Повторение и обобщение по геометрии в 10 классе: "Призма. Пирамида"

• 1 слайд

  Призма
  

• 2 слайд

  Определение. 𝒏-угольной призмой называется многогранник, у которого две грани – равные 𝑛-угольники, а остальные 𝑛 граней – параллелограммы.
  Равные 𝑛-угольники называются основаниями призмы.
  Параллелограммы – боковыми гранями призмы.
  А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми рёбрами призмы.
  𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐵 1 𝐵 2 … 𝐵 𝑛 – 𝒏-угольная призма.
  основания
  боковые
  грани
  боковые
  рёбра
  Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
  диагональ
  𝑨 𝟏
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝒏
  𝑨 𝟑
  𝑩 𝟏
  𝑩 𝟐
  𝑩 𝒏
  𝑩 𝟑
  

• 3 слайд

  Призма в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название.
  Треугольная призма
  Четырехугольная призма
  𝒏-угольная призма
  

• 4 слайд

  𝑨
  𝑩
  𝑨𝑩 – высота призмы.
  Определение. Высота призмы – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
  

• 5 слайд

  
  
  
  Призмы
  Прямые
  Наклонные
  если все боковые ребра призмы
  перпендикулярны к плоскостям
  ее оснований.
  если боковые ребра призмы
  не перпендикулярны основанию.
  

• 6 слайд

  𝑨 𝟏
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝒏
  𝑨 𝟑
  𝑩 𝟏
  𝑩 𝟐
  𝑩 𝒏
  𝑩 𝟑
  Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы.
  А объединение всех граней называется полной поверхностью призмы.
  𝑆 бок.пов. = 𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐵 2 𝐴 2 + 𝑆 𝐴 2 𝐵 2 𝐵 3 𝐴 3 +…+ 𝑆 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛 𝐵 1 𝐴 1
  𝑆 полн.пов. = 𝑆 бок.пов. +2 𝑆 осн
  

• 7 слайд

  Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
  𝐴 1
  𝐵 1
  𝐶 1
  𝐷 1
  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝐷
  ℎ
  ℎ
  ℎ
  ℎ
  𝑺 бок.пов. =𝒉⋅ 𝑷 основ.
  

• 8 слайд

  Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.
  𝐾
  𝐿
  𝑀
  𝑺 бок.пов. =𝑩 𝑩 𝟏 ⋅ 𝑷 𝑲𝑳𝑴
  

• 9 слайд

  Пирамида.
  Правильная пирамида
  

• 10 слайд

  𝑨 𝟏
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝒏
  𝑨 𝟑
  𝑃 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 – 𝒏-угольная пирамида.
  𝑷
  Определение. Многогранник, составленный из 𝑛-угольника 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 и
  𝑛 треугольников, называется пирамидой.
  Многоугольник 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 называется основанием пирамиды.
  Треугольники 𝑃 𝐴 1 𝐴 2 , 𝑃 𝐴 2 𝐴 3 , … , 𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1 называются боковыми гранями пирамиды.
  основание
  боковые
  грани
  Точка 𝑃 – вершиной пирамиды.
  вершина
  Отрезки 𝑃 𝐴 1 , 𝑃 𝐴 2 , … , 𝑃 𝐴 𝑛 – ее боковыми ребрами.
  боковые
  ребра
  Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.
  высота
  

• 11 слайд

  𝑨 𝟏
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝒏
  𝑨 𝟑
  Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды.
  А объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.
  𝑆 бок.пов. = 𝑆 ∆𝑃 𝐴 1 𝐴 2 + 𝑆 ∆𝑃 𝐴 2 𝐴 3 +…+ 𝑆 ∆𝑃 𝐴 𝑛 𝐴 1
  𝑆 полн.пов. = 𝑆 бок.пов. + 𝑆 осн
  𝑷
  

• 12 слайд

  Пирамида в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет свое название.
  Треугольная пирамида
  Четырехугольная пирамида
  𝒏-угольная пирамида
  

• 13 слайд

  Пирамида называется правильной, если ее
  основание – правильный многоугольник.
  𝑷
  𝑨 𝟏
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝒏
  𝑨 𝟑
  Отрезок, соединяющий вершину пирамиды
  с центром основания, является ее высотой.
  Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.
  𝑬
  

• 14 слайд

  Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.
  𝑷
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝟑
  𝑨 𝟏
  𝑨 𝒏
  𝑶
  

