997, с. 43].

Рассмотрим примеры прикладных задач на построение математической модели.

Задача 3. Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 ч 40 мин. В другой раз эта же лодка отошла от пристани С, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 ч. Чему равны собственная скорость лодки и скорость течения реки?

Решение.

Этап 1: Построение модели.

Введем две переменные:

х км/ч — собственная скорость лодки, у км/ч — скорость течения реки.

Тогда,  х + у км/ч — скорость движения лодки по течению реки, х-у км/ч — скорость движения лодки против течения реки.

Рассмотрим первый рейс лодки. Он составил 45 км по течению и 15 км против течения. Имеем: 45/( х + у) ч — время движения лодки от А до С (в первом рейсе), 15/(х - у )ч — время движения лодки от С до В (в первом рейсе).

Всего на первый рейс лодка затратила 4 ч 40 мин, т.е.  ч.

Таким образом, получаем уравнение  45/(х+у) + 15/(х-у)=

Рассмотрим второй рейс лодки. Он составил 45 км против течения и 30 км по течению. Имеем: 45/(х-у) ч — время движения лодки от С до А (во втором рейсе), 30 /(х+у)  ч — время движения лодки от А до В (во втором рейсе).

Всего на второй рейс лодка затратила 7 ч. Таким образом, получаем уравнение 45/(х-у)+30/( х+у)=7

Математическая модель задачи представляет собой систему двух уравнений с двумя переменными:

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Для решения системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных.

 Положим: 15/(х+у)=а, 15/(х-у)=b.

Тогда система примет вид    

Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными а и b, получим а = 1, b = 5/3/

Итак, х+у=15, х-у=9.Получаем х = 12, у = 3.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Требуется определить скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки. Первую скорость мы обозначили буквой х, получили х = 12; значит, собственная скорость лодки составляет 12 км/ч. Скорость течения мы обозначили буквой у, получили у = 3. Значит, скорость течения реки составляет 3 км/ч.

О т в е т: 12 км/ч; 3 км/ч.

Задача 4. Обычно к выполнению некоторого задания привлекаются одновременно два механизма. Производительность этих механизмов не одинакова и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч. Однако на этот раз совместная работа двух механизмов продолжалась только 6 часов, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнял второй механизм за 40 часов. За какое время такое же задание может выполнить каждый механизм, работая отдельно с присущей ему производительностью?

Решение:

Этап 1. Построение модели.

Пусть объем работы равен единице, первый механизм выполняет задание за х часов, а второй – за у часов. Тогда производительность первого механизма , а второго - , общая производительность при совместной работе .

Из условия, что при совместном действии все задание выполняется ими за 30 часов, имеем =.

А из условия, что на этот раз совместная работа двух механизмов продолжалась только 6 часов, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнял второй механизм за 40 часов, имеем 1-6()=.

Таким образом, получаем систему уравнений

.

Этап 2. Работа с составленной моделью.

Выполнив все преобразования, получаем, х=75, у=50.

Этап 3. Ответ на вопрос задачи.

Ответ: первый механизм выполнит задание за 75 часов, а второй - за 50 часов.

При организации процесса решения прикладной задачи учителю нельзя забывать, что без большого напряжения нельзя надеяться решить серьезную задачу. Но от напряженного сосредоточения внимания на одном предмете у учащихся быстро наступает усталость. Чтобы удержать  внимание, предмет, на который оно направлено, должен постоянно меняться. Когда задача не получается,  учитель должен варьировать задачу, находить различные формулировки ее, изменять ее до тех пор, пока, наконец, не удастся найти что-нибудь полезное. Неудача может учащихся кое-чему научить, так как в неудачном варианте может быть скрыта хорошая идея, и решающие могут прийти к более удачному варианту.

После ряда попыток учащиеся очень часто приходят к доступной вспомогательной задаче. Видоизменение задачи существенно. Этот факт имеет различные объяснения. С одной стороны, например, продвижение в решении задачи проявляется в мобилизации и организации ранее усвоенных знаний, учащиеся вынуждены припомнить ряд необходимых для решения задачи элементов и ввести их в решение задачи, а варьирование задачи помогает им припомнить такие элементы. Это основывается на том, что мы припоминаем при помощи своего рода «действия по связям», называемого «ассоциацией мысли».  То, что занимает наши мысли в данный момент, имеет тенденцию вызвать в нашей памяти все, что было связано с ним раньше.

Видоизменяя задачу, мы вносим новые моменты и,  таким образом,  создаем новые связи, новые возможности воскресить в нашей памяти все, что имеет отношение к нашей задаче. Д.Пойа выделяет следующие способы варьирования задачи: возвращение к определениям, разложение и составление новых комбинаций, введение вспомогательных элементов, обобщение, специализация и использование аналогии [Пойа, 1961, с. 58].

Для организации продуктивной деятельности учащихся, направленной на формирование умения решать прикладные задачи, учитель может использовать обучающие задания, включающие различные сочетания методических приемов.

Работу с обучающими заданиями на уроке целесообразно организовать фронтально. Это создаст условия для обсуждения ответов детей и для включения их в активную мыслительную деятельность.

Чтобы увеличить степень самостоятельности учащихся при анализе текста задачи, целесообразно записать его на доске и предложить детям самостоятельно решить задачу.

Уже на этапе усвоения новых математических понятий школьникам предлагаются обучающие задания, связанные с решением задач, в которых используются различные методические приемы решения прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

В методике математики при решении задач выделяют следующие этапы:

1)  ознакомление с содержанием задачи;

2)  поиск решения задачи;

3) построение математической модели;

4)  выполнение решения задачи;

5)  проверка решения задачи [Фридман, 1982, с. 28-39].

Выделенные этапы органически связаны между собой, и работа на каждом этапе ведется на этой ступени преимущественно под руководством учителя.

Приведем этапы математического моделирования:

1)                этап формализации – построение математической модели;

2)                этап решения внутри модели;

3)                этап интерпретации – проверка решения задачи [Крутихина, 2004, с. 248].

Объединяя классификацию решения задач по Л. М. Фридману и классификацию этапов математического моделирования по М. В. Крутихиной, можно сказать, что при решении прикладных задач используя метод математического моделирования удобнее пользоваться следующей классификацией этапов:

1)                этап формализации включает в себя  ознакомление с содержанием задачи, поиск решения и построение математической модели;

2)                 этап решения внутри модели – выполнение решения задачи;

3)                этап интерпретации – проверка решения задачи.

Постановка различных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся приобретают опыт анализа текста задачи, его преобразования и конструирования, оказывает положительное влияние на формирование умения решать задачи. Тем не менее это не исключает возможности использования приёмов постановки вспомогательных вопросов, использования алгоритмов решения задач, в некоторых случаях краткой записи или интерпретации задачи в виде таблицы.

Но каждый раз следует вдумчиво подходить к тому, какой методический прием следует применить, организуя продуктивную деятельность учащихся, направленную на поиск решения задачи.

2.2.          Комплекс прикладных задач решаемых, с помощью метода

математического моделирования

В данном параграфе нами приводится комплекс прикладных задач решаемых с помощью метода математического моделирования.

Задачи в комплексе распределению по основным темам, выделенных в школьных учебниках алгебры за 7– 9 классы.

Линейная функция и линейные уравнения

Линейная функция служит основой большого количества  математических моделей, которые позволяют исследовать многие реальные процессы. Дело не в том, что эти процессы линейны, а в том, что для целей исследования, для целей практики  достаточно линейное приближение. Пусть автомобиль проехал 320 км за 4 ч. Тогда говорят, что он двигался по закону равномерного движения S = 80/, 04. При этом понимается, что на самом деле он мог двигаться и медленнее и быстрее, чем со средней скоростью 80 км/ч. И мы можем считать движение равномерным лишь в среднем, приближенно, но этого приближения достаточно для решения многих практических задач.

