Планирование "Смешанное произведение векторов"

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов:

 Смешанным произведением  некомпланарных векторов ,взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис  правый, и знаком «–», если базис  левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны. 

2) Векторы  взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: .

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах  (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число  равно объему данного параллелепипеда.

Примечание: чертёж является схематическим.

4) К объёму  может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из  определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники.

Смешанное произведение компланарных векторов

Если векторы  компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: .

– Чему равны длина и ширина точки?
– Чему равна площадь прямой?
– Чему равен объём плоскости?

С позиции геометрии ответ таков: нулю

Смешанное произведение векторов в координатах

Смешанное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе  правой ориентации, выражается формулой:

Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак.

Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке:

Значение определителя от этого не изменится

Если векторы  компланарны, то 

Пример

Даны векторы .

Вычислить:
а) смешанное произведение векторов;
б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;
в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение: 

а) По формуле смешанного произведения:
 
(Определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения данных векторов:

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ: 

Пример

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины 

Решение:

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды :

Ответ: 

Пример

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами 

 Решение:

Найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)
Вычислим объём пирамиды :

Ответ: