Подборка задач для олимпиады 7-8 кл.

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

7 класс (Вариант 1)

2. Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы  первого слагаемого была равна    второго.

3. Решить уравнение: |х + 4| + |х—1| = 6.

4. Инопланетяне сообщили жителям Земли, что в системе их звезды три планеты А, Б, В. Они живут на второй планете. Далее передача сообщения ухудшилась из-за помех, но было принято еще два сообщения, которые, как установили ученые, оказались оба ложными: а) А — не третья планета от звезды; б) Б — вторая планета.Какими планетами от звезды являются А, Б, В?

5. Прямоугольник разделен двумя отрезками на четыре прямоугольника, площади трех из которых 2 см², 4 см², 6 см² (см.рисунок). Найдите площадь прямоугольника.

Ключи. (7 класс, вариант 1)

1.Так как знаменатель второй дроби в 20 раз больше  знаменателя первой дроби, то корень уравнения можно найти устно: х = 12,3-20 + 4 = 250.

2. Ответ:   24 и 32

3. Ответ:   х = - 4,5 или х = 1,5

4. Так как второе и третье сообщения ложны, то А является третьей планетой, а Б — не второй, поэтому Б — первая планета от звезды. Тогда В будет второй планетой, на которой живут инопланетяне.

 5. Так как верхние прямоугольники имеют общую сторону и площадь правого в 2 раза больше, то и его вторая сторона  будет в 2 раза больше. Аналогично и вторая сторона правого  нижнего прямоугольника будет больше стороны верхнего левого прямоугольника в 3 раза. А это означает, что площадь  нижнего правого четырехугольника будет в 6 раз больше площади левого верхнего прямоугольника, то есть будет равна 12 см². Поэтому площадь всего прямоугольника будет равна 24 см².

Ответ: 24 см².

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

7 класс (Вариант 2)

1.     Выразите 10 пятью девятками. Укажите как можно больше способов.

2.     Трактористы вспахали поле за три дня. В первый день они вспахали  всего поля, во второй день — 40% поля, а в третий день — остальные 72 га. Найдите площадь поля.

3.      Решить уравнение: |х — 2| + |х—6| = 9.

4.     Бочка наполнена бензином. Как перелить из нее в  мотоцикл 6 л бензина с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?

5.     На окраску куба размерами 2x2x2 требуется 2 грамма краски. Сколько краски потребуется на покраску куба  размером 6x6x6?

Ключи. (7 класс, вариант 2)

2.     Ответ:   420 га.

3.    Ответ:   х = — 0,5   или   х = 8,5

4.  Наливаем бензин в 5-литровый бидон и переливаем в бак мотоцикла. Затем вновь наливаем бензин в 5-литровый бидон, переливаем в 9-литровое ведро, наливаем еще раз в 5-литровый бидон и отливаем недостающие 4 л в 9-литровое ведро. Тогда в 5-литровом бидоне остается ровно 1 л, его и переливаем в бак мотоцикла.

5.  Так как каждая грань большего кубика в 9 раз больше грани маленького, то и краски понадобится в 9 раз больше, то есть 18 г.

Ответ:   18 г.

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

7 класс (Вариант 3)

1.     Двум братьям вместе 35 лет. Сколько лет каждому, если половина лет одного равна трети лет другого?

2.     Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали,  содержащей 6% примесей. Каков процент примесей в руде?

3.     Решить уравнение: |х — 1| + |х—5| = 7

4.      Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7  одинаковых квадратов. Ее периметр равен 112 см. Найдите  площадь фигуры.

5.  На столе стоят три одинаковых ящика, в одном  находятся 2 черных шарика, в другом — 1 черный и 1 белый шарик, в третьем — 2 белых шарика. На ящиках написано: «2 белых», «2 черных», «черный и белый». При этом известно, что ни одна из надписей не соответствует действительности. Как, вынув только 1 шарик, определить правильное расположение  надписей?

Ключи. (7 класс, вариант 3)

1.     Младшему 14 лет, а старшему 21 год.

2.     20 : 100 • 6 = 1,2 (т) — примесей в стали;

20-1,2 = 18,8 (т) — чистой стали;

40-18,8 = 21,2 (т) — примесей в руде;

21,2 : 40 • 100% = 53% — процент примесей в руде.

Ответ:   53% примесей.

3.      Ответ:   х = - 0,5 или х = 6,5

4.       Ответ:  49 см²

5.     Необходимо вынуть шарик из ящика с надписью  «черный или белый». Если вынутый шарик окажется белым,  значит, в этом ящике 2 белых, в ящике с надписью «2 белых»  будет 2 черных, а с надписью «2 черных» будут черный и белый. Аналогично рассуждаем, если вынутый шарик — черный.

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

7 класс (Вариант 4)

1.     Расставьте знаки действий  « + »,  « —», «• », «:» и скобки, чтобы получить верное равенство:    а) 1 9 9 9 = 0,     б) 1 9 9 9 = 1,                   в) 1 9 9 9 = 3,             г) 1  9 9 9 = 9,              д) 1 9 9 9 = 10.

2.     Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше   и меньше 1.

3.     Решить уравнение: |х — 1| + |х—5| = 7

4.     В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из  следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша — не Герасимов. Отец Володи — инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова — учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?

5.     Как разрезать квадрат 5x5 прямыми линиями так,  чтобы из полученных частей можно было составить 50 равных квадратов? Не разрешается оставлять неиспользованные  части, а также накладывать их друг на друга.

Ключи. (7 класс, вариант 4)

1.

