Геометрия 7 класс.
КРАТКО.
1.Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
2.В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости.
3.В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
4.Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путѐм рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
5.Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
6.Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
7.Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
1.Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение.
Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать.
2.Прямая - это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, еѐ можно бесконечно продолжать в обе стороны.
3.Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
4.Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
5.Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
1.Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
2.Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
3.Угол называется развѐрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развѐрнутый угол равен 180°).
4.Угол называется прямым, если он равен 90°.
5.Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
6.Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развѐрнутого).
7.Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие - дополнительные полупрямые называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
D A B
Углы 1 и 2 – смежные. АС – общая сторона, АВ и АД –дополнительные лучи
8.Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
2
3 4
1
Углы 1 и 3; 2 и 4 – вертикальные. Стороны углов – дополнительные лучи.
9.Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
1.Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
2.Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. 3.(Теорема о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
4.Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
5.Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
6.Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. 7.(Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
В треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
В
9. Свойство медиан треугольника
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
В
И
О
А С
Медиана треугольник делит треугольник на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники это треугольники –площади которых равны)
Все три медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольника.
10.Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
11.Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
1.Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
2.Свойства равнобедренного треугольника.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
3.Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
1.(Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
2.(Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3.(Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трѐм сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
I. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
II. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
III. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
IV. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором угол С прямой. Опустим высоту из вершины С.
Рассмотрим углы А и В.
По теореме о сумме углов треугольника их сумма равна 90 градусов.
Аналогично, 
Подобие!!!.
Три пары подобных треугольников!!!
Выпишем равенство пропорциональных сторон.
Получим необходимые равенства.
1.Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
2.Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какойлибо еѐ точкой.
3.Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется еѐ хордой. 4.Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
5.Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
1.Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
2.При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
Накрест лежащие (∠𝟑 и∠𝟓; ∠𝟒 и ∠𝟔) - равны
|
∠𝟑 = ∠𝟓; ∠𝟒 = ∠𝟔 |
5 6
Односторонние (∠𝟒 и ∠𝟓; ∠𝟑 и ∠𝟔) - сумма равна 1800
|
∠𝟒 + ∠𝟓 = 𝟏𝟖𝟎𝟎; ∠𝟑 + ∠𝟔 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 |
Соответственные (∠𝟏 и∠𝟓; ∠𝟒 и ∠𝟕; ∠𝟐 и ∠𝟔; ∠𝟑 и∠𝟖) - равны
|
∠𝟏 = ∠𝟓; ∠𝟒 = ∠𝟕; ∠𝟐 = ∠𝟔; ∠𝟑 = ∠𝟖) |
7 8
3.(Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
4.(Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5.(Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
6.(Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
7.(Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
8.Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
9.Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Геометрия 8 класс.
КРАТКО.
1.Многоугольник — это фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек.
2.Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника.
3.Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними.
4.Отрезок, соединяющий любые две не соседние вершины, называется диагональю многоугольника.
5.Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым.
6.Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2)·180°., где n – число сторон многоугольника.
1.Четырѐхугольник – это многоугольник, у которого четыре вершины и четыре стороны.
2.Две несмежные стороны четырѐхугольника называются противоположными.
3.Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
4.Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
1.Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
2.(Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3.(Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
4.(Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
- в параллелограмме противоположные стороны равны (ВС=АД и АВ=ДС) и противоположные углы равны ∠А = ∠С и ∠В = ∠Д), сумма смежных углов равна 1800 (∠А + ∠В = 1800 и ∠С + ∠Д = 1800)
- диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
-в параллелограмме биссектриса угла отсекает равнобедренный
1.Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.
2.Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
3.Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.
4.Свойства трапеции
- в трапеции сумма углов при боковой стороне равна 1800
- в трапеции средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им
- в равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны
1.Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
2.(Особое свойство прямоугольника) Диагонали прямоугольника равны.
