Презентация по математике на тему " теория вероятности"

• 1 слайд

  Основные понятия «Теории вероятностей»
  Определения и примеры
  
  

• 2 слайд

  Теория и практика
  Люди играют с кубиком, в "орла или решку", во всевозможные лотереи поскольку уверены в том, что эти игры справедливы, т.е. возможный результат каждого события имеет одинаковую вероятность – в противном случае эти игры просто бы не существовали.
  
  
  

• 3 слайд

  Теория и практика
  Если подброшенная на ваших глазах реальная монета 100 раз или хотя бы 10 подряд упала "орлом" вверх, то вы можете быть уверены, что она "неправильная", возможно, фальшивая – у нее явно смещен центр тяжести
  
  
  

• 4 слайд

  Математические модели
  математическая модель "монета":
  
  
  Испытание – подбрасывание монеты; события – монета упала «орлом» или «решкой».
  
  выпадение "орла" или "решки "
  имеет одинаковую вероятность .
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  На заре зарождения теории вероятностей были скептики –исследователи, сомневавшиеся в этом вполне очевидном для нас факте и очень много раз подбрасывали монету, но всегда убеждались, что "орел" выпадает в половине случаев.
  
  
  Статистика
  

• 5 слайд

  Количество выпадений "орла" при многократном подбрасывания монеты
  10 006 раз –
  для первых 20 000 бросаний,
  9 996 раз–
  для вторых 20 000 бросаний,
  20 002 раз–
  для всех 40 000 бросаний.
  
  
  В любом случае частота выпадения
  "орла" была очень близка к половине.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 6 слайд

  Математические модели
  математическая модель «игральная кость»:
  
  
  
  Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент.
  Испытание – подбрасывание кубика; события – выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (и другие).
  
  
  
  
  
  выпадение каждой грани
  при многократном бросании кубика
  имеет одинаковую вероятность .
  
  
  
  
  
  
  

• 7 слайд

  События и испытания
  Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз.
  Каждое осуществление этих условий называют испытанием
  Примеры
  

• 8 слайд

  Примеры испытаний и событий
  Испытание – бросание игральной кости
  Событие – выпадение шестерки или выпадение четного числа очков
  Испытание – наступление дня
  Событие – ясная погода
  

• 9 слайд

  Вероятность случайного события
  Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом.
  
  Это число называется
  вероятностью случайного события.
  
  Около этого числа группируются относительные частоты данного случайного события
  

• 10 слайд

  События могут быть
  
  Достоверные
  Невозможные
  Случайные
  
  
  Несовместные
  Независимые
  Противоположные
  

• 11 слайд

  Достоверные события
  Событие называется достоверным, если оно наступает всегда, при любом испытании.
  Вероятность достоверного события всегда равна 1.
  
  Примеры достоверных событий
  
  

• 12 слайд

  Примеры достоверных событий
  
  На игральном кубике выпадет меньше семи очков;
  После лета наступит осень.
  ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.
  ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО.
  КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ.
  ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ.
  
  

• 13 слайд

  Невозможные события
  Событие называют невозможным, если оно не наступает никогда, то есть благоприятных исходов для него 0.
  Вероятность невозможного события равна 0 .
  Примеры невозможных событий
  
  
  

• 14 слайд

  Примеры невозможных событий
  
  
  
  
  
  Падение монеты на ребро
  Выпадение на игральной кости семерки
  З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.
  ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
  
  

• 15 слайд

  Случайные события
  Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти.
  
  Примеры случайных событий
  

• 16 слайд

  Примеры случайных событий
  
  
  
  
  
  Выпадение на игральном кубике четного числа очков;
  Выпадение орла при бросании монеты;
  Выигрышное сочетание чисел на карточках русского лото.
  НАЙТИ КЛАД.
  БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.
  В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.
  ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ.
  В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА.
  
  

• 17 слайд

  Несовместные события
  События A и B называются несовместными, если они не могут наступить одновременно, или, на языке множеств, AB = .
  
  Примеры несовместных событий
  
  

• 18 слайд

  Примеры несовместных и совместимых событий
  
  
  
  
  
  совместные события:
  идет дождь и идет снег,
  человек ест и человек читает,
  число целое и четное;
  
  
  несовместные события:
  день и ночь,
  человек читает и человек спит
  При бросании двух кубиков выпадение нечетной суммы очков и равных чисел на обоих кубиках
  
  

• 19 слайд

  Независимые события
  События A и B называются независимыми, если вероятность их произведения равна произведению их вероятностей: P(AB) = P(A)P(B).
  