Нужно добиться, чтобы ученик осмысленно использовал  линейную модель, мог по условиям текстовой задачи определить параметры a, b в функции у = ах+b или наметить путь  решения, приводящий к их определению.

В тех случаях, когда используются известные физические  законы, полезно пользоваться общепринятыми формулами,  например s =  + vt в задачах на равномерное движение.

Задача 1. На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Решение: Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение

7х + 5у = 167

Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

y=(167-7x)/5=33-x-(2x-2)/5

Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х + 5у = 167.

(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.

Ответ: x=21, y=4.

         Задача 2. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение: Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

х                             60 - х

A_____________С________________B

Расстояние АС = х, а ВС = 60 - х

Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км.

Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у=200х+100(60 – х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].

Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:

а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;

б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;

в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.

Задача 3. В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м. каждая, для изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект состоит из:

• 1 детали длиной 3 м.
• 2-х деталей длиной 2 м.
• 1 детали длиной 1.5 м

Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?

Задача 4. Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.

Таблица 2.1.

Затраты на одно изделие		А	В	Ресурсы
Материалы	10	70	320	Сталь (кг)
Материалы	20	50	420	Цветные металлы (кг)
Оборудование	300	400	6200	Токарные станки
Оборудование		200	100	3400	Фрезерные станки
Прибыль на одно изделие	3	8

Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.

Задача 5. Перед вами мост длиной 1 км, на который въезжает поезд. Начало моста он проехал за 18 с, а полностью прошёл мост за 68 с. Вычислить длину поезда и его скорость?

Задача 6. Теплоход идет из Перми в Астрахань 5 суток, а обратно — на день больше. Сколько дней от Перми до Астрахани будет плыть плот?

Выражения и их преобразования

Задача 7. Станок работает в 3 смены и производит 100 деталей в час. После того как он проработал трое суток, цех стал поставлять ежедневно 1500 деталей на конвейер завода. Остальные детали предназначены для отправки на другие предприятия. Найдите выражение для определения количества деталей, предназначенных для отправки (через t обозначьте время в сутках).

Задача 8. Масса металлической болванки 14 кг. Сколько болванок потребуется, чтобы отлить 66 деталей массой 4 кг каждая, если потери чугуна при отливке составляют 10%?

Задача 9. Завод должен отправить по железной дороге 1000 изделий массой 700 кг каждое. Какое наименьшее число вагонов для этого потребуется, если грузоподъемность одного вагона 60 т?

Рациональные дроби

В этой теме учащиеся выполняют операции с дробями, тождественные преобразования рациональных выражений. Здесь вводят прикладные задачи, которые приводят к уравнениям с  неизвестным в знаменателе.

Задача 10. Из пункта А в пункт В, удаленный от А на расстояние 100 км, отправился междугородный автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10 км/ч меньше, чем предполагалось по расписанию, и поэтому прибыл в пункт В с опозданием на 30 минут. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Решение.

Пусть х км/ч – скорость автобуса по расписанию. Так как расстояние от А до В равно 100 км, то время отведенное на данное расстояние составляет ч.

Фактически автобус прошел расстояние в 100 км со скоростью (х-10) км/ч, значит время затраченное на прохождение пути, равно  ч.

Так как автобус прибыл в пункт В с опозданием на 30 минут, то время фактически затраченное на прохождение пути, больше времени, которое было отведено на прохождение данного расстояния, т.е.

> на  ч.

Получим рациональное уравнение:

 -  = ,

 -  -  = 0.

Решая данное уравнение, получим:

 = 0,

 = 0.

Данное уравнение приводится к виду =0, откуда .

Оба значения удовлетворяют условию 2х(х-10)0, следовательно, эти значения корни составленного рационального уравнения, но второе значение не удовлетворяет смыслу задачи, поскольку скорость движения поезда не может выражаться отрицательным числом.

Значит, скорость автобуса по расписанию равна 50 км/ч.

Ответ: Со скоростью 50 км/ч должен был ехать автобус по расписанию.

Задача 11. Обычно к выполнению некоторого задания привлекаются одновременно два механизма. Производительность этих механизмов не одинакова и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч. Однако на этот раз совместная работа двух механизмов продолжалась только 6 часов, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнял второй механизм за 40 часов. За какое время такое же задание может выполнить каждый механизм, работая отдельно с присущей ему производительностью?

Решение:

Пусть объем работы равен единице, первый механизм выполняет задание за х часов, а второй – за у часов. Тогда производительность первого механизма , а второго - , общая производительность при совместной работе .

Из условия, что при совместном действии все задание выполняется ими за 30 часов, имеем =.

А из условия, что на этот раз совместная работа двух механизмов продолжалась только 6 часов, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнял второй механизм за 40 часов, имеем 1-6()=.

Таким образом, получаем систему уравнений

.

Откуда, выполнив все преобразования, получаем, х=75, у=50.

Ответ: первый механизм выполнит задание за 75 часов, а второй - за 50 часов.

Задача 12. В механических часах много зубчатых колес. Пусть два из них составляют зубчатую передачу: у первого n зубцов, у  второго m (m>n). Одно колесо делает в минуту на k оборотов  больше другого. Сколько оборотов в минуту делает каждое колесо?

Задача 13. Имеется два раствора соды разной концентрации. В литр первого раствора влили k литров второго раствора.  Получился раствор с концентрацией Р. А когда в литр первого  раствора влили т литров второго, получили концентрацию С.  Какова концентрация исходных растворов?  

Неравенства

Задача 14. Из автомата выстрелили вертикально вверх, пуля вылетела со скоростью 500 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, через какое время после выстрела пуля будет находиться выше 4,5 км?

Задача 15. Разбивается парк. Частью его является прямоугольная лужайка с площадью не менее 1 га, с одной из сторон на 45 м больше другой. Вокруг лужайки строится дорожка шириной 4 м. Сколько для нее потребуется гравия, если его насыпать слоем не менее 15 см?

Проценты

Задача 16. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется  ч, тогда второй потребуется  ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит  ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час  часть рукописи, вторая –  часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают  часть рукописи. На перепечатку  рукописи им потребуется  ч, т.е.  ч. Отсюда получаем уравнение: . Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня:  и .

Второй корень не соответствует условию задачи.

Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч.

Задача 17: Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг.

Решение: Обозначим за  массу первого слитка в кг, за  массу второго слитка в кг, получим систему уравнений:

В результате получим: х=30, у=20.

Ответ: 30 кг, 20 кг.

Квадратичная функция и квадратное уравнение

Среди обилия прикладных задач этой темы для дальнейшего физико-математического образования учащихся наиболее важны следующие два типа задач: на исследование равномерно  ускоренного движения и на приближение функций параболами  данного вида (например, с вертикальной осью).

Задача 18. Два автомобиля одновременно ушли со старта кольцевой трассы в разных направлениях. Но в момент старта забыли включить секундомеры, а включили их только в момент встречи автомобилей и измерили время, которое каждый гонщик затратил до возвращения на старт. Можно ли по этим данным  становить время каждого на трассе, если автомобили двигались с  постоянной скоростью?

Решение. Пусть t — неизвестное время до встречи автомобилей, t1-время, за которое I автомобиль закончил путь после встречи, t2 - аналогичное время II автомобиля. Длины первого и второго участков трассы пропорциональны времени их прохождения одним автомобилем с постоянной скоростью, поэтому 

откуда . Следовательно,  - общее время I 

автомобиля,  - общее время II автомобиля.

         Ответ: да.

Задача 19. На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν₀ = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении, изменяется в зависимости от времени по закону s = s₀ + ν₀ t + at²/ 2, где s₀ – начальный путь, ν₀ – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

В рассматриваемом случае s =0,v =300 м/с, а=-5 м/с ,значит,S(t) = 300t – 5t² .

t= (с.).Функция S(t) принимает наибольшее значение при S(30)= 300*30-5*30²  =4500(м)

Ответ: Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.

