- 24.05.2017
- 1479
- 19
Данное пособие предназначено для самостоятельного повторения школьного курса алгебры и начал анализа. Оно поможет систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них, если такие окажутся. Особенно оно может быть полезно при подготовке к выпускным экзаменам за курс старшей ступени средней школы. Назначение данного пособия определило и его структуру. Весь учебный материал разбит на главы. Пособие построено по одной и той же схеме. Оно содержит:
1) справочный материал;
2) упражнения с решениями;
3) дидактический материал.
§1. Натуральные, рациональные и действительные числа.
1. Числа 1,2,3,4…называются натуральными.
2. Множество чисел, состоящее из натуральных, отрицательных целых и нуля, называются множеством целых чисел.
3. Рациональные числа – такие, которые можно представить в виде 
, где m- целое, а n-натуральное.
§2. Признаки делимости на 2,3,4,5,9,10.
1. На 2 делятся числа, оканчивающиеся нулем или четной цифрой.
2. На 3 (на 9) делятся те же числа, сумма цифр которых делится на 3(9).
3. На 4 (на 25) делятся те числа, у которых две последние цифры- нули или выражают число, делящееся на 4 (или 25).
4. На 5 делятся числа, оканчивающиеся 0 или 5.
§3. Простые и составные числа. Разложение на простые множители. НОД и НОК.
1. Простым называется натуральное число, не равное 1, которое делится только на себя и на 1.
2. Составным называется натуральное число, которое имеет хотя бы один множитель, отличный от 1 и самого себя.
3. НОД нескольких натуральных чисел называют самое большое натуральное число, на которое все эти числа делятся.
Пример: НОД(60;280)=2·2·5=2
·5=20.
60 2 280 2
30 2 140 2
15 5 70 2
3 3 35 5
1 7 7
1
4. НОК нескольких натуральных чисел называется самое маленькое натуральное число, которое делится на все эти числа.
Пример: НОК (60;280)=2·2·5·3·2·7=840.
60 2 280 2
30 2 140 2
15 5 70 2
3 3 35 5
1 7 7
1
§4. Обыкновенные дроби и действия над ними.
1. Обыкновенной дробью называется выражение вида , где m, n- целые числа, n 
0. Число n называется знаменателем, а число m – числителем дроби.
2. Дробь , где m>0, n>0 называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше или равен знаменателю.
3. Основное свойство дроби: дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель одновременно разделить или умножить на одно и тоже число, неравное 0.
Пример: а) 
;
б)
4. Сложение и вычитание дробей.
а) Для выполнения сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно выполнить соответствующую операцию с числителем, а знаменатель оставить прежним.
Например: 
б) Если дроби имеют разные знаменатели, их необходимо предварительно привести к наименьшему общему знаменателю, домножая числитель и знаменатель каждой из них на некоторое число. При этом в качестве наименьшего общего знаменателя берется НОК знаменателей дробей.
Например: 5/ 7/
- 
= 
5. Умножение дробей.
а) Для умножения дробей на целое число, ее числитель нужно умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Например: 
б) Для умножения дробей нужно перемножить их числители, а затем перемножить знаменатели.
Например: 
6. Деление дробей.
а) Для деления дроби на целое число нужно ее знаменатель умножить на это число.
Например: 
б) Для деления дроби на другую дробь нужно ее умножить на дробь, ей обратную.
Например: 
§5. Превращение десятичных дробей в обыкновенные и наоборот.
1. Для превращения десятичной дроби в обыкновенную нужно в числителе записать в том же порядке все ее цифры (без запятой), а в знаменателе написать число 10n, где n – количество знаков после запятой.
Например: 2,39 = 
2. Для превращения обыкновенной дроби в десятичную процесс деления может продолжаться бесконечно, возникнет периодическая дробь. При записи такой дроби период заключают в скобки.
Например: 
1,3777…=1,3(7)
3. Для обращения любой периодической десятичной дроби в обыкновенную надо из числа стоящего до второго периода вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например: а) 0,(45)= 
б) 3,1(73)=
Упражнения с решениями.