  
  Примеры независимых событий
  

• 20 слайд

  Примеры независимых событий
  
  
  
  
  
  На обоих кубах выпадет шестерка;
  При подбрасывании двух монет выпадут два орла;
  При вытаскивании двух шаров из урны оба шара будут красными.
  
  
  

• 21 слайд

  Противоположные события
  С каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется.
  
  Противоположные события, очевидно, несовместны.
  Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
  
  
  
  Примеры противоположных событий
  

• 22 слайд

  Примеры противоположных событий
  
  
  
  
  
  На кубике выпадет четное число и на кубике выпадет нечетное число;
  Монета упала орлом вверх и монета упала вверх решкой;
  Лампа горит и лампа не горит.
  если сейчас день, то сейчас не ночь;
  если человек спит, то в данный момент он не читает;
  если число иррациональное, то оно не является четным.
  
  

• 23 слайд

  
  Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:
  
  а) задумано четное число;
  б) задумано нечетное число;
  в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным;
  г) задумано число, являющееся четным или нечетным.
  Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные.
  
  
  

• 24 слайд

  
  
  
  Охарактеризуйте следующее событие:
  
  В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных.
  
  а) из мешка вынули 4 шара и они все синие;
  б) из мешка вынули 4 шара и они все красные;
  в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;
  г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного
  цвета.
  
  

• 25 слайд

  ИСХОД
  ИСХОДОМ (или элементарным исходом, элементарным событием) называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент.
  
  

• 26 слайд

  Число возможных исходов в каждом из рассмотренных выше опытах.
  Подбрасывание монеты.
  – 2 исхода: «орел», «решка».
  Подбрасывание кубика.
  – 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
  Выбор перчаток. В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки.
  
  – 3 исхода: «обе перчатки на левую руку», «обе перчатки на правую руку», «перчатки на разные руки».
  

• 27 слайд

  а) В урне четыре шара с номерами два, три, пять, восемь. Из урны наугад извлекают один шар.
  б) В копилке лежат три монеты достоинством в 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. Из копилки достают одну монету.
  в) В доме девять этажей. Лифт находится на первом этаже. Кто-то из жильцов дома вызывает лифт на свой этаж. Лифтовый диспетчер наблюдает, на каком этаже лифт остановится.
  Запишите множество исходов для следующих испытаний
  

• 28 слайд

  а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная.
  
  б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число.
  
  в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.
  Найдите количество возможных исходов.
  
  

• 29 слайд

  Действия над событиями
  
  
  1. Суммой нескольких событий
  называется событие, состоящие в
  наступлении хотя бы одного из них в
  результате испытания.( , )
  
  Если события А и В совместны, то сумма А+В
  означает, что наступает событие А, или событие
  В, или оба события вместе.
  
  Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или». .
  
  

• 30 слайд

  Действия над событиями
  
  
  Пример. В урне находятся
  красные, белые и черные шары.
  Вынимается один шар. Возможные
  события: А – «вынут красный шар», В –
  «вынут белый шар», С – « вынут
  черный шар».
  Тогда А+В означает, что произошло
  событие «вынут не черный шар», В+С –
  «вынут не красный шар».
  
  
  
  

• 31 слайд

  Примеры суммы событий:
  пусть А - идет дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;
  А - пошли на дискотеку; В - пошли в библиотеку, то А + В - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.
  

• 32 слайд

  Действия над событиями
  2. Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в
  совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
  ( ).
  Означает союз «и» (АВС, это означает, что
  наступило событие А и В и С).
  
  Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик».
  Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков > 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С – «выпало 4 очка».
  
  
  

• 33 слайд

  Примеры произведения событий:
  пусть А - из урны вытянули белый шар, В - из урны вытянули белый шар, то АВ - из урны вытянули два белых шара;
  А - идет дождь, В - идет снег, то АВ - дождь со снегом;
  А - число четное, В - число кратное 3, то АВ - число кратное 6.
  