Задача 20. Требуется изготовить ковш в форме усеченного конуса объемом 3 л, высотой 20 см, с диаметром нижнего основания 10 см. Каков диаметр верхнего основания?

Задача 21. Поезд, начав движение от станции, двигался  равноускоренно и на отрезке в 3 км достиг скорости 90 км/ч, дальше он двигался равномерно. Найдите зависимости пройденного пути s (км) и скорости v (км/ч) от времени t (ч) и постройте графики этих функций. Какова скорость движения поезда и каков  пройденный путь в моменты времени t = 0,5; 1; 2 мин?

Задача 22. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой — в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Последовательности

Нужно продемонстрировать школьникам разные способы задания последовательностей, познакомить их с примерами, имеющими познавательный, занимательный характер. К последовательностям естественным образом приводят математические игры, которые сводятся к поочередным ходам двух играющих.

Задача 23. Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?

Решение.

За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия

+

         у которой  = 800, d = -25, = 5700. Надо найти n (в часах - время движения туриста).

Воспользуемся второй формулой для =, т.е.

5700 = ,

228 = *n

 (обе части уравнения разделили на 25),

456 = n(65 - n),

-65n + 456 = 0,

= 8,  = 57.

Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений n выбираем первое: n = 8.

Ответ: турист был в пути 8 часов.

Прогрессии

Задача 24. Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?

Решение. За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия

+   у которой  = 800, d = -25, = 5700. Надо найти n (в часах - время движения туриста).

Воспользуемся второй формулой для =, т.е. 5700 = ,    228 = *n   (обе части уравнения разделили на 25),

456 = n(65 - n),    -65n + 456 = 0,   = 8,  = 57.

Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений n выбираем первое: n = 8.

Ответ: турист был в пути 8 часов.

Задача 25. На первом рабочем месте сборочного конвейера начинают собирать изделие из 5 деталей, затем на каждом из 9 следующих рабочих мест добавляется к изделию на 2 детали больше, чем на предыдущем. Какое количество деталей будет в изделии после прохождения 10 рабочих мест?

Задача 26. Каждая из 20 ступеней пирамиды имеет форму параллелепипеда с квадратом в основании и одну и ту же высоту 0,8 м. Сторона основания пирамиды 50 м, а у каждой следующей ступени она составляет 0,9 от предыдущей. Какова сторона основания последней ступени? Каковы высота и объем пирамиды?

Остальные задачи данного комплекса приводятся в приложении 1.

.  Элективный курс «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования»

В данном параграфе приводится разработанный нами курс «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования» и предназначенный для учащихся 9 классов

Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, и поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу. Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.

Цель курса: создание  условий для овладения навыками математического моделирования при решении прикладных задач.

Задачи курса:

1)                конкретизировать понятие «прикладная задача», «модель», «математическая модель»;

2)                ознакомить учащихся с видами математической модели прикладной задачи;

3)                ознакомить учащихся с всевозможными подходами к решению прикладных задач различного уровня сложности.

Учебный процесс элективного курса  предусматривает следующие методы и формы работы:

1)                изложение нового материала учителем в форме лекции;

2)                дифференцированный подход на практических занятиях: для всех тем курса подобраны задания различного уровня сложности;

3)                самостоятельная работа с учебной литературой;

4)                выбор тем для рефератов;

5)                индивидуальные консультации.

На изучение данного курса отводится 15 часов.

Содержание курса

В программу элективного курса включены следующие темы и ориентировочное время для их изучения (см. таб. 2.2):

Таблица 2.2.

№	Тема	Кол– во часов
1.	Вводное занятие.	1
2.	Виды прикладных задач. Анализ структуры прикладных задач.	2
3.	Построение математической модели прикладных задач.	10
4.	Заключительная часть	2

Приведем методические рекомендации по проведению данного курса.

Занятие 1(вводное)

На  вводном занятии рекомендуется:

1)                объяснить учащимся цели данного элективного курса;

2)                поставить необходимые задачи;

3)                рассказать кратко о том, что будет изучаться, выяснить всевозможное применение задач в жизнедеятельности человека (с помощью учащихся);

4)                рассказать о требованиях к подготовке и защите рефератов;

5)                объяснить, каким образом будут подводиться итоги изучения курса и оцениваться работа учащихся.

На данном занятии рекомендуется провести вводный тест, который покажет как учащиеся усвоили данный материал [приложение 2].

Занятия 2−3. Виды прикладных задач. Анализ структуры прикладных задач

Знать: виды прикладных задач.

Уметь:

1)                выявить объект задачи (предмет, явление, событие, процесс);

установить:

2)                какие величины характеризуют количественную ситуацию задачи;

3)                какие моменты (случаи, эпизоды) рассматриваются в задаче;

4)                какие величины и какие их значения заданы явно и неявно, каков характер каждого из этих значений;

5)                тип соотношения,  характеризующий описанное в задаче явление.

Основное содержание:

1)                 Рассмотреть главные способы анализа структуры и состава прикладных задач:

2)                выявление объекта задачи;

3)                анализ характеристики объектов прикладных задач;

4)                установление значений величин, заданных в задаче;

5)                соотношения между значениями величин.

Планы − конспектов занятий 2 и 3 приведены в приложении 3.

Занятия 4−13. Построение математической модели прикладных

задач

Знать:

1)                Понятие математическая модель, прикладная задача;

2)                Основные приемы составления уравнений для решения задач.

Уметь: строить для задачи математическую модель в виде уравнения или систем уравнений.

Основное содержание: решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

Занятия 14-15.Заключительная часть.

Демонстрация и защита рефератов.

Программа может считаться усвоенной учеником, если по каждой теме он решил не менее 60% предложенных задач. Учитель и ученик, по своему усмотрению, могут составить «таблицу успешности», куда вносятся баллы, набранные учеником при выполнении заданий. Причем необходимо учитывать не только те задания, которые решены, верно, и  полностью, но и те, в которых ребенок, верно, усмотрел путь решения. Особо отличаются оригинальные способы решения.

Задачи к данному элективному курсу приведены в приложении 4.

Список литературы необходимый для прохождения данного элективного курса смотреть в приложении 5.

2.4. Опытно – экспериментальная работа. Анализ ее результатов

Исследование проходило на базе МОУ СОШ № 1 с. Федоровка Федоровского района. Были взяты два класса: 9 ^«А» класс – экспериментальный и 9^«Б» класс – контрольный. Данные классы по количеству учащихся, по составу (кол-во мальчиков и девочек), по успеваемости, качеству знаний примерно одинаковые

Задачи практической работы:

- подобрать задания для проверочной работы;

- провести срезовую работу по решению задач;

- проанализировать допущенные ошибки;

- апробировать систему задач с использованием моделей;

- провести контрольную работу;

- сравнить количество допущенных ошибок;

- сделать выводы по использованию моделирования при решении прикладных задач.

Исследование проводилось в три этапа:

1)    констатирующий эксперимент;

2)    формирующий эксперимент;

3) контрольный эксперимент.

3.1. Констатирующий эксперимент.

Цель: выявить сформированность навыков решения прикладных задач у учащихся 9 классов на исходном этапе эксперимента.

Для этого была предложена письменная работа [приложение 6]. Каждый ученик должен был решить две задачи, которые ранее были прорешены дома или в классе.

Несмотря на то, что задачи были знакомы, многие не справились с их решением и допустили большое количество ошибок.

Были получены следующие результаты:

Экспериментальный класс:

1. Выполняли работу    21

2. Выполнили всю работу без ошибок     9 (42,85 %)

3. Ошиблись в задаче № 1     4 (19,04 %)

4. Ошиблись в задаче № 2     6 (28,57 %)

5. Не справились с работой    1 (4,76 %)

Контрольный класс:

2. Выполняли работу    20

3. Выполнили всю работу без ошибок     10 (50 %)

4. Ошиблись в задаче № 1     5 (25 %)

5. Ошиблись в задаче № 2     3 (15 %)

6. Не справились с работой    2 (10 %)

Заметим, что почти половина класса написала работу без ошибок. Рассмотренные ошибки свидетельствуют о том, что не все ученики смогли четко представить себе жизненной ситуации, отраженной в задаче, не уяснили отношений между величинами в ней, зависимости между данными и искомыми, поэтому иногда просто механически манипулируют числами.

