Практическая работа по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" по теме: "Графическое представление статистического распределения»

Дисциплина – «Теория вероятностей»

Курс -3

Практическая работа

Тема: «Графическое представление статистического распределения»

Методические указания

Цель:

1)      Формирование умений представлять статистические данные графически

2)      Совершенствование умений вычислять числовые характеристики величин на основе опытных данных (частота, относительная частота),

3)       Формированию умений составлять и графически представлять эмпирическую функцию распределения

4)      Продолжить работу по формированию ОК 2,3,4

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Теоретический материал и методические указания

1.      Графическое представление статистической совокупности.

2.      Полигон

3.      Гистограмма частот

4.      Гистограмма относительных частот

5.      Эмпирическая функция распределения

   Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример 1. После группировки данных в выборке статистический ряд задан таблицей 1 (где объём выборки n = 15).

Таблица 1

xi	2	3	4	6
ni	1	4	2	3

В таблице 1 значения x_i называют вариантами. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке (вся строка x_i) называется вариационным рядом. Число наблюдений n_i называют частотами, i – номер варианты.

Учитывая, что 

n– это объем выборки, можно найти относительную частоту w_i = n_i/n, наблюдаемого значения x_i – варианты, k – количество вариант.

Тогда таблица  будет иметь вид:

Таблица 2

xi	2	3	4	6
wi = ni/n	0,1	0,3	0,4	0,6

 Табличные данные могут быть представлены графически в виде полигона или гистограммы. Если выборка задана в виде отдельных точек, а не интервалов, тогда строят полигон частот. Полигоном относительных частот называется ломанная, отрезки которой соединяют точки (x; w_i). На рис. 1 изображен полигон частот, приведённых в таблице 1.

Рис. 1. Полигон

Пример 2. В этом примере наблюдаемые значения случайной величины после группировки данных в выборке разбиты на последовательные непересекающиеся частичные интервалы. В результате получается статистический ряд, который задан таблицей 3.

Таблица 3

xi	[0¸2)	[2¸4)	[4¸6)	[6¸8]
ni	5	10	12	3

Данную таблицу можно представить через относительную частоту w_i  =n_i/n (где объём выборки n = 30) в таблице 4.                                                                                        Таблица 4

h=xi-xi-1	[0¸2)	[2¸4)	[4¸6)	[6¸8]
wi = ni/n	0,17	0,33	0,4	0,1

При этом частоты w_i  удовлетворяют условию

=1.

Если выборка задана в виде интервалов, тогда строят гистограмму.

Гистограмма частот 

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные  интервалы длиной h=x_i-x_i-1, а их высоты равны  n_i/h (для относительных частот  - w_i /h).

  Если объем выборки из генеральной совокупности случайной непрерывной величины велик, то прибегают к предварительной группировке данных: размах выборки разбивают на k частичных интервалов J_i. Количество интервалов подсчитывается по формуле:

  или     , [x] – целая часть числа х.

  Подсчитывается, сколько значений из n₁, n₂,...,n_m попало в каждый из к интервалов. Вариантами для выборки считают середины этих интервалов. 

  Пример 3.  Измерения напряжения электросети (в вольтах) дали следующие результаты: 210, 198, 215, 212 194 213 199 191, 205, 211, 189, 206, 204, 205, 201, 194, 190, 200, 202, 196, 200, 216, 214, 200, 196, 210, 206, 200, 215, 204. 

  Построить гистограмму относительных частот выборки и гистограмму частот выборки. 

  Решение. 

  Объем выборки n=30. Составим вариационный ряд, расположив данные выборки в возрастающем порядке: 189 190 191 194, 194, 196, 196, 198, 199, 200, 200, 200, 200, 201, 202, 204 204 105, 205, 206, 206, 210, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 215, 216. 

 Размах выборки равен 216-189=27. 

Гистограмма относительных частот 
  Определим количество интервалов, на которые необходимо разбить выборку:  k=log₂30+1=5,8. Округлим это число до ближайшего целого k=6. Так как размах выборки равен 27, то длина каждого интервала h=27/6=4,5.

