Дата 09.12.21 Группа 2 ОИБ
Дисциплина Математика
Урок № 27-28
Тема: Основы теории множеств.
Дидактическая цель занятия: организация деятельности обучающихся по изучению и первичному закреплению знаний по теме: «Основы теории множеств», в результате чего обучающиеся будут знать:
- понятия: множество, элементы множества, конечное и бесконечное множество, пустое множество, универсальное множество;
- способы изображения множеств;
- основные операции над множествами;
- основные законы алгебры множеств;
обучающиеся будут уметь:
- производить следующие операции над множествами: объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств, дополнение множества;
- выводить формулы для расчёта количества элементов в объединении 2-х и 3-х множеств;
- решать прикладные задачи по теме урока.
Методическая цель занятия: применить на уроке изучения нового материала элементы проблемно-поискового метода обучения и элементов активного обучения с применением информационных технологий, демонстрация эффективности проблемной лекции для активизации познавательной деятельности студентов.
Воспитательная цель занятия: способствовать формированию научного мировоззрения и эстетических вкусов студентов с помощью использования эстетического потенциала науки математики как совершенного языка символов и формул, воспитанию аккуратности и ответственности при выполнении заданий.
Развивающая цель занятия: способствовать развитию познавательного интереса обучающихся, развитию логического мышления (анализ, синтез и конкретизация, аналогия, классификация, умение устанавливать причинно-следственные связи и др.), наблюдательности и самостоятельности при выполнении заданий с использованием разных источников информации, создать условия для развития коммуникативных умений через создание атмосферы сотрудничества, умения давать связный ответ в устной форме на поставленный вопрос.
Методическое обеспечение занятия: рабочая программа дисциплины, календарно-тематический план, план-конспект урока, лекция, М.С.Спирина, П.С.Спирин «Дискретная математика» учебник, карточки (приложения 1,2,3 + задания для самостоятельной работы), мультимедийная презентация.
Материально-техническое обеспечение занятия: ПК, мультимедийный проектор и экран.
Тип урока: урок изучения нового материала
Ход урока:
1. Организационный момент (2 минуты).
Проверка студентов по журналу.
Объявление цели и задач урока.
2. Актуализация необходимых знаний (5 минут).
Постановка проблемных вопросов (беседа):
3. Тема, задача и цели урока.
Тема: «Основы теории множеств: понятие множества, операции над множествами»
План:
МЕТОДЫ обучения:
5. Применение и закрепление новых знаний и способов действий (15 минут).
6. Итоги урока. Информация о домашнем задании (8 минут).
- конспект + приложение 3,
- доклад (с презентацией) – 2 студента (тема: «Решение задач с помощью кругов Эйлера»).
Приложение 1
1) Коммутативные законы
А È В = В È А
А Ç В = В Ç А
А D В = В D А
2) Ассоциативные законы
А È (В È С) = (А È В) È С
А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С
3)Дистрибутивные законы
А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)
А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
4)Законы с Æ и U
А È Æ = А А Ç U = А А È
= U
А Ç Æ = Æ А È U = U А Ç= Æ
= Æ 
= U
6) Законы идемпотентности
А Ç А = А А
È А = А 
= А
7) Законы поглощения
А È (А Ç В) = А А È (Ç В) =
А È В
А Ç (А È В) = А А Ç (È В) =
А Ç В
8) Законы де Моргана
______
A Ç B = 
È 
_______
A È B = Ç
9) Законы склеивания
(А Ç В) È ( Ç В) = В
(А È В) Ç ( È В) = В
Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства: Х = Y, если
1) Х Í Y: " x Î X Þ x Î Y;
2) Y Í Х: " y Î Y Þ y Î X.
Приложение 1
1) Коммутативные законы
А È В = В È А
А Ç В = В Ç А
А D В = В D А
2) Ассоциативные законы
А È (В È С) = (А È В) È С
А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С
3)Дистрибутивные законы
А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)
А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
4)Законы с Æ и U
А È Æ = А А Ç U = А А È= U
А Ç Æ = Æ А È U = U А Ç= Æ
= Æ = U
6) Законы идемпотентности
А Ç А = А А
È А = А = А
7) Законы поглощения
А È (А Ç В) = А А È (Ç В) =
А È В
А Ç (А È В) = А А Ç (È В) =
А Ç В
8) Законы де Моргана
______
A Ç B = È
_______
A È B = Ç
9) Законы склеивания
(А Ç В) È ( Ç В) = В
(А È В) Ç ( È В) = В
Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства: Х = Y, если
1) Х Í Y: " x Î X Þ x Î Y;
2) Y Í Х: " y Î Y Þ y Î X.
Приложение 3
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Дать определение множества.
2. Привести примеры конечных и бесконечных множеств.
3. Указать существующие способы задания множеств.
4. Дать определения пустого и универсального множеств.
5. Какие множества называются равными?
6. Что называют подмножеством множества?