3.     Ответ:   х = - 0,5 или х = 6,5

4.     Так как  Володя учится в 6 классе, а Герасимов в 5 классе, то Володя — не Герасимов. Так как отец Иванова — учитель, отец Володи — инженер, то Володя — не Иванов. Тогда  Володя — Семенов, Миша — Иванов, а Петя — Герасимов. Можно для наглядности применить графы или таблицы.

5.        Сначала квадрат 5x5 разрежем на 25 квадратов 1 х 1, затем каждый из полученных квадратов разрежем по диагонали на 4 треугольника, из которых, прикладывая большие стороны  двух  треугольников друг к другу, можно получить по 2 квадрата, как показано на рисунке.

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

 8 класс (Вариант 1)

1.     Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство    1-2-4-8-16=19    стало верным.

2.      Разместите восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.

3.      Древнегреческая задача.                                                                             Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?                                                                  Вот сколько, — ответил Пифагор, — половина  изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении и, кроме того, есть еще три женщины. Сколько всего учеников посещают школу Пифагора?

4.     Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный  параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь  поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 19 см².

5.     В записи 52*2* замените звездочки цифрами так,  чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные решения.

Ключи. (8 класс, вариант 1)

1.     ||1-2|-|4-8|-16| = 19.

2.     Обозначим число гусей в одном хлеве за х> а число козлят за у, тогда, учитывая, что ног в одном хлеве должно быть 10, получим уравнение: 2х+4у = 10. Из данного уравнения имеем, что число козлят может быть только 1 или 2, соответственно гусей будет 3 или 1. Тогда размещение будет такое: в двух хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в трех хлевах — по 2 козленка и 1 гусю.

3.

Ответ: 28 учеников.

4.      Возможны 2 варианта параллелепипеда, построенного из 18 кубиков высотой 3 кубика: 3x3x2 или 3x6x1. Площадь поверхности данных параллелепипедов будет равна 42 и 54 площадей 1 грани. Учитывая, что площадь грани равна  см², получим площадь поверхности: 133 см² или 171 см².

5.   Число делится на 36, если оно делится и на 4 и на 9. Так как сумма цифр 5, 2, 2 равна 9, то сумма двух недостающих цифр должна равняться 0, 9 или 18. Учитывая, что число должно делиться на 4, а предпоследняя цифра равна 2, то последняя цифра может быть лишь 0 или 4 или 8. Тогда ответами будут числа: 52524, 52128, 52020, 52920.

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

 8 класс (Вариант 2)

2.  Решить уравнение: |х + 4| + |х—1| = 6

3. Докажите, что значение выражения

есть число рациональное.

4. Через точку В проведены четыре прямые так, что АВ ┴ BD, BE ┴ВС  и проведена прямая АС, пересекающая данные прямые так, что АВ = ВС. Прямая АС пересекает BD в точке D,  АС пересекает BE в точке Е. Докажите, что ▲ ABE =▲ BCD.

5. В ящике 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9 кг?

Ключи. (8 класс, вариант 2)

2. х = -4,5 или х = 1,5.

5. Разделим 24 кг на две части, отмерив на весах по 12 кг гвоздей. Отложим одну кучу гвоздей, а вторую поделим  поровну. Получим две кучи по 6 кг. Одну из них поделим пополам. Всего у нас будет четыре кучи гвоздей по 12, 6, 3, 3 кг. Сложим вторую и третью, получим ровно 9 кг.

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

 8 класс (Вариант 3)

1.     Решите уравнение:

2.     Участок под клубнику прямоугольной формы, длина  которого в 3 раза больше ширины, окружен оградой, отстоящей от сторон участка на 2 м. Площадь, ограниченная оградой, на 128 м² больше площади самого участка. Определите длину участка.

3.     Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк — за 3 дня, а  собака — за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?

4.    

5.     Решить уравнение: |х — 1| + |х—5| = 7

Ключи. (8 класс, вариант 3)

1.   

2.    Обозначим ширину участка за х м, тогда площадь  участка будет (Зх²) м², а площадь, ограниченная оградой:  Так как площадь, ограниченная оградой, на 128 м² больше площади участка, то получим уравнение:  Решая его, находим х = 7, поэтому Зх = 21; 21 м — длина участка.

Ответ: 21 м.

4. Ответ: 1

5. Ответ:   х = - 0,5 или х = 6,5

Задачи олимпиадного этапа

в муниципальном конкурсе «Математическое ассорти»

 8 класс (Вариант 4)

1.     Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков  арифметических действий и запятой.

2.     В    ▲ABC проведены биссектрисы углов А и В, угол между ними равен 125°. Найдите угол С.

3.     Найдите все такие целые с, при которых дробь является целым числом.

4.      На свои деньги Петя мог бы купить 8 бубликов и 7  пирожных либо 5 бубликов и 8 пирожных. Сколько он смог бы купить одних бубликов?

5.     Решить уравнение: |х + 4| + |х—1| = 6

Ключи. (8 класс, вариант 4)

1.  44,4 : 4 - 4,4 : 4 = 10.

     

3.  поэтому исходное число будет целым, если 11 кратно с-4. 11 — простое число,  значит, его делителями будут —11; —1; 1; 11. Решая 4 уравнения: с-4 = -11; с-4 = -1; с-4 = 1; с-4 = 11. Получаем с = -7;   с = 3;с = 15.

Ответ: -7; 3; 5; 15.

4. Так как Петя, покупая на 3 бублика меньше, сможет купить на 1 пирожное больше, то цена 1 пирожного равна цене 3 бубликов. Тогда всего бубликов он купит 8 + 7 • 3 = 29.

Ответ: 29.

5. х = -4,5 или х = 1,5.