3.(Признак прямоугольника) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
4.Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
5.(Особое свойство ромба) Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
6.Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
7.(Основные свойства квадрата) Все углы квадрата прямые. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
1.(Основные свойства площадей) Равные многоугольники имеют равные площади.
2.Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3.Площадь квадрата равна квадрату его стороны ( S=a2).
4.Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон
(S=a*b).
5.Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту
(S=a*hа или S=в*hв).
6.Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей
.
или
равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты (S
= a*h), или равна 
7.Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту
(S= a*h/2).
8.Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
(S= a*b/2).
9.Формула площади треугольника по трем сторонам
Формула
Герона 
, где 
-полупериметр
10.Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
11.Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
a · b · с S = 
4R
12.Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
S = p · r
13.Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту 
14.Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
15.Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
1.(Теорема Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. (с2=a2+ b2)
2.(Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
3.Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским треугольником.
4.(Формула Герона) Площадь
треугольника со сторонами a, b, c выражается формулой S=
, где p = (a+b+c)/2 - полупериметр
треугольника.
1.(Первый признак подобия треугольников) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2.(Второй признак подобия треугольников) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
3.(Третий признак подобия треугольников) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
4.Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
5.Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия(k2). Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия (k).
Свойства прямоугольного треугольника
-сумма острых углов равна 900,
-произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, -высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника,
-синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе,
-косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе,
-тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему,
-котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащащего катета к противолежащащему,
-катет, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.
|
|
00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
|
sin |
0 |
|
|
|
1 |
|
cos |
1 |
|
|
|
0 |
|
tg |
0 |
|
1 |
|
не сущ. |
|
ctg |
не сущ. |
|
1 |
|
0 |
sin2A + cos2A = 1 – основное тригонометрическое тождество.
-произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту,
-высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику,
-медиана, проведённая из вершины прямого угла, разделяет гипотенузу пополам и АД=ВД=ДС
1.Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
2.(Теорема о средней линии треугольника) Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
3.Средняя линия треугольника равна половине основания.
3.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
4.Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
5.Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
6.(Теорема
о средней линии трапеции) Средняя линия трапеции параллельна основаниям
трапеции и равна их полусумме.
1.Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
3.Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.
4.(Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку) Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
5.Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
6.Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
7.Четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот(или их продолжений) называются замечательными точками треугольника.
8.Биссектриса в треугольнике делит третью сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
В
Д
А С
1.Окружность – это множество точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от данной точки (центра). Или это граница круга.
2.Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
3.(Теорема о свойстве касательной к окружности) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
4.(Признак касательной) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
5.(Свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки) Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Р
|
|
|
М
К
6.Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
7.Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
8.Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
9.Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
10.Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
11.(Теорема.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
12.Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
13.Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой. - Вписанный угол, опирающийся на диаметр – прямой.
14.(Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
15.Длина окружности равна 𝑙 = 2𝜋𝑅
16.Площадь круга равна 𝑆 = 𝜋𝑅2
17.Длина дуги окружности равна 
1.Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.
2.(Теорема об окружности, вписанной в треугольник) В любой треугольник можно вписать окружность.
3.В треугольник можно вписать только одну окружность.
4.Не во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.
5.В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны.
6.Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
7.Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.
8.(Теорема об окружности, описанной около треугольника) Около любого треугольника можно описать окружность.
9.Около треугольника можно описать только одну окружность.
10.Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.
11.В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
12.Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
1.Биссектриса угла треугольника делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.
2.Медианы треугольников пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 :1 , считая от вершины.
А В1 С
3.Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).
В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.
Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):
Теорема Фалеса является частным случаем обобщѐнной теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).
Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины
В а С
Найти:
6.Параллелограмм 
В С В
С h m
BC 
АД
АВ - секущая
m – средняя линия
А Д h - высота А a Д
Сумма односторонних углов равна 1800
16.Теорема косинусов
17.Теорема синусов
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 664 075 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Склярова Наталия Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.