  Подсчитаем, сколько измеренных значений попало в каждый из полученных интервалов:

Частичный   интервал	Частота
J1=[189;193.5)	3
J2=[193.5;198)	4
J3=[198;202.5)	8
J4=[202.5;207)	6
J5=[207;211.5)	3
J6=[211.5;217]	6

  Сведем полученные данные в таблицу:

Частичный интервал длиной h=4.5	Частота ni	wi=ni/n	Эмпирическая плотность распределения частоты ni/h	wi/h
[189;193.5)	3	0.1	0.66	0.02
[193.5;198)	4	0.13	0.89	0.03
[198;202.5)	8	0.27	1.78	0.06
[202.5;207)	6	0.2	1.31	0.04
[207;211.5)	3	0.1	0.66	0.02
[211.5;217]	6	0.2	1.31	0.04

                                                            Гистограмма частот                                                                                                               

 

                                                  Гистограмма относительных частот

Эмпирической функцией выборки (функцией распределения выборки) называется функция:  ,    которую можно записать в следующем виде:

 

 

Данная функция непрерывная, кусочно-постоянна и изменяется в каждой точке х_i, где х_i — варианта рассматриваемого статистического распределения. 

  Пример 4.

  По заданной выборке построить эмпирическую функцию выборки. 

хi	2	4	5	6	7
ni	5	3	4	5	3

(X2)=	0	=0
	20

(X)=	5	=0,25
	20

(X)=	5+3	=0,4
	20

(X)=	5+3+4	=0,6
	20

(X)=	5+3+4 +5	=0,85
	20

(X)=	5+3+4 +5 +3	=1
	20

 

 График данной функции представлен ниже:

 

Дисциплина – «Теория вероятностей»

Курс -3

Практическая работа  

Тема: «Графическое представление статистического распределения»

Задание 1.   Учебные достижения учащихся некоторого класса по математике характеризуются данными, представленными в таблице:

Количество баллов	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число учащихся	1	1	2	3	4	4	6	5	3	3	2	1

     Построить полигон частот.

Задание 2. Имеются данные о количестве студентов в 30 группах физико-математического факультета:

26	25	25	26	25	23
23	24	19	23	20	19
22	24	24	23	20	23
24	19	21	18	21	18
20	18	18	21	15	15

Составить статистическое распределение количества студентов в группах, найти объем и размах выборки. Построить полигон частот.

   Задание 3. Студентам предлагалось разгадать несколько числовых закономерностей и вписать в пропуски недостающие числа. Оценка осуществлялась по количеству правильно решенных задач и дала следующие результаты:

Количество баллов	13	14	15	16	17	18	19	20
Количество студентов	2	3	2	4	12	10	8	9

Составить статистическое распределение относительных частот количества студентов по количеству набранных баллов и построить полигон относительных частот.

Задание 4. По заданной выборке построить эмпирическую функцию выборки. 

хi	3	7	9	11	12
ni	5	3	4	5	3

Задание 5.  В 2002 году количество служб, представляющих гражданам жилищные субсидии, по сельским районам некоторой области распределено следующим образом:

5, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 10, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 1, 1.

Построить эмпирическую функцию распределения и ее график.

Задание 6. Построить гистограмму частот и относительных частот распределения (в первом столбце указан частичный интервал, во в тором – сумма  частот вариант частичного интервала – ).

 2 - 5        9

 5 - 8        10

8 - 11       25

11 - 14      6

Задание 7. При изменении диаметра валика после шлифовки была получена следующая выборка:

Построить гистограмму частот, предварительно построив ряд статистического распределения, состоящий из  семи интервалов.

Краткое описание документа:

Практическая работа по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" по теме: "Графическое представление статистического распределения» с методическими указаниями.

Цель:

• Формирование умений представлять статистические данные графически.
• Совершенствование умений вычислять числовые характеристики величин на основе опытных данных (частота, относительная частота).
• Формированию умений составлять и графически представлять эмпирическую функцию распределения