Из результатов можно сделать вывод, что экспериментальный и контрольный классы написали данную работу примерно одинаково. На исходном этапе эксперимента навыки решения задач у учащихся 9 классов находятся на среднем уровне развития.

3.2. Формирующий эксперимент

Цель данного эксперимента: доказать или опровергнуть гипотезу исследования, а именно: если при обучении математике использовать выявленные методические приемы и разработанный комплекс прикладных задач, то повысится успеваемость и качество знаний учащихся

В экспериментальном классе на каждом уроке предлагались задачи из составленного нами комплекса, кроме того учащиеся посещали элективный курс «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования».

В контрольном классе на уроках решались прикладные задачи только из учебника и учащиеся этого класса посещали другие элективные курсы по решению задач (не прикладных) решаемых с помощью метода математического моделирования.

Примеры планов-конспектов уроков, проводимых в экспериментальном классе, приводятся в приложении 7.

Кроме того нами был проведен опрос учителей математики Федоровского района РБ.  В результате бесед  с учителями выяснилось, что они  на своих уроках очень мало уделяют вниманию решению прикладных задач.

Во первых, такое положение дел связано с тем, что в действующих учебниках математики текстовые задачи занимают лишь небольшую часть от общего числа задач: в учебнике [Мордкович, 2010]: текстовые задачи занимают лишь 28 % от числа всех задач, а прикладных задач 9% от текстовых задач и примерно 2 –  3 % от общего числа задач; в учебнике [Алгебра, 2009]: текстовые задачи занимают лишь 36 % от числа всех задач, а прикладных задач 13% от текстовых задач и примерно 3 –  4 % от общего числа задач.

Во вторых, молодые учителя математики отметили, что не достаточно методической литературы по обучению учащихся решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

3.3. Контрольный эксперимент.

Цель: выявление наличия или отсутствия умений решать прикладные задачи, используя метод математического моделирования.

Получены следующие результаты:

Экспериментальный  класс: 

1.	Выполняли работу	21
2.	Решили все задачи без ошибок	15 (71,4 %)
3.	Ошиблись в первой задаче	3 (13,7 %)
4.	Ошиблись во второй задаче	3 (13,7 %)
5.	Не справились с решением задач	−

Контрольный класс:

1.	Выполняли работу	20
2.	Решили все задачи без ошибок	10 (50 %)
3.	Ошиблись в первой задаче	2 (10 %)
4.	Ошиблись во второй задаче	6 (28,5 %)
5.	Не справились с решением задач	2 (10%)

Проанализировав полученные результаты, можно сделать вывод, что экспериментальный класс выполнил работу лучше, чем контрольный. Дети использовали метод математического моделирования при решении прикладных задач. В экспериментальном классе 15 учеников (71,4 %) решили все задачи, а в контрольном классе лишь  – 10 (50 %), что на 21,4 % меньше, чем в экспериментальном классе. В экспериментальном классе все учащиеся справились с заданиями, а в контрольном классе  лишь – 90% .

Таким образом, решение прикладных задач с применением метода математического моделирования способствует сознательному и прочному усвоению и пониманию материала.

Благодаря математическому моделированию математические связи и зависимости  приобретают для учеников смысл, а в процессе его использования происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Поэтому математическое моделирование – это один из ведущих методов обучения решению прикладных задач и важное средство познания действительности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование показало, что решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования актуально. Математическое моделирование помогает формировать умение решать прикладные задачи, повышает интерес учащихся к изучению математики, математические связи и зависимости приобретают смысл, а в процессе решения прикладных задач происходит углубление и развитие математического мышления учащихся. Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования способствует сознательному и прочному усвоению и пониманию материала.

Проведен анализ психолого – педагогической и методической литературы. Приведены различные трактовки основных понятий «модель», «моделирование», «математическое моделирование» с различных позиций. Рассмотрены различные классификации моделей, выделены цели, виды моделирования.

Было рассмотрено понятие «прикладная задача». Рассмотрены различные классификации задач, выделены требования,  предъявляемые к прикладной задаче.

В ходе исследования были выявлены методические приемы по обучению школьников решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования. Выделены приемы поиска плана решения прикладных задач: по модели; с помощью рассуждений «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу» и др. Выделены основные этапы решения прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

Кроме того, нами был разработан комплекс прикладных задач решаемых с помощью метода математического моделирования. Задачи в комплексе разделены по темам, изучаемых в 7–9 классах: выражения и их преобразования; неравенства; проценты; рациональные дроби; прогрессии; последовательности; линейные функции и линейные уравнения и др.

Разработан элективный курс для учащихся 9 классов по теме «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования». Приведены методические рекомендации по его проведению.

Проведена опытно–экспериментальная работа с учащимися 9 классов, которая включала в себя три этап: констатирующий, формирующий, контрольный.

Полученные результаты формирующего эксперимента показывают, что учащиеся экспериментального класса выполнили работу лучше и быстрее, чем учащиеся контрольного класса. В экспериментальном классе 15 учеников (71,4 %) решили все задачи, а в контрольном классе лишь  – 10 (50 %), что на 21,4 % меньше, чем в экспериментальном классе. В экспериментальном классе все учащиеся справились с заданиями, а в контрольном классе  лишь – 90% . Это свидетельствует о том, что проведенные нами работа, а именно, использование методических приемов по обучению решению прикладных задач, комплекса задач, элективного курса, повышает успеваемость и качество знаний учащихся.

Выявленные методические приемы, разработанный комплекс прикладных задач и элективный курс «Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования» могут быть использованы как учителями математики, так и студентами во время прохождения педагогической практики, на занятиях по теории и методике преподавания математики.

Цель поставленная в выпускной квалификационной работе достигнута, задачи выполнены, актуальность доказана.

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.     Алгебра: учебник для 9 кл. средней шк. / Ю.Н. Макарычев [и др.] / под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2019. – 272 с.

2.     Алгебра: учебник для 9 кл. средней школы / А.Г. Мордкович [и др.]. –  М.: Мнемозина, 2019. – 192 с.

3.     О перестройке мышления: философско–методологические аспекты.  / под общ. ред. В.Л. Алтухова, В.Ф. Шапошникова. – М.: Просвещение, 1988.– 229 с.

4.     Артоболевский А.Н. Арифметические задачи с производственно-бытовым содержанием. – М.: Государственное учебно–педагогическое изд–во Министерства Просвещения РСФСР, 1961. – 370 с.

5.     Веников В.А.  Теория подобия и моделирования / В.А. Веников. – М.: Высшая школа, 2004. – 480 с.

6.     Прикладные задачи в мотивации обучения // Математика в школе.–  1990. –  №2 – С. 45.

7.     Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. – М.: Знание, 1991. – 160 с.

8.     Грес  П.В. Математика для гуманитариев. – М.: Логос, 2005. – 178 с.

9.     Канин Е.С. Учебные математические задачи. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. – 154 c.

10. Крутихина М.В. Обучение некоторым элементам математического моделирования как средство подготовки к профильному образованию // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Периодический межвузовский сборник научно-методических работ: выпуск 6 – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. –  С. 246–254.

11. Мангейм Дж.Б. Политология. Методы исследования / пер. с англ. – М.: Весь Мир, 1997. – 544 с.

12. Математическая энциклопедия / под ред. М.Н. Виноградов. –  М.: Советская энциклопедия, 1982.–  1184 с.

13. Мышкис А.Д. О прикладной направленности школьного курса элементов математического анализа. // Математика в школе. – 1990.– № 6. – С. 7–11.

