Презентация по алгебре и началам математического анализа на тему "Оптимальный выбор" (11 класс)

• 1 слайд

  Финансовая задача
  Задача на оптимальный выбор
  Графическое решение
  

• 2 слайд

  1. Задание 17
  Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу
  контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А.
  Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.
  соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров,
  перевозимых баржей при данных условиях.
  
  Решение:
  Анализируем условие и записываем его с помощью системы неравенств.
  х – количество контейнеров типа А
  y – количество контейнеров типа B
  Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество
  загруженных контейнеров типа А: y ≥ 1,25 х
  Баржа грузоподъемностью 134 тонны… Вес одного контейнера типа А составляет 2 тонны,
  контейнера типа В – 5 тонн: 2х + 5y ≤ 134 (Баржа не обязательно должна быть заполнена полностью,
  но больше грузоподъёмности загружать нельзя.)
  х ≥ 0, y ≥ 0 – возможно, что выгоднее перевозить контейнеры только одного типа, поэтому 0 может быть,
  но количество отрицательным быть не может.
  Получаем систему:
  
  
  

• 3 слайд

  1. Задание 17
  Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу
  контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А.
  Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.
  соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров,
  перевозимых баржей при данных условиях.
  
  Решение:
  2. Составляем целевую функцию (то есть условие, выполнение которого делает оптимальным наш выбор)
  В условии: …стоимость одного контейнера типа А составляет 5 млн. руб., контейнера типа В –7 млн. руб. Определите
  наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при
  данных условиях.
  Отсюда 5х + 7 y = max
  Записываем в виде математической модели условие задачи:
  
  
  
  
  
  
  5х + 7 y = max
  
  
  
  

• 4 слайд

  4. Строим графики функций, соответствующих каждому неравенству:
  
  
  
  
  
  
  y=1,25x:
  
  
  
  
  
  
  x = 0 – ось OY
  y = 0 – ось OX
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  

• 5 слайд

  4.
  
  
  
  
  
  5. Находим область, которая удовлетворяет всем неравенствам
  системы.
  соответствуют первой координатной четверти;
  соответствует области выше данной прямой;
  соответствует области ниже
  соответствующей прямой.
  Проверка.
  Возьмём точку (5; 10) и подставим во все неравенства:
  
  
  - верно.
  
  
  
  Все неравенства превращаются в верные числовые неравенства, значит найдена верная область.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  

• 6 слайд

  6. Строим график целевой функции:
  5х + 7 y = max
  Так как мы не знаем, чему равен максимум, мы рассматриваем
  все прямые, параллельные между собой, и задаваемые
  уравнением 5х + 7 y = а, где а – произвольное число.
  Удобнее всего в качестве начального числа а брать
  произведение коэффициентов перед х и y. В данном случае
  это 35.
  5х + 7 y = 35, тогда
  
  
  Эта прямая задаёт положение целевой функции.
  Чтобы данная функция соответствовала максимальному
  значению а, необходимо, чтобы она проходила через такую
  точку выделенной области, чтобы вся выделенная область
  находилась ниже данной прямой. Очевидно, что это будет
  выполняться в том случае, если целевая функция будет
  проходить через вершину выделенного треугольника.
  Таким образом, мы доказали, что максимальное значение
  достигается в точке пересечения прямых y=26,8-0,4x и
  y=1,25x.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  5x+7y=35
  5х + 7 y = max
  
  

• 7 слайд

  7. Найдём точку пересечения прямых y=26,8-0,4x и y=1,25x.
  26,8-0,4x =1,25x
  1,65x = 26,8
  х = 16,(24)
  Данное уравнение имеет не целый корень, что противоречит
  условию (x – это количество, значит должно быть целое
  число). Берём ближайшее меньшее число. Это 16.
  Найдём при этом y: у = 1,25 *16 = 20
  Проверяем выполнение условия 2х + 5у ≤ 134
  32 +100 ≤ 134 (верно)
  Также по рисунку видно, что точка (16; 20) – ближайший к
  вершине узел.
  8. Находим максимальное значение:
  (млн. руб.)
  
  
  Ответ: 220 миллионов рублей.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  5x+7y=35
  5х + 7 y = max
  
  

• 8 слайд

  Краткая запись
  решения задачи
  

• 9 слайд

  1. Задание 17
  Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу
  контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А.
  Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.
  соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров,
  перевозимых баржей при данных условиях.
  
  Решение:
  х – количество контейнеров типа А
  y – количество контейнеров типа B
  
  
  
  
  
  
  - целевая функция
  
  5х + 7 y = max
  

• 10 слайд

  Строим графики функций, соответствующих каждому неравенству:
  
  y=1,25x:
  
  
  
  
  
  
  x = 0 – ось OY
  y = 0 – ось OX
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  

• 11 слайд

  Находим область, которая удовлетворяет всем неравенствам
  системы.
  
  
  
  
  
  
  Проверка.
  Возьмём точку (5; 10) и подставим во все неравенства:
  
  
  - верно.
  
  
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  

• 12 слайд

  Строим график целевой функции:
  5х + 7 y = max
  Пусть 5х + 7 y = 35, тогда
  
  
  Максимальное значение достигается в точке пересечения
  прямых y=26,8-0,4x и y=1,25x.
  Найдём точку пересечения прямых y=26,8-0,4x и y=1,25x.
  26,8-0,4x =1,25x
  1,65x = 26,8
  х = 16,(24)
  Данное уравнение имеет не целый корень, что противоречит
  условию (x – это количество, значит должно быть целое
  число). Берём ближайшее меньшее число. Это 16.
  Найдём при этом y: у = 1,25 *16 = 20
  Проверяем выполнение условия 2х + 5у ≤ 134
  32 +100 ≤ 134 (верно)
  Также по рисунку видно, что точка (16; 20) – ближайший к
  вершине узел.
  Находим максимальное значение:
  (млн. руб.)
  
  Ответ: 220 миллионов рублей.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  y=1,25x
  y=26,8-0,4x
  y=0
  x=0
  5x+7y=35
  5х + 7 y = max
  
  

• 13 слайд

  Задачи для самостоятельного решения
  Фирма выпускает платья двух моделей А и В. При этом используется ткань двух видов. На изготовление одного платья модели А требуется 2 м ткани первого вида и 2 м ткани второго вида. На изготовление одного платья модели В требуется 3 м ткани первого вида, 1 м ткани второго вида. Запасы ткани первого вида составляют 21 м, второго вида - 15 м. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 10000 руб., одного изделия типа В - 8000 руб. Найти наибольший доход, который может получить фирма.
  Колхоз имеет возможность приобрести не более 36 машин. Отпускная цена трехтонного грузовика – 4 млн. руб., пятитонного – 5 млн. руб. Колхоз может выделить для приобретения автомашин 160 млн. рублей. Сколько нужно приобрести автомашин, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной?
  
  

Краткое описание документа:

Разобран один из способов решения задач № 17 из ЕГЭ по профильной математике на оптимальный выбор. Использование целевой функции позволяет сделать решение понятным и достаточно простым. В процессе решение повторяется построение графиков линейных функций, в том числе, с двумя переменными, а также графическое решение неравенств с двумя переменными.