Обратить периодическую дробь в обыкновенную:
1) 0,(3) = 
2) 0,2(1) = 
3) 0,2(19) = 
4) 3,(73) = 
5) 2,2(41) = 
§6.Сложение, умножение и деление десятичных дробей.
1. Сложение десятичных дробей.
При сложении (вычитании) десятичных дробей числа записывают так, чтобы одинаковые разряды были записаны один под другим, а запятая – под запятой, и складывают (вычитают) как натуральные числа.
Например:
+0,132 -9,871
2,354 7,32
2,486 2,551
2. Умножение десятичных дробей.
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо выполнить умножение, не обращая внимание на запятые, и в полученном произведении отделить справа запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.
Например: 12,27·0,021=0,25767
3. Деление десятичных дробей.
а) При делении десятичной дроби на число, делим на это число сначала целую часть числа, потом десятые, сотые доли и т.д.
Например: 4,46:2=2,23
б) Разделим 1,25 на 1,6. Увеличим делимое и делитель в 10 раз, получим 12,5:16=0,78125.
в) Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе, а потом выполнить деление на натуральное число.
Замечание: При умножении (делении) десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д. достаточно перенести запятую вправо (влево) на столько цифр, сколько нулей во множителе (делителе).
Например: 3,578·100=357,6
2,53:10=0,253
§7. Проценты
1. Процентом называется сотая часть числа.
Имеем три основных типа задач на проценты.
а) Нахождение p% от числа а чтобы найти искомое число в применяется формула
=
Например: Найти 6 % от числа 35
Имеем, b = 
б) Нахождение числа а, если его р % равны числу b.
Искомое число определяется по формуле: a = 
Например: Найдем число а, если его 3 % равны 72.
Имеем, а = 
в) Сколько % число b составляет от числа а?
Искомое количество процентов определяется по формуле: p = 
Например: Найдем, сколько % составляет число 8 от числа 5.
Имеем, р = 
%)
§8. Пропорции.
1.Пропорцией называется равенство двух отношений, т.е. выражение вида 
2. Основное свойство пропорции:
а) a : b = c : d
произведение средних членов равно произведению крайних членов.
б)
произведение накрест лежащих членов равны.
Упражнения с решениями
Вычислить:
1. (
2. (
3. (
4. (
5. 
6.
7. 
8. Найти 150% от числа 
Решение:
1) 
2) 150% от 0,1
9. Найти число, если 2,5% его равны: 
Решение:
1) =
=
0,375·16:2,4 = 
=
=2,5
2) 
10. Найти х из пропорции 
Решение:
= 
= 
= 
= 
18·
=5х·0,14
49=5х·0,14
х =
х =
х =
х =70
Дидактический материал
1. (
·0,9+0,1
2. (
3. 
4. (0,8·7+0,64)(1,25·7-
·1,25)+31,64
5. 1,7:
(0,5+
6. Найти число, если 40% его равно 
7. Найти 5% от числа 
8. Найти х из пропорции 
§9. Алгебраические выражения и действия над ними.
1.Одночленом называется произведение нескольких сомножителей, являющихся числами или буквами. Отдельные числа и буквы также являются одночленами.
Например: 2bxy, -x2z5, 6, y.
2. Многочленом называется сумма одночленов.
Например: 2bxy + 7x2 + 3
3. Основу всех алгебраических операций представляют следующие законы сложения и умножения:
а) Переместительный закон:
а + b = b + a
a · b = b · a
б) Сочетательный закон:
(а + b) + с = а + (b + с)
(а · b) c = a (b · c)
в) Распределительный закон:
(а + b) с = а · с + b · с
4. При выполнении преобразований алгебраических выражений используется ряд приемов:
а) Приведение подобных членов.
Если несколько слагаемых имеют одинаковые буквенные части, то их числовые коэффициенты складываются, а буквенная часть сохраняется.
Например: 9ab - 3ab - 4ab = (9 - 3 - 4) ab = 2 ab
б) Вынесение множителя за скобки.
Производится на основе распределительного закона и правил действий со степенями.
Например: 4аху +3аbху- 2аbх = ах (4ху + 3аbу- 2bх)
в) Раскрытие скобок также производится с помощью распределительного закона.
Необходимо помнить, что если множитель перед скобками имеет отрицательный знак, то при их раскрытии меняются знаки всех слагаемых, а скобки опускаются.