14. Новик И.Б.  О философских вопросах кибернетического моделирования. –  М.: Знание, 2006. – 257 с.

15. Обойщикова И.Г. Обучение моделированию учащихся при изучении математики: автореф. дис. … канд. педа. наук.–  Саранск, 2003. –29 с.

16. Сичивица О.М. Методы и формы научного познания. – М., Высшая школа, 1993. – 289 с.

17. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики. – М.: Просвещение, 2008. – 277 с.

18. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. – М.: Просвещение, 2004. – 314 с.

19. Формирование системного мышления в обучении: учеб. пособие для вузов / под ред. З.А. Решетовой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 344с.

20. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. – М.: Знание, 1984. – 80 с.

21. Целищева И.М. Моделирование в текстовых задачах. // Приложение к газете «1 сентября». Математика, 2002. – №33. –  С.  34–36.

22. Штофф В.А. Моделирование и философия. – М.: Наука, 1966. – 215 с.

23. Салмина Н.П. Знак и символ в обучении. – М.: Просвещение, 1998.–305 с.

24. Дулов В.Г. Математическое моделирование в современном естествознании: учебное пособие. – Санкт-Петербург: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. – 44 с.

25. Истомина Н.Б. Методические рекомендации по математике. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2011.  –  125 с.

26. Царева С.Е. Обучение решению задач. // Начальная школа. 1997.–  №11.–  

С. 53.

27. Кульбякина Л.Я. Задачный подход к подготовке учителя к обучению. // Математика в школе. – 2002. – №2. –  С. 56-60.

28. Фридман Л.М. Моделирование в учебной деятельности // Формирование учебной деятельности школьников / под ред. В.В. Давыдова [и др.] – М.: Педагогика, 1982.– 73-86 с.

29. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задачи. – Воронеж, 1976. – 34 с.

30. Райхмист Р.Б. Задачник по математике для учащихся средних школ и поступающих в вузы. // Учебное пособие. –  «Московский лицей», 2007. – 49с.

31. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей / пер. с англ. / под ред. Ю.Гайдука. — Изд. 2-е. — М.: Учпедгиз, 1961. — 58 с.

32. Попов Н.В. Фундаментализация подготовки специалистов-математиков в условиях университетского образования. //Высшее образование в России. –2008. – С. 29–30.

33. Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7—9 классов: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1999.—  112 с.

34.  Глинский, Б.А. Моделирование как метод научного познания. – М.: МГУ, 1965. —  248 с.

35. Сухорукова Е.В. Прикладные задачи как средство формирования математического мышления учащихся. –  М. .: Просвещение, 1997.– 189 с.

36. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. –  М.: Просвещение, 1990. – 239 с.

37. Данилова М.И. Применение математики к решению прикладных задач. –   М.Ш., 1981. – 302 с.

38. Колягин Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике. //  Математика в школе, 1985. – С. 44–46

39. Фридман, Л.М. Психология детей и подростков.– М.: Просвещение, 2003. – 199 с.

40. Зимняя И.А. Педагогическая психология: Учебник для вузов.– 4-е изд., доп., испр. и преобр. –   М.: Логос, 2005.– 386 с.

41. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии.– СПб.: Питер, 2000. – 712 с.

42. Тихомиров О.К. Психология мышления. –  М.: Академия, 2005. –  288 с.

43. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. // Математика в школе, 1983г. –  С. 35–37.

44. Бочковская О.Т. Решение задач как средство развития логического мышления / под ред. А.С.Пчелко. – Математика в школе,  1999. – С. 26–28.

45. Бронштейн С.С. Методика алгебры. – Математика в школе, 1985г. – С. 36–37.

46. Герасименко И.Ф. Составление задач учащимися как способ обучения их умениям применять теоретические знания на практике. Умственное развитие учащихся в процессе обучения. – Волгоград, 1967. – 255 с.  

47. Семенов Е.М. Развитие логического мышления учащихся в процессе решения арифметических задач. //  Математика в школе, 2004.–  С. 325.

48. Турецкий Е.Н. Формирование у учащихся восьмилетней школы навыков алгебраического метода решения текстовых задач. –  Ташкент, 1968. –  335 с.

49. Фридман Л.М. Опыт формирования у учащихся общего подхода к решению текстовых задач. Актуальные психолого-педагогические проблемы обучения и воспитания. //  Математика в школе, 1973. – С. 56–57.

50. Фридман Л.М. Графическое решение текстовых задач. // – Математика в школе, 1998. – С. 69.

51. Бочковская О.Т. Решение задач как средство развития логического мышления./ под ред. А.С.Пчелко. // Математика в школе, 1999.– 574 с.

52. Ясиловый А.Г. Составление математических задач учащимся как средство активизации их познавательной деятельности. – Ярославль., 2006.–  299 с.

Приложение 1

Комплекс задач

Линейная функция и линейные уравнения.

Задача 1. Моторная лодка развивает скорость в стоячей воде 15 км/ч. Рыбак проплыл на ней против течения реки 30 ч, а затем вернулся на прежнее место за 20 ч. Какова скорость течения реки? Какое время рыбак потратил бы на обратный путь в лодке с выключенным мотором?

Задача 2. Теплоход имеет собственную скорость 20 км/ч. Путь вниз по реке занял на 2 ч меньше, чем обратный. С какой средней скоростью передвигался теплоход, если скорость течения реки 4 км/ч?

Задача 3. В цехе поставили автоматический станок, производительность которого выше производительности рабочего на 95 деталей в час. За 18 мин автомат выполнил 6-часовую норму рабочего. Какова производительность автомата?

Задача 4. Фермер планировал засевать в день по 9 га поля. Применив новую технику, он каждый день засевал на 3 га больше, и за 3 дня до намеченного срока осталось засеять 9 га. Какова площадь поля?

Задача 5. В ячневой крупе белка в 9 раз, а углеводов в 68 раз больше, чем жира. Вода и другие вещества составляют 22%. Сколько жира содержится в килограмме ячневой крупы?

Задача 6. Для получения высоких урожаев картофеля необходимо, чтобы в минеральных удобрениях фосфорных удобрений было в 1,5 раза больше, чем азотных, а калийных удобрений в 1,8 раза меньше, чем фосфорных. Найдите процентное содержание азотных, фосфорных и калийных удобрений.

Задача 7. Норма высева пшеницы 170 кг/га. Найдите зависимость расхода семян т от засеянной площади S. Постройте график полученной зависимости. Сколько семян потребуется для посева на площади 10 м2; 100 м2; 0,5 га?

Задача 8. На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Задача 9. Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Квадратичная функция и квадратное уравнение.

Задача 10. Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Задача 11. На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν₀ = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача 12. Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м). Составьте уравнение этой параболы.

Задача 13. Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м². Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?

Задача 14. Какова должна быть скорость парохода, чтобы общая сумма расходов на один км. пути была наименьшей, если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.

Задача 15. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой — в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Задача 16. Фирменный поезд «Кама» Москва — Пермь в середине пути стоял час из-за ремонта путей. Чтобы прийти вовремя, он увеличил скорость на 7 км/ч. Сколько времени поезд был в пути? Справка. Расстояние от Москвы до Перми 1540 км. 

Задача 17. Два автомобиля одновременно ушли со старта кольцевой трассы в разных направлениях. Но в момент старта забыли включить секундомеры, а включили их только в момент встречи автомобилей и измерили время, которое каждый гонщик затратил до возвращения на старт. Можно ли по этим данным установить время каждого на трассе, если автомобили двигались с постоянной скоростью?

Задача 18. Поезд, начав движение от станции, двигался равноускоренно и на отрезке в 3 км достиг скорости 90 км/ч, дальше он двигался равномерно. Найдите зависимости пройденного пути s (км) и скорости v (км/ч) от времени t (ч) и постройте графики этих функций. Какова скорость движения поезда и каков пройденный путь в моменты времени t = 0,5; 1; 2 мин?

Рациональные дроби.

