Презентация по математике на тему "Формула Пика".

• 1 слайд

  Формула Пика
  

• 2 слайд

  Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток - узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах и найдём его площадь.
  

• 3 слайд

  Георг Александр Пик - австрийский математик.
  Родился 10 августа 1859 года в Вене.
  Умер в концлагере в 1942 году.
  

• 4 слайд

  Рассмотрим многоугольник, вершины которого находятся в узлах целочисленной решётки, то есть имеют целочисленные координаты.  
  

• 5 слайд

  Многоугольник разобьём на треугольники с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах.
  Обозначим:
  n – число сторон многоугольника,
  m – количество треугольников с вершинами в узлах решётки, не содержащие узлов ни внутри, ни на сторонах,
  В – число узлов внутри многоугольника,
  Г – число узлов на сторонах, включая вершины.
   
  
  

• 6 слайд

  Площади всех этих треугольников
  
  одинаковы и равны .
  
  Следовательно, площадь
  
  многоугольника равна m.
  
  
  
  
  Общая сумма углов всех треугольников равна 1800 m .
  

• 7 слайд

  Теперь найдём эту сумму другим способом.
  Сумма углов с вершиной в любом внутреннем узле составляет 3600.
  Тогда сумма углов с вершинами во всех внутренних узах равна 3600 В.
  Общая сумма углов при узлах на сторонах, но не в вершинах равна 1800 (Г – n).
  Сумма углов при вершинах многоугольника равна 1800 (n – 2) .
  Общая сумма углов всех треугольников равна
  3600 В + 1800 (Г – n) + 1800 (n – 2).
   
  
  

• 8 слайд

  Таким образом,
  1800 m = 3600 В + 1800 (Г – n) + 1800 (n – 2),
  1800 m = 3600 В + 1800 Г – 1800 n + 1800 n – 1800 ·2,
  1800 m = 3600 В + 1800 Г– 3600
  
  
  = В + – 1 ,
  
  откуда получаем выражение для площади S многоугольника:
  
  S = В + – 1 ,
   
  известное как формула Пика.
  

• 9 слайд

  
  В = 24, Г = 9, а следовательно, S = 24 + – 1 = 27,5.
  
  

• 10 слайд

  В = 28 (зеленые точки);
  Г = 20 (синие точки).
  
  Получаем, S = = 37 кв.ед.
  
  

• 11 слайд

  
  В = 7, Г = 8,
  
  S = В + − 1= 10
  

• 12 слайд

  S = 4 4 – 4 3 1 = 10
  S = В + – 1
  B = 9
  Г = 4
  S = 9 + – 1 = 10
  
  Найдите площадь фигуры
  

• 13 слайд

  
  S = 5 5- (2 5 + 2 5 + 3 3) = 10.5
  Найдите площадь фигуры
  S = В + – 1
  B = 9
  Г = 5
  S = 9 + – 1 = 10.5
  
  

• 14 слайд

  Найдите площадь фигуры
  
  S = 5 ( 2 + 3 ) =12.5
  S = В + – 1
  B = 10
  Г = 7
  S = 10 + – 1 = 12.5
  
  

• 15 слайд

  Найдите площадь фигуры
  
  S = 6 4 = 12
  S = В + – 1
  B = 11
  Г = 4
  S = 11 + – 1 = 12
  
  

• 16 слайд

  Найдите площадь фигуры
  S = В + – 1
  B = 5
  Г = 4
  S = 5 + – 1 = 6
  
  
  S = 6 4 - 6 2 = 6
  

• 17 слайд

  
  В общем случае площадь многоугольника можно найти через координаты (х1; у1), (х2; у2), …, (хn; уn) последовательных вершин многоугольника по формуле:
   
  
  
   
  Отличительной особенностью данной формулы является то, что площадь здесь выражается не через характеристики самого n-угольника (стороны, углы), а через координаты его вершин. Она достаточно удобна в практических задачах. 
  
  

• 18 слайд

  Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).
  
  
  S = 10 10 - 4 8 2 = 68
  (0;2)
  (8;0)
  (10;8)
  (2;10)
  (0;2)
  S = |(0-8 2)+(8 8 – 10 0) + (10 10 – 2 8) + (2 2 – 10 0)|=
  
  = 68
  

• 19 слайд

  Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).
  
  S = (9 + 3) 5 = 30
  (1;1)
  (10;1)
  (8;6)
  (5;6)
  (1;1)
  S = |( 1 1 - 10 2)+(10 6 – 8 1) + (8 6 – 5 6) + (5 1 – 6 1)|
  
  = 30
  

• 20 слайд

  Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9)
  S = 2 7 = 14
  S = |( 1 2 - 8 7)+(8 4 – 8 2) + (8 9 – 1 4) + (1 7 – 9 1)| =
  
  = 14
  (1;7)
  (8;2)
  (8;4)
  (1;9)
  (1;7)
  

• 21 слайд

  (1;2)
  (3;6)
  (7;4)
  (9;-2)
  (5;1)
  (-3;-2)
  (-1;5)
  (1;2)
  S = |( 1 6 - 3 2)+(3 4 – 7 6) + (7 (-2) – 9 4) + (9 1 – 5
  
  (-2))+(5 (-2) – (-3) 1) + ((-3) 5 – (-1) (-2)) + ((-1) 2 – 1 5)|= = 46