7. Ввести понятия операций над множествами.
8. Что называется объединением множеств?
9. Что называется пересечением множеств?
10. Что называется разностью множеств?
11. Что называется дополнением множеств?
12. Что называется симметрической разностью множеств?
13. Привести примеры операций над множествами с помощью кругов Эйлера.
14. Перечислить основные законы и теоремы алгебры множеств.
Задачи
№1.Укажите множество действительных чисел,
соответствующее записи 
.
№2. Опишите множество точек М плоскости,
заданных характеристическим свойством: 
.
Дополнительное задание
Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий язык, 42 – французский язык, 8 – английский и немецкий язык, 10 – английский и французский язык, 5 – немецкий и французский язык и 3 студента – все 3 языка. Сколько человек не изучают ни одного языка? Сколько изучают только французский язык?
Приложение 2
№1. Запишите с помощью фигурных скобок множество:
1) букв в слове «алгебра»; 2) четных однозначных натуральных чисел,
№2. По какому характеристическому свойству записаны такие множества:
1) {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье};
2) {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь,
октябрь, ноябрь, декабрь};
3) {Австралия, Азия, Америка, Антарктида, Африка, Европа};
4) {до, ре, ми, фа, соль, ля, си};
5) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
№3. Приведите примеры пустых множеств.
№4. А — множество
четных натуральных чисел, расположенных между числами 25 и 35. Запишите
множество А с помощью фигурных скобок. Какие из чисел 18, 28, 30, 40
принадлежат множеству А? Ответ запишите с помощью знаков 
и
.
№5. Известно, что M = {1; 2; 5}, N =
{1; 4; 5; 7; 9}, K = {4; 7; 9}. Запишите с помощью фигурных скобок или
знака 
: 1) пересечение M
и N; 2) пересечение M и K; 3) пересечение N и K;
4) объединение M и N; 5) объединение M и K; 6) объединение N и K; 7) разность M и N;
8) разность M и K; 9) разность N и K; 10) дополнение K до N.
№6. В одном множестве 40 разных элементов, а во втором — 30. Сколько элементов может быть у их: 1) пересечения; 2) объединения.
№7. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?
РЕШЕНИЯ
№1. Запишите с помощью фигурных скобок множество:
1) букв в слове «алгебра»; 2) четных однозначных натуральных чисел.
Решение:
1) {а, л, г, е, б, р};
2) {2, 4, 6, 8};
№2. По какому характеристическому свойству записаны такие множества:
1) {понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье};
2) {январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь,
октябрь, ноябрь, декабрь};
3) {Австралия, Азия, Америка, Антарктида, Африка, Европа};
4) {до, ре, ми, фа, соль, ля, си};
5) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Решение:
1) множество дней недели;
2) множество месяцев в году;
3) множество континентов;
4) множество нот в октаве;
5) множество однозначных чисел.
№3. Приведите примеры пустых множеств.
Решение: 1)Множество квадратных уравнений, которые имеют более двух разных корней; 2) множество простых делителей числа 1; 3) множество точек пересечения двух параллельных прямых; 4) множество прямых углов равностороннего треугольника; 5) множество людей на Солнце; 6) множество двузначных положительных чисел, расположенных на числовом луче левее 9.
№4. А — множество четных натуральных чисел,
расположенных между числами 25 и 35. Запишите множество А с помощью
фигурных скобок. Какие из чисел 18, 28, 30, 40 принадлежат множеству А?
Ответ запишите с помощью знаков 
и.
Решение:
А={26,
28, 30, 32,
34}
18
А; 28
А; 30А; 40А.
№5. Известно, что M = {1; 2; 5}, N = {1; 4; 5; 7; 9}, K =
{4; 7; 9}. Запишите с помощью фигурных скобок или знака 
: 1) пересечение M
и N; 2) пересечение M и K; 3) пересечение N и K;
4) объединение M и N; 5) объединение M и K; 6) объединение N и K; 7) разность M и N; 8) разность M и K; 9) разность N и K; 10) дополнение K до N.
Решение:
1)
М∩N={1; 5}; 2) М∩K=
3) N
K={4; 9}; 4) M
N={1; 2; 4; 5; 7;
9}; 5) M
; 6) N
7) M\N={2}; 8) M\K={1; 2; 5}; 9) N\K={1; 5}; 10) K
№6. В одном множестве 40 разных элементов, а во втором — 30. Сколько элементов может быть у их: 1) пересечения; 2) объединения.
Решение:
1) от 
2)
от 40 до 70.
№7. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?
Решение: Пусть А- множество учащихся изучающих английский язык, Ф - множество учащихся изучающих французский язык, О - множество учащихся изучающих английский и французский язык.
1)
25-18=7(уч.) – изучают только английский;
2) 27-18=9(уч.)– изучают только французский;
3) 3)18+(7+9)=34(уч.)
Ответ: в классе 34 ученика.