Задача 19. Расстояние между двумя городами равно s. Из первого города во второй отправились велосипедист и мотоциклист. Мотоциклист прибыл во второй город на t часов раньше. Какова скорость каждого, если скорость мотоциклиста в 5 раз больше, чем велосипедиста?

Задача 20. В механических часах много зубчатых колес. Пусть два из них составляют зубчатую передачу: у первого n зубцов, у  второго m (m>n). Одно колесо делает в минуту на k оборотов  больше другого. Сколько оборотов в минуту делает каждое колесо?

Неравенства

Задача 21. Сбор меда от одной пчелосемьи составляет 80—100 кг. 0,3—0,5 валового сбора оставляют пчелам для осенне—зимнего корма, 0,05 продают колхозникам, остальное — государству. Сколько меда продают государству колхозы, имеющие 1000 пчелосемей?

Задача 22. Кондиционным состоянием зерна считается его относительная влажность 14%. 10 т убранного зерна с влажностью выше 24% просушили до кондиционного состояния. Сколько получено зерна на хранение?

Задача 23. Разбивается парк. Частью его является прямоугольная лужайка с площадью не менее 1 га, с одной из сторон на 45 м больше другой. Вокруг лужайки строится дорожка шириной 4 м. Сколько для нее потребуется гравия, если его насыпать слоем не менее 15 см?

Прогрессия

Задача 24. На первом рабочем месте сборочного конвейера начинают собирать изделие из 5 деталей, затем на каждом из 9 следующих рабочих мест добавляется к изделию на 2 детали больше, чем на предыдущем. Какое количество деталей будет в изделии после прохождения 10 рабочих мест?

Задача 25. Каждая из 20 ступеней пирамиды имеет форму параллелепипеда с квадратом в основании и одну и ту же высоту 0,8 м. Сторона основания пирамиды 50 м, а у каждой следующей ступени она составляет 0,9 от предыдущей. Какова сторона  основания последней ступени? Каковы высота и объем пирамиды?

Задача 26. Сосчитайте, сколько мух появилось бы за полгода от одной пары, если бы их потомство не погибало, а полностью сохранялось. Муха откладывает 160 яиц, будем считать, что в новом  поколении половина самок, они становятся взрослыми через 20 дней и откладывают яйца только один раз. Чтобы  представить себе количество мух через 6 месяцев, оцените, как они будут распределены по всей суше.

Проценты

Задача 27. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?

Задача 28. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Приложение 2

Тест к занятию 1

Задача 1. Клубника содержит 6% сахара. Сколько кг. сахара в 27 кг. клубники?

a)     115;	b)    298;
c)     162;	d)    108.

Задача 2. На катушке было 210 м. провода. Сначала отрезали 3/5 всего провода, а затем 2/3 остатка. Сколько провода осталось в катушке?

a)     17;	b)    29;
c)     71;	d)    8.

Задача 3. С одного места в одном направлении одновременно стартовали по велотреку два велосипедиста. Один из них проезжает круг по велотреку за 1 минуту, а другой за 45 секунд. Через какое наименьшее время (в минутах) после начала движения велосипедисты снова встретятся на месте старта?

a)     7;	b)    4;
c)     15;	d)    9.

Задача 4. Один работник может выполнить задание за 30 часов, а другой за 45 часов. За какое время они выполнят это задание, работая вместе?

a)     20 часов;	b)    30 часов;
c)     15 часов;	d)    10 часов.

Приложение 3

План-конспект к занятию 2 и 3.

Тема: Решение прикладных задач. Построение математической модели прикладных задач.

Работа по учебнику Мордкович, 2010.

Цели урока: Обучающая: закрепление понятия дробного рационального уравнения; составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический; умение проверять соответствие найденного решения условию задачи; проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы. Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений; развитие умения принимать решения. Воспитательная: воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Задачи: актуализировать знание по решению прикладных задач с помощью метода математического моделирования.

Ход урока:

Этапы урока	комментарии
1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с видами прикладных задач, научимся решать прикладные задачи с помощью построение математической модели.	На данном этапе урока происходит вовлечение учащихся в деятельность на личностно-значимом уровне.
2.                 Актуализация знаний.  Фронтальный опрос, устная работа с классом. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы: -Что такое задача? -Какие задачи вы знаете?	На этапе актуализации идёт повторение изученного материала, необходимого для «открытия нового знания»,
3. Решение прикладных задач. 1. Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8ч. Найдите собственную скорость теплохода, обозначив её х км/, если скорость течения реки 3 км/ч   2. Моторная лодка прошла 56 км против течения реки и 32 км по течению, затратив на весь путь 3ч. Найдите собственную скорость лодки, обозначив её через х км/ч, при условии, что скорость течения реки равна 1км/ч. 3.В лаборатории имеются 2 кг раствора кислоты одной концентрации и 6 кг раствора этой же концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, концентрация которого составляет 36 %. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 32 % кислоты. Какова концентрация каждого из двух имеющихся растворов?	На данном этапе предлагаются решить прикладные задачи.
4.Решение прикладных задач с помощью метода математического моделирования. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля. Решение. Составление математической модели: -                   Какой процесс описывается в задаче? -                   Какими величинами характеризуется этот процесс? -                   Как связаны между собой эти величины? -                   Сколько реальных процессов описывается в задаче? -                   Значение каких величин известны? -                   Значение каких величин сравниваются? -                   Значение каких величин требуется найти? Обратить внимание учащихся, что любую из неизвестных  величин можно обозначить за х? х км/ч  скорость первого автомобиля; (х +20) км/ч – скорость второго автомобиля;  - время первого автомобиля;  - время второго автомобиля. Заполним таблицу: V( км/ч) t (ч) S (км) 1 автомобиль x 120/x 120 2 автомобиль x+20 120/x+20 120 Согласно условию, . Работа с составленной моделью. Решив полученное уравнение, находим , . -60 не удовлетворяет  условию задачи. 40+20=60 км/ч Ответ на вопрос задачи. После решения задачи необходимо ещё раз объяснить ход решения и поинтересоваться у учащихся, понятно ли им данное решение. Так же необходимо заметить, что в некоторых случаях целесообразно создавать геометрические модели для лучшего восприятия условия задачи. Чаще всего такие модели составляются к задачам на движение.    ( Как пример разобрать задачу № 620)	На данном этапе дети учатся добывать информацию различными способами: наблюдение, чтение, слушание. Происходит открытие нового знания. Учатся доносить свою позицию до других (строить высказывания, пользуясь математической терминологией), слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения, при необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументировать её., Учитель проверяет решение задачи, учащиеся комментируют, как решали задачу.
1.                 Домашнее задание . Прочитать п.26 из учебника, разобрать примеры.  № 619; №625.	Д/з включает в себя как репродуктивное задание, так и творческое, что позволяет вызвать у детей познавательный интерес.

Приложение 4

Задачи к занятиям 4 – 13

Задача 1. Тракторист по плану должен был ежедневно вспахивать по 15 га земли. Фактически он вспахивал ежедневно на 5 га больше дневной нормы, поэтому за 4 дня до окончания вспашки по плану ему осталось вспахать 40 га. За сколько дней по плану тракторист должен был закончить работу?

Задача 2. Если открыть краны с горячей и холодной водой, то ванна наполнится до требуемого уровня за 8 мин., а если открыть один кран лишь с горячей водой, то ванна наполнится до того же уровня за 18 мин. за сколько минут может, наполнится ванна до того же уровня холодной водой, протекающей через другой кран?

Задача 3. Катер, собственная скорость которого 8 км/час, прошел по реке расстояние, равное 15км, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Задача 4. Зрительный зал клуба имел форму прямоугольника длиной 24,8м. Длину зала увеличили на 2м. за счет подсобных помещений, и тогда площадь увеличилась на 20 кв.м. Найдите первоначальную площадь зала.