• 15 слайд

  Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
  𝑷
  𝑨 𝟏
  𝑨 𝟐
  𝑨 𝒏
  𝑨 𝟑
  𝑬
  𝑶
  𝑆 бок.пов. = 1 2 𝑃 осн ⋅𝑃𝐸
  

• 16 слайд

  Усечённая пирамида
  

• 17 слайд

  верхнее
  основание
  нижнее
  основание
  𝑛-угольники 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 и 𝐵 1 𝐵 2 … 𝐵 𝑛 называются соответственно верхним и нижним основанием.
  боковая
  грань
  Четырехугольники 𝐴 1 𝐴 2 𝐵 2 𝐵 1 , 𝐴 2 𝐴 3 𝐵 3 𝐵 2 и так далее 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐵 1 𝐵 𝑛 называются боковыми гранями.
  боковые
  ребра
  Отрезки 𝐴 1 𝐵 1 , 𝐴 2 𝐵 2 и так далее 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛 называются боковыми рёбрами усеченной пирамиды.
  𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 𝐵 1 𝐵 2 … 𝐵 𝑛
  𝐶
  𝐻
  высота
  𝐶𝐻− высота
  Многогранник, гранями которого являются 𝑛−угольники 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 и 𝐵 1 𝐵 2 … 𝐵 𝑛 , расположенные в параллельных плоскостях и 𝑛 четырехугольников 𝐴 1 𝐴 2 𝐵 2 𝐵 1 , 𝐴 2 𝐴 3 𝐵 3 𝐵 2 и так далее 𝐴 𝑛 𝐴 1 𝐵 1 𝐵 𝑛 называется усеченной пирамидой.
  

• 18 слайд

  Объединение боковых граней называется боковой поверхностью усеченной пирамиды.
  А объединение всех граней называется полной поверхностью усеченной пирамиды.
  𝑆 бок.пов. = 𝑆 𝐴 1 𝐵 1 𝐵 2 𝐴 2 + 𝑆 𝐴 2 𝐵 2 𝐵 3 𝐴 3 +…+ 𝑆 𝐴 𝑛 𝐵 𝑛 𝐵 1 𝐴 1
  𝑆 полн.пов. = 𝑆 бок.пов. + 𝑆 н. осн + 𝑆 в. осн
  
  

• 19 слайд

  Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему.
  𝑺 бок.пов. = 𝟏 𝟐 (𝑷 в.осн + 𝑷 н. осн )⋅𝒉
  ℎ
  

• 20 слайд

  Понятие объема
  

• 21 слайд

  Будем понимать объем как количество занимаемого геометрическим телом пространства.
  При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле.
  1 ед
  1 ед
  1 ед
  1 куб. см
  1 см3
  1 куб. мм
  1 мм3
  1 куб. м
  1 м3
  «кубический»
  Единичный куб
  Объем единичного куба принимается за единицу измерения объемов.
  1 см
  1 мм
  1 м
  

• 22 слайд

  5 см
  3 см
  4 см
  5∙4∙3=60 (см3)
  𝑽=
  1 см
  В первом слое: 5∙4=20 ед. кубов.
  В трёх слоях: 20∙3=60 ед. кубов.
  VOLUME – что в переводе обозначает «объем», «наполнение».
  

• 23 слайд

  𝑨
  𝑩
  𝑨 𝟏
  𝑩 𝟏
  𝑪 𝟏
  𝑪
  𝑫
  𝑫 𝟏
  «ширина»
  «длина»
  «высота»
  𝐷𝐴 – длина
  𝐷𝐶 – ширина
  𝐷 𝐷 1 – высота
  

• 24 слайд

  Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
  𝑨
  𝑩
  𝑨 𝟏
  𝑩 𝟏
  𝑪 𝟏
  𝑪
  𝑫
  𝑫 𝟏
  𝒂
  𝒃
  𝒄
  𝒅 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 + 𝒄 𝟐
  Свойства прямоугольного параллелепипеда:
  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
  𝑽=𝒂∙𝒃∙𝒄
  𝒅
  

• 25 слайд

  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
  𝒂
  𝒃
  𝒄
  𝒉
  𝑽= 𝑺 осн ∙𝒉
  

