Практическая работа №5
Тема: «Исследование
функции»
Цель:
уметь применять производные функций для ее исследования, пользуясь соответствующими
алгоритмами, а также уметь применять таблицу основных производных, формулы
дифференцирования: суммы (разности), произведения, частного, вынесения
константы из-под знака производной для нахождения производных функций при
обосновании этапов решения задач; отработать навыки исследования функций.
Оборудование: тетрадь
для практических работ, ручка, карандаш, методические рекомендации по
выполнению работы.
Методические рекомендации
по выполнению практической работы:
Задание №1.
Найти промежутки монотонности функции:
а) , б)
Решение:
Воспользуемся алгоритмом:
1) найдем производную
данной функции,
2) найдем стационарные
точки, приравняв производную к нулю,
3) отметим стационарные
точки на числовой прямой и определим знаки производной в каждом из получившихся
промежутков,
4) если на промежутке y`>0,
то на этом промежутке функция возрастает; если на промежутке y`<0,
то на этом промежутке функция убывает.
а) 1) y`=
()` = 3·2x
– 0 = 6x,
2) y` = 0 ⟺
6x=0
x=0 – стационарная точка,
3) изобразим
промежутки монотонности данной функции (рис. 1)
Рис.
1
4) итак, при то на этом промежутке
функция убывает,
при то на этом промежутке
функция возрастает.
б) 1) )` = ()`- ()`-(6x)`+(5)`
=
, итак ,
2) y`
= 0 ⟺ =0
= ,
= - стационарные точки,
3) изобразим
промежутки монотонности данной функции (рис. 2)
Рис.
2
4) итак, при то на этом промежутке
функция возрастает,
при то на этом промежутке
функция убывает.
Задание №2. Найти
экстремумы функции:
а) , б)
Решение:
Рассмотрим алгоритм:
1) найдем производную
данной функции,
2) найдем стационарные
точки, приравняв производную к нулю,
3) отметим стационарные
точки на числовой прямой и определим знаки производной в каждом из получившихся
промежутков,
4) если при переходе
через стационарную точку первая производная меняет знак с «плюса» на «минус»,
то в этой точке наблюдается максимум функции; если при переходе через
стационарную точку первая производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то в
этой точке наблюдается минимум функции.
а) 1)
,
2) y`
= 0 ⟺ 4x – 4=0
4x=4
x=1
– стационарная точка,
3) отметим
стационарную точку на числовой прямой и определим знаки производной в каждом из
получившихся промежутков (рис. 3)
Рис.
3
4) итак, при переходе
через точку x=1, производная меняет
знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке наблюдается минимум, то есть .
б) 1) )` = ()`- ()`-(2)`
=
, итак ,
2) y`
= 0 ⟺ =0
x(x – 4) = 0,
x = 0 или x – 4 = 0
x
= 0 или x
= 4 – стационарные точки,
3) отметим
стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной в каждом из
получившихся промежутков (рис. 4)
Рис.
4
4) итак, при переходе
через точку x=0, производная меняет
знак с «плюса» на «минус», то в данной точке наблюдается максимум, то есть ;
при
переходе через точку x=4, производная
меняет знак с «минуса» на «плюс», то в данной точке наблюдается минимум, то
есть
Задание №3. Найдите
наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:
а)
б)
Решение:
Алгоритм:
1) найдем экстремумы
функции,
2) вычислим значения
функции в точках экстремума и на концах отрезка,
3) выберем самое большое
значение функции и назовем его , выберем самое маленькое
значение функции и назовем его .
а) 1)
y`
= 0 ⟺ =0
=0
x=0
– стационарная точка.
Отметим стационарную точку
на числовой прямой и определим знаки производной в каждом из получившихся
промежутков (рис. 5)
Рис.
3
Получаем, что - экстремум функции.
2) вычислим значения
функции в точке экстремума и на концах отрезка:
3) получаем, что ,
б) 1)
.
y`
= 0 ⟺ = 0
= 0
x(x-2)
= 0
x=0
или x-2
= 0
x=0
или x=2
– стационарные точки.
Отметим стационарные
точки на числовой прямой и определим знаки производной в каждом из получившихся
промежутков (рис. 6)
Рис.
6
Получаем, что и - экстремумы функции.
2) вычислим значения
функции точках экстремума и на концах отрезка:
3) получаем, что , .
Задания для
самостоятельной работы:
Вариант №1
Задание №1. Найти промежутки
монотонности функции:
а) ,
б)
Задание №2. Найти экстремумы
функции:
а) ,
б)
Задание
№3. Найдите
наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:
а)
б)
|
Вариант №2
Задание №1. Найти промежутки
монотонности функции:
а) ,
б)
Задание №2. Найти экстремумы
функции:
а) ,
б)
Задание
№3. Найдите
наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке:
а)
б)
|
Контрольные вопросы (ответьте
письменно):
1. Запишите
теоремы о связи знака первой производной с монотонностью функции.
2. Запишите
определение максимума (минимума) функции.
3. Запишите
определение экстремума функции.
4. Запишите
определение наибольшего (наименьшего) значений функции на промежутке.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.