Лекция
План:
1. Понятия множество и элемент выбираются в качестве исходных, поэтому им не даётся строгое математическое определение. Принято считать, что множество представляет собой объединение в одно целое различимых между собой элементов. Таким образом, синонимами слова "множество" являются слова "совокупность", "класс", "коллекция", "собрание", "список" и т.д.
Множество – совокупность элементов, объединенных некоторым признаком или свойством.
Нами будут использоваться следующие обозначения
для множеств:
,
и для элементов:
Утверждение "а является элементом множества А" записывается в виде аÎА (а принадлежит множеству А).
Утверждение "а не является элементом множества А" записывается в виде аÏА (а не принадлежит множеству А).
Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.
Бесконечное множество - множество, состоящее из бесконечного числа элементов.
1) Перечисление элементов.
Например:
А = {1,3,5,6,889,-10}
2) Задание определяющего (характеристического) свойства.
Например:
X = { x | 1 > х > 5, x є Z };
А = {a2 | a - четное число}.
Пустое множество – множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается Æ
Универсальное – множество, содержащее все возможные элементы. Универсальное множество обозначается U.
Изображение множеств
Множества удобно изображать с помощью кругов Эйлера. Элементы множества изображаются точками внутри круга, если они принадлежат множеству, и точками вне круга, если они множеству не принадлежат (рис 1.)
Из множества М можно выделить его часть (также выделением нового характеристического свойства или перечислением элементов) – множество К.
Множество К – подмножество множества М (К Ì М) (рис 2.).
2. Сравнение множеств
К- подмножество множества М
(К Ì М), если для любого элемента 
выполняется
: то есть 
.
Множества К и М
называются равными (обозначается К = М), если они состоят из
одних и тех же элементов: то есть 
и 
.
Мощность множества А – число элементов этого множества. Обозначение: 
или n(A).
Объединением множеств A и B (обозначается A È B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств, т.е A È B = {а ½ а Î A или а Î B}.
Пересечением множеств A и B (обозначается AÇB) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, т.е. А ÇB = {а ½а Î А и а Î B}.
Разностью множеств А и B (обозначается А \ B) называется множество, состоящее из всех элементов множества A , не принадлежащих множеству B, т.е. А \ B ={а ½а Î А и а Ï B}.
Дополнением множества А в универсальном множестве U (обозначается 
, ØА) называется
множество, состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А, т.е.ØА = U \ A.
Симметрической разностью множеств A и B (обозначается A Å B или A D B) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих в точности одному из этих множеств, т.е. A D B = {а½ либо а Î A и а Ï B, либо а Ï A и а Î B}. Операция симметрической разности может быть выражена через операции объединения, пересечения и разноси следующим образом A D B = (A \ B) È (B \ A) = (A È B) \ (A Ç B).
Операции над множествами можно проиллюстрировать графически с помощью кругов Эйлера (их также называют диаграммами Венна). В этом случае исходные множества изображают кругами, а множество-результат выделяют штриховкой.
 |
1) Коммутативные законы
А È В = В È А
А Ç В = В Ç А
А D В = В D А
2) Ассоциативные законы
А È (В È С) = (А È В) È С
А Ç (В Ç С) = (А Ç В) Ç С
3)Дистрибутивные законы
А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)
А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)
4)Законы с Æ и U
А È Æ = А А
Ç U = А А
È
= U
А Ç Æ = Æ А È U = U А
Ç= Æ
= Æ 
= U
6) Законы идемпотентности
А Ç А = А А È А = А 
= А
7) Законы поглощения
А È (А Ç В) = А А È (Ç В) = А È В
А Ç (А È В) = А А Ç (È В) = А Ç В
8) Законы де Моргана
______
A Ç B = 
È 
_______
A È B = Ç
9) Законы склеивания
(А Ç В) È ( Ç В) = В
(А È В) Ç ( È В) = В
Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства: Х = Y, если
1) Х Í Y: " x Î X Þ x Î Y;
2) Y Í Х: " y Î Y Þ y Î X.
4. Формула количества элементов в объединении 2-х множеств
Пример.
Каждый студент группы программистов занимается в свободное время либо в компьютерном кружке, либо спортом. Сколько студентов в группе, если 23 увлекаются спортом, 12 занимаются в компьютерном кружке, а 7 совмещают занятия в кружке и увлечение спортом?
Решение:
Формула количества элементов в объединении 3-х множеств
Пример.
Из 35 студентов, побывавших на каникулах в Москве, все, кроме двоих, делились впечатлениями. О посещении Большого театра с восторгом вспоминали 12 человек, Кремля – 14, 16 – о концерте, по три студента запомнили посещение театра и Кремля, а также театра и концерта, а четверо – концерта и пребывания в Кремле. Сколько студентов сохранили воспоминания одновременно о театре, концерте и Кремле?
Решение:
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 672 990 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Сенина Алла Викторовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
3 ч.
Мини-курс
3 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.