План-конспект на тему "Дифференциальные уравнения" по дисциплине ЕН.01.Математика

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Дата проведения:
Тип урока:					Комбинированный урок
Вид урока:					Урок - презентация
Тема урока:			Дифференциальные уравнения первого и второго порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Цели урока:	образовательная – изучить дифференциальные уравнения первого и второго порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; должны уметь: должны уметь применять дифференциальные уравнения при решении профессиональных задач; должны знать: должны знать дифференциальные уравнения первого и второго порядка; развивающая – расширить кругозор в математическом пространстве; воспитательная – активизировать внимание; выработать умение мыслить; прививать стремление к процессу познания и интересу к предмету.
Материально-техническое обеспечение:							-        проектор, -        тетрадь, ручка,	-        персональный компьютер, -        интерактивная доска,
Используемые образов.технологии:							-        информационно-коммуникационная технология (ИКТ), -        технология развивающего обучения.
Этапы урока:
Орг.момент:				Отметить отсутствующих, организовать дежурных, объявить тему урока.					5 мин
1 этап:		Рассмотрение фундаментальный материал для введения новых понятий.							10 мин
Дифференциал аргумента  принимается равным приращению аргумента, т.е. , а дифференциал функции  равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, т.е. . Из этого следует, что производная функции  есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента
2 этап:			Введение нового материала.						35 мин
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её поизводные или дифференциалы. Символически дифференциалное уравнение записывается в следующем виде: Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного. Порядком дифференциального уравнения называется поядок старей производной (или диффиренциала), входящей в данное уравнение. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество. Общим решением (или обшим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уавнения первого поядка содержит одну произвольную постоянную. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных аргумента и функции. График частного решения Дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых. Дифференциальным уравнением первого поядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого поядка. Диффренциальным уравнение с разделяющимися переменными называется уравнение вида Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные, а затем проинтегрировать обе чпсти полученного равенства:                Уравнения вида , где  – функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае  могут быть постоянными величинами. Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где  и  – новые функции от .
3 этап:			Закрепление пройденного материала.						25 мин
Пример1: Найти общее решение дифференциального уравнения: Решение: Разделив переменные и проинтегрировав обе части получим уравнение:                  Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований в качестве такой постоянной приняли  Потенцируя(отбрасываем логарифм) последнее равенство, получим     Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.
Пример2: Найти частное решение дифференциального уравнения: , удовлетворяющее начальным условиям  при . Решение: Разделив переменные и проинтегрировав обе части получим уравнение:         или          Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной  подставим значения   и  в выражение для общего решения:       Следовательно, искомое частное решение дифференциального уравнения , удовлетвояющее начальным условиям, имеет вид
Пример3: Найти общее решение уравнения Решение: Данное уравнения является линейным: здесь  Положим  и продиффеенцируем это равенство по : Подставив теперь выражение для y и dy/dx в исходное уравнение, получим или   Так как одну из вспомогательных функций u или z можно выбрать произвольно, то в качестве u возьмемодно из частных решений уавнения  Разделив в этом уравнении переменные и интегиуя, получим                   Произвольную постоянную принимаем авной нулю, так как находим одно из частных решений. Подставим теперь выажение u  в уавнение, тогда получим     или      Отсюда находим     Зная u и z, получаем общее решение данного уравнения:
Пример 4: Найти частное решение уравнения , если y = 1 при x = 0. Решение: Разделив все члены данного уавнения на cos x, пидем к уравнению которое является линейным. Положим y = uz; тогда   Подставив выражения для y и dy/dx, получим: или Для отыскания u получаем уравнение Из которого следует Подставляя выражение для u в уравнения и , приходим к т.е. Следовательно, общее решение исходного уравнения: Используя начальные условия, получаем   откуда . Таким образом, искомое частное решение имеет вид
4 этап:			Подведение итогов.						5 мин
1.      Выставление оценок 2.     Домашнее задание: оформить конспект занятия.
Используемые ресурсы:						Математика_Богомолов Н.В, Самойленко П.И_Учебн. для ссузов_2010 http://umk.portal.kemsu.ru/uch-mathematics/papers/posobie/r1-1.htm