Презентация "От Эвклида до Лобачевского"

• 1 слайд

  ГБПОУ КК
  «Краснодарский педагогический колледж»
  
  От Евклида
  до Лобачевского
  1
  Преподаватель: Степанян Л.У.
  

• 2 слайд

  Цель урока:
  
  Доказать, что Евклидова геометрия является составной частью геометрии Лобачевского.
  
  Задачи урока:
  1. Рассмотреть постулаты Евклида
  2. Изучить аксиомы геометрии Лобачевского
  3. Сделать сравнительный анализ двух геометрий
  4.Рассмотреть основные принципы построения геометрии Лобачевского.
  2
  Цели и задачи урока математики
  

• 3 слайд

  Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.
  Разделы геометрии:
  Классическая
  Аналитическая
  Дифференциальная
  Начертательная
  Фрактальная
  4
  Геометрия и ее разделы
  

• 4 слайд

  
  1826 - доклад о новой «Воображаемой геометрии»
  1829 – 1830 - первое сочинение «О началах геометрии»
  1835 - "Воображаемая геометрия"
  1836 - "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам"
  1835-1838 - "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных"
  1840 - "Геометрические исследования по теории параллельных"
  1855 - «Пангеометрия»
  Николай Иванович Лобачевский
  (20.11.1792-12.02.1856)
  5
  Вклад Лобачевского в развитие геометрии
  

• 5 слайд

  Постулаты Евклида и аксиомы Лобачевского
  1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
  
  2.Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
  
  3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.
  
  4. Все прямые углы равны между собой
  
  
  Через две точки можно провести одну и только одну прямую.
  Прямая продолжается бесконечно.
  Из любого центра можно провести окружность любым радиусом.
  Все прямые углы равны между собой.
  6
  Сравнение постулатов Евклида и аксиом Лобачевского
  

• 6 слайд

  Если две прямые а и в образуют при пересечении с третьей прямой внутренние односторонние углы a и в, сумма величин которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые обязательно пересекаются, причем именно с той стороны от третьей прямой, по которую расположены углы а и в (составляющие вместе менее 180°)
  На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную.
  7
  Сравнение постулатов Евклида и аксиом Лобачевского
  

• 7 слайд

  Н.И.Лобачевский пытался рассуждать о доказательстве 5 постулата по методу от противного. Допустив, что пятый постулат Евклида не верен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Тем самым он и будет доказан.
  Проведем доказательство:
  Допустим, что пятый постулат не верен: через точку А, не принадлежащую прямой в , можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с прямой в.
  Доказательство 5 постулата
  8
  Доказательство постулата Евклида
  

• 8 слайд

  1.Пусть прямые а' и а" не пересекаются с b. Тогда будем поворачивать прямую а' по часовой стрелке. В конечном итоге найдется такая прямая с', которая является предельным положением, до которого прямые не пересекают прямую b.
  2.Отложим прямую с", симметричную с' относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Все будет аналогично.
  3.Лобачевский называет эти прямые параллельными прямой b, причем с' параллельна прямой b вправо.
  4.Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающие прямую b, именуются расходящимися с прямой b.
  9
  Доказательство постулата Евклида
  

• 9 слайд

  Далее Н.И.Лобачевский доказал, что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга.
  10
  Доказательство постулата Евклида
  

• 10 слайд

  Сумма углов треугольника
  В геометрии Евклида:
  Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
  11
  Сумма углов треугольника в геометрии Евклида
  

• 11 слайд

  Сумма углов треугольника
  В геометрии Лобачевского:
  Возьмём треугольник с точками NLK, где N - Северный полюс, L - пересечение экватора и нулевого меридиана и K - пересечение экватора с меридианом в 90 градусов. Тогда мы получим треугольник, все углы которого равны 90 градусам, то есть треугольник, сумма внутренних углов которого равна 270 градусам.
  Так на шаре выглядит треугольник АВС образованный красной, синей и зелёной прямыми
  K
  N
  L
  12
  Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского
  

• 12 слайд

  Геометрия Лобачевского
  Основными объектами на плоскости Лобачевского являются пучки прямых.
  На плоскости Лобачевского различают три типа расположения прямых:
  Параллельные
  Пересекающиеся
  Расходящиеся
  13
  Основные понятия геометрии Лобачевского
  