• 34 слайд

  Задание 3
  
  Опишите, в чем состоит сумма
  следующих несовместных
  событий.
  А – учитель вызвал к доске ученика,
  В – учитель вызвал к доске ученицу, А+В –.
  учитель вызвал к доске ученика или ученицу
  Родила царица в ночь:
  А – не то сына,
  В – не то дочь
  А+В – царица родила сына или дочь.
  

• 35 слайд

  Диаграммы Венна
  Графические изображения на плоскости соотношений между множествами называются диаграммами Венна.
  

• 36 слайд

  Дополнительные задания
  
  Задание 4. Из событий:
  1) «наступило утро»;
  2) «сегодня по расписанию шесть уроков»;
  3) «сегодня первое января»;
  4) «температура воздуха в Салехарде +20С» - составить все возможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.
  
  Задание 5. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события:
  «вынута карта красной масти» и «вынут валет»;
  «вынут король» и «вынут туз».
  

• 37 слайд

  Вопросы
  
  Могут ли события быть одновременно и несовместными и совместными?
  Входит ли в понятие суммы событий (А + В) событие, состоящее в одновременном наступлении события А и события В?
  
  Задание.
  Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?
  

• 38 слайд

  Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение , где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов:
  КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
  

• 39 слайд

  Бросаем монетку
  2
  Выпал «орел»
  1
  Вытягиваем экзаменаци- онный билет
  Вытянули билет №5
  24
  
  1
  Бросаем кубик
  
  На кубике выпало четное число
  
  
  6
  
  
  3
  
  Играем в лотерею
  
  Выиграли, купив один билет
  
  
  250
  
  
  10
  
  

• 40 слайд

  Вероятность:
  P(A) = 5/1300 = 1/250.
  В школе 1300 человек, из них 5 человек хулиганы.
  Какова вероятность того, что один из них попадётся директору на глаза?
  

• 41 слайд

  Пример 2.
  При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа?
  

• 42 слайд

  Решение
  Составим следующую таблицу
  Вероятность: P(A)=6/36= =1/6.
  
  

• 43 слайд

  Пример 3.
  Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?
  с
  т
  а
  т
  и
  с
  т
  и
  к
  а
  

• 44 слайд

  Всего 10 букв.
  Буква «с» встречается 2 раза –
  P(с) = 2/10 = 1/5;
  буква «т» встречается 3 раза –
  P(т) = 3/10;
  буква «а» встречается 2 раза –
  P(а) = 2/10 = 1/5;
  буква «и» встречается 2 раза –
  P(и) = 2/10 = 1/5;
  буква «к» встречается 1 раз –
  P(к) = 1/10.
  
  Решение
  

• 45 слайд

  Примеры задач на вычисление
  вероятностей случайных событий
  З а д а ч а № 1.
  Бросаются два кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6.
  
  Р е ш е н и е .
  
  

• 46 слайд

  Решение задачи №1 ( н а ч а л о)
  Бросаются два кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6.
  
  Результат каждого бросания – это пара чисел (a, b), где a и b – числа от 1 до 6. Поэтому все поле событий состоит из 6х6 = 36 элементов
  
  
  

• 47 слайд

  Решение задачи № 1 ( продолжение)
  Благоприятным исходом для рассматриваемого события является любая пара (a, b), для которой a + b = 6.
  
  Подсчитаем, сколькими способами число 6 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел от 1 до 6.
  
  Это можно сделать пятью следующими способами:
  6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1,
  
  Таким образом, вероятность заданного события равна 5/36.
  
  

• 48 слайд

  Примеры задач на вычисление
  вероятностей случайных событий
  З а д а ч а № 2.
  Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль.
  Р е ш е н и е (1 способ)
  Р е ш е н и е (2 способ)
  Р е ш е н и е (3 способ)
  

• 49 слайд

  Решение задачи №2 (1 способ)
  Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль.
  
  
  Допустим, что производится 100 двойных выстрелов. Примерно в 80 из них цель будет поражена первым стрелком. Остается около 20 выстрелов, в которых этот стрелок даст промах. Так как второй стрелок поражает в среднем 70 раз из 100 выстрелов и, значит, 7 раз из 10 выстрелов, то мы можем ожидать, что в тех 20 выстрелах, в которых первый стрелок даст промах, второму удастся поразить цель примерно 14 раз. Таким образом, при всей сотне выстрелов цель окажется пораженной 80 + 14 = 94 раза. Вероятность поражения цели при одновременной стрельбе этих двух стрелков равна поэтому 94%, или 0,94.
  

