Практическое занятие (повышенный уровень)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Практические работы  составлены в соответствии с рабочей

программой по дисциплине «Математика», разработанной в соответствии с учебным планом по специальности 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»( повышенный уровень) в 2012 году.

Представлено 9 из пятнадцати практических работ, каждая

из которой проводится после изучения соответствующей темы курса.

Все работы содержат теоретические вопросы и практические задания для самостоятельного выполнения.

Кроме того, представлены задачи разного уровня сложности, что даёт

возможность преподавателю оценивать дифференцированно усвоение

учебного материала каждым студентом.

Данная работа может быть использована при проведении занятий в группах с углубленным уровнем изучения математики и на факультативных занятиях по дисциплине.

 Практическое занятие №1. « Понятие об определители n-ого порядка»

Теоретические вопросы.

1.     Что называется определителем 2 и 3 порядков?

2.     Методы вычисления определителей 2 и 3 порядков.

3.     Что называется алгебраическим дополнением.?

4.     Что такое минор?

5.     Свойства определителей.

Практические задания:

1.     Решить уравнения, вычислив определители 2 порядка:

А)   =0                         б)  =0

2.     Вычислить определители  правилом « треугольников»( правило Саррюса):

А)                                           б) 

3.     Вычислить определители, разложением по строке или столбцу:

А)                                       б)

Практическое занятие №2. «  Действия над матрицами»

Теоретические вопросы.

1.     Что называется матрицей?.

2.     Что называется матрицей-строкой, матрицей- столбцом?

3.     Какие матрицы называются прямоугольными, квадратными.?

4.     Какие матрицы называются равными?

5.     Что называется главной диагональю матрицы?

6.     Какая матрица называется диагональной?

7.     Какая матрица называется единичной?

8.     какая матрица называется треугольной?

9.     Что значит «транспонировать» матрицу?

10. Что называется суммой матриц?

11. Что называется произведением матрицы на число?

12. Как найти произведение двух матриц?

13. Что называется определителем матрицы?

14. Что называется минором?

15. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

16. перечислите свойства определителей?

17. Какая матрица называется невырожденной?

18. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

19. Каков порядок вычисления обратной матрицы ?

Практические задания.

1. Транспонируйте матрицу       .

2. Сложите матрицы               А=        и    В=

3.  Найти произведение матриц:

а)                    б)    

4.  Вычислите обратную матрицу:

А=

5.     Найдите сумму:

А=

6.     Найдите матрицу 2А+5В

А=

7.  Найдите произведения АВ  и   ВА:

А=

7.     Найти обратную матрицу:

А=

Дополнительные задания:

1            Дана матрица    А=.. какую матрицу В надо прибавить, чтобы получить единичную матрицу

2.     Дано   А=.  Найдите сумму

3. Найдите обратную матрицу:  А=

Практическое занятие №3 « Вычисление ранга матрицы»

Теоретические вопросы:

1.     Что такое минор?

2.     Что называется рангом матрицы?

3.     Что называется базисным минором?

4.     Какие матрицы называются эквивалентными?

5.     Способы вычисления ранга матрицы.

Практические вычисления:

Выполнить задания , выбирая номер варианта, соответствующей порядковому номеру студента по журналу ( задания прилагаются)

Практическое занятие №4 « Решение систем линейных уравнений методом Крамера»

Теоретические вопросы:

1.     В чем заключается решение систем линейных уравнений методом Крамера.

2.     Методы исследования систем m- линейных уравнений с n- неизвестными.

3.     Методы вычисления главного определителя системы и определителей переменных.

            Практические задания:

Исследовав системы, найти решение по формулам Крамера:

А)    

Б)    

В)    

Практическое занятие  5 « Решение линейных уравнений методом Гаусса»

Теоретические вопросы:

4.     В чем заключается решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5.     Что такое треугольная матрица.

6.     Определение прямого хода

7.     Определение обратного хода

8.     Преобразования прямого хода.

Практические задания:

1.         Задание на закрепление пройденного  материала:

2.         Зачетные задания:

А)     

В)      

Г)    

Практическое занятие  6  « Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц»

Теоретические вопросы:

1.         Определение матрицы.

2.         Правило умножения матриц.

3.         Простейшее матричное уравнение.

4.         Вычисление обратной матрицы

5.         Метод обратной матрицы

Практические задания:

Решить системы методом обратной матрицы:

1.    

2.    

3.         Решить матричное уравнение.

Практическое занятие № 7. « Вычисление скалярного, векторного и смешанного произведений»

Теоретические вопросы:

1.Дать определения скалярного произведения.

2. Формула для вычисления скалярного произведения.

3. Свойства скалярного произведения.