• 26 слайд

  Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
  𝑨
  𝑨 𝟏
  𝑩 𝟏
  𝑪 𝟏
  𝑪
  𝑩
  𝑽 призмы = 𝟏 𝟐 𝑽 параллелепипеда
  = 𝟏 𝟐 ∙𝟐 𝑺 ∆𝑨𝑩𝑪 ∙𝒉= 𝑺 осн ∙𝒉
  𝑽= 𝑺 осн ∙𝒉
  

• 27 слайд

  Объём прямой призмы равен произведению площади основания
  на высоту.
  ℎ призмы =ℎ
  𝑆 осн =𝑆
  𝑽= 𝑺 осн ⋅𝒉
  𝐴
  𝐵
  𝐶
  𝐷
  𝐸
  𝐴 1
  𝐵 1
  𝐶 1
  𝐷 1
  𝐸 1
  𝑉= 𝑉 1 + 𝑉 2 + 𝑉 3
  = 𝑆 ∆𝐴𝐵𝐸 ⋅ℎ+ 𝑆 ∆𝐸𝐵𝐷 ⋅ℎ+ 𝑆 ∆𝐷𝐵𝐶 ⋅ℎ=
  =ℎ⋅ 𝑆 ∆𝐴𝐵𝐸 + 𝑆 ∆𝐸𝐵𝐷 + 𝑆 ∆𝐷𝐵𝐶 =𝑆⋅ℎ
  

• 28 слайд

  Пример. Найти объем правильной 𝑛-угольной призмы, у которой каждое ребро равно 𝑎, если:
  а) 𝑛=3, б) 𝑛=4, в) 𝑛=6.
  
  Решение:
  𝑉= 𝑆 осн ⋅ℎ
  а) 𝑛=3⇒ 𝑆 осн = 1 2 ⋅𝑎⋅𝑎⋅ 3 2 = 𝑎 2 3 4 (ед. кв.)
  𝑉= 3 𝑎 2 4 ⋅ℎ= 3 𝑎 2 4 ⋅𝑎= 3 ⋅ 𝑎 3 4 (ед. куб.)
  
  б) 𝑛=4⇒ 𝑆 осн =𝑎⋅𝑎= 𝑎 2 (ед. кв.)
  𝑉= 𝑎 2 ⋅ℎ= 𝑎 2 ⋅𝑎= 𝑎 3 (ед. куб.)
  ℎ=𝑎
  в) 𝑛=6⇒ 𝑆 осн =6⋅ 𝑆 1 =6⋅ 𝑎 2 3 4 = 3 3 𝑎 2 2 (ед. кв.)
  𝑉= 3 3 𝑎 2 2 ⋅ℎ= 3 3 𝑎 2 2 ⋅𝑎= 3 3 𝑎 3 2 (ед. куб.)
  

• 29 слайд

  Объем прямоугольного параллелепипеда
  Параллелепипед называется прямоугольным, если все его шесть граней прямоугольники.
  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
  Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
  Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.
  𝑽=𝒂∙𝒃∙𝒄
  𝑽= 𝑺 осн ∙𝒉
  𝑽= 𝑺 осн ∙𝒉
  

• 30 слайд

  Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
  𝑽= 𝑺 осн ⋅𝒉
  Объём правильной треугольной призмы
  𝑽= 𝟑 ⋅ 𝒂 𝟐 𝟒 ⋅𝒉
  Объём правильной четырехугольной призмы
  𝑽= 𝒂 𝟐 ⋅𝒉
  Объём правильной шестиугольной призмы
  𝑽= 𝟑 𝟑 𝒂 𝟐 𝟐 ⋅𝒉
  

• 31 слайд

  Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
  
  𝑽=𝑺осн⋅𝒉
  Объём наклонной призмы равен длины бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.
  𝑽= 𝑺 сеч ⋅𝒍
  𝑙
  𝑆
  ℎ
  𝑆 1
  𝑆 2
  𝑆 3
  

• 32 слайд

  Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
  
  𝑉= 1 3 ⋅𝑆⋅ℎ
  Объём усеченной пирамиды, высота которой равна ℎ, а площадь оснований равны 𝑆 и 𝑆 1 , вычисляется по формуле:
  𝑉= 1 3 ℎ 𝑆+ 𝑆 1 + 𝑆⋅ 𝑆 1
  ℎ
  𝑆
  𝑆 1
  𝑆 1
  𝑆 2
  𝑆 3