Пример: 2mn(mx 3yn + 5) = 2mnx- 6mn
y + 10mn
5. Формулы сокращенного умножения.
(а ± b)² = а² ± 2аb + b²
(а - b)(а + b) = а² b²
(а ± b)³ = а³ ± 3а²b + 3аb² ± b³
а³
b³ = (аb)(а² ± аb + b²)
6. Разложение на множителе.
аx² + bx + с = а(х - х
)(х - х
)
х,х- корни уравнения.
Упражнения с решениями
1.Упростить выражение.
4x (x – 2) – (x-4)2 = 4x2 – 8 x – x2 + 8x – 16 = 3x2 – 16
2. Разложить на множители.
2x2 – 3x – 2 = 2(x – 2)(x + 
)
D = 9 + 
x1,x2 = 
;- 
3. Упростить:
= 
4. Упростить:
5. Упростить:
6. Упростить:
( x+1 x + 
7.Упростить:
(
=
= 
= 
8.Упростить:
(a + 6 + 
9.Упростить:
= 
10. Упростить:
11.Упростить:
=
= 
= 
= 
12.Упростить:
(
(
(
=
13.Упростить:
(
= 
= 
14.Упростить:
= 
15.Упростить:
1-
1) 
1-
2) 
3) 1 – a – 1 = -a
4) 
1 + 
16. Упростить:
(
= 
Дидактический материал
Упростить:
1) 4y (y + 3) – (y + 4)2 2) 
3) 
4) 
5) (a + 
6) (
7) (a – 5 + 
8) (
Разложить на множители:
9) 3x2 + 8x - 3 10) 2x2 +5x – 3 11) 3x2 + 2x – 3
Упростить:
12) 
13) 
14) 
15) 
16) (
17) 
Сократить дробь:
18) 
19) 1+
§10. Степени, корни и их свойства.
1. Возведение числа в отрицательную степень:
a-n = 
2. Возведение числа в нулевую степень:
a0 = 1
3. Возведение числа в дробную степень:
a
4. Действия со степенями.
Для любых рациональных показателей степени при а > 0, b > 0 справедливы следующие свойства:
(
(
(
5. Действия с корнями.
При выполнении действий с корнями (радикалами) могут использоваться следующие свойства (а > 0, b > 0 ):
Упражнения с решениями.
Вычислить:
1. 
2. 
3. 
=
=
4. 
=
5. 
6. 
=
7. (5
8. ((2
(2-1)=
=(
=
9. 
10. Сравнить:
(1,3
и 0,004
(1,3= 1,3
0,039 > 0,004
(1,3>0,004
11. Вычислить:
((( 61
= ((
12.Упростить:
13. 
14. Представить выражение в виде степени:
Сократить дробь:
15. 
16. 
= 
17. 
=12
18. 
= (
= 
19. 
=
20. (
= (
21. Сравнить:
и 
а) 
б) 14 = 
в) <
<
22.Упростить:
23. 
пусть 
2x2 + x -1 = 0
D = 9
x1,2 = 
24. 
=
25. (
= (
= 2 
26. 
27. (
+ 
= (
Дидактический материал
Вычислить:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 6
6) 
7) 
8) (5-1- 3
9) ((5
10) 
11) (((
12) 
13) Упростить:
14) Представить выражение в виде степени:
Сократить дробь:
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
Упростить:
20) 
21) 
22) 
23) 
24) ( 
Сравнить:
25) 
и 
§11. Уравнения, общие приемы и их решения.
1. Тождеством называется равенство двух алгебраических выражений, верное при всех значениях входящих в него переменных (букв).
2. Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные переменные.
3. Решением (корнями) уравнения называется значение неизвестных переменных, которые превращают его в тождество.
4. Равносильными называются уравнения, имеющие одинаковые корни или не имеющие корней.
Равносильность уравнений сохраняется при следующих преобразованиях:
1) замена выражения на тождественно равное ему;
2) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением их знака на противоположный;
3) умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число.
Линейные уравнения с одним неизвестным.
1. Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида a x = b, где a и b – любые числа, x – неизвестная величина.
16
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 670 578 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Марфина Надежда Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
600 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.