4.Дать определения векторного произведения.

5. Формула для вычисления векторного произведения.

6. Свойства векторного произведения.

7.Дать определения смешанного произведения.

8. Формула для вычисления смешанного произведения.

9. Свойства смешанного произведения.

Практические задания:

1.     Вычислите скалярное произведение векторов:

А)       

Б)      (5а+3в)(2а-в), если

2.     Вычислите векторное произведение векторов:

А)          ,

 если  а=(1;-2;4)

           в=(2;2;-1)

           с=(0;1;-2)

           д=(2;-1;0)

б)      Найдите площадь треугольника, заданного координатами вершин: А( 2,3,4) ;  В(1,1,1)  ;  С(4,3,2)

3.     Найдите смешанное произведение векторов:

А)                  

Б)         

Практическое занятие №8

« Прямая на координатной плоскости. Способы задания прямой»

Теоретические вопросы:

1.     Дайте определение нормального вектора прямой.

2.     Дайте определение направляющего вектора прямой.

3.     Каким набором элементов можно задать прямую?

4.     Какой вид может иметь уравнение прямой на плоскости?

5.     Как составить уравнение прямой:

-       по направляющему вектору и точке,

-       по двум точкам,

-       по нормальному вектору и точке,

-       по отрезкам, отсекаемым прямой на осях координат?

6.     Что можно сказать о положении прямой на координатной плоскости, по ее уравнению:

-       каноническому

-       параметрическим

-       “в отрезках”

-       с угловым коэффициентом

7.     Как перейти от одного вида уравнения прямой к другому виду?

8.     Что можно рассказать по уравнению о положении прямой на плоскости?

9.     Как определить взаимное расположение точки и прямой?

10. Как определить точку пересечения двух прямых?

Практические задания:

 Постройте прямую:

1.  заданную уравнением 2x-y+3=0

2.  заданную уравнением

3.  заданную уравнением x=4+3t, y=1-8t

4.  проходящую через точки (-3,4), (8,1)

5.  образующую угол 60° с положительным направлением оси OX

6.  отсекающую на осях координат отрезки 7 и 4 ед.

7.  проходящую через точку (11,3), перпендикулярно вектору (-2,-5)

8.  проходящую через точку (-4,9), параллельно вектору (1,7)

9.  проходящую через точку (-5,12), параллельно вектору (0,10)

 « Прямая на координатной плоскости. Взаимное расположение прямых»

Теоретические вопросы:

1.     Назовите возможные случаи расположения двух прямых на плоскости.

2.     Как определить угол между двумя прямыми?

3.     Как установить параллельность прямых?

-       через направляющие векторы

-       через нормальные векторы

-       через угол

-       через коэффициенты общего уравнения

-       через систему уравнений.

4.     Как установить перпендикулярность прямых?

Практические задания

 Прямая на плоскости. Работая с предложенной моделью, экспериментально, определите:

-       связь углового коэффициента прямой с ее расположением в системе координат;

-       связь свободного члена в уравнении прямой с ее расположением в системе координат;

-       условие параллельности двух прямых;

-       условие перпендикулярности двух прямых.

 Постройте прямую:

1.     перпендикулярную прямой 5x+3y-1=0, проходящую через точку (2,3)

2.     параллельную прямой -x+3y+7=0, проходящую через точку (-4,1)

3.     перпендикулярную прямой

4.     параллельную прямой x=8-t, y=2+5t

5.     симметричную прямой 8x-3x+1=0 относительно OX, OY, начала координат

6.     параллельную оси OX

7.     образующую тупой угол с положительным направлением оси OX

8.     пучок прямых, проходящих через точку (5,5); запишите общий вид уравнения

9.     пучок параллельных прямых; запишите общий вид уравнения

Практическое занятие №9.

« Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве, нахождение угла между прямой и плоскостью, расстояние от прямой до плоскости»

Теоретические вопросы:

1. Уравнения прямой в пространстве.

2.  Общее уравнение прямой.

3. Формула для нахождения угла между прямой и плоскостью.

4. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.

5. Формула для нахождения расстояния от точки до прямой.

6. Уравнение плоскости.

Практические задания:

1.  При каком значении n прямая ,

параллельна плоскости 2х+4у-6z+7=0

2.При каких значениях В и Д прямая

 лежит в плоскости

4х+Ву-2z+Д=0.

3.Составить параметрические уравнения прямых, проведенных через точку М(5,-1,-4) перпендикулярных к плоскости х+2у+3z-5=0.

4.Найти угол между прямой

     И плоскостью 6х-3у-3z+1=0.

5.   Найти точку пересечения прямой  и плоскости 3х-4у+5z+16=0