Задача 5. Теплоход идет по течению реки со скоростью 26 км/ч, а против течения – со скоростью18 км/ч. За сколько времени он совершит рейс из города А до города В и обратно, если в городе В он стоял под погрузкой 2 часа.

Установите тип соотношения, характеризующего описанного в задаче явления.

Задача 6. Длина садового участка на 10 м. больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 кв.м. Для этого длину увеличили на 10м., а ширину – на 2м. Найдите площадь нового участка.

Задача 7. Для школьной площадки выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Если его заменить квадратным участком той же площади, то потребуется меньше материала для его огораживания. Для этого надо длину участка уменьшить на 12 м, а ширину увеличить на 10 м. Чему равна сторона квадратного участка?

Задача 8.  В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число учащихся стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально?

Задача 9. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл  в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов.

Задача 10. Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 р., причем второй получил 1/3 того, что получил первый, и еще 60 р., а третий получил 1/3 денег второго и еще 30 р. Какую премию получил каждый?

Задача 11. Машинистка должна была напечатать за определенное время 200 страниц. Печатая в день на 5 страниц больше, она завершила работу на 2 дня раньше срока. Сколько страниц в день печатала машинистка?

Задача 12. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 18 км, одновременно выезжают два велосипедиста. Скорость одного из них на 5 км/ч меньше скорости другого. Велосипедист, который первым прибыл в В, сразу же повернул обратно и встретил другого велосипедиста через 1 ч 20 мин. после выезда из А. На каком расстоянии от пункта В произошла встреча?

Задача 13. Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Задача 14. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во второй ¼ всего пути и еще 20 км и в третий день 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами.

Задача 15. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение еще на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Задача 16. Швея получила заказ сшить 60 сумок к определенному сроку. Она шила в день на 2 сумки больше, чем планировалось, поэтому уже за 4 дня до срока ей оставалось сшить 4 сумки. Сколько сумок в день шила швея?

Задача 17. Два туриста идут на встречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми равно 30 км. Если первый турист выйдет двумя часами раньше второго, то они встретятся через 2,6 ч после выхода второго туриста. Если же второй турист выйдет на 2 ч раньше, чем первый, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого туриста. Какова скорость каждого туриста?

Задача 18. Токарь должен был обработать 80 деталей к определенному сроку. Он обрабатывал в час на 2 детали больше, чем планировал, и уже за 1 ч до срока обработал на 4 детали больше. Сколько деталей в час обрабатывал токарь?

Задача 19. Два товарища купили за 480 руб. радиоприемник, и при этом один из них отдал все свои деньги, а другой - только ¾ своих денег. Если бы первый дал ¾ своих денег, а второй – все свои деньги, то для уплаты за приемник не хватало бы 15 руб. Сколько денег было у каждого?

Задача 20. За 10 ч пароход прошел 175 км по течению реки и потом еще 45 км против течения; в другой раз также за 10 ч он прошел 200 км вниз и 30 км вверх по реке. Какова собственная скорость этого парохода?

Задача 21. Два пешехода выходят навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то он встретит второго пешехода через 4,5 ч после своего выхода. Если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 5 ч после своего выхода. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Задача 22. Из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км, отправляются навстречу друг другу велосипедист и пешеход. Если велосипедист отправится в путь на 1 ч раньше пешехода, то они встретятся через 1,5 ч после выхода пешехода. Если пешеход выйдет на 1 ч раньше велосипедиста, то они встретятся через 2 ч после выезда велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и пешехода..

Задача 23. Бригада рабочих должна была изготовить определенное количество деталей за 20 дней. Однако она изготавливала в день на 70 деталей больше, чем планировалось первоначально. Поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада?

Задача 24. Два трактора израсходовали 234 л горючего, причем первый расходовал в час на 0,5 л меньше, чем второй, а работал на 1,5 ч больше. Сколько горючего в час расходовал каждый трактор, если они израсходовали горючего поровну?

Задача 25. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите катеты треугольников.

Задача 26. Для сада выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если прямоугольный участок заменить квадратным той же площади. Для этого надо длину участка уменьшить на 40 м, а ширину увеличить на 30 м. Какова длина и ширина выделенного участка?

Задача 27. Из А в В вышел пешеход, а через 2 часа из В в А выехал велосипедист. Двигаясь со скоростью, превышающей скорость пешехода в 3,4 раза, велосипедист прибыл в А на 1 ч 36 мин. раньше, чем пешеход прибыл в В. Зная, что расстояние АВ равно 25,5 км, найти скорость пешехода.

Задача 28. Длина средней по величине стороны треугольника равна полусумме длин большей и меньшей сторон, а удвоенная большая сторона на 3 см больше суммы двух других сторон. Определить стороны треугольника, если его периметр равен 42 см.

Задача 29. Два туриста выходят одновременно из одного города в другой. Первый проходит в час 4 км. Второй проходит в час 5 км, и по этому он приходит в другой город на 1 ч раньше первого. Каково расстояние между городами? Составьте для этой задачи всевозможные уравнения при всех различных выборах главного неизвестного и основного данного.

Задача 30. Ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Если длину прямоугольника увеличить на 36 см, а ширину – на 48 см, то ширина составит 2/3 длины. Определить стороны прямоугольника.

Задача 15. Сумма лет трех братьев равна 45. Пять лет назад число лет старшего брата равнялось сумме лет остальных братьев, а через 7 лет лета среднего брата будут составлять ½ суммы лет остальных братьев. Сколько лет каждому из братьев?

Задача 31. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 6 км, одновременно выходит пешеход и выезжает велосипедист. Велосипедист доезжает до пункта В, сразу же поворачивает обратно и встречает пешехода через 36 мин после выезда из А. Известно, что скорость велосипедиста на 10 км/ч больше скорости пешехода. На каком расстоянии от пункта А произошла встреча?

Задача 32. На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов проходил круг на 5 мин медленнее другого и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходил круг?

Задача 33.  На первой и второй полках лежало вместе 90 книг, а на первой и третьей полках лежало вместе 75 книг. На сколько больше книг лежало на второй полке, чем на третьей?

Задача 34. Одним и тем же количеством сена можно прокормить одну корову в течение 60 дней, а одну лошадь – в течение 36 дней. На сколько дней хватит этого сена для коровы и лошади вместе при той же дневной норме?

Задача 35. Чтобы проплыть некоторое расстояние на лодке по течению реки, требуется втрое меньше времени, чем проплыть то же расстояние против течения. Во сколько раз собственная скорость лодки больше скорости течения реки?

Задача 36. Два косца, работая вместе, скосили некоторый участок поля за 8 ч. Если бы они работали вместе только 2 ч, а потом один из них прекратил работу, то второй, работая один, скосил бы оставшуюся часть за 10 ч. За сколько часов каждый косец в отдельности мог бы скосить весь участок?

Задача 37. Из одного селения вышел пешеход. Через 4,5 ч после выхода пешехода по тому же направлению выехал велосипедист, скорость которого в 2,5 раза больше скорости пешехода. Через сколько часов после выхода пешехода его догонит велосипедист?

Задача 38. Два туриста отправляются одновременно друг другу навстречу из двух мест, находящихся на расстоянии 18 км. Через сколько времени они встретятся, если первый проходит в 1 ч 4 км, а второй – 5 км?

Задача 39. Из пункта К в пункт М вышли два туриста. Первый, выйдя часом раньше второго, пришел в пункт М часом позже его. Скорость первого туриста 4 км/ч, скорость второго 6 км/ч. Определить расстояние между пунктами К и М.

Задача 40. Сколько следует взять кипящей воды (100⁰С) и воды комнатной температуры (16⁰С), чтобы получить 100 л воды температуры в 58⁰С?

Задача 41. Из пункта М в пункт К вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из М выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Они двигались равномерно без остановок. Через некоторое время оказалось, что все трое проделали одинаковую часть пути от М до К. На сколько минут раньше пешехода в пункт К прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в К на 1 ч позже мотоциклиста?