• 13 слайд

  Виды пучков прямых
  Первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка
  Третий вид пучков - пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении
  Второй вид пучков - перпендикуляры к одной прямой – оси пучка
  Два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, в отличие от геометрии Евклида.
  14
  Виды пучков прямых в геометрии Лобачевского
  

• 14 слайд

  Для их построения Лобачевским было введено понятие соответственных точек.
  В первом виде пучков это точки на прямых, равноудаленные от центра.
  В пучке третьего вида соответствующие точки расположены симметрично относительно биссектрисы полосы между двумя прямыми, на которых лежат эти точки.
  Во втором виде пучков это точки прямых, лежащие по одну сторону от оси и удалённые от нее на одинаковые расстояния.
  Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые.
  15
  Кривые в геометрии Лобачевского
  

• 15 слайд

  Если последовательно соединить
  данные точки...
  В первом случае мы получим окружность:
  Во втором – линию равных расстояний:
  В третьем – предельную линию :
  16
  Кривые в геометрии Лобачевского
  

• 16 слайд

  Сегодня различают три основные модели геометрии Лобачевского:
  Модель Клейна
  Модель Пуанкаре
  Модель Бельтрами
  17
  Модели геометрии Лобачевского
  

• 17 слайд

  Модель Пуанкаре
  Абсолюта
  Роль прямой выполняют дуги и лучи, перпендикулярные к абсолюту
  Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x.
  В модели Пуанкаре на евклидовой плоскости E фиксируется горизонтальная прямая x. Она носит название «абсолюта».
  Плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.
  18
  Модель Пуанкаре
  

• 18 слайд

  Неевклидовыми углами являются угол между пересекающимися окружностями, а также между окружностью и пересекающей ее прямой. В соответствии с определением, угол между пересекающимися окружностями - это угол между касательными к ним прямыми, проведенными в точке пересечения, а угол между окружностью и пересекающей ее прямой – это угол между касательной к окружности в точке пересечения и прямой.
  Таким образом величины неевклидовых углов определяются через величины соответствующих евклидовых углов.
  19
  Модель Пуанкаре
  

• 19 слайд

  Модель Клейна
  За точки – точки, принадлежащие этому кругу
  За прямые - хорды с исключением концов, поскольку рассматривается только внутренность круга.
  За плоскость принимается часть плоскости внутри круга, без его границ.
  20
  Модель Клейна
  

• 20 слайд

  Бутылка Клейна
  В 1882г немецкий математик Феликс Христиан Клейн создал модель плоскости Лобачевского под названием бутылка Клейна
  Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).
  В отличие от обыкновенной бутылки у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).
  Интересный факт:
  21
  Модель Клейна
  

• 21 слайд

  Модель Бельтрами
  псевдосфера
  Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»
  Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии трактрисы вокруг ее оси.
  На псевдосфере (плоскости отрицательной кривизны) сумма углов треугольника будет меньше 180 градусов
  F
  C
  A D N B
  E
  22
  Модель Бельтрами
  

• 22 слайд

  Применение геометрии Лобачевского в реальном мире
  Геометрия Евклида является частным случаем геометрии Лобачевского. Наш мир – не мир Евклида, как принято считать? Почему же мы не замечаем разницы?
  
  
  25
  Применение геометрии Лобачевского
  Как пример можно привести тот факт, что видимый звездный свод это ни что иное, как предельная плоскость. Астрономам после признания достижений Лобачевского пришлось пересчитывать все расстояния между звездами – и ошибки достигали 1/6.
  

• 23 слайд

  Вывод
  Несмотря на все кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею.
  
  26
  Вывод
  

Краткое описание документа:

В презентации сравниваются геометрия Евклида и геометрия Лобачевского. Доказывается, что геометрия Евклида является частью геометрии Лобачевского.Проводится параллель, сравниваются постулаты Евклида и аксиомы Лобачевского.Также рассматриваются три основные модели геометрии Лобачевского: модели Пуанкаре, бутылка Кляйна, модель Бельтрами.