• 50 слайд

  Решение задачи №2 (2 способ)
  Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль.
  
  
  Вероятность попадания
  Первого стрелка 0,8
  Второго стрелка 0,7
  
  Вероятность не попадания
  Первого стрелка 1 - 0,8 = 0,2
  Второго стрелка 1 - 0,7 = 0,3
  
  Цель будет поражена, если
  первый стрелок попадет, а второй нет 0,8∙0,3 = 0,24
  второй стрелок попадет, а первый нет 0,7∙0,2 = 0,14
  оба стрелка попадут 0,8∙0,7 = 0,56
  
  Значит, цель будет поражена с вероятностью
  0,24 + 0,14 + 0,56 = 0,94
  

• 51 слайд

  Решение задачи №2 (3 способ)
  Один стрелок делает 80% попаданий, а другой (при тех же условиях стрельбы) 70%. Найти вероятность поражения цели, если оба стрелка стреляют в нее одновременно. Цель считается пораженной при попадании в нее хотя бы одной их двух пуль.
  
  
  Вероятность попадания
  Первого стрелка 0,8
  Второго стрелка 0,7
  
  Вероятность не попадания
  Первого стрелка 1 - 0,8 = 0,2
  Второго стрелка 1 - 0,7 = 0,3
  
  Цель не будет поражена, если
  оба стрелка не попадут 0,2∙0,3 = 0,06
  
  Значит, цель будет поражена с вероятностью
  1 - 0,06 = 0,94
  

• 52 слайд

  Условная вероятность
  Условной вероятностью события В при условии А называют отношение
  
  
  Вероятность события В в новых условиях: когда уже известно, что событие А произошло.
  

• 53 слайд

  Условная вероятность
  Формула вычисления вероятности
  события В при условии, что произошло
  событие А, но могло иметь место еще и событие С.
  
  
  
  
  Пример использования такой обобщенной формулы
  рассмотрен далее.
  

• 54 слайд

  Примеры задач на вычисление
  вероятностей случайных событий
  З а д а ч а № 3.
  Пусть в некотором классе 25 учеников, из них
  2 "отличника",
  12 "твердых хорошистов",
  9 "троечников",
  а остальные 2 – "отстающие".
  Проверяя контрольную работу, учитель поставил 5 за одну работу, которая оказалась неподписанной. Прав ли он, считая, что она принадлежит "отличнику", если вероятность получения пятерки соответственно равна:
  Отличник 0,9
  Хорошист 0,7
  Троечник 0,3
  Отстающий 0,1?
  
  Р е ш е н и е .
  
  
  

• 55 слайд

  Решение задачи №3 ( н а ч а л о)
  Если событие A – это поставленная пятерка за "анонимную" работу, то надо найти условную вероятность события P(B|A),
  где B – событие, при котором неподписанная работа принадлежит одному из отличников .
  
  
  
  буквами C, D, E обозначены события, при которых
  пятерку получил соответственно
  "хорошист", "троечник" и "отстающий".
  
  

• 56 слайд

  Решение задачи №3 ( продолжение)
  Значит,
  
  По условию
  
  Из 25 учеников
  2 "отличника",
  "хорошистов",
  9 "троечников",
  2 "отстающие".
  
  Неподписанная работа принадлежит
  
  B - одному из отличников ,
  С - одному из хорошистов ,
  D - одному из троечников ,
  E - одному из отстающих .
  

• 57 слайд

  Решение задачи №3 ( продолжение)
  По условию
  
  Из 25 учеников
  2 "отличника",
  "хорошистов",
  9 "троечников",
  2 "отстающие".
  
  Неподписанная работа принадлежит
  
  B - одному из отличников ,
  С - одному из хорошистов ,
  D - одному из троечников ,
  E - одному из отстающих .
  Учитывая то, что анонимную работу написал только один ученик, рассмотрим вероятность того, что
  работу написал отличник,
  а не хорошист, не троечник и не отстающий
  
  
  работу написал хорошист,
  
  работу написал троечник,
  
  работу написал отстающий.
  

• 58 слайд

  Решение задачи №3 ( окончание)
  Подставим полученные значения в формулу