Задача 42. Муравьишка был в гостях в соседнем муравейнике. Туда он шел пешком, а обратно ехал: первую половину пути он ехал на Гусенице – в 2 раза медленнее, чем шел пешком, а вторую половину пути он ехал на Кузнечике – в 5 раз быстрее, чем пешком. На какой путь Муравьишка затратил времени меньше: в гости или обратно?

Задача 23. Расстояние между двумя поселками 12 км. Ваня вышел из своего поселка в 9ч 35мин. и пришел в другой поселок в 13ч 15мин. Там он переночевал и на второй день вышел оттуда в 1ч и пришел домой в 14ч 40 мин. На каком расстоянии от своего поселка находится пункт, который Ваня проходил в один и тот же час, как на прямом пути, так и на обратном.

Приложение 5

Список литературы к элективному курсу

«Решение прикладных задач с помощью метода математического

 моделирования»

Для учителя:

1.     Бронштейн С.С. Методика алгебры. – Математика в школе, 1985г. – С. 36–37.

2.     Герасименко И.Ф. Составление задач учащимися как способ обучения их умениям применять теоретические знания на практике. Умственное развитие учащихся в процессе обучения. – Волгоград, 1967. – 255 с.  

3.     Семенов Е.М. Развитие логического мышления учащихся в процессе решения арифметических задач. //  Математика в школе, 2004.–  С. 325.

4.     Турецкий Е.Н. Формирование у учащихся восьмилетней школы навыков алгебраического метода решения текстовых задач. –  Ташкент, 1968. –  335 с.

5.     Фридман Л.М. Опыт формирования у учащихся общего подхода к решению текстовых задач. Актуальные психолого-педагогические проблемы обучения и воспитания. //  Математика в школе, 1973. – С. 56–57.

Для ученика:

6.     Фридман Л.М. Графическое решение текстовых задач. // – Математика в школе, 1998. – С. 69.

7.     Бочковская О.Т. Решение задач как средство развития логического мышления./ под ред. А.С.Пчелко. // Математика в школе, 1999.– 574 с.

8.     Ясиловый А.Г. Составление математических задач учащимся как средство активизации их познавательной деятельности. – Ярославль., 2006.–  299 с.

Приложение 6

Письменная работа

Задача 1. Моторная лодка развивает скорость в стоячей воде 15 км/ч. Рыбак проплыл на ней против течения реки 30 ч, а затем вернулся на прежнее место за 20 ч. Какова скорость течения реки? Какое время рыбак потратил бы на обратный путь в лодке с выключенным мотором?

Задача 2. 5 бычков могут прокормиться на лугу 4 дня, 4 бычка — 6 дней. Сколько дней могут прокормиться на лугу 3 бычка?

Задача 3. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой — в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 ч расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Задача 4. Разбивается парк. Частью его является прямоугольная лужайка с площадью не менее 1 га, с одной из сторон на 45 м больше другой. Вокруг лужайки строится дорожка шириной 4 м. Сколько для нее потребуется гравия, если его насыпать слоем не менее 15 см?

Задача 5. На первом рабочем месте сборочного конвейера начинают собирать изделие из 5 деталей, затем на каждом из 9 следующих рабочих мест добавляется к изделию на 2 детали больше, чем на предыдущем. Какое количество деталей будет в изделии после прохождения 10 рабочих мест?

Приложение 7

Планы–конспекты проводимые в экспериментальном классе

Урок 1

Тема: Решение задач по теме «Система уравнений» [Мордкович, 2010,

 с. 55].

Задачи урока:     

- повторить материал по теме «Уравнения»;

- закрепить умения решать задачи;

- развивать вычислительные навыки, внимание;

- воспитывать усидчивость, терпение, аккуратность.

Оборудование: наглядность для устных упражнений, карточки с дополнительными заданиями.

Работа по теме урока.

Решение задачи с использованием математического моделирования.

В райцентре два кинотеатра — «Факел» и «Слава», первый — на 400, а второй — на 600 мест. В зрительном зале кинотеатра «Слава» на 4 ряда больше, чем в кинотеатре «Факел», и, кроме того, в каждом ряду на 5 мест больше, чем в кинотеатре «Факел». Сколько рядов в зрительном зале кинотеатра «Факел», если известно, что в каждом ряду кинотеатра «Слава» более 25 мест?

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

Пусть х — число рядов в кинотеатре «Факел», у — число мест в каждом ряду кинотеатра «Факел». Тогда х + 4 — число рядов в кинотеатре «Слава», у + 5 — число мест в каждом ряду кинотеатра «Слава».

Зная число рядов и число мест в ряду, можно найти общее число

мест в каждом кинотеатре: ху — число мест в кинотеатре «Факел», (х + 4)(у +5) — число мест в кинотеатре «Слава». По условию, в кинотеатре «Факел» — 400 мест, т.е. ху = 400, а в кинотеатре «Слава» — 600 мест, т.е. (х + 4)(у + 5) = 600. Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:

.

Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Имеем,       

Т.е.

                                 (1)

Применим метод алгебраического сложения: вычтем первое уравнение из второго. Получим (ху + 4у + 5х) -ху = 580 - 400;

4у+5х=180.

Заменим этим уравнением второе уравнение системы (1):

                                          (2)

Система (2) несколько проще, чем система (1), ее можно решить методом подстановки. Выразим у через х из второго уравнения системы (2): 4у = 180 – 5х; у=. Подставим это выражение вместо у в первое уравнение системы (2):                             х*=400;

х(180-5х)=1600;

5-180х+1600=0;

-36х+320=0,

(обе части предыдущего уравнения почтенно разделили на 5);     .

Так как у=, то получаем: если х = 20, то у = 20; если х = 16, то у = 25.

Итак, система (2), а с ней и система (1) имеют два решения: (20; 20) и (16; 25).

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Опираясь на полученные решения системы, мы должны проанализировать две возможности: либо в кинотеатре «Факел» 20 рядов по 20 мест в каждом ряду, либо 16 рядов по 25 мест в каждом ряду.

Если выбрать первую возможность, то в кинотеатре «Слава» будет 24 ряда (по условию, там на 4 ряда больше) по 25 мест в каждом ряду (по условию, в каждом ряду «Славы» на 5 мест больше, чем в «Факеле»). Это нас не устраивает, поскольку, по условию, в каждом ряду «Славы» более 25 мест. Рассмотрим вторую возможность: в «Факеле» 16 рядов по 25 мест в каждом. Тогда в «Славе» будет 20 рядов по 30 мест в каждом. Это нас устраивает.

Итак, из двух решений системы выбираем одно: х = 16, у = 25,a это означает, что в кинотеатре «Факел» 16 рядов.

О т в е т: 16 рядов.

Урок 2

Тема: Решение задач по теме «Арифметическая прогрессия».

Задачи урока:

- повторить материал по теме «Прогрессия»;

- закрепить умения решать задачи;

- воспитывать аккуратность при построении моделей, интерес к предмету.

Оборудование: карточки с дополнительными заданиями.

3. Работа по теме урока.

Решение задачи с использованием моделирования.

      Задача 8. Турист, двигаясь по сильно пересеченной местности, за первый час пути прошел 800 м, а за каждый следующий час проходил на 25 м меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700 м?

Решение.

За первый час турист прошел 800 м, за второй — 775 м, за третий — 750 м и т.д. Математической моделью является конечная арифметическая прогрессия

+

 у которой  = 800, d = -25, = 5700. Надо найти n (в часах - время движения туриста).

Воспользуемся второй формулой для =, т.е.

5700 = ,

228 = *n

 (обе части уравнения разделили на 25),

456 = n(65 - n),

-65n + 456 = 0,

= 8,  = 57.

Спрашивается, сколько времени был в пути турист. По смыслу задачи из двух найденных значений n выбираем первое: n = 8.

Ответ: турист был в пути 8 часов