Презентация по математике на тему "Уравнения смешанных типов с ограничениями"

• 1 слайд

  Задача 12. Уравнения смешанных типов с ограничениями
  
  Показательное с тригонометрией
  подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень)
  Турышева Людмила Викторовна
  учитель математики
  МАОУ гимназия №18
  г. Нижний Тагил
  2020 г.
  

• 2 слайд

  Условие задания:
  а) Реши уравнение:
  
  𝟖𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟖𝟏 𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝟖𝟐;
  
  б) Укажи корни уравнения, принадлежащие отрезку: 𝟒𝝅; 𝟏𝟏𝝅 𝟐 .
  
  
  
  

• 3 слайд

  Решение:
  а) 𝟖𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟖𝟏 𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝟖𝟐
  
  
  Воспользуемся свойством степени 𝒂 𝒎−𝒏 = 𝒂 𝒎 𝒂 𝒏
  
  81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 81 81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =82
  
  Введем замену, не забывая про ограничения
  
  𝑡=81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ;𝑡>0
  𝑡+ 81 𝑡 =82;
  Умножим обе части уравнения на общий знаменатель t, t≠0.
  
  𝑡 2 −82𝑡+81=0;
  𝑡+ 81 𝑡 −82=0;
  𝑡1=1, 𝑡2=81;
  
  Решим квадратное уравнение
  
  

• 4 слайд

  Решение:
  𝟖𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟖𝟏 𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝒙 =𝟖𝟐
  
  
  Вернемся к замене
  
  81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =1, 81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =81;
  
  𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.
  
  𝑠𝑖𝑛 𝑥 =0, 𝑠𝑖𝑛 𝑥 =1;
  
  Воспользуемся свойством показательной функции 𝒂 𝒙 𝟏 = 𝒂 𝒙 𝟐 ↔𝒙𝟏=𝒙2
  
  81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 81 0 , 81 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 81 1 ;
  
  Решим тригонометрическое уравнение
  
  

• 5 слайд

  Решение:
  б) Выберем решения уравнения с отрезка  𝟒𝝅; 𝟏𝟏𝝅 𝟐
   из неравенств:
  𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.
  
  Корни уравнения
  
  4𝜋≤𝜋𝑘≤ 11𝜋 2 ,
  4≤𝑘≤ 11 2 , 𝑘∈𝑍
  
  𝑘=4; 𝑘=5.
  
  
  𝑥1=4𝜋,
  𝑥2=5𝜋.
  
  Составим неравенство
  
  Разделим неравенство на 𝝅
  
  Выберем целые значения 𝑘, удовлетворяющие условию
  
  Найдем корни, принадлежащие данному отрезку
  

• 6 слайд

  Решение:
  б) Выберем решения уравнения с отрезка  𝟒𝝅; 𝟏𝟏𝝅 𝟐
   из неравенств:
  𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍, 𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.
  
  Корни уравнения
  
  4𝜋≤ 𝜋 2 +2𝜋𝑛≤ 11𝜋 2 ,
  4≤ 1 2 +2𝑛≤ 11 2 ,
  4− 1 2 ≤2𝑛≤ 11 2 − 1 2 ,
  
  7 2 ≤2𝑛≤ 10 2 ,
  
  7 4 ≤𝑛≤ 10 4 , 𝑛∈𝑍
  
  𝑛=2
  𝑥3= 𝜋 2 +2𝜋∙2= 9𝜋 2 .
  Аналогично
  
  Ответ: а) 𝑥1=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍;
  𝑥2= 𝜋 2 +2𝜋𝑛;𝑛∈𝑍.
  б)4𝜋;5𝜋; 9𝜋 2 .
  

• 7 слайд

  Примеры
  1. a) 8∙16 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 −2∙ 4 cos 2𝑥 =63; б) 7𝜋 2 ;5𝜋
  
  
  а) Реши уравнение
  б) Укажи корни уравнения, принадлежащие отрезку
  
  
  2. a) 3 cos 𝑥 9 cos2 𝑥 = 4 2cos2 𝑥− cos 𝑥 ; б) − 3𝜋 2 ; 𝜋 6
  
  
  3. a) 21 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 3 sin 𝑥 ∙ 7 −cos 𝑥 ; б) − 5𝜋 2 ;−𝜋
  
  
  4. a) 1 16 cos 𝑥 +3∙ 1 4 cos 𝑥 −4=0; б) 4𝜋;7𝜋
  
  
  5. a) 5 2 sin 2𝑥 = 1 25 cos 3𝜋 2 +𝑥 ; б) 3𝜋 2 ;3𝜋
  
  
  

• 8 слайд

  Ответы
  1. а) 𝑥1,2=± 𝜋 3 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; б) 11𝜋 3 ; 13𝜋 3 ; 14𝜋 3 .
  2. а) 𝑥1,2=± 𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥3= 𝜋 2 +𝜋𝑛;𝑛∈𝑍;
  б)− 3𝜋 2 ;− 𝜋 2 ;− 𝜋 3 .
  3. а) 𝑥=− 𝜋 4 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; б) − 9𝜋 4 ;− 5𝜋 4 .
  4. а) 𝑥= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; б) 9𝜋 2 ; 11𝜋 2 ; 13𝜋 2 .
  5. а) 𝑥1,2=± 2𝜋 3 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍; 𝑥3=𝜋𝑛;𝑛∈𝑍;
  б)2𝜋;3𝜋; 8𝜋 3 .